資源簡介

2.1認識實數（二階）-北師大版（2024）八年級上冊數學課時進階測試
一、選擇題
1．（2024七上·鹿城期末）下列說法正確的是（　　）
A．|-2|與2互為相反數 B．與互為倒數
C．＞ D．是無理數
2．（2022七下·武昌期末），是兩個連續整數，若，則的值為（　　）
A．3 B．5 C．7 D．13
3．（2024八上·南山期中）如圖，在數軸上，點A，B表示的數分別為0，2，BC⊥AB于點B，且BC＝1．連接AC，在AC上截取CD＝BC，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AB于點E，則點E表示的實數是（　　）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
4．（2024八上·鹽田期末）秦兵馬俑的發現被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂到下巴的距離之比約為，請你估算的值（　　）
A．在0和1之間 B．在1和2之間 C．在2和3之間 D．在3和4之間
5．（2023八上·光明月考）若m，n是兩個連續的整數且，則m+n＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
6．（2024八上·西塘開學考）規定用符號表示一個實數m的整數部分，例如，，按此規律=(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
7．（2024七下·西青期中）的絕對值是（　　）
A． B． C． D．
8．（估算無理數的大小++++++++++2 ）設的小數部分為b，那么（4+b）b的值是（　　）
A．1 B．是一個有理數
C．3 D．無法確定
二、填空題
9．的整數部分為a，小數部分為b，則的值為　 　.
10．（2024八上·光明月考）如圖，長方形的頂點A，B在數軸上，點表示．若以點為圓心，對角線長為半徑作弧，交數軸正半軸于點，則點所表示的數為　 　．
11．（2023八上·連平期中）如下圖，作一個以數軸的原點為圓心，長方形對角線為半徑的圓弧，交數軸于點A，則點A表示的數是　 　．
12．（2023七下·倉山期中）若無理數的值介于兩個連續整數n和之間，則　 　.
13．（2024八上·南山期中）如圖，長方形OABC放在數軸上，，，以A為圓心，AC長為半徑畫弧交數軸于P點，則P點表示的數為　 　．
14．（2024七上·浙江期中）高斯被認為是歷史上最杰出的數學家之一，享有“數學王子”之稱．現有一種高斯定義的計算式，已知是有理數，表示不超過的最大整數，如，，，等，那么的值為　 　．
三、解答題
15．（2024八上·福田月考）a是的整數部分，b是它的小數部分，求的值．
16．（2024八上·南山期中）甲同學用如圖所示的方法作出點表示數．在中，，且點在同一數軸上，．
（1）請說明甲同學這樣做的理由；
（2）仿照甲同學的做法，在如圖所示的數軸上描出表示的點．
答案解析部分
1．【答案】B
【知識點】有理數的倒數；實數的大小比較；無理數的概念；實數的相反數
【解析】【解答】解：A、|-2|與2不互為相反數，則本項不符合題意，
B、與互為倒數，則本項符合題意，
C、，則本項不符合題意，
D、是有理數，則本項不符合題意，
故答案為：B.
【分析】根據互為相反數和倒數的性質即可判斷A、B項；根據估計無理數的大小即可判斷C項，根據無理數的定義即可判斷D項.
2．【答案】B
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴23，
∴a=2，b=3，
∴a+b=5.
故答案為：B.
【分析】由題意先找出的范圍2＜＜3，于是可得a、b的值，再求和即可.
3．【答案】D
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根據題意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵點A，B表示的數分別為0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的數為：．
故答案為：D．
【分析】先求出AB的長，再利用勾股定理求出AC的長，最后利用線段的和差求出AD的長，即可得到點E表示的數.
4．【答案】B
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∴.
故答案為：B.
【分析】根據被開方數的范圍可以估計無理數的大概取值范圍.
5．【答案】C
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，是兩個連續的整數且，
∴，，
∴．
故答案為：C.
【分析】本題考查估算無理數的大小．先估算出的值的范圍，進而求出，的值，然后代入式子可求出答案．
6．【答案】D
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵，
，
所以=4，
故選D.
【分析】估算出的取值范圍即可求出答案.
7．【答案】B
【知識點】無理數的估值；實數的絕對值
【解析】【解答】解：
．
故答案為：B．
【分析】根據絕對值的性質：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0，先判斷的正負，再計算絕對值即可.
8．【答案】C
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵的小數部分為b，
∴b=﹣2，
把b=﹣2代入式子（4+b）b中，
原式=（4+b）b=（4+﹣2）×（﹣2）=3．
故選C．
【分析】首先確定的整數部分，然后即可確定小數部分b，由題意可知b=﹣2，把它代入所求式子計算即可．
9．【答案】6
【知識點】無理數的估值；平方差公式及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵的整數部分為，小數部分為，
∴，，
∴，
故答案為：6.
【分析】根據無理數的估值求出d的值，然后代入原式，結合平方差公式進行求解.
10．【答案】
【知識點】實數在數軸上表示
11．【答案】
【知識點】實數在數軸上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理得：長方形對角線的長：=，∴OA=，
∵點A在原點左側，
∴A點表示的數是：，
故答案為：．
【分析】根據勾股定理得長方形對角線的長，即可得出點A的坐標．
12．【答案】3
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：，
，即，
無理數的值介于兩個連續整數和之間，
，
故答案為：3.
【分析】由于9＜11＜16，根據算術平方根的性質，被開方數越大其算術平方根越大得，據此即可得出答案.
13．【答案】
【知識點】無理數的概念
14．【答案】
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；無理數的估值
【解析】【解答】解：由題意得，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
【分析】根據無理數的估算，結合新定義求出的值，再利用有理數四則混合運算法則階梯即可．
15．【答案】解：∵4＜ 7＜9，
∴2＜＜3，
∴a=2，b=-2，
∴=（-2）3+（-2+2）2=-8+7=-1.
【知識點】無理數的估值；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先估算，得出a=2，b=-2，然后再代入求值即可。
16．【答案】（1）解：∵，
∴根據勾股定理得：，
∵OB=OC，
∴，
∴點表示數；
（2）解：如圖，在中，，
∴根據勾股定理得：，
∴點F表示數．
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出OB=OC的值，從而得證結論；
（2）在數軸上構造在，使，由勾股定理求出OF=OE的值，即可得到答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴點表示數．
（2）解：如圖，在中，，
則，即點F表示．
1 / 12.1認識實數（二階）-北師大版（2024）八年級上冊數學課時進階測試
一、選擇題
1．（2024七上·鹿城期末）下列說法正確的是（　　）
A．|-2|與2互為相反數 B．與互為倒數
C．＞ D．是無理數
【答案】B
【知識點】有理數的倒數；實數的大小比較；無理數的概念；實數的相反數
【解析】【解答】解：A、|-2|與2不互為相反數，則本項不符合題意，
B、與互為倒數，則本項符合題意，
C、，則本項不符合題意，
D、是有理數，則本項不符合題意，
故答案為：B.
【分析】根據互為相反數和倒數的性質即可判斷A、B項；根據估計無理數的大小即可判斷C項，根據無理數的定義即可判斷D項.
2．（2022七下·武昌期末），是兩個連續整數，若，則的值為（　　）
A．3 B．5 C．7 D．13
【答案】B
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵4＜7＜9，
∴23，
∴a=2，b=3，
∴a+b=5.
故答案為：B.
【分析】由題意先找出的范圍2＜＜3，于是可得a、b的值，再求和即可.
3．（2024八上·南山期中）如圖，在數軸上，點A，B表示的數分別為0，2，BC⊥AB于點B，且BC＝1．連接AC，在AC上截取CD＝BC，以點A為圓心，AD的長為半徑畫弧，交線段AB于點E，則點E表示的實數是（　　）
A．2 B．+1 C．2 D．﹣1
【答案】D
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理
【解析】【解答】解：根據題意可得CD=CB=1，AD=AE，
∵點A，B表示的數分別為0，2，
∴AB=2，
∵BC⊥AB，
∴∠ABC=90°，
∴，
∴，
∴E表示的數為：．
故答案為：D．
【分析】先求出AB的長，再利用勾股定理求出AC的長，最后利用線段的和差求出AD的長，即可得到點E表示的數.
4．（2024八上·鹽田期末）秦兵馬俑的發現被譽為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂到下巴的距離之比約為，請你估算的值（　　）
A．在0和1之間 B．在1和2之間 C．在2和3之間 D．在3和4之間
【答案】B
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵4<5<9，
∴.
∴.
故答案為：B.
【分析】根據被開方數的范圍可以估計無理數的大概取值范圍.
5．（2023八上·光明月考）若m，n是兩個連續的整數且，則m+n＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】C
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，是兩個連續的整數且，
∴，，
∴．
故答案為：C.
【分析】本題考查估算無理數的大小．先估算出的值的范圍，進而求出，的值，然后代入式子可求出答案．
6．（2024八上·西塘開學考）規定用符號表示一個實數m的整數部分，例如，，按此規律=(　　)
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵，
，
所以=4，
故選D.
【分析】估算出的取值范圍即可求出答案.
7．（2024七下·西青期中）的絕對值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】無理數的估值；實數的絕對值
【解析】【解答】解：
．
故答案為：B．
【分析】根據絕對值的性質：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值是0，先判斷的正負，再計算絕對值即可.
8．（估算無理數的大小++++++++++2 ）設的小數部分為b，那么（4+b）b的值是（　　）
A．1 B．是一個有理數
C．3 D．無法確定
【答案】C
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：∵的小數部分為b，
∴b=﹣2，
把b=﹣2代入式子（4+b）b中，
原式=（4+b）b=（4+﹣2）×（﹣2）=3．
故選C．
【分析】首先確定的整數部分，然后即可確定小數部分b，由題意可知b=﹣2，把它代入所求式子計算即可．
二、填空題
9．的整數部分為a，小數部分為b，則的值為　 　.
【答案】6
【知識點】無理數的估值；平方差公式及應用
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∵的整數部分為，小數部分為，
∴，，
∴，
故答案為：6.
【分析】根據無理數的估值求出d的值，然后代入原式，結合平方差公式進行求解.
10．（2024八上·光明月考）如圖，長方形的頂點A，B在數軸上，點表示．若以點為圓心，對角線長為半徑作弧，交數軸正半軸于點，則點所表示的數為　 　．
【答案】
【知識點】實數在數軸上表示
11．（2023八上·連平期中）如下圖，作一個以數軸的原點為圓心，長方形對角線為半徑的圓弧，交數軸于點A，則點A表示的數是　 　．
【答案】
【知識點】實數在數軸上表示
【解析】【解答】解：由勾股定理得：長方形對角線的長：=，∴OA=，
∵點A在原點左側，
∴A點表示的數是：，
故答案為：．
【分析】根據勾股定理得長方形對角線的長，即可得出點A的坐標．
12．（2023七下·倉山期中）若無理數的值介于兩個連續整數n和之間，則　 　.
【答案】3
【知識點】無理數的估值
【解析】【解答】解：，
，即，
無理數的值介于兩個連續整數和之間，
，
故答案為：3.
【分析】由于9＜11＜16，根據算術平方根的性質，被開方數越大其算術平方根越大得，據此即可得出答案.
13．（2024八上·南山期中）如圖，長方形OABC放在數軸上，，，以A為圓心，AC長為半徑畫弧交數軸于P點，則P點表示的數為　 　．
【答案】
【知識點】無理數的概念
14．（2024七上·浙江期中）高斯被認為是歷史上最杰出的數學家之一，享有“數學王子”之稱．現有一種高斯定義的計算式，已知是有理數，表示不超過的最大整數，如，，，等，那么的值為　 　．
【答案】
【知識點】有理數的加減乘除混合運算的法則；無理數的估值
【解析】【解答】解：由題意得，，
∵，
∴，
∴，
∴
，
故答案為：．
【分析】根據無理數的估算，結合新定義求出的值，再利用有理數四則混合運算法則階梯即可．
三、解答題
15．（2024八上·福田月考）a是的整數部分，b是它的小數部分，求的值．
【答案】解：∵4＜ 7＜9，
∴2＜＜3，
∴a=2，b=-2，
∴=（-2）3+（-2+2）2=-8+7=-1.
【知識點】無理數的估值；求代數式的值-直接代入求值
【解析】【分析】首先估算，得出a=2，b=-2，然后再代入求值即可。
16．（2024八上·南山期中）甲同學用如圖所示的方法作出點表示數．在中，，且點在同一數軸上，．
（1）請說明甲同學這樣做的理由；
（2）仿照甲同學的做法，在如圖所示的數軸上描出表示的點．
【答案】（1）解：∵，
∴根據勾股定理得：，
∵OB=OC，
∴，
∴點表示數；
（2）解：如圖，在中，，
∴根據勾股定理得：，
∴點F表示數．
【知識點】實數在數軸上表示；勾股定理
【解析】【分析】（1）由勾股定理求出OB=OC的值，從而得證結論；
（2）在數軸上構造在，使，由勾股定理求出OF=OE的值，即可得到答案.
（1）解：∵，
∴，
∴，
∴點表示數．
（2）解：如圖，在中，，
則，即點F表示．
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