資源簡介

1.1.2　空間向量的數量積運算
學習目標　1.了解空間向量的夾角.2.掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律及計算方法.3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.4.利用向量數量積判斷垂直，求空間兩點間的距離，計算異面直線所成的角.
一、空間向量的數量積運算
1.空間向量的夾角
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作＝a，＝b，則　　　叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉
范圍
向量 垂直 如果〈a，b〉＝　　　　，那么向量a，b互相垂直，記作　　　　　　
2.(1)空間向量的數量積
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b，即a·b＝　　　　　　　　　　　　.零向量與任意向量的數量積為0，即0·a＝　　　　.
(2)運算律
數乘向量與數量 積的結合律 (λa)·b＝　　　　　　，λ∈R
交換律 a·b＝　　　　　　
分配律 (a＋b)·c＝　　　　　　　
3.向量的投影
(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝　　　　　　　　　　　　，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②).
(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A'，B'，得到向量，向量稱為向量a在平面β上的投影向量.這時，向量a，的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.
例1　已知空間向量|a|＝，|b|＝5，且a與b夾角的余弦值為－，則a在b上的投影向量為(　　)
A.－b B.b
C.b D.－b
例2　如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長為1.
延伸探究1　與的夾角等于(　　)
A.30°
B.60°
C.150°
D.120°
延伸探究2　若點E，F分別是AB，AD的中點，計算：
①·；②·；③·.
延伸探究3　記＝a，＝b，＝c.若＝2a－2b，＝b－c，則·＝　　　　.
反思感悟　(1)當兩個非零空間向量同向共線時，夾角為0，反向共線時，夾角為π.
(2)由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確.
二、空間向量數量積的性質
設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e＝e·a＝　　　　　　　　.
(2)a⊥b 　　　　　　　　.
(3)當a，b同向時，a·b＝　　　　　　　；
當a，b反向時，a·b＝　　　　　　　　.
(4)a·a＝　　　　　或|a|＝　　　　　　.
(5)|a·b|≤　　　　　　　　.
(6)cos θ＝.
以上性質說明，可以從向量角度有效地分析有關垂直、長度、角度等問題.
例3　如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長為1，記＝a，＝b，＝c.
延伸探究4　|a－b＋2c|等于(　　)
A.5 B.6
C. D.
延伸探究5　若點E，G分別為AB和CD的中點，求E，G間的距離.
延伸探究6　在延伸探究5的條件下，求異面直線EG與BD所成的角的余弦值.
延伸探究7　證明：異面直線AB與CD 垂直.
1.知識清單：
(1)空間向量的夾角、投影向量.
(2)空間向量數量積的性質及運算律.
(3)空間向量的垂直.
2.方法歸納：化歸轉化.
3.常見誤區：
(1)數量積的符號由夾角的余弦值決定.
(2)當a≠0時，由a·b＝0可得a⊥b或b＝0.
1. (多選)如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是(　　)
A.與
B.與
C.與
D.與
2.已知向量i，j，k是一組單位向量，且兩兩垂直.若m＝8j＋3k，n＝－i＋5j－4k，則m·n的值為(　　)
A.7 B.－20 C.28 D.11
3.已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則兩直線所成的角為(　　)
A.30° B.60° C.120° D.150°
4.若向量a，b均為單位向量，且向量a，b的夾角為，則＝　　　　.
答案精析
知識梳理
1.∠AOB　0≤〈a，b〉≤π　　a⊥b
2.(1)|a||b|cos〈a，b〉　0
(2)λ(a·b)　b·a　a·c+b·c
3.(1)|a|cos〈a，b〉
例1　D　[a在b上的投影向量為
|a|cos〈a，b〉·
=×·
=-·=-b.]
例2　延伸探究1　D　[〈，〉=180°-〈，〉=180°-60°=120°.]
延伸探究2　解　①·
=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 60°=.
②·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 0°=.
③·=·
=||||cos〈，〉
=×1×1×cos 120°=-.
延伸探究3　-1
解析　由題意得a·b=·
=||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=，同理b·c=c·a=，
所以·=(2a-2b)·(b-c)
=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.
知識梳理
(1)cos θ　(2)a·b=0
(3)　-
(4)|a|2　　(5)
例3　延伸探究4　C　[由題意，得
a·b=b·c=a·c=，
a2=b2=c2=1，
所以|a-b+2c|==
=
=.]
延伸探究5　解　=++=+(-)+-)=a+(b-a)+(c-b)
=-a+b+c，
所以=a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=，
所以||=，
即E，G間的距離為.
延伸探究6　解　由延伸探究5知，
=-a+b+c，||=，
又=-=c-a，
所以·=(-a+b+c)·(c-a)
=(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c)
=×
=，又||=1，
則cos〈·〉===.
故異面直線EG與BD所成的角的余弦值為.
延伸探究7　證明　=-=c-b，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=-=0，
所以⊥，所以AB⊥CD.
隨堂演練
1.AD
2.C　[因為向量i，j，k是一組單位向量，且兩兩垂直，
所以|i|=|j|=|k|=1且i·j=j·k=i·k=0.
因為m=8j+3k，n=-i+5j-4k，
所以m·n=(8j+3k)·(-i+5j-4k)
=40|j|2-12|k|2=40-12=28.]
3.B　[設向量a，b的夾角為θ，
則cos θ==-，
所以θ=120°，
則兩個方向向量對應的直線所成的角為180°-120°=60°.]
4.
解析　=
=
==.作業4　空間向量基本定理
分值：80分
單選題每小題5分，共35分；多選題每小題6分，共6分
1.若a，b，c構成空間的一個基底，則
A.b－c，b＋c，a不共面
B.b＋c，b－2c，3c不共面
C.b＋c，2a，a＋b＋c不共面
D.b＋c，b－c，2b不共面
2.在正四面體OABC中，＝a，＝b，＝c，D為BC的中點，E為AD的中點，等于
A.a＋b＋c B.a＋b＋c
C.a＋b＋c D.a＋b＋c
3.已知l，m是異面直線，A，B∈l，C，D∈m，AC⊥m，BD⊥m且AB＝2，CD＝1，則異面直線l，m所成的角等于
A.30° B.45° C.60° D.90°
4. 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，，點N為B1B的中點，則||等于
A. B. C. D.
5.(多選)如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且它們彼此的夾角都是60°，M為A1C1與B1D1的交點，若＝a，＝b，＝c，則下列結論正確的是
A.a－b＋c B.＝a＋b＋c
C.||＝ D.cos〈〉＝
6. 如圖，在四面體ABCD中，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，以{}為空間的一個基底，則＝　　　　　　　　　　　　　.
7.(14分)如圖所示，在空間四邊形OABC中，G，H分別是△ABC，△OBC的重心，設＝a，＝b，＝c，用向量a，b，c表示向量.
8.(15分)如圖，已知在直三棱柱ABC－A'B'C'中，AC＝BC＝AA'，∠ACB＝90°，D，E分別為AB，BB'的中點.
(1)求證：CE⊥A'D；(7分)
(2)求異面直線CE與AC'所成角的余弦值.(8分)
9.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分別在棱BB1，BC，BA上，且滿足，O是平面B1GF、平面ACE與平面B1BDD1的一個公共點，設＝x＋y＋z，則x＋y＋z等于
A. B. C. D.
10.正四面體ABCD中，M，N分別為棱BC，AB的中點，則異面直線DM與CN所成角的余弦值為　　　　　　.
11. 如圖，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別在棱BB1和DD1上，且DF＝DD1，記＝x＋y＋z，若x＋y＋z＝，則等于
A. B. C. D.
12. 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，且AB＝AP＝6，AD＝2，∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，E，F分別為PB，PC上的點，且＝2，則||等于
A.1 B. C.2 D.
答案精析
1.A　[對于A，不存在實數λ，μ，使得b－c＝λ(b＋c)＋μa，故A正確；對于B，3c＝(b＋c)－(b－2c)，故B錯誤；對于C，2a＝2(a＋b＋c)－2(b＋c)，故C錯誤；對于D，2b＝(b＋c)＋(b－c)，故D錯誤.]
2.D　[
＝)
＝)，
所以a＋b＋c.]
3.C　[如圖，設＝a，＝b，＝c，
則＝a＋b＋c，
所以·＝(a＋b＋c)·b＝1，
||＝2，||＝1，
所以cos〈〉＝，
所以異面直線l，m所成的角等于60°.]
4.A　[設＝a，＝b，＝c，
則{a，b，c}構成空間的一個正交基底.
∵
＝a＋(a＋b＋c)
＝a＋c－b，
∴||＝
＝.]
5.BD　[)＝b－a＋c，A錯誤；
＝a＋b＋c，B正確；
＝a＋b＋c，
則||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝6，
則||＝，C錯誤；
·＝a·(a＋b＋c)＝a2＋a·b＋a·c＝2，則cos〈〉＝，D正確.]
6.－
解析　連接AG并延長交BC于點M，連接AE(圖略)，
則
＝)－×)＝－.
7.解　因為
＝)
＝
＝×)
＝(a＋b＋c)，
又×)＝(b＋c)，
所以(b＋c)－(a＋b＋c)＝－a.
8.(1)證明　設＝a，＝b，
＝c，
根據題意，得|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0.
所以＝b＋c，
＝－c＋b－a.
所以·＝－c2＋b2＝0，
所以⊥，
即CE⊥A'D.
(2)解　因為||＝|a|，||
＝|a|，又＝－a＋c，
·＝(－a＋c)·
＝c2＝|a|2，
所以cos〈〉＝
＝.
所以異面直線CE與AC'所成角的余弦值為.
9.B　[因為＝x＋y＋z
＝x＋y，
點O在平面B1GF內，
所以x＋y＋＝1，
同理可得＋z＝1，
解得x＋y＝，z＝.
所以x＋y＋z＝.]
10.
解析　如圖，畫出對應的正四面體，設＝a，＝b，
＝c，則{a，b，c}構成空間的一個基底.設正四面體ABCD的棱長均為1，
因為
＝－c＋(a＋b)＝(a＋b－2c)，
又a－b
＝(a－2b).
又a·b＝a·c＝b·c＝.
設異面直線DM與CN所成的角為θ，
則cos θ＝
＝ ＝
＝.
11.B　[設＝λ，
因為＝－λ
＝－λ
＝－，
所以x＝－1，y＝1，z＝－λ.
因為x＋y＋z＝－λ＝，
所以λ＝.]
12.B　[在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，連接AC，如圖，＝2，
，
則
＝
＝)
＝)－
＋)
＝－
＝(－＋3)，
又AB＝AP＝6，AD＝2，
∠BAD＝∠BAP＝∠DAP＝60°，
則··＝6×2×cos 60°＝6，
·＝6×6×cos 60°＝18，因此，
||＝
＝
＝
＝.](共68張PPT)
1.1.2
空間向量的數量積運算
第一章　§1.1　空間向量及其運算
<<<
1.了解空間向量的夾角.
2.掌握空間向量的數量積的定義、性質、運算律及計算方法(重點).
3.了解空間向量投影的概念以及投影向量的意義.
4.利用向量數量積判斷垂直，求空間兩點間的距離，計算異面直線所成的角(難點).
學習目標
在平面向量中已經學過兩個平面向量的數量積運算，由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉化為同一平面內的向量，因此，兩個空間向量的夾角和數量積就可以像平面向量那樣來定義.
導 語
一、空間向量的數量積運算
二、空間向量數量積的性質
課時對點練
隨堂演練
內容索引
空間向量的數量積運算
一
1.空間向量的夾角
定義 已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作=a=b，則 叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉
范圍 _______________
向量垂直 如果〈a，b〉= 那么向量a，b互相垂直，記作______
∠AOB
0≤〈a，b〉≤π
a⊥b
對空間任意兩個非零向量a，b有：①〈a，b〉=〈b，a〉；
②〈-a，b〉=〈a，-b〉=π-〈a，b〉；③〈-a，-b〉=〈a，b〉.
注 意 點
<<<
2.(1)空間向量的數量積
已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數量積，記作a·b，即a·b= .零向量與任意向量的數量積為0，即0·a= .
(2)運算律
|a||b|cos〈a，b〉
0
數乘向量與數量積的結合律 (λa)·b= ，λ∈R
交換律 a·b=____
分配律 (a+b)·c=_______
λ(a·b)
b·a
a·c+b·c
3.向量的投影
(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內，進而利用平面上向量的投影，得到與
向量b共線的向量c，c= 向量c稱為向量a在向量b上的投影向量.類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②).
|a|cos〈a，b〉
(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A'，B'，得到向量向量稱為向量a在平面β上的投影向量.這時，向量a的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角.
(1)向量a，b的數量積記為a·b，而不能表示為a×b或者ab.
(2)向量的數量積的結果為實數，而不是向量，它可以是正數、負數或零，其符號由夾角θ的范圍決定.
①當θ為銳角時，a·b>0；但當a·b>0時，θ不一定為銳角，因為θ也可能為0.
②當θ為鈍角時，a·b<0；但當a·b<0時，θ不一定為鈍角，因為θ也可能為π.
(3)空間向量的數量積運算不滿足消去律和結合律.即a·b=a·c
b=c，(a·b)·c≠a·(b·c).
注 意 點
<<<
　已知空間向量|a|=|b|=5，且a與b夾角的余弦值為-則a在b上的投影向量為
A.-b B.b
C.b D.-b
√
例 1
a在b上的投影向量為|a|cos〈a，b〉·×·
=-·=-b.
解析
的夾角等于
A.30° B.60°
C.150° D.120°
　如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長為1.
延伸探究 1
例 2
√
〈〉=180°-〈〉=180°-60°=120°.
解析
　若點E，F分別是AB，AD的中點，計算：
①·；
延伸探究 2
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 60°=.
解
②·；
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 0°=.
解
③·.
··
=||||cos〈〉
=×1×1×cos 120°=-.
解
記=a=b=c.若=2a-2b
=b-c，則· =　　　.
延伸探究 3
由題意得a·b=·
=||||cos∠BAC=1×1×cos 60°=
同理b·c=c·a=
所以·=(2a-2b)·(b-c)
=2(a·b-b2-a·c+b·c)=-1.
解析
-1
(1)當兩個非零空間向量同向共線時，夾角為0，反向共線時，夾角為π.
(2)由向量數量積的定義知，要求a與b的數量積，需已知|a|，|b|和〈a，b〉，a與b的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使a·b計算準確.
反
思
感
悟
二
空間向量數量積的性質
設a，b是兩個非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則
(1)a·e=e·a= .
(2)a⊥b .
(3)當a，b同向時，a·b=_______；
當a，b反向時，a·b= .
(4)a·a= 或|a|= .
(5)|a·b|≤ .
(6)cos θ=.
以上性質說明，可以從向量角度有效地分析有關垂直、長度、角度等問題.
cos θ
a·b=0
-
|a|2
如圖所示，已知正四面體ABCD的棱長為1，記=a=b=c.
例 3
(課本例2)　如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D'中，AB=5，AD=3，AA'=7，∠BAD=60°，∠BAA'=∠DAA'=45°.求：
(1)·；
延伸探究 4
·=||||cos〈〉=5×3×cos 60°=7.5.
解
(2)AC'的長(精確到0.1).
||2=(++)2=||2+||2+||2+2(·+·+·)
=52+32+72+2(5×3×cos 60°+5×7×cos 45°+3×7×cos 45°)
=98+56
所以AC'≈13.3.
解
　|a-b+2c|等于
A.5 B.6
C. D.
延伸探究 4
√
由題意，得a·b=b·c=a·c=a2=b2=c2=1，
所以|a-b+2c|=
=
=.
解析
若點E，G分別為AB和CD的中點，求E，G間的距離.
延伸探究 5
+++(-)+-)=a+(b-a)+(c-b)
=-a+b+c，
所以a2+b2+c2-a·b-a·c+b·c=
所以||=即E，G間的距離為.
解
在延伸探究5的條件下，求異面直線EG與BD所成的角的余弦值.
延伸探究 6
由延伸探究5知=-a+b+c，||=
又-=c-a，
所以·(-a+b+c)·(c-a)
=(-a·c+b·c+c2+a2-a·b-a·c)
=×
又||=1，則cos〈·〉=.
故異面直線EG與BD所成的角的余弦值為.
解
(課本例3)　如圖，m，n是平面α內的兩條相交直線.如果l⊥m，l⊥n，求證：l⊥α.
延伸探究 7
如圖，在平面α內作任意一條直線g，分別在直線l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g.
因為直線m與n相交，所以向量m，n不平行.
由向量共面的充要條件可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，
使g=xm+yn.
將上式兩邊分別與向量l作數量積運算，得l·g=xl·m+yl·n.
因為l·m=0，l·n=0，所以l·g=0.
所以l⊥g.
這就證明了直線l垂直于平面α內的任意一條直線，所以l⊥α.
證明
證明：異面直線AB與CD 垂直.
延伸探究 7
-=c-b，
·=a·(c-b)=a·c-a·b
=-=0，
所以⊥所以AB⊥CD.
證明
1.知識清單：
(1)空間向量的夾角、投影向量.
(2)空間向量數量積的性質及運算律.
(3)空間向量的垂直.
2.方法歸納：化歸轉化.
3.常見誤區：
(1)數量積的符號由夾角的余弦值決定.
(2)當a≠0時，由a·b=0可得a⊥b或b=0.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.(多選)如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列各組向量的夾角為45°的是
A.與
B.與
C.與
D.與
√
√
1
2
3
4
2.已知向量i， j，k是一組單位向量，且兩兩垂直.若m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，則m·n的值為
A.7 B.-20 C.28 D.11
√
因為向量i， j，k是一組單位向量，且兩兩垂直，
所以|i|=| j|=|k|=1且i· j= j·k=i·k=0.
因為m=8 j+3k，n=-i+5 j-4k，
所以m·n=(8 j+3k)·(-i+5 j-4k)
=40| j|2-12|k|2=40-12=28.
解析
1
2
3
4
3.已知兩異面直線的方向向量分別為a，b，且|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則兩直線所成的角為
A.30° B.60°
C.120° D.150°
√
設向量a，b的夾角為θ，
則cos θ==－，
所以θ=120°，
則兩個方向向量對應的直線所成的角為180°－120°=60°.
解析
1
2
3
4
4.若向量a，b均為單位向量，且向量a，b的夾角為則=　 　.
.
解析
課時對點練
四
題號 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 D A D C BC 22 ABC 60°
題號 11 12
答案 ABD
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖所示，設=a，=b，=c，
則|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0.
(1)··()
=·
=b·
=|b|2=42=16.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)·=()·()
=·()
=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(3)·=()·()
=·
=·
=(-a+b+c)·
=-|a|2+|b|2=2.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)∵，
∴·=()·
=··
=||||cos 60°+||||cos 120°
=a2-a2=0.
∴⊥，∴BD⊥PC.
8.
答案
1
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3
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5
6
7
8
9
10
11
12
(2)∵，
∴||2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2，
∴||=a.
基礎鞏固
1.已知向量a和b的夾角為120°，且|a|=2，|b|=5，則(2a-b)·a等于
A.12 B.8+
C.4 D.13
√
(2a-b)·a=2a2-b·a
=2|a|2-|a||b|·cos 120°
=2×4-2×5×=13.
解析
答案
1
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11
12
2.已知|a|=4，空間向量e為單位向量，〈a，e〉=，則空間向量a在向量e方向上的投影向量的模為
A.2 B.-2
C.- D.
√
答案
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11
12
由題意，|a|=4，|e|=1，〈a，e〉=，則空間向量a在向量e方向上的投影向量為|a|cose=4×e=-2e，故所求投影向量的模為|-2e|=2.
解析
3.已知空間向量a，b，c滿足a=b+c，=1，=2，=，則a與b的夾角為
A.30° B.150°
C.60° D.120°
√
答案
1
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12
設a與b的夾角為θ，由a=b+c，得a-b=c，兩邊同時平方得a2-2a·b+b2=c2，所以1-2×1×2cos θ+4=7，解得cos θ=-，又0°≤θ≤180°，所以θ=120°.
解析
4.平行六面體(底面為平行四邊形的四棱柱)ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都為1，且∠A1AD=∠A1AB=60°，∠DAB=45°，則BD1等于
A.-1 B.-1
C. D.-
√
答案
1
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12
答案
1
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11
12
如圖，因為=-+，
所以||2=|-+|2=||2+||2+||2
-·-2·+2·
=1+1+1-2×1×1×cos 45°-2×1×1×cos 60°+2×1×1×cos 60°=3-，所以||=.
解析
5.(多選)如圖所示，已知空間四邊形每條邊和對角線長都為a，點E，F，G分別是AB，AD，DC的中點，則下列向量的數量積等于a2的是
A.2· B.2·
C.2· D.2·
√
答案
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12
√
答案
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11
12
對于A，2·=2a2cos 120°=-a2，A錯誤；
對于B，2·=2·=2a2cos 60°=a2，B正確；
對于C，2·=·=a2，C正確；
對于D，2·=·=-·=-a2，D錯誤.
解析
6.已知|a|=13，|b|=19，|a+b|=24，則|a-b|=　　.
答案
1
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11
12
22
|a+b|2=a2+2a·b+b2
=132+2a·b+192=242，
∴2a·b=46，|a-b|2=a2-2a·b+b2
=530-46=484，故|a-b|=22.
解析
7.已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AA1=2，AD=4，E為側面AB1的中心，F為A1D1的中點，試計算：
(1)·；
答案
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11
12
如圖所示，
設=a，=b，=c，
則|a|=|c|=2，|b|=4，a·b=b·c=c·a=0.
·=·(+)=·
=b·=|b|2=42=16.
解
(2)·；
答案
1
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11
12
·=(+)·(+)
=·(+)
=·(a+c)
=|c|2-|a|2=22-22=0.
解
(3)·.
答案
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12
·=(+)·(+)
=·
=·
=(-a+b+c)·
=-|a|2+|b|2=2.
解
8.如圖，正四棱錐P-ABCD的各棱長都為a.
(1)用向量法證明BD⊥PC；
答案
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12
∵=+，
∴·=(+)·=·+·
=||||cos 60°+||||cos 120°=a2-a2=0.
∴⊥，
∴BD⊥PC.
證明
(2)求|+|的值.
答案
1
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12
∵+=++，
∴|+|2=||2+||2+||2+2·+2·+2·
=a2+a2+a2+0+2a2cos 60°+2a2cos 60°=5a2，
∴|+|=a.
解
9.(多選)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，下列命題是真命題的是
A.(++)2=3
B.·=0
C.與的夾角為60°
D.正方體ABCD-A1B1C1D1的體積為|·|||
答案
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12
綜合運用
√
√
√
答案
1
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11
12
設正方體的棱長為a，
A選項，(++)2=+++2(·+·+·)=
3a2=3，A選項正確；
B選項，·=(-)·(+)=(+-)·(+)=(-)·
(+)+·(+)=-+·+·
=a2-a2=0，B選項正確；
解析
答案
1
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10
11
12
C選項，由于△AB1D1是等邊三角形，所以的夾角為60°，C選項正確；
D選項，|·|||=0，所以D選項錯誤.
解析
10.已知a+3b與7a-5b垂直，且a-4b與7a-2b垂直，則〈a，b〉=　　.
答案
1
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12
60°
由條件知(a+3b)·(7a-5b)=7|a|2-15|b|2+16a·b=0，
(a-4b)·(7a-2b)=7|a|2+8|b|2-30a·b=0，兩式相減得46a·b=23|b|2，所以a·b=|b|2，
代入上面兩個式子中的任意一個，得|a|=|b|，
所以cos〈a，b〉===，
所以〈a，b〉=60°.
解析
11.(多選)如圖，平行六面體ABCD-A1B1C1D1的棱長均為3，且，，兩兩向量的夾角都是60°，過AC1的平面AEC1F與BB1，DD1分別交于點E，F，DF=2，則
A.截面BDD1B1的面積為9
B.·=11
C.，的夾角是60°
D.平行六面體ABCD-A1B1C1D1的體積為
√
答案
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11
12
√
√
能力提升
答案
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12
在菱形BDD1B1中，·=(-)·=·-·=-=0，
所以⊥，菱形BDD1B1為正方形，故面積為DB·BB1=3×3=9，A正確；
易知平面AEC1F與側面的交線AE，C1F平行，AF，EC1平行，則四邊形AEC1F是平行四邊形，
·=(+)·(+)=·
=·+·+·+
=+×+×+×9=11，B正確；
解析
答案
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11
12
因為AC=3·=(+)·=·+·=+=9，
所以cos〈〉===的夾角不是60°，
C不正確；
由上知||=，
則平行六面體ABCD-A1B1C1D1的體積為3×3××=，D正確.
解析
12.在四面體OABC中，棱OA，OB，OC兩兩垂直，且OA=1，OB=2，OC
=3，G為△ABC的重心，則·(++)=　　.
答案
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12
答案
1
2
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11
12
∵OA，OB，OC兩兩垂直，
∴·=·=·=0，
且=，
故·(++)=++)2
=(||2+||2+||2)
=×(1+4+9)=.
解析
第一章　§1.1　空間向量及其運算
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