資源簡介

作業5　空間直角坐標系
分值：80分
單選題每小題5分，共15分；多選題每小題6分，共18分
1.(多選)下列命題中正確的是
A.在空間直角坐標系中，在x軸上的點的坐標是(0，b，c)
B.在空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標是(0，b，c)
C.在空間直角坐標系中，在z軸上的點的坐標可記作(0，0，c)
D.在空間直角坐標系中，在Ozx平面上的點的坐標是(a，0，c)
2. 如圖，在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝3，OC＝5，OO1＝4，P是B1C1的中點，則點P的坐標為
A.(3，5，4)
B.
C.
D.
3.在空間直角坐標系Oxyz中，點(1，－2，4)關于y軸對稱的點為
A.(－1，－2，－4) B.(－1，－2，4)
C.(1，2，－4) D.(1，2，4)
4.已知i，j，k分別是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且＝－i＋j－k，則點B的坐標是
A.(－1，1，－1) B.(－i，j，－k)
C.(1，－1，－1) D.不確定
5.(多選)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則
A.點C1的坐標為(2，0，2)
B.＝(0，2，2)
C.BD1的中點坐標為(1，1，1)
D.點B1關于y軸對稱的點的坐標為(－2，2，－2)
6.在空間直角坐標系Oxyz中，點A的坐標為(1，2，3)，則A到平面Oxy的距離為　　　　.
7. (13分)如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA＝AD＝2，M，N分別是AB，PC的中點，建立適當的空間直角坐標系，寫出點M，N的坐標.
8. (14分)如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是A1B1，A1A的中點，試建立恰當的空間直角坐標系求向量的坐標.
9. (多選)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝4，AA1＝3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是
A.點B1的坐標為(4，5，3)
B.點C1關于點B對稱的點的坐標為(5，8，－3)
C.點A關于直線BD1對稱的點的坐標為(0，5，3)
D.點C關于平面ABB1A1對稱的點的坐標為(8，5，0)
10. 在三棱錐P－ABC中，∠ABC＝90°，PB⊥平面ABC，AB＝BC＝PB＝1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，則向量的坐標為　　　　　　　　　　.
11.已知A(3，5，－7)，B(－2，4，3)，設點A，B在Oyz平面上的射影分別為A1，B1，則向量的坐標為　　　　　　　　　.
12.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(2，1，－1)，則p在基底{2a，b，－c}下的坐標為　　　　　，在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為　　　　　　.
答案精析
1.BCD　[空間直角坐標系中，在x軸上的點的坐標是(a，0，0)，故A錯誤，B，C，D正確.]
2.C　[由題圖知，點P在x軸、y軸、z軸上的射影在坐標軸上的坐標分別是5，4，
故點P的坐標是.]
3.A　[關于y 軸對稱，則縱坐標的值不變，橫坐標和豎坐標的值變為原來的相反數，故所求的點的坐標為
(－1，－2，－4).]
4.D　[由＝－i＋j－k只能確定向量＝(－1，1，－1).而向量的起點A的坐標未知，
故終點B的坐標不確定.]
5.BCD　[根據題意可知點C1的坐標為(0，2，2)，故A錯誤；由空間直角坐標系可知＝(0，2，2)，故B正確；由空間直角坐標系可知B(2，2，0)，D1(0，0，2)，故BD1的中點坐標為(1，1，1)，故C正確；點B1的坐標為(2，2，2)，關于y軸對稱的點的坐標為(－2，2，－2)，故D正確.]
6.3
解析　由題意可知，點A(1，2，3)到平面Oxy的距離為該點豎坐標的絕對值，即為3.
7.解　因為PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
由PA＝AD＝2，點C在x軸、y軸、z軸上的射影在坐標軸上的坐標分別是2，2，0，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，因為M，N分別是AB，PC的中點，所以M(1，0，0)，N(1，1，1).答案不唯一.
8.解　建立如圖所示的空間直角坐標系，設＝i＝j＝k，則＝0i＋j＋0k＝(0，1，0)＝k＋＝i－j＋k＝(1，－1，1).
＝i－j＋2k＝(1，－1，2).答案不唯一.
9.ACD　[根據題意知，點B1的坐標為(4，5，3)，選項A正確；
點B的坐標為(4，5，0)，點C1的坐標為(0，5，3)，
故點C1關于點B對稱的點的坐標為(8，5，－3)，選項B錯誤；
在長方體中AD1＝BC1＝＝5＝AB，
所以四邊形ABC1D1為正方形，AC1與BD1垂直且互相平分，
即點A關于直線BD1對稱的點為點C1(0，5，3)，選項C正確；
點C關于平面ABB1A1對稱的點的坐標為(8，5，0)，選項D正確.]
10.
解析　
＝)－)
＝i－k，
故.
11.(0，－1，10)
解析　點A(3，5，－7)，B(－2，4，3)在Oyz平面上的射影分別為
A1(0，5，－7)，B1(0，4，3)，
∴＝4j＋3k－5j＋7k＝－j＋10k，
∴向量的坐標為(0，－1，10).
12.(1，1，1)　
解析　由題意知p＝2a＋b－c，
則向量p在基底{2a，b，－c}下的坐標為(1，1，1).
設向量p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為(x，y，z)，
則p＝x(a＋b)＋y(a－b)＋zc
＝(x＋y)a＋(x－y)b＋zc，
又∵p＝2a＋b－c，
∴
解得x＝y＝z＝－1，
∴p在基底{a＋b，a－b，c}下的坐標為.1.3.1　空間直角坐標系
學習目標　1.了解空間直角坐標系.2.能在空間直角坐標系中寫出所給定點、向量的坐標.
一、空間直角坐標系及點的坐標
問題　利用單位正交基底的概念，我們如何理解平面直角坐標系呢？
知識梳理
1.空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸：　　　　　　　　，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個　　　　　　　　.
2.相關概念：　　　　叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過　　　　　　　　的平面叫做坐標平面，分別稱為　　　　平面，　　　　平面，　　　　平面，它們把空間分成八個部分.
3.在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使＝　　　　.在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應的有序實數組　　　　　　，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的　　　　，y叫做點A的　　　　，z叫做點A的　　　.
4.空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標的特點
點的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
點的位置 Oxy平面內 Oyz平面內 Ozx平面內
坐標的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
例1　(1)畫一個正方體ABCD－A1B1C1D1，若以A為坐標原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標系，則
①頂點A，D1的坐標分別為　　　　　　　；
②棱C1C中點的坐標為　　　　　　　　；
③正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為　　　　　　　　　.
(2)已知正四棱錐P－ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，試建立適當的空間直角坐標系，寫出各頂點的坐標.
反思感悟　(1)建立空間直角坐標系的原則
①讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內.
②充分利用幾何圖形的對稱性.
③一般用右手直角坐標系.
(2)求某點M的坐標的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足為M'，求M'的橫坐標x，縱坐標y，即為點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為點M的豎坐標z，于是得到點M的坐標(x，y，z).
跟蹤訓練1　已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，所有的棱長都是1，試建立適當的空間直角坐標系，并寫出各頂點的坐標.
二、空間點的對稱問題
例2　在空間直角坐標系中，已知點P(－2，1，4).
(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標；
(2)求點P關于Oxy平面對稱的點的坐標；
(3)求點P關于點M(2，－1，－4)對稱的點的坐標.
反思感悟　空間點對稱問題的解題策略
(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規律，才能準確求解.
(2)對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論.
跟蹤訓練2　已知點P(2，3，－1)關于坐標平面Oxy的對稱點為P1，點P1關于坐標平面Oyz的對稱點為P2，點P2關于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為　　　　　.
三、空間向量的坐標
向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a＝　　　　　　.
例3　已知在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1＝4，建立適當的空間直角坐標系，求向量，，的坐標.
反思感悟　向量坐標的求法
(1)點A的坐標和向量 的坐標形式完全相同，其中O為坐標原點；
(2)起點不在原點的向量，其坐標可以通過向量的運算求得.
跟蹤訓練3　(1)已知＝8a＋6b＋4c，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，{i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則的坐標為(　　)
A.(12，14，10) B.(10，12，14)
C.(14，10，12) D.(4，2，3)
(2)如圖所示，以長方體ABCD－A1B1C1D1的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為(4，3，2)，則C1的坐標是(　　)
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
1.知識清單：
(1)空間直角坐標系的概念.
(2)空間點的坐標.
(3)空間向量的坐標.
2.方法歸納：數形結合、類比聯想.
3.常見誤區：混淆空間點的坐標和向量坐標的概念，只有起點在原點的向量的坐標才和終點的坐標相同.
1.在空間直角坐標系中，點P(1，2，3)關于平面Oyz對稱的點的坐標為(　　)
A.(1，－2，－3) B.(－1，－2，3)
C.(－1，2，3) D.(－1，2，－3)
2.在空間直角坐標系中，已知點A(1，－2，3)，B(－3，0，1)，則線段AB的中點坐標是(　　)
A.(－1，－1，2) B.(1，1，－2)
C.(2，2，－4) D.(－2，－2，4)
3.已知點A(－3，0，－4)，點A關于原點的對稱點為B，則點B的坐標是(　　)
A.(3，0，－4) B.(－3，0，4)
C.(－4，0，－3) D.(3，0，4)
4.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，若點D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，則向量 的坐標為　　　　　　　　.
答案精析
問題　在平面內選定一點O和一個單位正交基底{i，j}，以O為原點，分別以i，j的方向為正方向、以它們的長度為單位長度建立兩條數軸：x軸、y軸，那么我們就建立了一個平面直角坐標系.類似地，我們也可以建立一個空間直角坐標系.
知識梳理
1.x軸、y軸、z軸
空間直角坐標系Oxyz
2.O　每兩條坐標軸　Oxy　Oyz　Ozx
3.xi+yj+zk　(x，y，z)　橫坐標
縱坐標　豎坐標
例1　(1)①(0，0，0)，(0，1，1)
②　③
(2)解　∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，
∴正四棱錐的高為2.以正四棱錐的底面中心為原點，平行于BC，AB所在的直線分別為x軸、y軸，垂直于平面ABCD的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則正四棱錐各頂點的坐標分別為A(2，-2，0)，B(2，2，0)，C(-2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，2).
答案不唯一.
跟蹤訓練1　解　如圖所示，取AC的中點O和A1C1的中點O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分別以OB，OC，OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
∵三棱柱各棱長均為1，
∴OA=OC=O1A1=O1C1=，
OB=.∵A，B，C均在坐標軸上，
∴A，B，C.
∵點A1與C1在Oyz平面內，
∴A1，C1.
∵點B1在Oxy平面內的射影為B，且BB1=1，
∴B1，即該三棱錐各頂點的坐標為A，B，C，A1，B1，C1.
答案不唯一.
例2　解　(1)由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P1(-2，-1，-4).
(2)由點P關于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P2(-2，1，-4).
(3)設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x=2×2-(-2)=6，
y=2×(-1)-1=-3，
z=2×(-4)-4=-12，
所以P3的坐標為(6，-3，-12).
跟蹤訓練2　(2，-3，1)
解析　點P(2，3，-1)關于坐標平面Oxy的對稱點P1的坐標為(2，3，1)，點P1關于坐標平面Oyz的對稱點P2的坐標為(-2，3，1)，點P2關于z軸的對稱點P3的坐標是(2，-3，1).
知識梳理
(x，y，z)
例3　解　建立如圖所示的空間直角坐標系，設=i，=j，
=k，=4i+0j+0k=(4，0，0).
=+=0i+4j+4k
=(0，4，4).
=+=++
=-4i+4j+4k=(-4，4，4).
答案不唯一.
跟蹤訓練3　(1)A　[由題意得=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12，14，10)，
所以的坐標為(12，14，10).]
(2)A　[∵的坐標為(4，3，2)，D為坐標原點，∴B1的坐標為(4，3，2)，
∴BC=4，DC=3，CC1=2，
∴C1的坐標為(0，3，2).]
隨堂演練
1.C　[點P關于平面Oyz對稱的點的坐標與點P的橫坐標相反，縱坐標、豎坐標不變，故選C.]
2.A　[設線段AB的中點坐標為(x，y，z)，
所以x==-1，
y==-1，z==2，
故線段AB的中點坐標是(-1，-1，2).]
3.D　[因為點(x，y，z)關于原點的對稱點坐標為(-x，-y，-z)，所以點A(-3，0，-4)關于原點的對稱點B的坐標是(3，0，4).]
4.(-4，2，3)
解析　=+=++=-4i+2j+3k=(-4，2，3).(共63張PPT)
第一章　§1.3　空間向量及其運算的坐標表示
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1.3.1
空間直角坐標系
1.了解空間直角坐標系.
2.能在空間直角坐標系中寫出所給定點、向量的坐標.(難點)
學習目標
我國著名數學家吳文俊先生在《數學教育現代化問題》中指出：“數學研究數量關系與空間形式，簡單講就是形與數，歐幾里得幾何體系的特點是排除了數量關系，對于研究空間形式，你要真正的‘騰飛’，不通過數量關系，我想不出有什么好的辦法… …”
導 語
吳文俊先生明確地指出中學幾何的“騰飛”是“數量化”，也就是坐標系的引入，這使得幾何問題“代數化”，為了使得空間幾何“代數化”，我們引入了坐標及其運算.
一、空間直角坐標系及點的坐標
二、空間點的對稱問題
課時對點練
三、空間向量的坐標
隨堂演練
內容索引
空間直角坐標系及點的坐標
一
提示　在平面內選定一點O和一個單位正交基底{i，j}，以O為原點，分別以i，j的方向為正方向、以它們的長度為單位長度建立兩條數軸：x軸、y軸，那么我們就建立了一個平面直角坐標系.類似地，我們也可以建立一個空間直角坐標系.
利用單位正交基底的概念，我們如何理解平面直角坐標系呢？
問題
1.空間直角坐標系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以點O為原點，分別以i，j，k的方向為正方向、以它們的長為單位長度建立三條數軸：______________，它們都叫做坐標軸，這時我們就建立了一個___________________.
2.相關概念：___叫做原點，i，j，k都叫做坐標向量，通過____________的平面叫做坐標平面，分別稱為_____平面，_____平面，_____平面，它們把空間分成八個部分.
x軸、y軸、z軸
空間直角坐標系Oxyz
O
每兩條坐標軸
Oxy
Oyz
Ozx
3.在空間直角坐標系Oxyz中，i，j，k為坐標向量，對空間任意一點A，對應一個向量，且點A的位置由向量唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使=_________.在單位正交基底{i，j，k}下與向量對應的有序實數組__________，叫做點A在空間直角坐標系中的坐標，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的_______，y叫做點A的____
___，z叫做點A的________.
xi+yj+zk
(x，y，z)
橫坐標
縱坐
標
豎坐標
4.空間直角坐標系中坐標軸、坐標平面上的點的坐標的特點
點的位置 x軸上 y軸上 z軸上
坐標的形式 (x，0，0) (0，y，0) (0，0，z)
點的位置 Oxy平面內 Oyz平面內 Ozx平面內
坐標的形式 (x，y，0) (0，y，z) (x，0，z)
(1)基向量：|i|=|j|=|k|=1，i·j=i·k=j·k=0.
(2)畫空間直角坐標系Oxyz時，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°.
(3)建立的坐標系一般為右手直角坐標系.
注 意 點
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　　　(1)畫一個正方體ABCD-A1B1C1D1，若以A為坐標原點，以棱AB，AD，AA1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，取正方體的棱長為單位長度，建立空間直角坐標系，則
①頂點A，D1的坐標分別為　　　　　　 ；
②棱C1C中點的坐標為　 　　；
③正方形AA1B1B對角線的交點的坐標為　 　　　.
例 1
(0，0，0)，(0，1，1)
(2)已知正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，試建立適當的空間直角坐標系，寫出各頂點的坐標.
∵正四棱錐P-ABCD的底面邊長為4，側棱長為10，
∴正四棱錐的高為2.
以正四棱錐的底面中心為原點，平行于BC，AB所
在的直線分別為x軸、y軸，垂直于平面ABCD的直
線為z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則正四棱錐各頂點的坐標分別為
A(2，-2，0)，B(2，2，0)，C(-2，2，0)，D(-2，-2，0)，P(0，0，2).
答案不唯一.
解
(1)建立空間直角坐標系的原則
①讓盡可能多的點落在坐標軸上或坐標平面內.
②充分利用幾何圖形的對稱性.
③一般用右手直角坐標系.
(2)求某點M的坐標的方法
作MM'垂直于平面Oxy，垂足為M'，求M'的橫坐標x，縱坐標y，即為點M的橫坐標x，縱坐標y，再求M點在z軸上射影的豎坐標z，即為點M的豎坐標z，于是得到點M的坐標(x，y，z).
反
思
感
悟
　　　　　已知在三棱柱ABC-A1B1C1中，側棱AA1⊥底面ABC，所有的棱長都是1，試建立適當的空間直角坐標系，并寫出各頂點的坐標.
跟蹤訓練 1
如圖所示，取AC的中點O和A1C1的中點O1，可得BO⊥AC，OO1⊥AC，分別以OB，OC，OO1所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
∵三棱柱各棱長均為1，
∴OA=OC=O1A1=O1C1=，OB=.
∵A，B，C均在坐標軸上，
∴A，B，C.
∵點A1與C1在Oyz平面內，
∴A1，C1.
解
∵點B1在Oxy平面內的射影為B，且BB1=1，
∴B1，即該三棱錐各頂點的坐標為
A，B，C，
A1，B1，C1.
答案不唯一.
解
二
空間點的對稱問題
　　　在空間直角坐標系中，已知點P(-2，1，4).
(1)求點P關于x軸對稱的點的坐標；
例 2
由于點P關于x軸對稱后，它在x軸的分量不變，在y軸、z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P1(-2，-1，-4).
解
(2)求點P關于Oxy平面對稱的點的坐標；
由點P關于Oxy平面對稱后，它在x軸、y軸的分量不變，在z軸的分量變為原來的相反數，所以對稱點坐標為P2(-2，1，-4).
解
(3)求點P關于點M(2，-1，-4)對稱的點的坐標.
設對稱點為P3(x，y，z)，則點M為線段PP3的中點，由中點坐標公式，可得x=2×2-(-2)=6，
y=2×(-1)-1=-3，z=2×(-4)-4=-12，
所以P3的坐標為(6，-3，-12).
解
空間點對稱問題的解題策略
(1)空間點的對稱問題可類比平面直角坐標系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規律，才能準確求解.
(2)對稱點的問題常常采用“關于誰對稱，誰保持不變，其余坐標相反”這個結論.
反
思
感
悟
　已知點P(2，3，-1)關于坐標平面Oxy的對稱點為P1，點P1關于坐標平面Oyz的對稱點為P2，點P2關于z軸的對稱點為P3，則點P3的坐標為　　　　　.
跟蹤訓練 2
點P(2，3，-1)關于坐標平面Oxy的對稱點P1的坐標為(2，3，1)，點P1關于坐標平面Oyz的對稱點P2的坐標為(-2，3，1)，點P2關于z軸的對稱點P3的坐標是(2，-3，1).
解析
(2，-3，1)
三
空間向量的坐標
向量的坐標：在空間直角坐標系Oxyz中，給定向量a，作=a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序實數組(x，y，z)，使a=xi+yj+zk.有序實數組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標系Oxyz中的坐標，可簡記作a=_________.
(x，y，z)
　(課本例1)　如圖，在長方體OABC-D'A'B'C'中，OA=3，OC=4，OD'=2，以為單位正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.
例 3
(1)寫出D'，C，A'，B'四點的坐標；
點D'在z軸上，且OD'=2，所以=0i+0j+2k.
所以點D'的坐標是(0，0，2).
同理，點C的坐標是(0，4，0).
點A'在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，O，D'，它們在坐標軸上的坐標分別為3，0，2，
所以點A'的坐標是(3，0，2).
點B'在x軸、y軸、z軸上的射影分別為A，C，D'，它們在坐標軸上的坐標分別為3，4，2，
所以點B'的坐標是(3，4，2).
解
(2)寫出向量的坐標.
==0i+4j+0k=(0，4，0)；
=-=0i+0j-2k=(0，0，-2)；
=+=-3i+4j+0k=(-3，4，0)；
=++=-3i+4j+2k=(-3，4，2).
解
　已知在直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=4，建立適當的空間直角坐標系，求向量，，的坐標.
例 3
建立如圖所示的空間直角坐標系，設=i，=j，=k，
=4i+0j+0k=(4，0，0).
=+
=0i+4j+4k=(0，4，4).
=+
=++
=-4i+4j+4k=(-4，4，4).
答案不唯一.
解
向量坐標的求法
(1)點A的坐標和向量 的坐標形式完全相同，其中O為坐標原點；
(2)起點不在原點的向量，其坐標可以通過向量的運算求得.
反
思
感
悟
(1)已知=8a+6b+4c，其中a=i+j，b=j+k，c=k+i，{i，j，k}是空間向量的一個單位正交基底，則的坐標為
A.(12，14，10) B.(10，12，14)
C.(14，10，12) D.(4，2，3)
跟蹤訓練 3
√
由題意得=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12，14，10)，
所以的坐標為(12，14，10).
解析
(2)如圖所示，以長方體ABCD-A1B1C1D1的頂點D為坐標原點，過D的三條棱所在的直線為坐標軸，建立空間直角坐標系，若的坐標為(4，3，2)，則C1的坐標是
A.(0，3，2) B.(0，4，2)
C.(4，0，2) D.(2，3，4)
√
∵的坐標為(4，3，2)，D為坐標原點，
∴B1的坐標為(4，3，2)，
∴BC=4，DC=3，CC1=2，
∴C1的坐標為(0，3，2).
解析
1.知識清單：
(1)空間直角坐標系的概念.
(2)空間點的坐標.
(3)空間向量的坐標.
2.方法歸納：數形結合、類比聯想.
3.常見誤區：混淆空間點的坐標和向量坐標的概念，只有起點在原點的向量的坐標才和終點的坐標相同.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.在空間直角坐標系中，點P(1，2，3)關于平面Oyz對稱的點的坐標為
A.(1，-2，-3) B.(-1，-2，3)
C.(-1，2，3) D.(-1，2，-3)
√
點P關于平面Oyz對稱的點的坐標與點P的橫坐標相反，縱坐標、豎坐標不變，故選C.
解析
1
2
3
4
2.在空間直角坐標系中，已知點A(1，-2，3)，B(-3，0，1)，則線段AB的中點坐標是
A.(-1，-1，2) B.(1，1，-2)
C.(2，2，-4) D.(-2，-2，4)
√
設線段AB的中點坐標為(x，y，z)，
所以x==-1，y==-1，
z==2，故線段AB的中點坐標是(-1，-1，2).
解析
1
2
3
4
3.已知點A(-3，0，-4)，點A關于原點的對稱點為B，則點B的坐標是
A.(3，0，-4) B.(-3，0，4)
C.(-4，0，-3) D.(3，0，4)
因為點(x，y，z)關于原點的對稱點坐標為(-x，-y，-z)，所以點A(-3，0，-4)關于原點的對稱點B的坐標是(3，0，4).
解析
√
1
2
3
4
4.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，若點D(0，0，0)，A(4，0，0)，B(4，2，0)，A1(4，0，3)，則向量 的坐標為　　 　 .
=+=++
=-4i+2j+3k=(-4，2，3).
解析
(-4，2，3)
課時對點練
五
對一對
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6 9
答案 BCD C A D BCD 3 ACD
題號 10 11 12
答案 (0，-1，10) (1，1，1)　
7.
答案
1
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6
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12
因為PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
由PA=AD=2，點C在x軸、y軸、z軸上的射影在坐標軸上的坐標分別是2，2，0，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，因為M，N分別是AB，PC的中點，所以M(1，0，0)，N(1，1，1).答案不唯一.
8.
答案
1
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4
5
6
7
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12
建立如圖所示的空間直角坐標系，設=i，=j，=k，
則=0i+j+0k=(0，1，0)，
=k+=i-j+k=(1，-1，1).
=i-j+2k=
(1，-1，2).答案不唯一.
基礎鞏固
1.(多選)下列命題中正確的是
A.在空間直角坐標系中，在x軸上的點的坐標是(0，b，c)
B.在空間直角坐標系中，在Oyz平面上的點的坐標是(0，b，c)
C.在空間直角坐標系中，在z軸上的點的坐標可記作(0，0，c)
D.在空間直角坐標系中，在Ozx平面上的點的坐標是(a，0，c)
√
答案
1
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12
空間直角坐標系中，在x軸上的點的坐標是(a，0，0)，故A錯誤，B，C，D正確.
解析
√
√
2.如圖，在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA=3，OC=5，OO1=4，P是B1C1的中點，則點P的坐標為
A.(3，5，4) B.
C. D.
√
答案
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12
由題圖知，點P在x軸、y軸、z軸上的射影在坐標軸上的坐標分別是，5，4，故點P的坐標是.
解析
3.在空間直角坐標系Oxyz中，點(1，-2，4)關于y軸對稱的點為
A.(-1，-2，-4) B.(-1，-2，4)
C.(1，2，-4) D.(1，2，4)
√
關于y 軸對稱，則縱坐標的值不變，橫坐標和豎坐標的值變為原來的相反數，
故所求的點的坐標為(-1，-2，-4).
解析
答案
1
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12
4.已知i，j，k分別是空間直角坐標系Oxyz中x軸、y軸、z軸正方向上的單位向量，且=-i+j-k，則點B的坐標是
A.(-1，1，-1) B.(-i，j，-k)
C.(1，-1，-1) D.不確定
√
由=-i+j-k只能確定向量=(-1，1，-1).而向量的起點A的坐標未知，
故終點B的坐標不確定.
解析
答案
1
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12
5.(多選)已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則
A.點C1的坐標為(2，0，2)
B.=(0，2，2)
C.BD1的中點坐標為(1，1，1)
D.點B1關于y軸對稱的點的坐標為(-2，2，-2)
√
答案
1
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12
√
√
答案
1
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5
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11
12
根據題意可知點C1的坐標為(0，2，2)，故A錯誤；
由空間直角坐標系可知==(0，2，2)，故B正確；
由空間直角坐標系可知B(2，2，0)，D1(0，0，2)，故BD1的中點坐標為(1，1，1)，故C正確；
點B1的坐標為(2，2，2)，關于y軸對稱的點的坐標為(-2，2，-2)，故D正確.
解析
6.在空間直角坐標系Oxyz中，點A的坐標為(1，2，3)，則A到平面Oxy的距離為　　.
答案
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11
12
3
由題意可知，點A(1，2，3)到平面Oxy的距離為該點豎坐標的絕對值，即為3.
解析
7.如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，PA=AD=2，M，N分別是AB，PC的中點，建立適當的空間直角坐標系，寫出點M，N的坐標.
答案
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12
答案
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12
因為PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是正方形，所以AB，AD，AP兩兩垂直，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
解
由PA=AD=2，點C在x軸、y軸、z軸上的射影在坐標軸上的坐標分別是2，2，0，得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，P(0，0，2)，因為M，N分別是AB，PC的中點，所以M(1，0，0)，N(1，1，1).答案不唯一.
8.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是A1B1，A1A的中點，試建立恰當的空間直角坐標系求向量，，的坐標.
答案
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答案
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2
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12
建立如圖所示的空間直角坐標系，設=i，=j，=k，則=0i+j+0k=(0，1，0)，=-=
k+-=i-j+k=(1，-1，1).
=-=+-=i-j+2k=(1，-1，2).
答案不唯一.
解
9.(多選)如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=5，AD=4，AA1=3，以直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標系，則下列說法正確的是
A.點B1的坐標為(4，5，3)
B.點C1關于點B對稱的點的坐標為(5，8，-3)
C.點A關于直線BD1對稱的點的坐標為(0，5，3)
D.點C關于平面ABB1A1對稱的點的坐標為(8，5，0)
答案
1
2
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5
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11
12
√
√
√
綜合運用
答案
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11
12
根據題意知，點B1的坐標為(4，5，3)，選項A正確；
點B的坐標為(4，5，0)，點C1的坐標為(0，5，3)，
故點C1關于點B對稱的點的坐標為(8，5，-3)，選項B錯誤；
在長方體中AD1=BC1==5=AB，
所以四邊形ABC1D1為正方形，AC1與BD1垂直且互相平分，
即點A關于直線BD1對稱的點為點C1(0，5，3)，選項C正確；
點C關于平面ABB1A1對稱的點的坐標為(8，5，0)，選項D正確.
解析
10.在三棱錐P-ABC中，∠ABC=90°，PB⊥平面ABC，AB=BC=PB=1，M，N分別是PC，AC的中點，建立如圖所示的空間直角坐標系Bxyz，則向量
的坐標為　　 　　.
答案
1
2
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答案
1
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=-
=+)-+)
=-=i-k，
故=.
解析
11.已知A(3，5，-7)，B(-2，4，3)，設點A，B在Oyz平面上的射影分別為A1，B1，則向量的坐標為　　 　　.
答案
1
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點A(3，5，-7)，B(-2，4，3)在Oyz平面上的射影分別為A1(0，5，-7)，B1(0，4，3)，
∴=-=4j+3k-5j+7k=-j+10k，∴向量的坐標為(0，-1，10).
解析
(0，-1，10)
能力提升
12.已知向量p在基底{a，b，c}下的坐標為(2，1，-1)，則p在基底{2a，b，-c}
下的坐標為　　　 　，在基底{a+b，a-b，c}下的坐標為　 　 　.
答案
1
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(1，1，1)
答案
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11
12
由題意知p=2a+b-c，
則向量p在基底{2a，b，-c}下的坐標為(1，1，1).
設向量p在基底{a+b，a-b，c}下的坐標為(x，y，z)，則p=x(a+b)+y(a-b)
+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc，
又∵p=2a+b-c，
∴
解得x=，y=，z=-1，
∴p在基底{a+b，a-b，c}下的坐標為.
解析
第一章　§1.3　空間向量及其運算的坐標表示
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