資源簡介

第2課時(shí)　共線向量與共面向量
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解向量共線、向量共面的定義.2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件.3.會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面.
一、空間向量共線的充要條件
問題1　平面向量a，b(b≠0)共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？
知識(shí)梳理
1.對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使　　　　　　　.
2. 如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得＝λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的　　　　　　，直線l上任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方向向量表示.
例1　(1)若P，A，B，C為空間不重合的四點(diǎn)，且有＝α＋β，則α＋β＝1是A，B，C三點(diǎn)共線的(　　)
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
(2)如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，則與是否共線？
反思感悟　向量共線的判定及應(yīng)用
(1)判定或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a＝λb成立.
(2)判定或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：
①＝λ(λ∈R)；
②對(duì)空間任一點(diǎn)O，＋λ(λ∈R)；
③對(duì)空間任一點(diǎn)O，＝x＋y(x＋y＝1).
跟蹤訓(xùn)練1　滿足下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是(　　)
A. B.
C. D.||＝||
二、空間向量共面的充要條件
問題2　空間任意兩個(gè)向量是共面向量，則空間任意三個(gè)向量是否共面？
問題3　對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時(shí)，p＝xa＋yb？
知識(shí)梳理
1.向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA　　　　　　　　或　　　　　，那么稱向量a平行于平面α.
2.如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在　　　　的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使　　　　　　　　.
例2　如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N∈AC，且AN∶NC＝2∶1，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
反思感悟　向量共面的判定及應(yīng)用
(1)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)時(shí)，可以通過以下幾個(gè)條件進(jìn)行證明.
①＝x＋y；
②對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1).
(2)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有＝x＋y或＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).
跟蹤訓(xùn)練2　(1)已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且＝m，則m的值為(　　)
A.－1 B.2 C.－2 D.－3
(2)如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM＝BD，AN＝AE.求證：向量，，共面.
1.知識(shí)清單：
(1)直線的方向向量.
(2)空間向量共線的充要條件.
(3)空間向量共面的充要條件.
(4)三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的證明方法.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、類比.
3.常見誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點(diǎn)共線.
1.對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b，2a－b，它們一定是(　　)
A.共面向量
B.共線向量
C.不共面向量
D.既不共線也不共面的向量
2.(多選)下列命題中正確的是(　　)
A.空間任意兩個(gè)向量共面
B.向量a，b，c共面即它們所在直線共面
C.若兩個(gè)非零空間向量與滿足＝0，則∥
D.若a∥b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb
3.(多選)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是(　　)
A.＝3
B.
C.＝0
D.＝0
4.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有＝x，則x的值為　　　　.
答案精析
問題1　對(duì)平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量.
知識(shí)梳理
1.a=λb
2.方向向量　
例1　(1)C　[充分性：若α+β=1，
則-=β(-)，
即=β，顯然，A，B，C三點(diǎn)共線；
必要性：若A，B，C三點(diǎn)共線，則有=λ，
故-=λ(-)，
整理得=(1+λ)-λ，
令α=1+λ，β=-λ，則α+β=1.
故α+β=1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件.]
(2)解　方法一　∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴=-
=+)-+)
=-)=-)
=.
∴∥，即與共線.
方法二　∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴=++
=++. ①
又∵=+++
=-+--， ②
①+②得2=，
∴∥，即與共線.
跟蹤訓(xùn)練1　C　[對(duì)于空間中的任意向量，根據(jù)向量加法運(yùn)算法則，
都有+=，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
若-=，
則+=，
而+=，
據(jù)此可知=，
即B，C兩點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
若=，則A，B，C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C正確；
若||=||，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A，B，C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.]
問題2　不一定，如圖所示，空間中的三個(gè)向量不共面.
問題3　如果p=xa+yb，那么向量p與向量a，b共面.反過來，向量p與向量a，b共面時(shí)，p=xa+yb.
知識(shí)梳理
1.平行于平面α　在平面α內(nèi)　
2.唯一　p=xa+yb
例2　證明　設(shè)=a，=b，=c，則=b-a，
∵M(jìn)為線段DD1的中點(diǎn)，
∴=c-a，
又∵AN∶NC=2∶1，
∴==(b+c)，
∴=-=(b+c)-a
=(b-a)+
=+，
∴，，為共面向量.
又∵三向量有相同的起點(diǎn)A1，
∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)C　[由=-=m++，
得=m+2+，
∵O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，
∴m+2+1=1，∴m=-2.]
(2)證明　因?yàn)镸在BD上，
且BM=BD，
所以==+.
同理=+.
所以=++
=++
=+
=+.
又與不共線，根據(jù)向量共面的充要條件可知，，共面.
隨堂演練
1.A　[由向量共面定理可知，三個(gè)向量a，b，2a-b為共面向量.]
2.AC　[空間任意兩個(gè)向量都能平移到同一平面內(nèi)，因此它們共面，A正確；
空間中三個(gè)向量共面是指能平移到同一平面內(nèi)，而不是指它們所在的直線在同一平面內(nèi)，B錯(cuò)誤；
∵+=0，∴=-，
∴∥ ，C正確；
若a∥b，當(dāng)b=0，a≠0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，D錯(cuò)誤.]
3.AC　[A選項(xiàng)中，3-1-1=1，四點(diǎn)共面；C選項(xiàng)中，=--，
∴點(diǎn)M，A，B，C共面.]
4.
解析　∵=x++
=x+-)+
=++，
且M，A，B，C四點(diǎn)共面，
∴++=1，∴x=.作業(yè)2　共線向量與共面向量
分值：80分
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共6分
1.d1，d2都是直線l的方向向量，則下列說法中正確的是
A.d1∥d2 B.d1＝d2
C.d1與d2同向 D.d1與d2反向
2.已知非零向量a，b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，則一定共線的三點(diǎn)是
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量共面的是
A. B.
C. D.
4.若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足＝m＋n，其中m＋n＝1，則
A.P∈直線AB
B.P 直線AB
C.點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上
D.以上都不對(duì)
5.已知P為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且－x，則實(shí)數(shù)x的值為
A. B.－ C. D.－
6.設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則k＝　　　　.
7.(14分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E在A1D1上，且＝2，點(diǎn)F在A1C上，且.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
8.(15分)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1D1，D1C1，AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面.
9.已知A，B，C三點(diǎn)共線，O為空間任一點(diǎn)，則①＝2＋μ；②存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ＋m＋n＝0，那么使①②成立的μ與λ＋m＋n的值分別為
A.1，－1 B.－1，0
C.0，1 D.0，0
10.平面α內(nèi)有五點(diǎn)A，B，C，D，E，其中任意三點(diǎn)不共線，O為空間一點(diǎn)，滿足＋x＋y＝2x＋y，則x＋3y等于
A. B. C. D.
11. (多選)如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，P為空間一點(diǎn)，且滿足＝λ＋μ，λ，μ∈[0，1]，則
A.當(dāng)λ＝1時(shí)，點(diǎn)P在棱BB1上
B.當(dāng)μ＝1時(shí)，點(diǎn)P在棱B1C1上
C.當(dāng)λ＋μ＝1時(shí)，點(diǎn)P在線段B1C上
D.當(dāng)λ＝μ時(shí)，點(diǎn)P在線段BC1上
12.已知三棱錐P－ABC的體積為15，M是空間中一點(diǎn)，＝－，則三棱錐A－MBC的體積是　　　　　.
答案精析
1.A　[根據(jù)直線的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共線向量，即d1∥d2.]
2.A　[∵＝2a＋4b＝2，
∴A，B，D三點(diǎn)共線.]
3.C　[由正方體的性質(zhì)可得，
，由圖形(圖略)易知共面.]
4.A　[因?yàn)閙＋n＝1，
所以m＝1－n，
所以＝(1－n)＋n，
即＝n()，
即＝n，
所以與共線.
又有公共起點(diǎn)A，
所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，
即P∈直線AB.]
5.A　[－x
＝－x)
＝－x.
又∵P是空間中任意一點(diǎn)，
A，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，
∴－x－＝1，解得x＝.]
6.－8
解析　由已知得
＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2，
∵A，B，D三點(diǎn)共線，
∴與共線，即存在λ∈R，
使得＝λ.
∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2，
∵e1，e2不共線，
∴∴k＝－8.
7.證明　設(shè)＝a，＝b，＝c.
因?yàn)椋?，
所以，
所以b，
)
＝)
＝a＋b－c，
所以a－b－c＝.
又
＝－b－c＋a＝a－b－c，
所以，所以∥.
又與有公共點(diǎn)E，
所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
8.證明　令＝a，
＝b，＝c.
因?yàn)镸，N，P，Q均為所在棱的中點(diǎn)，
所以b－a，
a＋c，
＝－a＋b＋c.
設(shè)＝λ＋μ，
則－a＋b＋c
＝λ＋μ
＝(μ－λ)a＋λb＋μc，
所以解得
所以＝2，
所以向量共面.
又向量過同一點(diǎn)M，
所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面.
9.B　[∵A，B，C三點(diǎn)共線，
＝2＋μ，
∴2＋μ＝1，∴μ＝－1，
又由λ＋m＋n＝0，
得＝－，
由A，B，C三點(diǎn)共線知，
－＝1，
則λ＋m＋n＝0.]
10.B　[由點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共面得
x＋y＝， ①
又由點(diǎn)B，C，D，E四點(diǎn)共面得
2x＋y＝， ②
聯(lián)立①②，解得x＝，y＝，
所以x＋3y＝.]
11.BCD　[當(dāng)λ＝1時(shí)，
＋μ，所以＝μ，
則∥ ，即點(diǎn)P在棱CC1上，故A錯(cuò)誤；
同理當(dāng)μ＝1時(shí)，則∥ ，故點(diǎn)P在棱B1C1上，故B正確；
當(dāng)λ＋μ＝1時(shí)，μ＝1－λ，
所以＝λ＋(1－λ)，
即＝λ，故點(diǎn)P在線段B1C上，故C正確；
當(dāng)λ＝μ時(shí)，＝λ()＝λ，故點(diǎn)P在線段BC1上，故D正確.]
12.9
解析　因?yàn)椋剑?br/>則15＝－＋3＋4，
即15＝－＋3＋3＋4＋4，
即9＝－＋3＋4，
所以＝－，
因?yàn)椋?，
則在平面ABC內(nèi)存在一點(diǎn)D，
使得＝－成立，
即，所以，
即，則，
又三棱錐P－ABC的體積為15，
則VA－MBC＝VP－ABC＝×15＝9.(共70張PPT)
第1課時(shí)
第一章　1.1.1　空間向量及其線性運(yùn)算
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空間向量及其線性運(yùn)算
1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.
2.經(jīng)歷由平面向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運(yùn)算(重點(diǎn)).
學(xué)習(xí)目標(biāo)
你見過做滑翔傘運(yùn)動(dòng)的場(chǎng)景嗎？可以想象在滑翔過程中，飛行員會(huì)受到來自不同方向、大小各異的力，例如繩索的拉力、風(fēng)力、重力等，顯然，這些力不在同一個(gè)平面內(nèi).聯(lián)想用平面向量解決物理問題的方法，能否把平面向量推廣到空間向量，從而利用空間向量研究滑翔運(yùn)動(dòng)呢？
導(dǎo) 語
一、空間向量的有關(guān)概念
二、空間向量的加減運(yùn)算
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
隨堂演練
內(nèi)容索引
空間向量的有關(guān)概念
一
提示　平面內(nèi)既有大小又有方向的量叫做平面向量，類比平面向量的定義，我們可以得到，空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量，其表示方法以及一些相關(guān)概念與平面向量一致.
平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？
問題1
1.在空間，把具有 和 的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的 或 .
空間向量用字母a，b，c，…表示，也用有向線段表示，有向線段的____表示空間向量的模，若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作其模記為 或 .
大小
方向
長度
模
長度
|a|
||
2.幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 規(guī)定長度為0的向量叫做 ，記為0
單位向量 的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度 而方向 的向量，叫做a的相反向量，記為___
共線(平 行)向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線 ，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量_____，即對(duì)于任意向量a，都有0 a
相等向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空間， 且_____的有向線段表示同一向量或相等向量
零向量
模為1
相等
-a
互相平行或重合
平行
∥
相同
相等
同向
等長
相反
(1)平面向量是一種特殊的空間向量.
(2)兩個(gè)空間向量相等的充要條件為長度相等，方向相同.
(3)空間向量不能比較大小.
(4)已知向量a，b，c，其中b≠0，若a∥b，b∥c，則a∥c.
注 意 點(diǎn)
<<<
　(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是
A.單位向量都相等
B.若|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反
C.若向量滿足||>||，則>
D.相等向量其方向必相同
√
例 1
A中，單位向量長度相等，方向不確定；
B中，|a|=|b|只能說明a，b的長度相等而方向不確定；
C中，向量不能比較大小.
解析
(2)(多選)下列命題為真命題的是
A.若空間向量a，b滿足|a|=|b|，則a=b
B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有
C.若空間向量m，n，p滿足m=n，n=p，則m=p
D.空間中，若a∥b，b∥c，則a∥c
√
√
A為假命題，根據(jù)向量相等的定義知，
兩向量相等，不僅模要相等，而且還要方向相同，
而A中向量a與b的方向不一定相同；
B為真命題，在正方體ABCD-A1B1C1D1中的方向相同，模也相等，；
C為真命題，向量的相等滿足傳遞性；
D為假命題，向量平行不一定具有傳遞性，當(dāng)b=0時(shí)，a與c不一定平行.
解析
空間向量的概念與平面向量的概念類似，平面向量的相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.
反
思
感
悟
　(多選)下列說法錯(cuò)誤的是
A.空間任意兩個(gè)向量的模能比較大小
B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓
C.空間向量就是空間中的一條有向線段
D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等
跟蹤訓(xùn)練 1
√
√
√
對(duì)于選項(xiàng)A，向量的模即向量的長度，是一個(gè)實(shí)數(shù)，所以任意兩個(gè)向量的模可以比較大小；
對(duì)于選項(xiàng)B，其終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球面；
對(duì)于選項(xiàng)C，空間向量可以用有向線段表示，但空間向量不是有向線段；
對(duì)于選項(xiàng)D，兩個(gè)向量不相等，
它們的模可能相等.
解析
二
空間向量的加減運(yùn)算
提示　共面，任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，因此空間中向量的加減運(yùn)算與平面中一致.
空間中的任意兩個(gè)向量是否共面？為什么？由此，對(duì)空間向量的運(yùn)算有什么啟發(fā)呢？
問題2
空間向量的加法、減法運(yùn)算及運(yùn)算律
加法 運(yùn)算 三角形法則 語言敘述 首尾順次相接， 為和
圖形敘述
平行 四邊形 法則 語言敘述 共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，________
_____為和
圖形敘述
首指向尾
共起點(diǎn)對(duì)
角線
減法 運(yùn)算 幾何意義 語言敘述 共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向 向量
圖形敘述
運(yùn)算律 交換律 a+b=____ 結(jié)合律 (a+b)+c=________ 被減
a+(b+c)
b+a
(1)求向量和時(shí)，可以首尾相接，也可共起點(diǎn)；求向量差時(shí)，必須共起點(diǎn).
(2)首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點(diǎn)指向末尾向量的終點(diǎn)的向量，
即+++…+.
(3)首尾相接的若干向量若構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為零向量，
即+++…+=0.
(4)一般地，對(duì)于三個(gè)不共面的向量a，b，c，以任意點(diǎn)O為起點(diǎn)，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點(diǎn)的平行六面體對(duì)角線所表示的向量.
注 意 點(diǎn)
<<<
　(1)(多選)如圖，在長方體ABCD -A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是
A.-- B.+-
C.-- D.-+
√
例 2
√
A中---；
B中+-+；
C中----=≠；
D中-+++=+≠.
解析
(2)對(duì)于空間中的非零向量其中一定不成立的是
A.+
B.-
C.||+||=||
D.||-||=||
√
根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算，
對(duì)于A+恒成立；
對(duì)于C，當(dāng)方向相同時(shí)，有||+||=||；
對(duì)于D，當(dāng)方向相同且||≥||時(shí)，有||-||=||；
對(duì)于B，由向量減法可知-又為非零向量，所以B一定不成立.
解析
空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧
(1)巧用相反向量：靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.
反
思
感
悟
如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點(diǎn)，請(qǐng)化簡以下式子，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.
(1)+-；
跟蹤訓(xùn)練 2
+-+++如圖中向量.
解
(2)--.
如圖，連接GF，
因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點(diǎn)，
所以
所以--++++如圖中向量.
解
空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
三
空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律
定義 與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘 幾何意義 (a≠0) λ>0 λa與向量a的方向_____ λa的長度是a的長度的 倍
λ<0 λa與向量a的方向_____ λ=0 λa=0，其方向是任意的 運(yùn)算律 結(jié)合律 λ(μa)=______ 分配律 (λ+μ)a= ，λ(a+b)=_______ 相同
相反
|λ|
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
(1)當(dāng)λ=0或a=0時(shí)，λa=0，反之，當(dāng)λa=0時(shí)，λ=0或a=0.
(2)λ的正負(fù)影響著向量λa的方向，λ的絕對(duì)值的大小影響著λa的長度.
(3)向量λa與向量a一定是共線向量.
注 意 點(diǎn)
<<<
(1)(多選)已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是空間任意向量，下列命題正確的是
A.m(a-b)=ma-mb B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb，則a=b D.若ma=na，則m=n
√
例 3
m(a-b)=ma-mb，A對(duì)；
(m-n)a=ma-na，B對(duì)；
若m=0，則a，b不一定相等，C錯(cuò)；
若a=0，則m，n不一定相等，D錯(cuò).
解析
√
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a=b=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：
①；
∵P是C1D1的中點(diǎn)，
∴++=a++=a+c+=a+b+c.
解
②；
∵N是BC的中點(diǎn)，
∴++=-a+b+=-a+b+=-a+b+c.
解
③.
∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，
∴++=-a+a+b+c.
解
本例(2)的條件不變，試用a，b，c表示向量.
延伸探究 1
因?yàn)镻，N分別是C1D1，BC的中點(diǎn)，
所以++
=+(-)+
=-a+b-c.
解
在本例(2)的條件下，化簡a-b-c，并將化簡得到的向量用圖形中的點(diǎn)來表示.
延伸探究 2
a-b-c=--
=-
=-(+)=-.
解
利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧
(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.
(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)或其他分點(diǎn)的性質(zhì).
反
思
感
悟
1.知識(shí)清單：
(1)向量的相關(guān)概念.
(2)向量的線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘).
(3)向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律.
2.方法歸納：類比、三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合思想.
3.常見誤區(qū)：非零向量共線具有傳遞性，但當(dāng)出現(xiàn)零向量時(shí)，向量共線不一定能傳遞，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都是共線向量.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.(多選)下列命題中，真命題是
A.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小
B.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
√
√
√
容易判斷D是假命題，共線的單位向量是相等向量或相反向量.
解析
1
2
3
4
2.化簡-+所得的結(jié)果是
A. B. C.0 D.
√
-++
=-=0.
解析
1
2
3
4
3.已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則-+等于
A. B.3
C.3 D.2
√
-+-(-)=-++2=3.
解析
1
2
3
4
4.已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點(diǎn)，若
+x+y則x=　　　，y=　　　.
-
-
由圖可知-=-+)
=--
所以x=y=-.
解析
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 9
答案 D C C A ABC BCD
題號(hào) 10 11 12 答案 A AD
對(duì)一對(duì)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)由題意知，AA1＝1，所以向量，，，，，，，，共8個(gè)向量，都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè).
(2)易知A1D＝，
所以模為的向量有，，，，，，，.
(3)根據(jù)相反向量的定義，可得向量的所有相反向量為，，，.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵＝
＝－＝－)＝－)
＝－)
＝，
又＋x＋y，
∴x＝，y＝－.
基礎(chǔ)鞏固
1.向量a，b互為相反向量，已知|b|=3，則下列結(jié)論正確的是
A.a=b B.a+b為實(shí)數(shù)0
C.a與b方向相同 D.|a|=3
√
向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反.
解析
答案
1
2
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11
12
2.下列說法中正確的是
A.空間中共線的向量必在同一條直線上
B.=的充要條件是A與C重合，B與D重合
C.數(shù)乘運(yùn)算中，λ既決定大小，又決定方向
D.在四邊形ABCD中，一定有+=
√
答案
1
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7
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11
12
對(duì)于A，向量共線是指表示向量的有向線段所在直線平行或重合，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，=的充要條件是||=||，且同向，但A與C，B與D不一定重合，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，λ既決定大小又決定方向，所以C正確；
對(duì)于D，滿足+=的一定是平行四邊形，一般四邊形是不滿足的，所以D錯(cuò)誤.
解析
答案
1
2
3
4
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6
7
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9
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11
12
3.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，若=a，=b，=c，則等于
A.a+b-c B.a-b+c
C.b-a-c D.b-a+c
√
=-=--，
∵==c，∴=b-a-c.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且+=+，則四邊形ABCD是
A.平行四邊形 B.空間四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
√
∵+=+，
∴=.
∴∥且||=||.
∴四邊形ABCD為平行四邊形.
解析
答案
1
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3
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5
6
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8
9
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11
12
5.(多選)已知平行六面體ABCD-A'B'C'D'，則下列選項(xiàng)中正確的有
A.-=
B.=++
C.=
D.+++=
√
答案
1
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12
√
√
答案
1
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11
12
作出平行六面體ABCD-A'B'C'D'的圖象如圖，可得-=+=，故A正確；
++=++=，故B正確；
C顯然正確；
+++=+=，
故D不正確.
解析
6.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn)，已知=a，=b，
=c，用a，b，c表示，則=　　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
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9
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11
12
-a-b+c
答案
1
2
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6
7
8
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11
12
∵=++=--+，
又∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，∴=，
∴=--+，
∵=a，=b，=c，
∴=-a-b+c.
解析
7.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AD=2，AA1=1.則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中.
(1)單位向量共有多少個(gè)？
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由題意知，AA1=1，所以向量，共8個(gè)向量，都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè).
解
(2)寫出模為 的所有向量；
答案
1
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11
12
易知A1D==，
所以模為.
解
(3)試寫出的所有相反向量.
答案
1
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6
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9
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11
12
根據(jù)相反向量的定義，可得向量.
解
8.如圖，設(shè)O為 ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若=+
x+y，求x，y的值.
答案
1
2
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7
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11
12
答案
1
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11
12
∵=++
=-+--
=-+=-++)
=-++)
=-++-)
=+-，
又=+x+y，
∴x=，y=-.
解
9.(多選)已知正方體ABCD-A'B'C'D'的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的有
A.+與+是一對(duì)相等向量
B.-與-是一對(duì)相等向量
C.+++與+++是一對(duì)相反向量
D.-與-是一對(duì)相反向量
答案
1
2
3
4
5
6
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11
12
綜合運(yùn)用
√
√
√
答案
1
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10
11
12
如圖所示， =-=-，
所以+=-(+)，是一對(duì)相反向量，A錯(cuò)誤；
-=-==，故是一對(duì)相等向量，B正確；
又=-=-，
所以+++
=-(+++)，
是一對(duì)相反向量，C正確；
-=-==-，所以是一對(duì)相反向量，D正確.
解析
10.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC1與A1C的交點(diǎn)，且++)=
λ，則λ=　　.
答案
1
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11
12
答案
1
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11
12
如圖，因?yàn)镺為AC1與A1C的交點(diǎn)，
所以O(shè)為AC1的中點(diǎn)，
所以=2，
則++)
==，
故λ=.
解
11.在空間四邊形OABC中，若E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H是EF上的點(diǎn)，且=，記=x+y+z，則(x，y，z)等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
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11
12
能力提升
答案
1
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4
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8
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11
12
連接OE，OF(圖略)，
因?yàn)?，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
所以=+=+
=+-)=+
=×+)+×+)
=++，
故(x，y，z)=.
解析
12.(多選)如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，P是CA1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，設(shè)=a，=b，=c，則下列選項(xiàng)正確的為
A.=(a+b+c) B.=(a+2b+c)
C.=a+b+c D.=a+b+c
√
答案
1
2
3
4
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6
7
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11
12
√
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
因?yàn)镻是CA1的中點(diǎn)，所以=+)=++)=(a+b+c)，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)辄c(diǎn)Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，所以=+=+
=+-)=+=+)+=a+b+c，故C錯(cuò)誤，D正確.
解析
第一章　1.1.1　空間向量及其線性運(yùn)算
<<<作業(yè)1　空間向量及其線性運(yùn)算
分值：80分
單選題每小題5分，共25分；多選題每小題6分，共18分
1.向量a，b互為相反向量，已知|b|＝3，則下列結(jié)論正確的是
A.a＝b B.a＋b為實(shí)數(shù)0
C.a與b方向相同 D.|a|＝3
2.下列說法中正確的是
A.空間中共線的向量必在同一條直線上
B.的充要條件是A與C重合，B與D重合
C.數(shù)乘運(yùn)算中，λ既決定大小，又決定方向
D.在四邊形ABCD中，一定有
3. 如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，若＝a，＝b，＝c，則等于
A.a＋b－c
B.a－b＋c
C.b－a－c
D.b－a＋c
4.設(shè)有四邊形ABCD，O為空間任意一點(diǎn)，且，則四邊形ABCD是
A.平行四邊形 B.空間四邊形
C.等腰梯形 D.矩形
5.(多選)已知平行六面體ABCD－A'B'C'D'，則下列選項(xiàng)中正確的有
A.
B.
C.
D.
6.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)M是AA1的中點(diǎn)，已知＝a，＝b，＝c，用a，b，c表示，則＝　　　　　　　　　.
7.(13分)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，AD＝2，AA1＝1.則在以八個(gè)頂點(diǎn)中的兩點(diǎn)分別為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中.
(1)單位向量共有多少個(gè)？(4分)
(2)寫出模為 的所有向量；(4分)
(3)試寫出的所有相反向量.(5分)
8.(14分)如圖，設(shè)O為 ABCD所在平面外任意一點(diǎn)，E為OC的中點(diǎn)，若＋x＋y，求x，y的值.
9.(多選)已知正方體ABCD－A'B'C'D'的中心為O，則在下列各結(jié)論中正確的有
A.與是一對(duì)相等向量
B.與是一對(duì)相等向量
C.與是一對(duì)相反向量
D.與是一對(duì)相反向量
10.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，O為AC1與A1C的交點(diǎn)，且)＝λ，則λ＝　　　　　　.
11. 在空間四邊形OABC中，若E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，H是EF上的點(diǎn)，且，記＝x＋y＋z，則(x，y，z)等于
A. B.
C. D.
12. (多選)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，P是CA1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在CA1上，且CQ∶QA1＝4∶1，設(shè)＝a，＝b，＝c，則下列選項(xiàng)正確的為
A.(a＋b＋c)
B.(a＋2b＋c)
C.a＋b＋c
D.a＋b＋c
答案精析
1.D　[向量a，b互為相反向量，則a，b模相等，方向相反.]
2.C　[對(duì)于A，向量共線是指表示向量的有向線段所在直線平行或重合，所以A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的充要條件是||＝||，且同向，但A與C，B與D不一定重合，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，λ既決定大小又決定方向，所以C正確；
對(duì)于D，滿足的一定是平行四邊形，一般四邊形是不滿足的，所以D錯(cuò)誤.]
3.C　[ ，
∵＝c，
∴＝b－a－c.]
4.A　[∵，
∴.
∴∥且||＝||.
∴四邊形ABCD為平行四邊形.]
5.ABC　[作出平行六面體ABCD－A'B'C'D'的圖象如圖，可得，故A正確；
，故B正確；C顯然正確；
，故D不正確.]
6.－a－b＋c
解析　 ∵＝－，
又∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，
∴，
∴＝－，
∵＝a，＝b，＝c，
∴＝－a－b＋c.
7.解　(1)由題意知，AA1＝1，所以向量，共8個(gè)向量，都是單位向量，而其他向量的模均不為1，故單位向量共有8個(gè).
(2)易知A1D＝，
所以模為的向量有.
(3)根據(jù)相反向量的定義，可得向量的所有相反向量為.
8.解　∵
＝
＝－＝－)
＝－)
＝－)
＝，
又＋x＋y，
∴x＝，y＝－.
9.BCD　[如圖所示， ＝－，
＝－，
所以
＝－()，是一對(duì)相反向量，A錯(cuò)誤；
，而，故是一對(duì)相等向量，B正確；
又＝－＝－，
所以
＝－()，
是一對(duì)相反向量，C正確；
，
＝－，
所以是一對(duì)相反向量，D正確.]
10.
解析　如圖，因?yàn)镺為AC1與A1C的交點(diǎn)，所以O(shè)為AC1的中點(diǎn)，
所以＝2，
則)＝，故λ＝.
11.A　[連接OE，OF(圖略)，
因?yàn)椋珽，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，
所以
＝)＝
＝×)＋×)＝，
故(x，y，z)＝.]
12.AD　[因?yàn)镻是CA1的中點(diǎn)，
所以)＝)＝(a＋b＋c)，故A正確，B錯(cuò)誤；
因?yàn)辄c(diǎn)Q在CA1上，
且CQ∶QA1＝4∶1，
所以
＝)
＝)＋a＋b＋c，故C錯(cuò)誤，D正確.]1.1.1　空間向量及其線性運(yùn)算
第1課時(shí)　空間向量及其線性運(yùn)算
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.經(jīng)歷由平面向量推廣到空間向量的過程，了解空間向量的概念.2.經(jīng)歷由平面向量的線性運(yùn)算及其運(yùn)算律推廣到空間向量的過程，掌握空間向量的線性運(yùn)算.
一、空間向量的有關(guān)概念
問題1　平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？
知識(shí)梳理
1.在空間，把具有　　　　和　　　　的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的　　　　或　　　　.
空間向量用字母a，b，c，…表示，也用有向線段表示，有向線段的　　　　表示空間向量的模，若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，則向量a也可以記作其模記為　　　　或　　　　.
2.幾類特殊的空間向量
名稱 定義及表示
零向量 規(guī)定長度為0的向量叫做　　　　，記為0
單位向量 　　　　的向量叫做單位向量
相反向量 與向量a長度　　　　而方向　　　　的向量，叫做a的相反向量，記為　　　　
共線(平 行)向量 如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線　　　　　　　　，那么這些向量叫做共線向量或平行向量.規(guī)定：零向量與任意向量　　　　，即對(duì)于任意向量a，都有0　　　　a
相等向量 方向　　　　且模　　　　的向量叫做相等向量.在空間，　　　且　　　　的有向線段表示同一向量或相等向量
例1　(1)下列關(guān)于空間向量的說法中正確的是(　　)
A.單位向量都相等
B.若|a|=|b|，則a，b的長度相等而方向相同或相反
C.若向量滿足||>||，則>
D.相等向量其方向必相同
(2)(多選)下列命題為真命題的是(　　)
A.若空間向量a，b滿足|a|=|b|，則a=b
B.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，必有=
C.若空間向量m，n，p滿足m=n，n=p，則m=p
D.空間中，若a∥b，b∥c，則a∥c
反思感悟　空間向量的概念與平面向量的概念類似，平面向量的相關(guān)概念，如向量的模、相等向量、平行向量、相反向量、單位向量等都可以拓展為空間向量的相關(guān)概念.
跟蹤訓(xùn)練1　(多選)下列說法錯(cuò)誤的是(　　)
A.空間任意兩個(gè)向量的模能比較大小
B.將空間中所有的單位向量移到同一個(gè)起點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓
C.空間向量就是空間中的一條有向線段
D.不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等
二、空間向量的加減運(yùn)算
問題2　空間中的任意兩個(gè)向量是否共面？為什么？由此，對(duì)空間向量的運(yùn)算有什么啟發(fā)呢？
知識(shí)梳理　空間向量的加法、減法運(yùn)算及運(yùn)算律
加法 運(yùn)算 三角形 法則 語言敘述 首尾順次相接，　　　　　為和
圖形敘述
平行 四邊形 法則 語言敘述 共起點(diǎn)的兩邊為鄰邊作平行四邊形，　　　　　　為和
圖形敘述
減法 運(yùn)算 幾何 意義 語言敘述 共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向　　　向量
圖形敘述
運(yùn)算 律 交換律 a+b=　　　　　
結(jié)合律 (a+b)+c=　　　　　　　
例2　(1)(多選)如圖，在長方體ABCD -A1B1C1D1中，下列各式運(yùn)算結(jié)果為的是(　　)
A.--
B.+-
C.--
D.-+
(2)對(duì)于空間中的非零向量其中一定不成立的是(　　)
A.+=
B.-=
C.||+||=||
D.||-||=||
反思感悟　空間向量加法、減法運(yùn)算的兩個(gè)技巧
(1)巧用相反向量：靈活運(yùn)用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移：務(wù)必注意和向量、差向量的方向，必要時(shí)可采用空間向量的自由平移獲得運(yùn)算結(jié)果.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖，已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，E，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點(diǎn)，請(qǐng)化簡以下式子，并在圖中標(biāo)出化簡結(jié)果.
(1)+-；(2)--.
三、空間向量的數(shù)乘運(yùn)算
空間向量的數(shù)乘運(yùn)算及運(yùn)算律
定義 與平面向量一樣，實(shí)數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個(gè)向量，稱為空間向量的數(shù)乘
幾何意義 (a≠0) λ>0 λa與向量a的方向　　　 λa的長度是a的長度的　　　　倍
λ<0 λa與向量a的方向　　　
λ=0 λa=0，其方向是任意的
運(yùn)算律 結(jié)合律 λ(μa)=　　　　　
分配律 (λ+μ)a=　　　　　　， λ(a+b)=　　　　　
例3　(1)(多選)已知m，n是實(shí)數(shù)，a，b是空間任意向量，下列命題正確的是(　　)
A.m(a-b)=ma-mb
B.(m-n)a=ma-na
C.若ma=mb，則a=b
D.若ma=na，則m=n
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)=a=b=c，M，N，P分別是AA1，BC，C1D1的中點(diǎn)，試用a，b，c表示以下各向量：
①；②；③.
延伸探究1　本例(2)的條件不變，試用a，b，c表示向量.
延伸探究2　在本例(2)的條件下，化簡a-b-c，并將化簡得到的向量用圖形中的點(diǎn)來表示.
反思感悟 　利用數(shù)乘運(yùn)算進(jìn)行向量表示的技巧
(1)數(shù)形結(jié)合：利用數(shù)乘運(yùn)算解題時(shí)，要結(jié)合具體圖形，利用三角形法則、平行四邊形法則，將目標(biāo)向量轉(zhuǎn)化為已知向量.
(2)明確目標(biāo)：在化簡過程中要有目標(biāo)意識(shí)，巧妙運(yùn)用中點(diǎn)或其他分點(diǎn)的性質(zhì).
1.知識(shí)清單：
(1)向量的相關(guān)概念.
(2)向量的線性運(yùn)算(加法、減法和數(shù)乘).
(3)向量的線性運(yùn)算的運(yùn)算律.
2.方法歸納：類比、三角形法則、平行四邊形法則、數(shù)形結(jié)合思想.
3.常見誤區(qū)：非零向量共線具有傳遞性，但當(dāng)出現(xiàn)零向量時(shí)，向量共線不一定能傳遞，因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都是共線向量.
1.(多選)下列命題中，真命題是(　　)
A.同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小
B.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
C.只有零向量的模等于0
D.共線的單位向量都相等
2.化簡-+所得的結(jié)果是(　　)
A. B. C.0 D.
3.已知空間四邊形ABCD，連接AC，BD，設(shè)M，G分別是BC，CD的中點(diǎn)，則-+等于(　　)
A. B.3
C.3 D.2
4.已知四邊形ABCD為正方形，P是四邊形ABCD所在平面外一點(diǎn)，點(diǎn)P在平面ABCD上的射影恰好是正方形的中心O，Q是CD的中點(diǎn)，若=+x+y則x=　　　　　，y=　　　　.
答案精析
問題1　平面內(nèi)既有大小又有方向的量叫做平面向量，類比平面向量的定義，我們可以得到，空間中，既有大小又有方向的量叫做空間向量，其表示方法以及一些相關(guān)概念與平面向量一致.
知識(shí)梳理
1.大小　方向　長度　模　長度　|a|　||
2.零向量　模為1　相等　相反　-a
互相平行或重合　平行　∥　相同　相等　同向　等長
例1　(1)D　(2)BC
跟蹤訓(xùn)練1　BCD
問題2　共面，任意兩個(gè)空間向量都可以平移到同一個(gè)平面內(nèi)，因此空間中向量的加減運(yùn)算與平面中一致.
知識(shí)梳理
首指向尾　共起點(diǎn)對(duì)角線　被減
b+a　a+(b+c)
例2　(1)AB　[A中，--=-=；
B中，+-=+=；
C中，--=-
=-=≠；
D中，-+
=++=+≠.]
(2)B　[根據(jù)空間向量的加減法運(yùn)算，
對(duì)于A，+=恒成立；
對(duì)于C，當(dāng)方向相同時(shí)，
有||+||=||；
對(duì)于D，當(dāng)方向相同且
||≥||時(shí)，有||-||=||；
對(duì)于B，由向量減法可知
-=，又為非零向量，所以B一定不成立.]
跟蹤訓(xùn)練2　解　(1)+-=++=+=，如圖中向量.
(2)如圖，連接GF，因?yàn)镋，F(xiàn)，G分別是BC，CD，DB的中點(diǎn)，所以==，
所以--=++=++=，如圖中向量.
知識(shí)梳理
相同　相反　|λ|　(λμ)a　λa+μa
λa+λb
例3　(1)AB
(2)解　①∵P是C1D1的中點(diǎn)，
∴=++
=a++=a+c+
=a+b+c.
②∵N是BC的中點(diǎn)，
∴=++
=-a+b+=-a+b+
=-a+b+c.
③∵M(jìn)是AA1的中點(diǎn)，
∴=+=+
=-a+
=a+b+c.
延伸探究1　解　因?yàn)镻，N分別是C1D1，BC的中點(diǎn)，
所以=++
=+(-)+
=-a+b-c.
延伸探究2　解　a-b-c
=--
=-
=-(+)=-=.
隨堂演練
1.ABC　2.C　3.B　4.-　-(共69張PPT)
第2課時(shí)
第一章　1.1.1　空間向量及其線性運(yùn)算
<<<
共線向量與共面向量
1.理解向量共線、向量共面的定義.
2.掌握向量共線的充要條件和向量共面的充要條件(重點(diǎn)).
3.會(huì)證明空間三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面(難點(diǎn)).
學(xué)習(xí)目標(biāo)
我們知道向量是既有大小又有方向的量，它可以平行移動(dòng)，平面內(nèi)兩個(gè)向量若方向相同或相反，就說它們是共線的，那么在空間內(nèi)向量共線又是怎么回事呢？今天我們就來探究一下.
導(dǎo) 語
一、空間向量共線的充要條件
二、空間向量共面的充要條件
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
隨堂演練
內(nèi)容索引
空間向量共線的充要條件
一
提示　對(duì)平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，由于空間向量共線的定義與平面向量相同，因此也適用于空間向量.
平面向量a，b(b≠0)共線的充要條件是什么？它適用于空間向量嗎？
問題1
1.對(duì)任意兩個(gè)空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使_______.
2.如圖，O是直線l上一點(diǎn)，在直線l上取非零向量a，則對(duì)于直線l上任意一點(diǎn)P，由數(shù)乘向量的定義及向量共線的充要條件可知，存在實(shí)數(shù)λ，使得=λa，把與向量a平行的非零向量稱為直線l的 ，直線l上任意一點(diǎn)都可以由直線l上的一點(diǎn)和它的方向向量表示.
a=λb
方向向量
(1)直線可以由其上一點(diǎn)和它的方向向量確定.
(2)非零向量a，b共線時(shí)，表示向量a，b的兩條有向線段不一定在同一條直線上.
(3)直線的方向向量一定是非零向量.
注 意 點(diǎn)
<<<
　(1)若P，A，B，C為空間不重合的四點(diǎn)，且有=α+β則α+β=1是A，B，C三點(diǎn)共線的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
例 1
充分性：若α+β=1，
則-=β(-)，
即=β顯然，A，B，C三點(diǎn)共線；
必要性：若A，B，C三點(diǎn)共線，則有=λ
故-=λ(-)，
整理得=(1+λ)-λ
令α=1+λ，β=-λ，則α+β=1.
故α+β=1是A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件.
解析
(2)如圖，四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，且不共面，M，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，則與是否共線？
方法一　∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴-
=+)-+)
=-)=-)=.
∴∥即共線.
解
方法二　∵M(jìn)，N分別是AC，BF的中點(diǎn)，
且四邊形ABCD和ABEF都是平行四邊形，
∴++
=++. ①
又∵+++
=-+-- ②
①+②得2
∴∥即共線.
解
向量共線的判定及應(yīng)用
(1)判定或證明兩向量a，b(b≠0)共線，就是尋找實(shí)數(shù)λ，使a=λb成立.
(2)判定或證明空間中的三點(diǎn)(如P，A，B)共線的方法：
①=λ(λ∈R)；
②對(duì)空間任一點(diǎn)O+λ(λ∈R)；
③對(duì)空間任一點(diǎn)O=x+y(x+y=1).
反
思
感
悟
滿足下列條件，能說明空間不重合的A，B，C三點(diǎn)共線的是
A.+ B.-
C. D.||=||
跟蹤訓(xùn)練 1
√
對(duì)于空間中的任意向量，根據(jù)向量加法運(yùn)算法則，
都有+選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
若-則+
而+據(jù)此可知
即B，C兩點(diǎn)重合，這與已知條件矛盾，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
若則A，B，C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)C正確；
若||=||，則線段AB的長度與線段BC的長度相等，不一定有A，B，C三點(diǎn)共線，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.
解析
二
空間向量共面的充要條件
提示　不一定，如圖所示，空間中的三個(gè)向量不共面.
空間任意兩個(gè)向量是共面向量，則空間任意三個(gè)向量是否共面？
問題2
提示　如果p=xa+yb，那么向量p與向量a，b共面.反過來，向量p與向量a，b共面時(shí)，p=xa+yb.
對(duì)兩個(gè)不共線的空間向量a，b，如果p=xa+yb，那么向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系？反過來，向量p與向量a，b有什么位置關(guān)系時(shí)，p=xa+yb？
問題3
1.向量與平面平行：如果表示向量a的有向線段所在的直線OA______
______或 ，那么稱向量a平行于平面α.
2.如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在_____的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，使_________.
平行于
平面α
在平面α內(nèi)
唯一
p=xa+yb
(1)向量共面的充要條件中，向量a，b不共線.
(2)向量共面的充要條件的作用：
①判斷向量共面；
②判斷四點(diǎn)共面.
注 意 點(diǎn)
<<<
(課本例1)　如圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點(diǎn)O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，使====k.求證：E，F(xiàn)，G，H 四點(diǎn)共面.
例 2
因?yàn)?===k，
所以=k=k=k=k.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是平行四邊形，
所以=+
因此=-=k-k=k=k(+)=k(-+-)
=-+-=+.
由向量共面的充要條件可知共面，
又過同一點(diǎn)E，從而E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.
證明
　如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，M為DD1的中點(diǎn)，N∈AC，且AN∶NC=2∶1，求證：A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
例 2
設(shè)=a=b=c，
則=b-a，
∵M(jìn)為線段DD1的中點(diǎn)，
∴=c-a，
又∵AN∶NC=2∶1，
∴(b+c)，
證明
∴-(b+c)-a
=(b-a)+
=+
∴為共面向量.
又∵三向量有相同的起點(diǎn)A1，
∴A1，B，N，M四點(diǎn)共面.
證明
向量共面的判定及應(yīng)用
(1)證明三個(gè)向量共面(或四點(diǎn)共面)時(shí)，可以通過以下幾個(gè)條件進(jìn)行證明.
①=x+y；
②對(duì)于空間任意一點(diǎn)O=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知點(diǎn)P在平面ABC內(nèi)，則有=x+y=x+y+z(x+y+z=1)，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數(shù)法求出參數(shù).
反
思
感
悟
(1)已知O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，且=m++則m的值為
A.-1 B.2 C.-2 D.-3
跟蹤訓(xùn)練 2
由-=m++
得=m+2+
∵O為空間任意一點(diǎn)，A，B，C，P滿足任意三點(diǎn)不共線，但四點(diǎn)共面，
∴m+2+1=1，∴m=-2.
解析
√
(2)如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求證：向量共面.
因?yàn)镸在BD上，且BM=BD，
所以+.
同理+.
所以++
=++
=++.
又共面.
證明
1.知識(shí)清單：
(1)直線的方向向量.
(2)空間向量共線的充要條件.
(3)空間向量共面的充要條件.
(4)三點(diǎn)共線、四點(diǎn)共面的證明方法.
2.方法歸納：轉(zhuǎn)化化歸、類比.
3.常見誤區(qū)：混淆向量共線與線段共線、點(diǎn)共線.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.對(duì)于空間的任意三個(gè)向量a，b，2a-b，它們一定是
A.共面向量
B.共線向量
C.不共面向量
D.既不共線也不共面的向量
√
由向量共面定理可知，三個(gè)向量a，b，2a-b為共面向量.
解析
1
2
3
4
2.(多選)下列命題中正確的是
A.空間任意兩個(gè)向量共面
B.向量a，b，c共面即它們所在直線共面
C.若兩個(gè)非零空間向量與滿足＝0，則//
D.若a//b，則存在唯一的實(shí)數(shù)λ，使a＝λb
√
√
1
2
3
4
空間任意兩個(gè)向量都能平移到同一平面內(nèi)，因此它們共面，A正確；
空間中三個(gè)向量共面是指能平移到同一平面內(nèi)，而不是指它們所在的直線在同一平面內(nèi)，B錯(cuò)誤；
∵+=0，∴=-，
∴//，C正確；
若a//b，當(dāng)b=0，a≠0時(shí)，不存在實(shí)數(shù)λ，使a=λb，D錯(cuò)誤.
解析
1
2
3
4
3.(多選)下列條件中，使M與A，B，C一定共面的是
A.=3-- B.++
C.++=0 D.+++=0
√
A選項(xiàng)中，3-1-1=1，四點(diǎn)共面；
C選項(xiàng)中=--
∴點(diǎn)M，A，B，C共面.
解析
√
1
2
3
4
4.已知點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)，并且對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有＝x，則x的值為　　.
∵=x++=x+-)+
=++，
且M，A，B，C四點(diǎn)共面，
∴++=1，∴x=.
解析
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
四
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 A A C A A -8 B B
題號(hào) 11 12 答案 BCD 9
對(duì)一對(duì)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設(shè)=a，=b，=c.
因?yàn)?2，，
所以，，
所以b，
)=)=a+b-c，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以a-b-c=.
又
=-b-c+a=a-b-c，
所以，所以∥.
又與有公共點(diǎn)E，
所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
令=a，=b，=c.
因?yàn)镸，N，P，Q均為所在棱的中點(diǎn)，
所以b-a，
a+c，
=-a+b+c.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設(shè)=λ+μ，
則-a+b+c=λ+μ
=(μ-λ)a+λb+μc，
所以解得
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以=2，
所以向量，，共面.
又向量，，過同一點(diǎn)M，
所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面.
基礎(chǔ)鞏固
1.d1，d2都是直線l的方向向量，則下列說法中正確的是
A.d1∥d2 B.d1=d2
C.d1與d2同向 D.d1與d2反向
√
根據(jù)直線的方向向量的概念，可得向量d1，d2是共線向量，即d1∥d2.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.已知非零向量a，b，且=a+2b，=-5a+6b，=7a-2b，則一定共線的三點(diǎn)是
A.A，B，D B.A，B，C
C.B，C，D D.A，C，D
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵=+=2a+4b=2，
∴A，B，D三點(diǎn)共線.
解析
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量共面的是
A.，， B.，，
C.，， D.，，
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由正方體的性質(zhì)可得，=共面.
解析
4.若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿足=m+n，其中m+n=1，則
A.P∈直線AB
B.P 直線AB
C.點(diǎn)P可能在直線AB上，也可能不在直線AB上
D.以上都不對(duì)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因?yàn)閙+n=1，
所以m=1-n，
所以=(1-n)+n，
即-=n(-)，
即=n，
所以共線.
又有公共起點(diǎn)A，
所以P，A，B三點(diǎn)在同一直線上，
即P∈直線AB.
解析
5.已知P為空間中任意一點(diǎn)，A，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，但四點(diǎn)共面，且=-x+，則實(shí)數(shù)x的值為
A. B.-
C. D.-
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
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8
9
10
11
12
=-x+
=-x+-)
=-x-.
又∵P是空間中任意一點(diǎn)，
A，B，C，D四點(diǎn)滿足任意三點(diǎn)均不共線，
但四點(diǎn)共面，
∴-x-=1，解得x=.
解析
6.設(shè)e1，e2是空間兩個(gè)不共線的向量，已知=2e1+ke2，=e1+3e2，
=2e1-e2，且A，B，D三點(diǎn)共線，則k=　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-8
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由已知得=-
=(2e1-e2)-(e1+3e2)=e1-4e2，
∵A，B，D三點(diǎn)共線，
∴共線，即存在λ∈R，
使得=λ.
∴2e1+ke2=λ(e1-4e2)=λe1-4λe2，
∵e1，e2不共線，
∴∴k=-8.
解析
7.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E在A1D1上，且=2，點(diǎn)F在A1C上，且=.求證：E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
答案
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答案
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3
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5
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7
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9
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12
設(shè)=a，=b，=c.
因?yàn)?2=，
所以==，
所以==b，
=-)=+-)=a+b-c，
所以=-=a-b-c=.
證明
答案
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12
又=++=-b-c+a
=a-b-c，
所以=∥.
又有公共點(diǎn)E，
所以E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線.
證明
8.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別為A1D1，D1C1，AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：M，N，P，Q四點(diǎn)共面.
答案
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答案
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令=a，=b，=c.
因?yàn)镸，N，P，Q均為所在棱的中點(diǎn)，
所以=-=b-a，
=+=a+c，
=++=-a+b+c.
設(shè)=λ+μ，
則-a+b+c=λ+μ=(μ-λ)a+λb+μc，
證明
答案
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12
所以
所以=2+，
所以向量共面.
又向量過同一點(diǎn)M，
所以M，N，P，Q四點(diǎn)共面.
證明
9.已知A，B，C三點(diǎn)共線，O為空間任一點(diǎn)，則①=2+μ；②存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使λ+m+n=0，那么使①②成立的μ與λ+m+n的值分別為
A.1，-1 B.-1，0
C.0，1 D.0，0
答案
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√
綜合運(yùn)用
答案
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∵A，B，C三點(diǎn)共線，=2+μ，
∴2+μ=1，∴μ=-1，
又由λ+m+n=0，
得=--，
由A，B，C三點(diǎn)共線知，--=1，
則λ+m+n=0.
解析
10.平面α內(nèi)有五點(diǎn)A，B，C，D，E，其中任意三點(diǎn)不共線，O為空間一點(diǎn)，滿足=+x+y，=2x++y，則x+3y等于
A. B.
C. D.
答案
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√
答案
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12
由點(diǎn)A，B，C，D四點(diǎn)共面得x+y=， ①
又由點(diǎn)B，C，D，E四點(diǎn)共面得2x+y=， ②
聯(lián)立①②，解得x=，y=，
所以x+3y=.
解析
11.(多選)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，P為空間一點(diǎn)，且滿足=λ+μ，λ，μ∈[0，1]，則
A.當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)P在棱BB1上
B.當(dāng)μ=1時(shí)，點(diǎn)P在棱B1C1上
C.當(dāng)λ+μ=1時(shí)，點(diǎn)P在線段B1C上
D.當(dāng)λ=μ時(shí)，點(diǎn)P在線段BC1上
√
答案
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12
√
√
能力提升
答案
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當(dāng)λ=1時(shí)，=+μ=μ∥ ，即點(diǎn)P在棱CC1上，故A錯(cuò)誤；
同理當(dāng)μ=1時(shí)，則∥ ，故點(diǎn)P在棱B1C1上，故B正確；
當(dāng)λ+μ=1時(shí)，μ=1-λ，所以=λ+(1-λ)=λ，故點(diǎn)P在線段B1C上，故C正確；
當(dāng)λ=μ時(shí)，=λ(+)=λ，故點(diǎn)P在線段BC1上，故D正確.
解析
12.已知三棱錐P-ABC的體積為15，M是空間中一點(diǎn)，=-++
，則三棱錐A-MBC的體積是　　.
答案
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9
答案
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12
因?yàn)?-++，
則15=-+3+4，
即15=--+3+3+4+4，
即9=-+3+4，
所以=-++，
因?yàn)?++=1，
解析
答案
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12
則在平面ABC內(nèi)存在一點(diǎn)D，
使得=-++成立，
即=，所以=，
即=，則=，
又三棱錐P-ABC的體積為15，
則VA-MBC=VP-ABC=×15=9.
解析
第一章　1.1.1　空間向量及其線性運(yùn)算
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