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【備考2026】中考數學真題2025分類精編精練15
命題與定理、尺規作圖
姓名：__________班級：__________考號：__________總分__________
1 、選擇題（本大題共8小題）
（2025 成都）下列命題中，假命題是（　　）
A．矩形的對角線相等
B．菱形的對角線互相垂直
C．正方形的對角線相等且互相垂直
D．平行四邊形的對角線相等
（2025 資陽）如圖，在射線BA，BC上，分別截取BM，BN，使BM＝BN，再分別以點M和點N為圓心、大于線段MN一半的長為半徑作圓弧，在∠ABC內，兩弧交于點D，作射線BD，過點D作DE∥BC交BA于點E．若∠BDE＝30°，則∠AED的度數是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
（2025 吉林）如圖，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺規作圖操作如下：（1）以點B為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交邊BA，BC于點M，N，（2）以點C為圓心，BN長為半徑畫弧，交邊CB于點N′，再以點N′為圓心，MN長為半徑畫弧，與前一條以點C為圓心的弧相交于三角形內部的點M′，（3）過點M′畫射線CM′交邊AB于點D．下列結論錯誤的為（　　）
A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC
（2025 天津）如圖，CD是△ABC的角平分線．按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當長為半徑畫弧，與邊AB相交于點E，與邊AC相交于點F，②以點B為圓心，AE長為半徑畫弧，與邊BC相交于點G，③以點G為圓心，EF長為半徑畫弧，與第②步中所畫的弧相交于點H，④作射線BH，與CD相交于點M，與邊AC相交于點N．則下列結論一定正確的是（　　）
A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD
（2025 湖北）如圖，△ABC內接于⊙O，∠BAC＝30°．分別以點A和點B為圓心，大于AB的長為半徑作弧，兩弧交于M，N兩點，作直線MN交AC于點D，連接BD并延長交⊙O于點E，連接OA，OE，則∠AOE的度數是（　　）
A．30° B．50° C．60° D．75°
（2025 眉山）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB＝6，BC＝10．按下列步驟作圖：①以點A為圓心，適當長度為半徑畫弧，分別交AB、AD于E、F兩點，②分別以點E、F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧相交于點P，③作射線AP交BC于點G，則CG的長為（　　）
A．4 B．5 C．6 D．8
（2025 北京）如圖，∠MON＝100°，點A在射線OM上，以點O為圓心，OA長為半徑畫弧，交射線ON于點B．若分別以點A，B為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧在∠MON內部交于點C，連接AC，則∠OAC的大小為（　　）
A．80° B．100° C．110° D．120°
（2025 遼寧）如圖，在△ABC中，AB＝16，BC＝12，CA＝10，∠ABC的平分線BP與AC相交于點D．在線段AD上取一點K，以點C為圓心，CK長為半徑作弧，與射線BP相交于點M和點N，再分別以點M和點N為圓心，大于MN的長為半徑作弧，兩弧相交于點Q，作射線CQ，與AB相交于點E，連接DE．則△DAE的周長為（　　）
A．12 B．14 C．16 D．18
1 、多選題（本大題共1小題）
（2025 濰坊）下列命題的逆命題為真命題的是（　　）
A．若a2＝b2，則a＝b
B．若|a|＞|b|，則a3＞b3
C．三角形的中位線平行于第三邊
D．等腰三角形的兩個底角相等
（多選）
1 、填空題（本大題共6小題）
（2025 北京）能說明命題“若a2＞4b2，則a＞2b”是假命題的一組實數a，b的值為a＝ 　 　 ，b＝ 　 　 ．
（2025 大慶）如圖，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝60°，AB＝2．在AB和AC上分別截取AM，AN，使AM＝AN．分別以M，N為圓心、以大于的長為半徑作弧，兩弧在∠BAC內交于點F．作射線AF交BC于點D，則點D到AC的距離為 　 　 ．
（2025 天津）如圖，在每個小正方形的邊長為1的網格中，點P，A均在格點上．
（Ⅰ）線段PA的長為 　 　 ，
（Ⅱ）直線PA與△ABC的外接圓相切于點A，AB＝BC．點M在射線BC上，點N在線段BA的延長線上，滿足CM＝2AN，且MN與射線BA垂直．請用無刻度的直尺，在如圖所示的網格中，畫出點M，N，并簡要說明點M，N的位置是如何找到的（不要求證明） 　 　 ．
（2025 湖南）如圖，在△ABC中，BC＝6，點E是AC的中點，分別以點A，B為圓心，以大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點M，N，直線MN交AB于點D，連接DE，則DE的長是 　 　 ．
（2025 廣安）如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：（1）以點A為圓心，AC的長為半徑畫弧，交BC于點D，（2）分別以點C和點D為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧相交于點F，（3）畫射線AF交BC于點E．若∠C＝2∠B，BC＝23，BD＝13，則AE的長為 　 　 ．
（2025 齊齊哈爾）如圖，在 ABCD中，BC＝2AB＝8，連接AC，分別以點A，C為圓心，大于AC的長為半徑作弧，兩弧交于點E，F，作直線EF，交AD于點M，交BC于點N，若點N恰為BC的中點，則AC的長為　 　 ．
1 、解答題（本大題共14小題）
（2025 青島）已知：如圖，D是∠AOB內部一點．
求作：等腰△COE，使點C，E分別在射線OA，OB上，且底邊CE經過點D．
（2025 甘肅）如圖1，月洞門是中國古典建筑中的一種圓形門洞，形如滿月，故稱“月洞門”，其形制可追溯至漢代，但真正在美學與功能上成熟于宋代，北宋建筑學家李誡編撰的《營造法式》是中國古代最完整的建筑技術典籍之一．如圖2是古人根據《營造法式》中的“五舉法”作出的月洞門的設計圖，月洞門呈圓弧形，用表示，點O是所在圓的圓心，
AB是月洞門的橫跨，CD是月洞門的拱高．現在我們也可以用尺規作圖的方法作出月洞門的設計圖．如圖3，已知月洞門的橫跨為AB，拱高的長度為a．作法如下：
①作線段AB的垂直平分線MN，垂足為D，
②在射線DM上截取DC＝a，
③連接AC，作線段AC的垂直平分線交CD于點O，
④以點O為圓心，OC的長為半徑作．
則就是所要作的圓弧．
請你依據以上步驟，用尺規作圖的方法在圖3中作出月洞門的設計圖（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2025 陜西）如圖，已知∠AOB＝50°，點C在邊OA上．請用尺規作圖法，在∠AOB的內部求作一點P，使得∠AOP＝25°，且CP∥OB．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2025 徐州）“連弧紋鏡”為戰國至兩漢時期備受推崇的銅鏡設計，通常由六到十二個連續的等弧連成一圈，構成了別具一格的裝飾圖案．圖1為徐州博物館藏“八連弧紋鏡”，紋飾中有八個連續的等弧連成一圈．圖2為另一件連弧紋鏡（殘件）的示意圖．
（1）若將圖2中的連弧紋鏡補全，則該銅鏡應為“　 　 連弧紋鏡”，
（2）請用無刻度的直尺與圓規，補全圖2中所有殘缺的弧，使其“破鏡重圓”．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2025 宿遷）實驗活動：僅用一把圓規作圖．
【任務閱讀】如圖1，僅用一把圓規在∠AOB內部畫一點P，使點P在∠AOB的平分線上．
小明的作法如下：
如圖2，以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交射線OA．OB于點E、F，再分別以點E、F為圓心，大于長為半徑畫弧，兩弧交于點P，則點P為所求點．
理由：如圖3，連接EP、FP、OP，
由作圖可知OE＝OF，PE＝PF，
又因為OP＝OP，
所以 　 　 ．
所以∠EOP＝∠FOP．
所以OP平分∠AOB．
即點P為所求點．
【實踐操作】如圖4，已知直線AB及其外一點P，只用一把圓規畫一點Q，使點P、Q所在直線與直線AB平行，并給出證明．（保留作圖痕跡，不寫作法）
（2025 廣元）如圖，已知∠AOB，以點O為圓心，2為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N，分別以點M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C，畫射線OC交于點E，連接MC，NC．
（1）求證：∠AOC＝∠BOC，
（2）若∠AOB＝60°，求的長．
（2025 威海）（1）如圖①，將平行四邊形紙片ABCD的四個角向內折疊，恰好拼成一個無縫隙、無重疊的四邊形EFGH．判斷四邊形EFGH的形狀，并說明理由，
（2）如圖②，已知 ABCD能按照圖①的方式對折成一個無縫隙、無重疊的四邊形MNPQ，其中，點M在AD上，點N在AB上，點P在BC上，點Q在CD上．請用直尺和圓規確定點M的位置．（不寫作法，保留作圖痕跡）
（2025 長春）圖①、圖②、圖③均是4×3的網格，其中每個小方格都是邊長相等的正方形，其頂點稱為格點．只用無刻度的直尺，分別在給定的網格中按下列要求作△ABC，使△ABC的頂點均在格點上．
（1）在圖①中，△ABC是面積最大的等腰三角形，
（2）在圖②中，△ABC是面積最大的直角三角形，
（3）在圖③中，△ABC是面積最大的等腰直角三角形．
（2025 長沙）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，以點C為圓心，適當長為半徑作弧，交CA于點M，交CB于點N，再分別以點M，N為圓心，大于MN的長度為半徑作弧，兩弧相交于點P，作射線CP交AB于點D．
（1）求∠BCD的度數，
（2）若BC＝2.5，求AD的長．
（2025 綏化）尺規作圖（溫馨提示：以下作圖均不寫作法，但需保留作圖痕跡）
【初步嘗試】
如圖（1），用無刻度的直尺和圓規作一條經過圓心的直線OP，使扇形OMN的面積被直線OP平分．
【拓展探究】
如圖（2），若扇形OMN的圓心角為30°，請你用無刻度的直尺和圓規作一條以點O為圓心的弧CD，交OM于點C，交ON于點D，使扇形OCD的面積與扇形OMN的面積比為1：4．
（2025 河南）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，以BC為直徑的圓交AD于點E．
（1）請用無刻度的直尺和圓規作出圓心O（保留作圖痕跡，不寫作法）．
（2）若點E是AD的中點，連接OA，CE．求證：四邊形AOCE是平行四邊形．
（2025 江西）如圖，在6×5的正方形網格中，點A，B，C均在格點上，請僅用無刻度直尺按下列要求完成作圖．（保留作圖痕跡）
（1）在圖1中作出BC的中點，
（2）在圖2中作出△ABC的重心．
（2025 山東）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，∠BAC的平分線AD交BC于點D，如圖1．
（1）求∠ADC的度數，
（2）已知AB＝3，分別以C，D為圓心，以大于CD的長為半徑作弧，兩弧相交于點M，N，作直線MN交BC于點E，交AD的延長線于點F．如圖2，求DF的長．
（2025 重慶）學習了角平分線和尺規作圖后，小紅進行了拓展性研究，她發現了角平分線的另一種作法，并與她的同伴進行交流．現在你作為她的同伴，請根據她的想法與思路，完成以下作圖和填空：
第一步：構造角平分線．
小紅在∠AOB的邊OA上任取一點E，并過點E作了OA的垂線（如圖）．請你利用尺規作圖，在OB邊上截取OF＝OE，過點F作OB的垂線與小紅所作的垂線交于點P，作射線OP，OP即為∠AOB的平分線（不寫作法，保留作圖痕跡）．
第二步：利用三角形全等證明她的猜想．
證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．
∴③　 　
∴OP平分∠AOB．
【備考2026】中考數學真題2025分類精編精練15尺規作圖答案解析
1 、選擇題
【考點】命題與定理，平行四邊形的性質，菱形的性質，矩形的性質，正方形的性質
【分析】由平行四邊形、菱形、矩形、正方形的性質，即可判斷．
解：A．B、C中的命題是真命題，故A．B、C不符合題意，
D、平行四邊形的對角線互相平分，不一定相等，故D符合題意．
故選：D．
【點評】本題考查命題與定理，平行四邊形的性質，菱形的性質，矩形的性質，正方形的性質，掌握以上知識點是解題關鍵．
【考點】作圖—基本作圖，角平分線的定義，平行線的性質
【分析】由作圖過程可知，射線BD為∠ABC的平分線，可得∠ABC＝2∠CBD．由平行線的性質得∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，則可得∠AED＝∠ABC＝60°．
解：由作圖過程可知，射線BD為∠ABC的平分線，
∴∠ABC＝2∠CBD．
∵DE∥BC，
∴∠AED＝∠ABC，∠CBD＝∠BDE＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠AED＝60°．
故選：C．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、平行線的性質、角平分線的定義，熟練掌握平行線的性質、角平分線的定義是解答本題的關鍵．
【考點】作圖—基本作圖，等腰三角形的判定與性質，等腰直角三角形
【分析】判斷出選項A，B，C正確可得結論．
解：由作圖可知∠B＝∠DCB＝45°，
∴DB＝DC，∠BDC＝90°，
故選項A，B，C正確．
故選：D．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，等腰三角形的判定和性質，等腰直角三角形等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【考點】作圖—基本作圖，角平分線的定義
【分析】由作圖過程可知，∠CBN＝∠BAC，由角平分線的定義可得∠ACD＝∠BCD．根據∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，可得∠ADC＝∠BMC，進而可得∠BDM＝∠BMD，則BM＝BD，即可得出答案．
解：由作圖過程可知，∠CBN＝∠BAC．
∵CD是△ABC的角平分線，
∴∠ACD＝∠BCD．
∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，
∴∠ADC＝∠BMC，
∴∠BDM＝∠BMD，
∴BM＝BD，
故D選項一定正確．
故選：D．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的定義，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【考點】作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質，圓心角、弧、弦的關系，圓周角定理，三角形的外接圓與外心
【分析】由MN是AB的垂直平分線，可得DA＝DB，可得∠BAD＝∠ABD＝30°，再進一步求解即可．
解：由作圖可得：
∵MN是AB的垂直平分線，
∴DA＝DB，而∠BAC＝30°，
∴∠BAD＝∠ABD＝30°，
∴∠AOE＝2∠ABD＝60°，
故選：C．
【點評】本題考查的是作線段的垂直平分線，等邊對等角，圓周角定理的應用，掌握以上性質是解題的關鍵．
【考點】作圖—基本作圖，角平分線的定義，平行線的性質
【分析】由作圖過程可知，AG為∠BAD的平分線，可得∠BAG＝∠DAG．由平行線的性質可得∠AGB＝∠DAG，則∠BAG＝∠AGB，可得BG＝AB＝6，則可得CG＝BC﹣BG＝4．
解：由作圖過程可知，AG為∠BAD的平分線，
∴∠BAG＝∠DAG．
∵AD∥BC，
∴∠AGB＝∠DAG，
∴∠BAG＝∠AGB，
∴BG＝AB＝6，
∴CG＝BC﹣BG＝10﹣6＝4．
故選：A．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、角平分線的定義、平行線的性質，熟練掌握角平分線的定義、平行線的性質是解答本題的關鍵．
【考點】作圖—基本作圖，全等三角形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質
【分析】連接AB，AC，BC，由作圖可得OA＝OB，AC＝BC＝AB，則△ABC為等邊三角形，可得∠ACB＝60°．證明△OAC≌△OBC，可得∠ACO＝∠BCO，50°，則可得∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝100°．
解：連接AB，AC，BC，
由作圖可得，OA＝OB，AC＝BC＝AB，
∴△ABC為等邊三角形，
∴∠ACB＝60°．
∵OC＝OC，
∴△OAC≌△OBC（SSS），
∴∠ACO＝∠BCO，50°，
∴∠OAC＝180°﹣∠AOC﹣∠ACO＝180°﹣30°﹣50°＝100°．
故選：B．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、全等三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【考點】作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質, 全等三角形的判定和性質
【分析】根據作圖可知CE⊥BD，證明△BOC≌△BOE，得到OC＝OE，BC＝BE，進而求出AE的長，得到BD垂直平分CE，得到DE＝CD，進而推出△DAE的周長等于AE+AC的長即可．
解：由作圖可知，CE⊥BD，設CE，BD交于點O，則：∠BOC＝∠BOE＝90°，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABO＝∠CBO，
在△BOC和△BOE中，
，
∴△BOC≌△BOE（ASA），
∴OC＝OE，BC＝BE＝12，
∴BD垂直平分CE，AE＝AB﹣BE＝4，
∴DE＝CD，
∴△ADE的周長為AE+DE+AD＝AE+AD+CD＝AE+AC＝14，
故選：B．
【點評】本題考查尺規作圖作垂線，掌握全等三角形的判定和性質，中垂線的判定和性質是解題的關鍵．
1 、多選題
【考點】命題與定理，絕對值，等腰三角形的性質，三角形中位線定理
【分析】由絕對值的性質，等腰三角形的判定，三角形中位線定理，即可判斷．
解：A．若a＝b，則a2＝b2，正確，故A符合題意，
B、如果a3＞b3，那么|a|不一定大于|b|，例如：a＝﹣1，b＝﹣3，滿足a3＞b3，但是|a|＜|b|，故B不符合題意，
C、平行線于三角形一邊的線段不一定是三角形的中位線，故C不符合題意，
D、有兩個角相等的三角形是等腰三角形，正確，故D符合題意．
故選：AD．
【點評】本題考查命題與定理，絕對值，等腰三角形的判定和性質，三角形中位線定理，關鍵是掌握絕對值的性質，等腰三角形的判定，三角形中位線定理．
1 、填空題
【考點】命題與定理
【分析】根據舉反例的方法找到a，b滿足a2＞4b2，但是不滿足a＞2b即可．
解：當a＝﹣3，b＝1時，a2＞4b2，但是a＜2b，
故答案為：﹣3，1（答案不唯一）．
【點評】本題主要考查了命題與定理的知識，掌握判斷一個命題是假命題的時候可以舉出反例是解題的關鍵．
【考點】作圖—基本作圖，含30度角的直角三角形
【分析】先利用基本作圖得到∠BAD＝30°，再根據含30度角的直角三角形三邊的關系得到BDAB，然后根據角平分線的性質求解．
解：由作法得AD平分∠BAC，
∴∠BAD∠BAC60°＝30°，
在Rt△ABD中，∵∠ABD＝90°，∠BAD＝30°，
∴BDAB，
∵AD平分∠BAC，
∴點D到AB、AC的距離相等，
而點D到AB的距離為，
∴點D到AC的距離為．
故答案為：．
【點評】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關鍵．也考查了含30度角的直角三角形三邊的關系和角平分線的性質．
【考點】作圖—復雜作圖，等腰三角形的性質，勾股定理，三角形的外接圓與外心, 三角形中位線的判定和性質
【分析】（1）利用勾股定理進行求解即可，
（2）利用圓周角定理的推論，正方形的性質確定圓心，再根據全等三角形和等腰三角形的三線合一確定線段AC的中點G，利用網格確定點J為線段AQ的中點，則G，J為三角形的中位線，利用一組平行線確定點N為線段AQ的中點，證明△ABH≌△CBH和△AHQ≌△CHM，得出AQ＝CM，即CM＝2AN，最后利用切線的性質和等腰三角形的性質，得出△AMQ為等腰三角形，再利用等腰三角形的性質得出MN⊥AQ．
解：（1）由勾股定理得，
故答案為：，
（2）如圖所示，點M，N即為所求，
作法：直線PA與射線BC的交點為M，取圓與網格線的交點D和E，連接DE，取格點F，連接AF，與DE相交于點O，連接BO并延長，與AC相交于點G，與直線PA相交于點H，連接CH并延長，與網格線相交于點I，連接AI，與網格線相交于點I，連接GJ，與線段BA的延長線相交于點N，則點M，N即為所求．
理由：∵∠DAE＝90°，
∴DE為圓的直徑，
∵AF為正方形的對角線，
∴∠DAF＝∠EAF＝45°，
∴AF垂直平分線段DE，
∴點O為圓的圓心，
∴OA＝OC，
又∵AB＝BC，OB＝OB，
∴△AOB≌△COB（SSS），
∴∠ABO＝∠CBO，
∴BG 平分∠ABC，
∴點G為線段AC的中點，
由網格可知點J為線段AI的中點，
∴GJ為△ACI的中位線，
∴GJ∥CI，
∴點N為線段AQ的中點，
∴AQ＝2AN，
∵AB＝BC，BH＝BH，∠ABH＝∠CBH，
∴△ABH≌△CBH（SAS），
∴AH＝CH，∠BAH＝∠BCH，
∴∠QAH＝∠MCH，
又∵∠AHQ＝∠CHM，
∴△AHQ≌△CHM（ASA），
∴AQ＝CM，即CM＝2AN，
延長BH交QM于點T，
∵AB＝BC，AQ＝CM，
∴BQ＝BM，
∵∠QBH＝∠MBH，
∴BT⊥QM，
∵AM為圓的切線，
∴∠OAH＝90°，
∴∠OAB+∠QAM＝90°，
∵OA＝OB，
∴∠OBA＝∠OAB，
即∠QAM+∠OBA＝90°，
∵∠OBA+∠AQM＝90°，
∴∠QAM＝∠AQM，
∴△AMQ為等腰三角形，
∴MN⊥AQ，
∴點M，N即為所求．
【點評】本題主要考查了勾股定理，圓周角定理的推論，等腰三角形的性質，正方形的性質，三角形中位線的判定和性質等內容，解題的關鍵是熟練掌握以上性質并靈活應用．
【考點】作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質，三角形中位線定理
【分析】由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，可得點D為AB的中點，進而可得DE為△ABC的中位線，則DE3．
解：由作圖過程可知，直線MN為線段AB的垂直平分線，
∴點D為AB的中點．
∵點E是AC的中點，
∴DE為△ABC的中位線，
∴DE3．
故答案為：3．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質、三角形中位線定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質、三角形中位線定理是解答本題的關鍵．
【考點】作圖—復雜作圖，等腰三角形的性質，勾股定理
【分析】連接AD，由作圖過程可知，AD＝AC，AE⊥BC，可得∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE，進而可得∠BAD＝∠B，則AD＝BD＝13，CD＝BC﹣BD＝10，DE5，再由勾股定理得AE12．
解：連接AD，
由作圖過程可知，AD＝AC，AE⊥BC，
∴∠ADC＝∠C＝2∠B，∠AED＝90°，DE＝CE．
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
∴∠BAD＝∠B，
∴AD＝BD＝13．
∵BC＝23，BD＝13，
∴CD＝BC﹣BD＝10，
∴DE5，
∴AE12．
故答案為：12．
【點評】本題考查作圖—復雜作圖、等腰三角形的性質、勾股定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【考點】作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質，勾股定理，三角形中位線定理
【分析】設MN交AC于點O，由作圖過程可知，直線EF為線段AC的垂直平分線，可得點O為AC的中點，∠CON＝90°，進而可得ON為△ABC的中位線，可得ON∥AB，則∠CAB＝∠CON＝90°，再根據勾股定理可得AC．
解：設MN交AC于點O，
由作圖過程可知，直線EF為線段AC的垂直平分線，
∴點O為AC的中點，∠CON＝90°．
∵點N為BC的中點，
∴ON為△ABC的中位線，
∴ON∥AB，
∴∠CAB＝∠CON＝90°．
∵BC＝2AB＝8，
∴AB＝4，
∴AC．
故答案為：．
【點評】本題考查作圖—基本作圖、線段垂直平分線的性質、三角形中位線定理、勾股定理，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
1 、解答題
【考點】作圖—復雜作圖，等腰三角形的判定與性質
【分析】以O為圓心，任意長為半徑作分別交OA，OB于點M，F，連接MF，OD交于點G，作∠TDO＝∠OGM，直線DT交OA，OB于點C，點E，△COE即為所求．
解：如圖，△COE即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，等腰三角形的判定和性質，解題的關鍵是理解題意正確作出圖形．
【考點】作圖—應用與設計作圖，線段垂直平分線的性質，垂徑定理的應用
【分析】根據作圖步驟作圖即可．
解：如圖3所示．
【點評】本題考查作圖—應用與設計作圖、線段垂直平分線的性質、垂徑定理的應用，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【考點】作圖—復雜作圖，平行線的性質
【分析】先作∠AOB的平分線，再以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交射線OD于點P，則點P即為所求．
解：如圖，先作∠AOB的平分線，再以點C為圓心，OC的長為半徑畫弧，交射線OD于點P，
∴25°，
∴∠AOP＝25°，CP∥OB，
則點P即為所求．
【點評】本題考查作圖—復雜作圖、平行線的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【考點】作圖—應用與設計作圖，確定圓的條件，垂徑定理
【分析】（1）連接一段等弧兩端點構造弦，在圓上依次截取相同長度的弦，即可得到答案，
（2）先確定兩個同心圓的圓心，補全兩個同心圓，再依次找到等弧的圓心，即可補全等弧．
解：（1）如圖，連接一段等弧兩端點構造弦，在圓上依次截取相同長度的弦即可，
若將圖中的連弧紋鏡補全，則該銅鏡應為“七連弧紋鏡”，
故答案為：七，
（2）如圖所示，先確定兩個同心圓的圓心，補全兩個同心圓，再依次找到等弧的圓心即可，
【點評】此題考查確定圓的條件、垂徑定理等知識，掌握以上知識點是解題的關鍵．
【考點】作圖—復雜作圖
【分析】[任務閱讀]根據作圖可知，作圖可知OE＝OF，PE＝PF，又OP＝OP，所以△OEP≌△OFP（SSS），然后通過全等三角形性質即可求證，
[實踐操作]作∠CPD＝∠PAB即可，然后通過同位角相等兩直線平行即可求證．
解：[任務閱讀]理由：如圖3，
連接EP、FP、OP，由作圖可知OE＝OF，PE＝PF，
又∵OP＝OP，
∴△OEP≌△OFP（SSS），
∴OP平分∠AOB，
即點P為所求點，
故答案為：△OEP≌△OFP（SSS），
[實踐操作]如圖4，作∠CPQ＝∠PAB即可，
理由，由作圖可知，∠CPQ＝∠PAB，
∴PQ∥AB，
∴點Q為所求．
【點評】本題考查了圓規作圖——作角平分線，作一個角等于已知角，掌握知識點的應用是解題的關鍵．
【考點】作圖—基本作圖，角平分線的定義，弧長的計算
【分析】（1）根據SSS證明三角形全等即可，
（2）利用弧長公式求解．
（1）證明：在△OCM和△OCN中，
，
∴△OCM≌△OCN（SSS），
∴∠AOC＝∠BOC，
（2）∵∠AOB＝60°，OC平分∠AOB，
∴∠AOC60°＝30°，
∴的長．
【點評】本題考查作圖﹣角平分線的定義，弧長公式，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．
【考點】作圖—復雜作圖，翻折變換（折疊問題），平行四邊形的性質
【分析】（1）結論：四邊形EFGH是矩形，根據四個角是直角的四邊形是矩形證明即可，
（2）分別以點D、C為圓心，大于DC為半徑作弧，連接兩個交點，即為DC的垂直平分線，與DC交于點Q，同理作出AB的垂直平分線交于點N，連接NQ、AC，交于點Q，以點O為中心，OQ長為半徑作弧交AD于點M，點M即為所作．連接MQ交于點P，連接MNPQ即為題目所求．
解：（1）結論：四邊形EFGH是矩形．
理由：通過折疊的性質可知∠AFE＝∠EFK，∠BFG＝∠KFG，
∵∠AFB＝180°，
∴2∠EFK+2∠KFG＝180°，
∴∠EFK+∠KFG＝90°，即∠EFG＝90°，
同法可證∠FGH＝∠EHG＝90°，
∴四邊形EFGH是矩形，
（2）如圖，分別以點D、C為圓心，大于DC為半徑作弧，連接兩個交點，即為DC的垂直平分線，與DC交于點Q，同理作出AB的垂直平分線交于點N，連接NQ、AC，交于點Q，以點O為中心，OQ長為半徑作弧交AD于點M，點M即為所作．連接MQ交于點P，連接MNPQ即為題目所求．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的性質，翻折變換，解題的關鍵是掌握平行四邊形的性質．
【考點】作圖—應用與設計作圖，等腰直角三角形的定義
【分析】（1）根據等腰三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可，
（2）根據直角三角形的定義以及題目要求畫出圖形即可，
（3）作一個腰為的等腰直角三角形即可．
解：（1）如圖①中，△ABC即為所求，
（2）如圖②中，△ABC即為所求，
（3）如圖③中，△ABC即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣應用與設計作圖，解題的關鍵是理解題意，正確作出圖形．
【考點】作圖—基本作圖，角平分線的性質，等腰三角形的性質
【分析】（1）根據等腰三角形的性質和角平分線定義即可解決問題，
（2）根據三角形內角和定理證明∠A＝∠ACD，得AD＝CD．進而可以解決問題．
解：（1）∵AB＝AC，∠B＝72°，
∴∠ACB＝∠B＝72°，
由作圖可知：CD是∠ACB的角平分線，
∴，
（2）∵∠BDC＝180°﹣∠B﹣∠BCD＝72°，∠B＝72°，
∴∠BDC＝∠B，
∴CD＝CB，
∵∠BDC＝∠A+∠ACD，∠ACD＝36°，
∴∠A＝∠BDC﹣∠ACD＝72°﹣36°＝36°，
∴∠A＝∠ACD，
∴AD＝CD，
∴AD＝BC＝2.5．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，角平分線定義，等腰三角形的性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．
【考點】作圖—復雜作圖，垂徑定理，相交兩圓的性質，扇形面積的計算
【分析】（1）作OP平分∠MON即可，
（2）作線段ON的垂直平分線垂足為D，以O為圓心，OD為半徑作弧交OM于點C，弧CD即為所求．
解：（1）如圖，射線OP即為所求，
（2）如圖2中，弧CD即為所求．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，扇形的面積，線段的垂直平分線，角平分線的定義，解題的關鍵是理解題意，正確作出圖形．
【考點】作圖—復雜作圖，平行四邊形的判定與性質
【分析】（1）作線段BC的垂直平分線，垂足為O，點O即為所求，
（2）證明AE＝CO，AE∥CO即可．
（1）解：如圖，點O即為所求，
（2）證明：∵四邊形ABC都是平行四邊形，
∴AD＝BC，AD∥BC，
∵E是AD的中點，O是BC的中點，
∵AE＝DE＝OC＝OB，
∵AE∥OC，
∴四邊形AOCE是平行四邊形．
【點評】本題考查作圖﹣復雜作圖，平行四邊形的判定和性質，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．
【考點】作圖—應用與設計作圖，三角形的重心，線段垂直平分線的性質
【分析】（1）利用網格直接畫圖即可．
（2）結合三角形的重心的定義，分別取BC，AC的中點D，E，連接AD，BE相交于點O，則點O即為所求．
解：（1）如圖1，點D即為所求．
（2）如圖2，分別取BC，AC的中點D，E，連接AD，BE相交于點O，
則點O即為所求．
【點評】本題考查作圖—應用與設計作圖、三角形的重心、線段垂直平分線的性質，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
【考點】作圖—基本作圖，線段垂直平分線的性質，含30度角的直角三角形
【分析】（1）根據三角形內角和定理即可求∠ADC的度數，
（2）連接CF，由作圖過程可得MN是CD的垂直平分線，所以FC＝FD，證明△CDF是等邊三角形，利用含30度角的直角三角形的性質即可求出DF．
解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝30°，
∴∠BAC＝60°，
∵∠BAC的平分線AD交BC于點D，
∴∠BAD＝∠CAD＝30°，
∴∠ADC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
（2）由（1）知：∠ACD＝∠CAD＝30°，
∴AD＝CD，∠ADB＝60°，
∴∠CDF＝60°，
如圖2，連接CF，
由作圖過程可知：MN是CD的垂直平分線，
∴FC＝FD，
∴△CDF是等邊三角形，
∴FC＝FD＝CD＝AD，
∵AB＝3，∠BAD＝30°，
∴AD2，
∴DF＝AD＝2．
【點評】本題考查作圖﹣基本作圖，線段垂直平分線的性質，等邊三角形的判定與性質，含30度角的直角三角形的性質，解決本題的關鍵是掌握基本作圖方法．
【考點】作圖—復雜作圖，全等三角形的判定與性質，全等三角形的判定和性質，角平分線的性質
【分析】根據要求作出圖形，利用HL證明Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）即可．
解：圖形如圖所示：
證明：∵PE⊥OA，PF⊥OB，
∴∠OEP＝∠OFP＝90°．
在Rt△OEP和Rt△OFP中，
，
∴Rt△OEP≌Rt△OFP（HL）．
∴∠POE＝∠POF，
∴OP平分∠AOB．
故答案為：OE＝OF，OP＝OP，∠POE＝∠POF，
【點評】不能太空艙作圖﹣復雜作圖，全等三角形的判定和性質，角平分線的定義，解題的關鍵是掌握相關知識解決問題．
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