資源簡介

1.3.2　空間向量運算的坐標表示
學習目標　1.掌握空間向量運算的坐標表示.2.掌握空間兩點間的距離公式.3.會用向量的坐標解決一些簡單的幾何問題.
一、空間向量運算的坐標表示
問題1　設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，你能寫出a·b的結果，并給出證明嗎？
知識梳理
1.設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a＋b
減法 a－b
數乘 λa
數量積 a·b
2.設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則＝　　　　　　　　　　　　.即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標　　　　起點坐標.
例1　(1)已知a＝(－1，2，1)，b＝(2，0，1)，則(2a＋3b)·(a－b)＝　　　　.
(2)在△ABC中，A(2，－5，3)，＝(4，1，2)，＝(3，－2，5).
①求頂點B，C的坐標；
②求·；
③若點P在AC上，且，求點P的坐標.
反思感悟　空間向量坐標運算的規律
(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定.
(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算.
(3)由條件求向量或點的坐標：把向量的坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標.
跟蹤訓練1　(1)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，則a＝　　　　　　　，b＝　　　　　　　，a·b＝　　　　.
(2)若向量a＝(1，1，x)，b＝(1，2，1)，c＝(1，1，1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則x＝　　　　.
二、空間向量平行、垂直的坐標表示及應用
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有
(1)平行關系：當b≠0時，a∥b a＝λb 　　　　　　　　，　　　　　　　　，　　　　　　　　(λ∈R)；
(2)垂直關系：當a≠0，b≠0時，a⊥b a·b＝0 　　　　　　　　　　　　　　　.
例2　已知空間三點A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，設＝a，＝b.
(1)設向量c＝，試判斷2a－b與c是否平行？
(2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值.
反思感悟　(1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解.
(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.
跟蹤訓練2　已知空間向量a＝(x，4，1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c.求向量a，b，c的坐標.
三、夾角和距離的計算
問題2　你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？
知識梳理
1.空間兩點間的距離公式：
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
P1P2＝||
＝　　　　　　　　　　　　　　　　.
2.空間向量的夾角公式：
設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則cos〈a，b〉＝＝　　　　.
例3　如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分別是AA1，CB1的中點.(1)求BM，BN的長；
(2)求△BMN的面積.
反思感悟　利用空間向量的坐標運算的一般步驟
(1)建系：根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標.
(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算.
(4)轉化：轉化為平行與垂直、夾角與距離問題.
跟蹤訓練3　已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面△ABC的邊長AB＝2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是棱AC，A1C1的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求三棱柱的側棱長；
(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.
1.知識清單：
(1)空間向量運算的坐標表示.
(2)空間向量的坐標表示的應用.
2.方法歸納：類比、轉化.
3.常見誤區：
(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應坐標的比相等.
(2)求異面直線所成的角時忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況.
1.已知M(5，－1，2)，A(4，2，－1)，O為坐標原點，若，則點B的坐標應為(　　)
A.(－1，3，－3) B.(9，1，1)
C.(1，－3，3) D.(－9，－1，－1)
2.已知向量a＝(0，－1，1)，b＝(4，1，0)，|λa＋b|＝，且λ>0，則λ等于(　　)
A.5 B.4 C.3 D.2
3.已知A(1，－2，11)，B(4，2，3)，C(6，－1，4)，則△ABC的形狀是(　　)
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
4.已知A(2，－5，1)，B(2，－2，4)，C(1，－4，1)，則向量與的夾角為　　　　.
答案精析
問題1　a·b=a1b1+a2b2+a3b3.證明如下：
設{i，j，k}為空間的一個單位正交基底，
則a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)
=a1b1i2+a1b2i·j+a1b3i·k+a2b1i·j+a2b2j2+a2b3j·k+a3b1i·k+a3b2j·k+a3b3k2
=a1b1+a2b2+a3b3.
知識梳理
1.(a1+b1，a2+b2，a3+b3)　(a1-b1，a2-b2，a3-b3)　(λa1，λa2，λa3)　a1b1+a2b2+a3b3
2.(x2-x1，y2-y1，z2-z1)　減去
例1　(1)-4
解析　 易得2a+3b=(4，4，5)，a-b=(-3，2，0)，
則(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.
(2)解　①設B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以=(x-2，y+5，z-3)，
=(x1-x，y1-y，z1-z).
因為=(4，1，2)，
所以解得
所以點B的坐標為(6，-4，5).
因為=(3，-2，5)，
所以解得
所以點C的坐標為(9，-6，10).
②因為=(-7，1，-7)，
所以·=-21-2-35=-58.
③設P(x2，y2，z2)，
則=(x2-2，y2+5，z2-3)，
=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
于是有(x2-2，y2+5，z2-3)
=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
所以
解得
故點P的坐標為.
跟蹤訓練1　(1)(1，，)　 (1，0，)　4
解析　a+b=(2，，2)，
a-b=(0，，0)，
∴a=(1，，)，b=(1，0，)，
∴a·b=1+0+3=4.
(2)2
解析　據題意，有c-a=(0，0，1-x)，
2b=(2，4，2)，
故(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2，
解得x=2.
知識梳理
(1)a1=λb1　a2=λb2　a3=λb3　(2)a1b1+a2b2+a3b3=0
例2　解　(1)因為a==(1，1，0)，
b==(-1，0，2)，
所以2a-b=(3，2，-2)，
又c=，
所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c.
(2)由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，
ka-2b=(k+2，k，-4).
因為(ka+b)⊥(ka-2b)，
所以(ka+b)·(ka-2b)=0，
即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)
=2k2+k-10=0.
解得k=2或k=-.
跟蹤訓練2　解　∵a=(x，4，1)，
b=(-2，y，-1)，a∥b，∴y≠0，
則==，
∴x=2，y=-4，
∴a=(2，4，1)，b=(-2，-4，-1)，
∵b=(-2，-4，-1)，c=(3，-2，z)，b⊥c，則-2×3+(-4)×(-2)+(-1)×z=0，
∴z=2，∴c=(3，-2，2).
問題2　如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，
于是||=
=.
所以P1P2=||
=，
類似地，我們可以得到空間向量的夾角公式.
知識梳理
1.
2.
例3　解　以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)，則B(0，1，0)，
M(1，0，1)，N.
(1)∵=(1，-1，1)，
=，
∴||==，
||==，
故BM的長為，BN的長為.
(2)∵cos∠MBN=cos〈，〉
===，
∴sin∠MBN==，
故S△BMN=·||·||·sin ∠MBN
=×××=.
即△BMN的面積為.
跟蹤訓練3　解　(1)設側棱長為b，則A(0，-1，0)，B1(，0，b)，
B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以=(，1，b)，
=(-，1，b).
因為AB1⊥BC1，
所以·=(，1，b)·(-，1，b)=-()2+12+b2=0，
解得b=.故側棱長為.
(2)由(1)知=(，1，)，
=(-，1，0)，
因為||==，
||==2，
·=(，1，)·(-，1，0)=-()2+12=-2，
所以|cos〈，〉|===.所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為.
隨堂演練
1.B　[∵==-，
∴=+=(9，1，1).]
2.C　[λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==，且λ>0，解得λ=3.]
3.C　[因為=(3，4，-8)，
=(2，-3，1)，=(5，1，-7)，
所以·=10-3-7=0，
所以BC⊥AC，
而||=，||=5，
所以△ABC是直角三角形.]
4.
解析　∵=(0，3，3)，
=(-1，1，0)，
∴||=3，||=，
·=0×(-1)+3×1+3×0=3，
∴cos〈，〉==，
又∵〈，〉∈[0，π]，
∴〈，〉=.(共81張PPT)
第一章　§1.3　空間向量及其運算的坐標表示
<<<
1.3.2
空間向量運算的坐標表示
1.掌握空間向量運算的坐標表示.
2.掌握空間兩點間的距離公式.
3.會用向量的坐標解決一些簡單的幾何問題.(難點)
學習目標
前面我們通過引入空間直角坐標系，將空間向量的坐標與空間點的坐標一一對應起來.那么有了空間向量的坐標表示，類比平面向量的坐標運算，同學們是否可以探究出空間向量運算的坐標表示并給出證明？
導 語
一、空間向量運算的坐標表示
二、空間向量平行、垂直的坐標表示及應用
課時對點練
三、夾角和距離的計算
隨堂演練
內容索引
空間向量運算的坐標表示
一
提示　a·b=a1b1+a2b2+a3b3.證明如下：
設{i，j，k}為空間的一個單位正交基底，
則a·b=(a1i+a2j+a3k)·(b1i+b2j+b3k)
=a1b1i2+a1b2i·j+a1b3i·k+a2b1i·j+a2b2j2+a2b3j·k+a3b1i·k+a3b2j·k+a3b3k2
=a1b1+a2b2+a3b3.
設a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，你能寫出a·b的結果，并給出證明嗎？
問題1
向量運算 向量表示 坐標表示
加法 a+b _____________________
減法 a-b ___________________
數乘 λa ______________
數量積 a·b ______________
1.設a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，λ∈R，那么
(a1+b1，a2+b2，a3+b3)
(a1-b1，a2-b2，a3-b3)
(λa1，λa2，λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
2.設A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則=__________________.即一個空間向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標_____起點坐標.
(x2-x1，y2-y1，z2-z1)
減去
空間向量運算的坐標表示與平面向量運算的坐標表示一致.
注 意 點
<<<
　　　 (1)已知a=(-1，2，1)，b=(2，0，1)，則(2a+3b)·(a-b)=　　.
例 1
-4
易得2a+3b=(4，4，5)，a-b=(-3，2，0)，
則(2a+3b)·(a-b)=4×(-3)+4×2+5×0=-4.
解析
(2)在△ABC中，A(2，-5，3)，=(4，1，2)，=(3，-2，5).
①求頂點B，C的坐標；
設B(x，y，z)，C(x1，y1，z1)，
所以=(x-2，y+5，z-3)，
=(x1-x，y1-y，z1-z).
因為=(4，1，2)，
所以解得
所以點B的坐標為(6，-4，5).
解
因為=(3，-2，5)，
所以解得
所以點C的坐標為(9，-6，10).
解
②求·；
因為=(-7，1，-7)，
所以·=-21-2-35=-58.
解
③若點P在AC上，且=，求點P的坐標.
設P(x2，y2，z2)，
則=(x2-2，y2+5，z2-3)，=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
于是有(x2-2，y2+5，z2-3)
=(9-x2，-6-y2，10-z2)，
所以解得
故點P的坐標為.
解
空間向量坐標運算的規律
(1)由點的坐標求向量坐標：空間向量的坐標可由其兩個端點的坐標確定.
(2)直接計算問題：首先將空間向量用坐標表示出來，然后代入公式計算.
(3)由條件求向量或點的坐標：把向量的坐標形式設出來，通過解方程(組)，求出其坐標.
反
思
感
悟
　　　　　(1)已知a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，則a=　 　 　　，b=　　　　 ，a·b=　　.
跟蹤訓練 1
(1，，)
(1，0，)
4
a+b=(2，，2)，a-b=(0，，0)，
∴a=(1，，)，b=(1，0，)，
∴a·b=1+0+3=4.
解析
(2)若向量a=(1，1，x)，b=(1，2，1)，c=(1，1，1)，且滿足條件(c-a)·(2b)
=-2，則x=　　.
2
據題意，有c-a=(0，0，1-x)，
2b=(2，4，2)，
故(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2，
解得x=2.
解析
二
空間向量平行、垂直的坐標表示及應用
設a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則有
(1)平行關系：當b≠0時，a∥b a=λb _________，______，______(λ∈R)；
(2)垂直關系：當a≠0，b≠0時，a⊥b a·b=0 ______________________.
a1=λb1
a2=λb2
a3=λb3
a1b1+a2b2+a3b3=0
(1)要證明a⊥b，就是證明a·b=0；要證明a∥b，就是證明a=λb(b≠0).
(2)當b的坐標中b1，b2，b3都不等于0時，a與b平行的條件還可以表示為a∥b ==.
注 意 點
<<<
(課本例2)　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點.求證EF⊥DA1.
例 2
不妨設正方體的棱長為1，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，則EF
所以=.
又A1(1，0，1)，D(0，0，0)，
所以=(1，0，1).
所以·=·(1，0，1)=0.
所以⊥即EF⊥DA1.
證明
　　　已知空間三點A(-2，0，2)，B(-1，1，2)，C(-3，0，4)，設=a，=b.
(1)設向量c=，試判斷2a-b與c是否平行？
例 2
因為a==(1，1，0)，
b==(-1，0，2)，
所以2a-b=(3，2，-2)，
又c=，
所以2a-b=-2c，所以(2a-b)∥c.
解
(2)若ka+b與ka-2b互相垂直，求k的值.
由(1)知ka+b=(k-1，k，2)，
ka-2b=(k+2，k，-4).
因為(ka+b)⊥(ka-2b)，
所以(ka+b)·(ka-2b)=0，
即(k-1，k，2)·(k+2，k，-4)=2k2+k-10=0.
解得k=2或k=-.
解
(1)判斷兩向量是否平行或垂直可直接利用向量平行或垂直的充要條件；已知兩向量平行或垂直求參數值，則利用平行、垂直的充要條件，將位置關系轉化為坐標關系，列方程(組)求解.
(2)利用向量證明直線、平面平行或垂直，要建立恰當的空間直角坐標系，求出相關向量的坐標，利用向量平行、垂直的充要條件證明.
反
思
感
悟
∵a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，a∥b，∴y≠0，
則==，∴x=2，y=-4，
∴a=(2，4，1)，b=(-2，-4，-1)，
∵b=(-2，-4，-1)，c=(3，-2，z)，b⊥c，
則-2×3+(-4)×(-2)+(-1)×z=0，
∴z=2，∴c=(3，-2，2).
解
　已知空間向量a=(x，4，1)，b=(-2，y，-1)，c=(3，-2，z)，a∥b，b⊥c.求向量a，b，c的坐標.
跟蹤訓練 2
三
夾角和距離的計算
你能利用空間向量運算的坐標表示推導空間兩點間的距離公式嗎？
問題2
提示　如圖，建立空間直角坐標系Oxyz，
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)是空間中任意兩點，
=-=(x2-x1，y2-y1，z2-z1)，
于是||=
=.
所以P1P2=||
=，
類似地，我們可以得到空間向量的夾角公式.
1.空間兩點間的距離公式：
設P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)，
P1P2=||=__________________________________.
2.空間向量的夾角公式：
設a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則cos〈a，b〉==
____________________________.
空間兩點間的距離公式類似于平面中的兩點之間的距離公式，可以類比記憶.
注 意 點
<<<
　(課本例3)　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為BC1的中點，E1，F1分別在棱A1B1，C1D1上，B1E1=A1B1，D1F1=C1D1.
(1)求AM的長；
例 3
建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz，
則點A的坐標為(1，0，0)，點M的坐標為.
于是AM==.
解
(2)求BE1與DF1所成角的余弦值.
由已知，得B(1，1，0)，E1D(0，0，0)，F1
所以=-(1，1，0)=
=-(0，0，0)=||=||=.
所以·=0×0++1×1=.
所以cos〈〉===.
所以，BE1與DF1所成角的余弦值是.
解
　 如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分別是AA1，CB1的中點.
(1)求BM，BN的長；
例 3
以C為原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(如圖)，則B(0，1，0)，M(1，0，1)，N.
∵=(1，-1，1)，=，
∴||==，
||==，
故BM的長為，BN的長為.
解
(2)求△BMN的面積.
∵cos∠MBN=cos〈，〉===，
∴sin∠MBN==，
故S△BMN=·||·||·sin∠MBN=×××=.
即△BMN的面積為.
解
利用空間向量的坐標運算的一般步驟
(1)建系：根據題目中的幾何圖形建立恰當的空間直角坐標系.
(2)求坐標：①求出相關點的坐標；②寫出向量的坐標.
(3)論證、計算：結合公式進行論證、計算.
(4)轉化：轉化為平行與垂直、夾角與距離問題.
反
思
感
悟
　　　　　已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面△ABC的邊長AB=2，AB1⊥BC1，點O，O1分別是棱AC，A1C1的中點.建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求三棱柱的側棱長；
跟蹤訓練 3
設側棱長為b，則A(0，-1，0)，
B1(，0，b)，B(，0，0)，C1(0，1，b)，
所以=(，1，b)，=(-，1，b).
因為AB1⊥BC1，
所以·=(，1，b)·(-，1，b)=-()2+12+b2=0，
解得b=.故側棱長為.
解
(2)求異面直線AB1與BC所成角的余弦值.
由(1)知=(，1，)，=(-，1，0)，
因為||==，
||==2，
·=(，1，)·(-，1，0)=-()2+12=-2，
所以|cos〈，〉|===.所以異面直線AB1與BC所成角的余弦值為.
解
1.知識清單：
(1)空間向量運算的坐標表示.
(2)空間向量的坐標表示的應用.
2.方法歸納：類比、轉化.
3.常見誤區：
(1)由兩向量共線直接得到兩向量對應坐標的比相等.
(2)求異面直線所成的角時忽略范圍；討論向量夾角忽略向量共線的情況.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.已知M(5，-1，2)，A(4，2，-1)，O為坐標原點，若=，則點B的坐標應為
A.(-1，3，-3) B.(9，1，1)
C.(1，-3，3) D.(-9，-1，-1)
√
∵==-，
∴=+=(9，1，1).
解析
1
2
3
4
2.已知向量a=(0，-1，1)，b=(4，1，0)，|λa+b|=，且λ>0，則λ等于
A.5 B.4
C.3 D.2
√
λa+b=λ(0，-1，1)+(4，1，0)=(4，1-λ，λ)，由已知得|λa+b|==，且λ>0，解得λ=3.
解析
1
2
3
4
3.已知A(1，-2，11)，B(4，2，3)，C(6，-1，4)，則△ABC的形狀是
A.等腰三角形 B.等邊三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
因為=(3，4，-8)，=(2，-3，1)，=(5，1，-7)，
所以·=10-3-7=0，所以BC⊥AC，
而||=，||=5，
所以△ABC是直角三角形.
解析
√
1
2
3
4
4.已知A(2，-5，1)，B(2，-2，4)，C(1，-4，1)，則向量與的夾角
為　　.
∵=(0，3，3)，=(-1，1，0)，
∴||=3，||=，
·=0×(-1)+3×1+3×0=3，
∴cos〈，〉==，
又∵〈，〉∈［0，π］，∴〈，〉=.
解析
課時對點練
五
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6 9
答案 A A A A C - C
題號 10 11 12
答案 ∪ 90°　1
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵a=(1，2，-1)，b=(-2，3，4)，
∴ka+b=(k-2，2k+3，-k+4)，
a-2b=(5，-4，-9)，
(1)∵(ka+b)∥(a-2b)，
∴，
解得k=-.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)∵(ka+b)⊥(a-2b)，
∴(ka+b)·(a-2b)=0，
即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0， 解得k=.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，D為坐標原點，
則E，F，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
=，
=(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1).
∴·×(-1)+×0+×(-1)=0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
8.
答案
1
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3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)∵F，H，
∴，
∴||=
=.
∴FH的長為.
8.
答案
1
2
3
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5
6
7
8
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10
11
12
(3)∵C1(0，1，1)，G，
∴-(0，1，1)=.
∴||=.
由(1)得·×0+××(-1)=，||=，
∴|cos 〈，〉|==.
即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.
基礎鞏固
1.已知a=(1，-2，1)，a-b=(-1，2，-1)，則b等于
A.(2，-4，2) B.(-2，4，-2)
C.(-2，0，-2) D.(2，1，-3)
答案
1
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3
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5
6
7
8
9
10
11
12
b=a-(a-b)=(1，-2，1)-(-1，2，-1)=(2，-4，2).
解析
√
設點C的坐標為(x，y，z)，
則=(x，y，z)，又=(-3，-2，-4)，=，
所以x=-，y=-，z=-，
所以點C的坐標是.
解析
2.已知點A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若=，則點C的
坐標是
A. B.
C. D.
√
答案
1
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5
6
7
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11
12
3.已知a=(1，0，1)，b=(-2，-1，1)，c=(3，1，0)，則|a-b+2c|等于
A.3 B.2
C. D.5
√
∵a-b+2c=(9，3，0)，
∴|a-b+2c|==3.
解析
答案
1
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3
4
5
6
7
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9
10
11
12
4.若A(m+1，n-1，3)，B(2m，n，m-2n)，C(m+3，n-3，9)三點共線，則m+n的值為
A.0 B.-1
C.1 D.-2
√
因為=(m-1，1，m-2n-3)，=(2，-2，6)，由題意得∥==，所以m=0，n=0，所以m+n=0.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.已知點A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，則A，B兩點的距離的最小值為
A. B.
C. D.
√
答案
1
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3
4
5
6
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10
11
12
答案
1
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5
6
7
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9
10
11
12
因為點A(1-t，1-t，t)，B(2，t，t)，所以=(1+t，2t-1，0)，
所以||2=(1+t)2+(2t-1)2+0=5t2-2t+2，
易知當t=時，||2取得最小值，
即A，B兩點的距離的最小值為.
解析
6.已知向量a=(2，-3，0)，b=(k，0，3)，若a與b的夾角為120°，則實數k的值為　　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
-
由題意知，cos 120°===-=，k2=39，顯然k<0，所以k=-.
解析
7.若a=(1，2，-1)，b=(-2，3，4).
(1)若(ka+b)∥(a-2b)，求實數k的值；
答案
1
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7
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11
12
∵a=(1，2，-1)，b=(-2，3，4)，
∴ka+b=(k-2，2k+3，-k+4)，
a-2b=(5，-4，-9)，
∵(ka+b)∥(a-2b)，
∴==，解得k=-.
解
(2)若(ka+b)⊥(a-2b)，求實數k的值.
答案
1
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11
12
∵(ka+b)⊥(a-2b)，
∴(ka+b)·(a-2b)=0，
即5(k-2)-4(2k+3)-9(-k+4)=0，
解得k=.
解
8.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG=CD，H為C1G的中點.
(1)求證：EF⊥B1C；
答案
1
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3
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5
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11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，D為坐標原點，
則E，F，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
=-=，
=(0，1，0)-(1，1，1)=(-1，0，-1).
∴·=×(-1)+×0+×(-1)=0，∴⊥，
即EF⊥B1C.
證明
(2)求FH的長；
答案
1
2
3
4
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6
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11
12
∵F，H，
∴=，
∴||==.
∴FH的長為.
解
(3)求異面直線EF與C1G所成角的余弦值.
答案
1
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3
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11
12
答案
1
2
3
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7
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10
11
12
∵C1(0，1，1)，G，
∴=-(0，1，1)=.
∴||=.
由(1)得·=×0+×+×(-1)=，||=，
∴|cos 〈〉|==.
即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.
解
9.已知向量a=(1，2，3)，b=(-2，-4，-6)，|c|=，若(a+b)·c=7，則a與c的夾角為
A.30° B.60°
C.120° D.150°
答案
1
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10
11
12
√
綜合運用
答案
1
2
3
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5
6
7
8
9
10
11
12
a+b=(-1，-2，-3)=-a，
故(a+b)·c=-a·c=7，得a·c=-7，
而|a|==，
所以cos〈a，c〉==-，
所以〈a，c〉=120°.
解析
10.已知向量a=(5，3，1)，b=，若a與b的夾角為鈍角，則
實數t的取值范圍為　　　　　　　　　 .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∪
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由已知得a·b=5×(-2)+3t+1×=3t-，
因為a與b的夾角為鈍角，
所以a·b<0，即3t-<0，所以t<.
若a與b的夾角為180°，
則存在λ<0，使a=λb，
即(5，3，1)=λ，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以所以t=-，
故實數t的取值范圍是∪.
解析
11.已知向量a=(-2，1，1)，點A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2).在直線AB上，存在
一點E，使得⊥a，其中O為坐標原點，則點E的坐標為　　　　　　　　.
答案
1
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5
6
7
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10
11
12
能力提升
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設=λ，因為A(-3，-1，4)，B(-2，-2，2)，所以=(1，-1，-2)，=(λ，-λ，-2λ)，=(3，1，-4)，=-=(λ-3，-λ-1，-2λ+4)，因為⊥a，
所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0，解得λ==，即點E的坐標為.
解析
12.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動，則直線D1E與A1D所成角的大小為　 ，若D1E⊥EC，則AE=　 .
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
90°
1
在長方體ABCD-A1B1C1D1中，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.又AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動.
則D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，設E(1，m，0)，0≤m≤2，
則=(1，m，-1)，=(-1，0，-1)，
∴·=-1+0+1=0，
∴直線D1E與A1D所成角的大小為90°.
∵=(-1，2-m，0)，D1E⊥EC，
∴·=-1+m(2-m)+0=0，
解得m=1，∴AE=1.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
第一章　§1.3　空間向量及其運算的坐標表示
<<<作業6　空間向量運算的坐標表示
分值：80分
單選題每小題5分，共30分
1.已知a＝(1，－2，1)，a－b＝(－1，2，－1)，則b等于
A.(2，－4，2) B.(－2，4，－2)
C.(－2，0，－2) D.(2，1，－3)
2.已知點A(3，4，5)，B(0，2，1)，O(0，0，0)，若，則點C的坐標是
A. B.
C. D.
3.已知a＝(1，0，1)，b＝(－2，－1，1)，c＝(3，1，0)，則|a－b＋2c|等于
A.3 B.2 C. D.5
4.若A(m＋1，n－1，3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3，9)三點共線，則m＋n的值為
A.0 B.－1 C.1 D.－2
5.已知點A(1－t，1－t，t)，B(2，t，t)，則A，B兩點的距離的最小值為
A. B. C. D.
6.已知向量a＝(2，－3，0)，b＝(k，0，3)，若a與b的夾角為120°，則實數k的值為　　　　.
7.(15分)若a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4).
(1)若(ka＋b)∥(a－2b)，求實數k的值；(7分)
(2)若(ka＋b)⊥(a－2b)，求實數k的值.(8分)
8.(15分)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為D1D，BD的中點，G在棱CD上，且CG＝CD，H為C1G的中點.
(1)求證：EF⊥B1C；(5分)
(2)求FH的長；(5分)
(3)求異面直線EF與C1G所成角的余弦值.(5分)
9.已知向量a＝(1，2，3)，b＝(－2，－4，－6)，|c|＝，若(a＋b)·c＝7，則a與c的夾角為
A.30° B.60° C.120° D.150°
10.已知向量a＝(5，3，1)，b＝，若a與b的夾角為鈍角，則實數t的取值范圍為　　　　　　　　　　　　　　　　.
11.已知向量a＝(－2，1，1)，點A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2).在直線AB上，存在一點E，使得⊥a，其中O為坐標原點，則點E的坐標為　　　　　　　　　.
12. 如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點E在棱AB上移動，則直線D1E與A1D所成角的大小為　　　，若D1E⊥EC，則AE＝　　　　.
答案精析
1.A　[b＝a－(a－b)＝(1，－2，1)－(－1，2，－1)＝(2，－4，2).]
2.A　[設點C的坐標為(x，y，z)，
則＝(x，y，z)，
又＝(－3，－2，－4)，
，
所以x＝－，y＝－，z＝－，
所以點C的坐標是
.]
3.A　[∵a－b＋2c＝(9，3，0)，
∴|a－b＋2c|＝＝3.]
4.A　[因為＝(m－1，1，m－2n－3)，＝(2，－2，6)，
由題意得∥，
所以，
所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0.]
5.C　[因為點A(1－t，1－t，t)，
B(2，t，t)，
所以＝(1＋t，2t－1，0)，
所以||2＝(1＋t)2＋(2t－1)2＋0＝5t2－2t＋2，
易知當t＝時，||2取得最小值，即A，B兩點的距離的最小值為.]
6.－
解析　由題意知，cos 120°＝＝－，
即，k2＝39，
顯然k<0，所以k＝－.
7.解　∵a＝(1，2，－1)，b＝(－2，3，4)，
∴ka＋b＝(k－2，2k＋3，－k＋4)，
a－2b＝(5，－4，－9)，
(1)∵(ka＋b)∥(a－2b)，
∴，
解得k＝－.
(2)∵(ka＋b)⊥(a－2b)，
∴(ka＋b)·(a－2b)＝0，
即5(k－2)－4(2k＋3)－9(－k＋4)＝0， 解得k＝.
8.(1)證明　如圖，建立空間直角坐標系Dxyz，D為坐標原點，
則E，F，C(0，1，0)，B1(1，1，1)，
＝，
＝(0，1，0)－(1，1，1)＝(－1，0，－1).
∴·×(－1)＋×0＋×(－1)＝0，
∴⊥，即EF⊥B1C.
(2)解　∵F，
H，
∴，
∴||＝
＝.
∴FH的長為.
(3)解　∵C1(0，1，1)，G，
∴－(0，1，1)
＝.
∴||＝.
由(1)得·×0＋××(－1)＝，
||＝，
∴|cos 〈〉|＝
＝.
即異面直線EF與C1G所成角的余弦值為.
9.C　[a＋b＝(－1，－2，－3)＝－a，
故(a＋b)·c＝－a·c＝7，
得a·c＝－7，
而|a|＝，
所以cos〈a，c〉＝＝－，
所以〈a，c〉＝120°.]
10.∪
解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，
因為a與b的夾角為鈍角，
所以a·b<0，
即3t－<0，所以t<.
若a與b的夾角為180°，
則存在λ<0，使a＝λb，
即(5，3，1)＝λ，
所以所以t＝－，
故實數t的取值范圍是∪.
11.
解析　設＝λ，
因為A(－3，－1，4)，B(－2，－2，2)，
所以＝(1，－1，－2)，
＝(λ，－λ，－2λ)，
＝(3，1，－4)，＝(λ－3，－λ－1，－2λ＋4)，
因為⊥a，
所以－2(λ－3)＋(－λ－1)＋(－2λ＋4)＝0，解得λ＝，
所以，
即點E的坐標為.
12.90°　1
解析　在長方體ABCD－A1B1C1D1中，以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.又AD＝AA1＝1，
AB＝2，點E在棱AB上移動.
則D(0，0，0)，D1(0，0，1)，A(1，0，0)，A1(1，0，1)，C(0，2，0)，
設E(1，m，0)，0≤m≤2，
則＝(1，m，－1)，
＝(－1，0，－1)，
∴·＝－1＋0＋1＝0，
∴直線D1E與A1D所成角的大小為90°.
∵＝(－1，2－m，0)，D1E⊥EC，
∴·＝－1＋m(2－m)＋0＝0，
解得m＝1，∴AE＝1.

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