資源簡介

函數中參數問題的類型與解法
【大綱解讀】
理解參數的定義，掌握參數分類討論的法則與基本方法；
能夠運用參數分類討論的法則與基本方法，解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、參數的基本概念：
1、參數的定義：數學問題中取值不能確定的字母，稱為參數。
2、理解參數定義時應該注意的問題：理解參數定義時應該抓住參數的兩個特征：①參數是數學問題中的一個字母；②這個字母的取值不確定。
二、參數分類討論的法則與基本方法：
1、參數分類討論的法則：參數分類討論的法則是不重復不遺漏。①若問題中涉及到一元二次方程（或一元二次函數，或一元二次不等式）的二次項系數，則應按參數是否等于零進行分類；②若問題中涉及到一元二次方程（或一元二次函數，或一元二次不等式）的兩個根（或兩個零點）含參數，則應按兩根（或兩個零點）的大小進行分類；③若一元二次函數圖像的對稱軸含有參數，則應按對稱軸在問題給定區間的左邊，之間，右邊進行分類；④若一元二次函數給定的區間含參數，則應按給定區間在一元二次函數圖像對稱軸的左邊，之間，右邊進行分類；⑤若問題中含有（參數為實數）的條件，則應按參數大于零，等于零，小于零進2、參數分類討論的基本方法：①根據問題給定的條件，分辨清楚問題參數所屬的類型；②按照該類參數問題分類討論的法則對參數進行正確的分類；③在②的基礎上對參數各種取值情況下實施問題的解答；④綜合得出問題解答的結果。
三、函數問題中參數問題解答的基本方法：
1、函數問題中參數問題的類型：縱觀各類試卷，函數中的參數問題，歸結起來主要包括：①函數概念中的參數問題；②函數性質中的參數問題；③函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題；④函數零點中的參數問題等幾種類型。
2、解答函數問題中參數問題的基本方法：①根據問題給定的條件，分辨清楚問題所屬的類型；②運用該類型問題的解答思路和解答的基本方法，對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果。
考點1函數概念中的參數問題:熱點①，已知函數含有參數的解析式，求函數的定義域；熱點②，已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
考點2函數性質中的參數問題：熱點①，已知函數含有參數的解析式，判斷（或證明）函數的單調性（或奇偶性，或周期性）；熱點②，已知函數的單調性（或奇偶性，或周期性），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
考點3函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題；熱點①，已知函數含有參數的解析式，求函數的值（或函數值域，或函數最值）；熱點②，已知函數的值（或函數值域，或函數最值），求參數的值（或取值范圍）；
考點4函數零點中的參數問題：熱點①，已知函數含有參數的解析式，求函數零點（或函數零點的個數）；熱點②，函數零點（或函數零點的個數），求參數的值（或取值范圍）。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
求函數y= (a＞0且a≠1)的定義域。
2、已知函數f(x)= 的定義域是R，求實數a的取值范圍；
2、若函數f(x)= 的定義域為R，則實數a的取值范圍是 ；
4、已知函數y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定義域為R，求實數a的取值范圍。
『思考問題1』
【典例1】是函數概念中的參數問題，解答這類問題需要理解函數定義域和參數的定義，掌握求函數定義域的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
函數概念中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，求函數的定義域；
②已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）兩種類型；
解答已知函數含有參數的解析式，求函數的定義域問題的基本方法是：①根據函數定義域和參數的性質；②運用求函數定義域的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法分別對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果；
解答已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：
①根據問題條件得到關于參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組）；②求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組），求出參數的值（或取值范圍）；③得出問題解答的結果。
〔練習1〕解答下列問題：
求函數y=(a＞0且a≠1)的定義域。
2、已知函數f(x)= 的定義域是R，求實數a的取值范圍；
3、若函數f(x)= 的定義域為R，則實數a的取值范圍是 。
【典例2】解答下列問題：
1、已知函數f(x)=+1，x≥1，在R上是增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
(2-a)x+2，x<1，
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
2、若函數f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值為4，且函數g(x)=（1-m）在
R上是減函數，則實數m的取值范圍為（ ）
A m>1 B m<1 C m>0 D m<0
已知函數f(x)=-2ax-3在區間[1，2]上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍為（ ）
A （-∞，1） B （-∞，1] C （2，+∞） D [2，+∞）
4、已知函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)= ，則實數a的取值范圍為（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
5、已知函數f(x) = 2023+2024x，x≤0，為奇函數，則a+b=（ ）
a+bx，x>0，
A -1 B 0 C 1 D 2
6、若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數，則實數a= 。
7、設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，
，0x≤1，
其中a，b∈R，若f()=f()，則a+3b的值為 。
8、討論函數f(x)=x+ (a＞0)的單調性。
9、已知函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，求實數a的取值范圍。
10、設函數f(x)=lg，若當x(-∞,1〕時，f(x)有意義，求實數a的取值范圍。
11、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）證明函數f(x)是奇函數；
（3）判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍。
12、若函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數。
求實數a的值，并證明函數f(x)的單調性；
若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求實數k的取值范圍。
『思考問題2』
【典例2】是函數性質中的參數問題，解答這類問題需要理解函數單調性（或奇偶性，或周期性）和參數的定義，掌握判斷（或證明）函數單調性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
（2）函數性質中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，判斷（或證明）函數的單調性（或奇偶性，或周期性）；②，已知函數的單調性（或奇偶性，或周期性），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
（3）解答已知函數含有參數的解析式，判斷（或證明）函數的單調性（或奇偶性，或周期性）的基本方法是：①根據函數單調性（或奇偶性，或周期性）和參數的性質；②運用判斷（或證明）函數單調性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法分別對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果；
（4）解答已知函數的單調性（或奇偶性，或周期性），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：①根據問題條件得到關于參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組）；②求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組），求出參數的值（或取值范圍）；③得出問題解答的結果。
〔練習2〕解答下列問題：
如果函數f(x)=a+2x-3在區間（-∞，4）上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是（ ）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
2、若函數f(x)=+（2a-1）x+1在區間（-∞，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）
A （-，+∞） B （-∞，-] C （3，+∞） D （-∞，-3]
3、已知函數f(x)是定義在[0，+∞）上的減函數，則當f(2a-1)>f()時，實數a的取值范圍為（ ）
A （，+∞） B （-∞，） C （，） D （，）
4、已知函數f(x)= （2-a）x+1，x＜1，滿足對任意，都有＞0成立，
，x1，那么實數a的取值范圍是 。
5、若函數f(x)= 為奇函數，則a= 。
6、討論函數f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的單調性
7、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)，求證函數f(x)是奇函數。
8、已知函數f(x)= (a＞1)。
（1）判斷函數f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。
9、定義在區間D={x\x0}上的函數f(x)，對a，bD，都有f(ab)=f(a)+f(b)，且當x>1時，f(x)>0。
判斷函數f(x)的奇偶性，并證明；
判斷函數f(x)在（0，+）上的單調性，并證明；
若f(2)=3，求滿足不等式f(3m+2)+f(m-1)-3<0的實數m的取值范圍。
【典例3】解答下列問題：
1、設函數f(x)= 3x-1，x＜1，則滿足f(f(a))= ，的a的取值范圍是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
2、已知函數f(x)= -+2x (x≤0),若| f(x)|≥ax，則a的取值范圍是（ ）
ln(x+1) (x＞0)
A （-∞，0〕 B （-∞，1〕 C 〔-2，1〕 D 〔-2，0〕
3、設直線x=t與函數f(x)=，g(x)=lnx的圖像分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為（ ）
A 1 B C D
4、設a∈R,若x＞0時均有〔（a-1）x-1〕(-ax-1)≥0,則a= 。
5、已知函數f(x)=a- ，a為一個正的常數，且f(f())=-，則a的值為 。
6、已知實數a0，函數f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，則實數a的值為 。
-x-2a，x≥1，
7、設a＞1，求函數f(x)= 在區間〔2,4〕上的最大值和最小值；
8、已知函數f(x)= -ax-1。
（1）若函數f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使函數f(x)在（-1,1）上單調遞減？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由。
9、已知函數f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函數f(x)在區間〔0,2〕的最小值。
10、已知函數f(x)=ax- ，x∈（0,2〕。
（1）若函數f(x) 在區間（0,2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x) 在區間（0,2〕上的最大值。
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在區間〔1,3〕上的最大值為M(a)，最小值為N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函數表達式；
（2）判斷g(a)的單調性并求出g(a)的最小值。
12、已知函數f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）當a=時，求函數f(x)的最小值；
（2）若對任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，試求實數a的取值范圍。
『思考問題3』
【典例3】是函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題，解答這類問題需要理解函數值（或函數值域，或函數最值）和參數的定義，掌握求函數值（或函數值域，或函數最值）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
（2）函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，求函數值（或函數值域，或函數最值）；②已知函數值（或函數值域，或函數最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）兩種類型；
（3）解答已知函數含有參數的解析式，求函數值（或函數值域，或函數最值）的基本方法是：①根據函數值（或函數值域，或函數最值）和參數的性質；②運用求函數值（或函數值域，或函數最值）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法分別對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果；
（4）解答已知已知函數值（或函數值域，或函數最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：①根據問題條件得到關于參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組）；②求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組），求出參數的值（或取值范圍）；③得出問題解答的結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若存在正數x使（x-a）＜1成立，則a的取值范圍是（ ）
A （-∞，+∞） B （-2，+∞） C （0，+∞） D （-1，+∞）
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域為R，那么a的取值范圍是（ ）
lnx，x≥1，
A （-，-1］ B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、設常數a＞0,若9x+≥a+1對一切正實數x成立，則實數a的取值范圍為 。
4、若f(x)=+bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求f(-1)的值。
5、設k∈R，函數f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值。
6、已知a≥0,函數f(x)=( -2ax) ，求函數f(x)的最小值。
7、若函數f(x)= 。
（1）若f(x)的定義域是R，求實數m的取值范圍；
（2）當m＞1時，求函數f(x)的最小值。
8、已知函數f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函數f(x)在(0,1〕上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x)在(0,1〕上的最大值。
【典例4】解答下列問題：
1、若a＜b＜c，則函數f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區間（ ）
A （a，b）和（b，c）內 B （-，a）和（a，b）內
C （b，c）和（c，+）內 D （-，a）和（c，+）內
2、滿足a，b{-1，0，1，2}，且關于x的方程a+2x+b=0有實數解的有序數對（a，b）的個數為（ ）
A 14 B 13 C 12 D 10
3、設函數f(x)= -ax(a＞0)的零點都在區間〔0，5〕上，且函數g(x)= 與函數h(x)= -a的圖像的交點的橫坐標為正整數，則實數a的取值有（ ）
A 3個 B 4個 C 5個 D 無數個
4、函數f(x)= --a的一個零點在區間（1，2）內，則實數a的取值范圍是（ ）
A （1，3） B （1，2） C （0，3） D （0，2）
5、設函數f(x)= ，g(x)= a+bx(a，bR，a0)，若y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有兩個不同的公共點A（，），B（，），則下列判斷正確的是（ ）
A 當a＜0時，+＜0，+＞0 B 當a＜0時，+＞0，+＜0
C 當a＞0時，+＜0，+＜0 D 當a＞0時，+＞0，+＞0
6、若一元二次方程a+2x+1=0（a0）有一個正根和一個負根，則有（ ）
A a＜0 B a＞0 C a＜-1 D a＞1
7、已知函數f(x)= x+x-b(a＞0，且a≠1)，當2＜a＜3＜b＜4時，函數f(x)的零點∈（n，n+1），n∈，則n= ；
8、已知函數f(x)=|+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍是 ；
9、方程+（m-2）x+5-m=0的兩根都大于2，則m的取值范圍為 ；
10、已知函數f(x)= +（-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數a的取值范圍；
11、已知函數f(x)= m+（m-3）x+1的零點至少有一個大于0，求實數m的取值范圍。
12、已知函數f(x)=-+2ex+m-1，g(x)=x+(x＞0)。
（1）若g(x)=m有零點，求m的取值范圍；
（2）確定m的取值范圍，使得g(x)- f(x)=0有兩個相異實根。
『思考問題4』
【典例4】是函數零點中的參數問題，解答這類問題需要理解函數零點和參數的定義，掌握求函數零點的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
函數零點中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，求函數零點（或函數零點的個數）；②已知函數零點（函數零點的個數，或函數零點所在的區間），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）兩種類型；
解答已知函數含有參數的解析式，求函數零點（或函數零點的個數）問題的基本方法是：①根據參數分類討論的法則與基本方法，對參數進行正確的分類；②在①的基礎上分別求出函數的零點（或函數零點的個數）；③綜合得出問題解答的結果；
（4）解答已知函數零點（或函數零點的個數，或函數零點所在的區間）求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法有：①直接法；②分離參數法；③數形結合法；
（5）直接法的基本方法是：①判斷函數的單調性；②利用零點存在定理得到關于參數的不等式（或不等式組），③求解不等式（或不等式組）得出參數的值（或取值范圍）；
（6）分離參數法的基本方法是：①把原函數解析式中的參數分離出來與一個新函數構成不等式；②求出新函數的最值；③得出參數的值（或取值范圍）；
（7）數形結合法的基本方法是：①對解析式變形，化為兩個函數相等的等式；②在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖像；③根據所作函數圖像得出參數的值（或取值范圍）。
〔練習4〕解答下列問題：
1、若函數f(x)=3ax+1-2a在區間（-1，1）內存在一個零點，則a的取值范圍是（）
A a＞ B a＞或a＜-1 C -1＜a＜ D a＜-1
2、已知方程| -a|-x+2=0(a＞0)有兩個不等的實數根，則實數a的取值范圍是（ ）
A 0＜a＜4 B a＞4 C 0＜a＜2 D a＞2
3、已知函數f(x)= x ，x 0，若函數g(x)=f(x)-m有三個不同的零點，則實數m的取值范
-x，x＞0，圍是（ ）
A ［-，1］ B ［-，1） C （-，0） D （-，0］
4、已知函數f(x)=2（m+1）+4mx+2m-1的一個零點為1，則函數f(x)的所有零點為 ；
5、若函數f(x)= -2x-a在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是 。
6、已知函數f(x)= +x+a（a＜0）在區間（0，1）上有零點，則a的取值范圍為 。
7、若函數f(x)=| -2|-b有兩個零點，則實數b的取值范圍是 。
8、已知函數f(x)= x+x-b(a＞0且a1)，當2＜a＜3＜b＜4時，函數f(x)的零點x （n，n+1），nN，則n= 。
9、若函數f(x)= (m-2)+mx+2m+1的兩個零點分別在區間（-1，0）和區間（1，2）內，則實數m的取值范圍是 。
10、若方程-2mx+2=0的兩個不同根都小于1，則實數m的取值范圍是 。
11、已知函數f(x)= 2(m+1)+4mx+2m-1，如果函數的兩個零點在原點的兩側，則實數m的取值范圍是 。
12、方程-（k+2）x+1-3k=0有兩個不等的實數根 ，，且0＜＜1＜＜2，則實數k的取值范圍是 。
13、若方程a-x-1=0在（0，1）內恰有一解，求實數a的取值范圍。
【雷區警示】
【典例5】解答下列問題：
函數f(x)=在[0，1]上最大值與最小值的和為3，則a=（ ）
A B 2 C 4 D
2、已知實數a0，函數f(x)= 2x+a，x<1，若f(1-a)= f(1+a)=，則a的值為 。
-x-2a，x≥1，
3、若函數f(x)=-x-a（a>0，且a1） 有兩個零點，則實數a的取值范圍是 。
4、已知函數函數f(x)= +2xtan-1，x[-1，]，其中（-，）。
當=時，求函數f(x)的最大值與最小值；
求的取值范圍，使y=f(x)在區間[-1，]上是單調函數。
『思考問題5』
【典例5】是解答函數中參數問題時容易觸碰的雷區，該類問題常見的雷區主要包括：①忽視函數解析式有意義（或隱含）的條件；②忽視分段函數求值時，各段的定義域；③忽視問題涉及到的基本知識點及運用基本知識點解答問題的正確方法；④忽視數學轉化思想的正確運用；
（2）解答函數中參數問題時，為避免忽視函數解析式有意義（或隱含）的條件的雷區，注意從函數解析式中挖掘其有意義（或隱含）的條件；
（3）解答函數中參數問題時，為避免分段函數求值時，各段的定義域的雷區，注意分辨所求函數值的自變量屬于分段函數中的哪一段，從而選取正確的函數解析式求出函數值。
（4）解答函數中參數問題時，為避免忽視問題涉及到的基本知識點及運用基本知識點解答問題的正確方法的雷區，需要對問題涉及的基本知識點是什么，運用該基本知識點解答問題的正確方法是怎樣的，做到心中有數；
（5）解答函數中參數問題時，為避免忽視數學轉化思想正確運用的雷區，需要理解并掌握數學的轉化思想，注意數學轉化思想的正確運用。
〔練習5〕解答下列各題：
已知函數f(x)= +x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值與最小值之和為2+6，則a的值為 。
2、若關于x的方程+a+a+1=0有實根，則實數a的取值范圍是 。
3、已知函數函數f(x)= +3x-5，x[t，t+1]，若函數f(x)的最小值為h(t)，寫出h(t)的表達式。
【追蹤考試】
【典例6】解答下列問題：
1、已知關于x的方程-a+4=0有一個大于22的實數根，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市2024-2025學年度高一上期期末調研考試）
A （0，5） B （4，5） C （4，+） D （5，+）
+ax-a+1，x≤0，（成都市2024-2025學年度高一上期期末調研考試）
2、函數f(x)= ln（x+2）-a，x>0，若f()=f(0)（>0），= ；若函數f(x)有三個零點，則實數a的取值范圍是 。
x+1，x≤a，
3、若函數f(x)= -3x+2，x>a，恰有兩個零點，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市2024-2025學年度高一上期期末名校聯盟考試）
A （-，1]（2，+） B （-，-1）（1，+）
C （-，-1）[1，2） D （-1，1]（2，+）
4、已知函數f(x)=+1，x≥1，在R上是增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
(2-a)x+2，x<1，（成都市2023-2024學年度高一上期期末名校聯盟考試）
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
5、已知函數f(x)=（m+4x+3），mR，若函數f(x)在區間[-1，+）上單調遞增，則m的取值范圍為（ ）（成都市2023-2024學年度高一上期期末名校聯盟考試）
A （-，2] B [2，+） C （，2] D （0，2]
6、若函數f(x)= -a，x<2，恰有四個零點，則實數a的取值范圍是 。
（x-a）（x-2a），x≥2，（成都市2023-2024學年度高一上期期末名校聯盟考試）
7、（多選）已知一元二次方程+（m+1）x+ =0(mZ），有兩個實數根，，且0<
<1<<3，則實數m的值為（ ）（成都市2023-2024學年度高一上期期末調研考試）
A -2 B -3 C -4 D -5
8、（多選）已知函數 f(x)=+x-2，g(x)=lnx+x-2，且 f(a)=g(b)=0，則下列結論正確的是（ ）（成都市2023-2024學年度高一上期期末調研考試）
A a<1『思考問題6』
（1）【典例6】是近幾年高一上期期末調研考試（或名校聯盟考試）試卷中關于函數中參數問題的試題，歸結起來主要包括：①函數概念的參數問題；②函數性質的參數問題；③函數值（或函數值域，或函數最值）的參數問題；④函數零點的參數問題等幾種類型；
（2）解答問題的基本方法是：①根據問題的結構特征，分辨清楚問題屬于哪一類型；②按照解答該種類型問題的基本思路和方法實施解答；③得出問題解答的結果。
〔練習6〕解答下列問題：
若m是方程x+lnx-3=0的根，則下列選項正確的是（ ）（成都市2022-2023學年度高一上期期末名校聯盟考試）
A 12、已知函數f(x)=-1的定義域為[m，n]（m，n為整數），值域為[0，]，則滿足條件的整數對（m，n）共有（ ）對（成都市2022-2023學年度高一上期期末名校聯盟考試）
A 3 B 4 C 5 D
3、（多選）已知函數 f(x)=x，x（0，1），若函數g(x)= f(x)-m恰有兩個零點，則實數m
-+4x-3，x[1，+），不可能是（ ）（成都市2022-2023學年度高一上期期末名校聯盟考試）
A -2 B -1 C 0 D 1
4、（多選）已知函數 f(x)=+6x，x≤0，若關于x的方程4（x）-4 f(x)+2+3=0有5個不同的實根，則實數可能取值有（ ）
-1，x>0，（成都市2022-2023學年度高一上期期末名校聯盟考試）
A - B - C - D -
5、已知函數f(x)= 在[1，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）（成都市2021-2022學年度高一上期期末調研考試）
A [2，4] B [-2，+） C [-4，-2] D （-，-4]
已知函數f(x)是定義在R上的偶函數，且對區間（- ，0]上的任意，，當時，都有<0，若實數t滿足f（2t+1） f（t-3），則t的取值范圍是 。（成都市2021-2022學年度高一上期期末調研考試）
函數中參數問題的類型與解法
【大綱解讀】
理解參數的定義，掌握參數分類討論的法則與基本方法；
能夠運用參數分類討論的法則與基本方法，解答相關的數學問題。
【知識精講】
一、參數的基本概念：
1、參數的定義：數學問題中取值不能確定的字母，稱為參數。
2、理解參數定義時應該注意的問題：理解參數定義時應該抓住參數的兩個特征：①參數是數學問題中的一個字母；②這個字母的取值不確定。
二、參數分類討論的法則與基本方法：
1、參數分類討論的法則：參數分類討論的法則是不重復不遺漏。①若問題中涉及到一元二次方程（或一元二次函數，或一元二次不等式）的二次項系數，則應按參數是否等于零進行分類；②若問題中涉及到一元二次方程（或一元二次函數，或一元二次不等式）的兩個根（或兩個零點）含參數，則應按兩根（或兩個零點）的大小進行分類；③若一元二次函數圖像的對稱軸含有參數，則應按對稱軸在問題給定區間的左邊，之間，右邊進行分類；④若一元二次函數給定的區間含參數，則應按給定區間在一元二次函數圖像對稱軸的左邊，之間，右邊進行分類；⑤若問題中含有（參數為實數）的條件，則應按參數大于零，等于零，小于零進2、參數分類討論的基本方法：①根據問題給定的條件，分辨清楚問題參數所屬的類型；②按照該類參數問題分類討論的法則對參數進行正確的分類；③在②的基礎上對參數各種取值情況下實施問題的解答；④綜合得出問題解答的結果。
三、函數問題中參數問題解答的基本方法：
1、函數問題中參數問題的類型：縱觀各類試卷，函數中的參數問題，歸結起來主要包括：①函數概念中的參數問題；②函數性質中的參數問題；③函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題；④函數零點中的參數問題等幾種類型。
2、解答函數問題中參數問題的基本方法：①根據問題給定的條件，分辨清楚問題所屬的類型；②運用該類型問題的解答思路和解答的基本方法，對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果。
考點1函數概念中的參數問題:熱點①，已知函數含有參數的解析式，求函數的定義域；熱點②，已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
考點2函數性質中的參數問題：熱點①，已知函數含有參數的解析式，判斷函數的單調性（或奇偶性，或周期性）；熱點②，已知函數的單調性（或奇偶性，或周期性），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
考點3函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題；熱點①，已知函數含有參數的解析式，求函數的值（或函數值域，或函數最值）；熱點②，已知函數的值（或函數值域，或函數最值），求參數的值（或取值范圍）；
考點4函數零點中的參數問題：熱點①，已知函數含有參數的解析式，求函數零點（或函數零點的個數）；熱點②，函數零點（或函數零點的個數），求參數的值（或取值范圍）。
【典例解析】
【典例1】解答下列問題：
求函數y= (a＞0且a≠1)的定義域。
解析】
【知識點】①二次根式定義與性質；②對數定義與性質；③求解不等式的基本方法；④參數分類討論的法則與基本方法。
【解題思路】根據二次根式和對數的性質，運用求解不等式的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法，結合問題條件得到關于x的不等式，求解不等式分別求出自變量x的取值范圍，就可求出函數y= (a＞0且a≠1)的定義域。
【詳細解答】函數f(x)有意義，必有 （x-1）0，且x-1>0,①當a>1時， x-11，且x-1>0,解之得： x2；②當00,解之得：11時，函數y= (a＞0且a≠1)的定義域為[2，+），②當0已知函數f(x)= 的定義域是R，求實數a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①三次根式的定義與性質；②分式的定義與性質；③一元二次函數的定義，圖像與性質；④一元二次方程根的判別式。
【解題思路】根據立方根，分式和一元二次函數的性質，運用一元二次方程根的判別式，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為R，a+ax-3≠0在R上恒成立，①當a=0，a+ax-3=0+0-3=-3≠0成立；②當a≠0時，a+ax-3≠0在R上恒成立，方程a+ax-3=0無實數解，=+12a<0，-12若函數f(x)= 的定義域為R，則實數a的取值范圍是 。
【解析】
【知識點】①二次根式的定義與性質；②指數函數的定義與性質；③一元二次函數的定義，圖像與性質；④一元二次方程根的判別式。
【解題思路】根據函數定義域，二次根式和一元二次函數的性質，運用一元二次方程根的判別式，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式，就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為R，-10在R上恒成立，1在R上恒成立，-2ax-a0在R上恒成立，=4+4a0，-1a0，函數f(x)的定義域為R，實數a的取值范圍是[-1，0]。
已知函數y=lg［(-1)+(a+1)x+1］的定義域為R，求實數a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①對數函數的定義與性質；②復合函數的定義與性質；③一元二次函數的定義，圖像與性質；④一元二次方程根的判別式；⑤參數分類討論的數學思想與方法。
【解題思路】根據對數函數，復合函數和一元二次函數的性質，運用一元二次方程根的判別式和參數分類討論的法則與基本方法，結合問題條件得到各種情況下關于a的不等式，分別求解不等式，就可綜合求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為R， (-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，①當a=-1時，(-1)+(a+1)x+1>01>0成立；②當a=1時，(-1)+(a+1)x+1>02x+1>0，x（-，-）時，2x+1<0與題意不符；③當a≠1時，(-1)+(a+1)x+1>0在R上恒成立，-1>0，且=-4(-1)< 0，解之得： a>或a<-1；綜上所述，當函數f(x)的定義域為R時，實數a的取值范圍是（-，-1]（，+）。
『思考問題1』
【典例1】是函數概念中的參數問題，解答這類問題需要理解函數定義域和參數的定義，掌握求函數定義域的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
函數概念中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，求函數的定義域；
②已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）兩種類型；
解答已知函數含有參數的解析式，求函數的定義域問題的基本方法是：①根據函數定義域和參數的性質；②運用求函數定義域的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法分別對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果；
解答已知函數的定義域，求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：
①根據問題條件得到高一參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組）；②求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組），求出參數的值（或取值范圍）；③得出問題解答的結果。
〔練習1〕解答下列問題：
1、求函數y=(a＞0且a≠1)的定義域。（答案：①當a＞1時，函數y=(a＞0且a≠1)的定義域是［0，+∞）；②當0＜a＜1時，函數y=(a＞0且a≠1)的定義域是（-1，0］）
2、已知函數f(x)= 的定義域是R，求實數a的取值范圍。（答案：若函數f(x)= 的定義域是R，則實數a的取值范圍是（-，0）（0，］）
3、若函數f(x)= 的定義域為R，則實數a的取值范圍是 。（答案：若函數f(x)= 的定義域為R，則實數a的取值范圍是［0，3））
【典例2】解答下列問題：
1、已知函數f(x)=+1，x≥1，在R上是增函數，則實數a的取值范圍是（ ）
(2-a)x+2，x<1，
【解析】
【考點】①指數函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷（或證明）函數單調性的基本方法；④求解不等式組的基本方法。
【解題思路】根據指數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于a的不等式組，求解不等式組求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)在R上是增函數，a>1①，2-a>0②，a+1≥2-a+2③,聯立①②③
解得：≤a<2，若函數f(x)在R上是增函數，則實數a的取值范圍是[，2）,D正確，選D。
A （1，2） B （，2） C （1，） D [，2）
2、若函數f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值為4，且函數g(x)=（1-m）在
R上是減函數，則實數m的取值范圍為（ ）
A m>1 B m<1 C m>0 D m<0
【解析】
【考點】①指數函數定義與性質；②對數函數定義與性質；③函數單調性調研與性質；④判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據指數函數，對數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于實數m的不等式，求解不等式求出實數m的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】當a>1時，函數f(x)=x在[2，4]上單調遞增，函數f(x)=x 在[2，4]上的最大值為f(4)=4=4，解之得：a=>1；當01，此時無解，綜上所述，若函數f(x)=x（a>0，且a1） 在[2，4]上的最大值為4，則a=，函數g(x)=（1-m）在R上是減函數，1-m<0，解之得： m>1，
A正確，選A。
3、已知函數f(x)=-2ax-3在區間[1，2]上是單調遞增函數，則實數a的取值范圍為（ ）
A （-∞，1） B （-∞，1] C （2，+∞） D [2，+∞）
【解析】
【考點】①一元二次函數定義與性質；②判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據一元二次函數的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件得到關于實數a的不等式，求解不等式求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=-2ax-3在區間[1，2]上是單調遞增函數，函數f(x)=-2ax-3圖像的對稱軸x=-=a≤1，B正確，選B。
4、已知函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數，若f(1)＜1，f(5)= ，則實數a的取值范圍為（ ）
A （-1，4） B （-2，0） C （-1，0） D （-1，2）
【解析】
【知識點】①周期函數定義與性質；②偶函數定義與性質；③求解分式不等式的基本方法。
【解題思路】根據周期函數和偶函數的性質，運用求解不等式的基本方法，結合問題條件，結合問題條件得到關于a的不等式，求解不等式求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)是定義在R上的以3為周期的偶函數， f(5)= f(23-1)= f(-1)= f(1)， f(1)＜1，f(5)= ，＜1，-15、已知函數f(x) = 2023+2024x，x≤0，為奇函數，則a+b=（ ）
a+bx，x>0，
A -1 B 0 C 1 D 2
【解析】
【知識點】①奇函數定義與性質；②判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法。
【解題思路】根據奇函數的性質，運用判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法，結合問題條件求出a+b的值就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x）為奇函數，f(1）=a+b，ff(-1）=2023-2024=-1，f(1）=-f(-1），a+b=1，C正確，選C。
6、若f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數，則實數a= 。
【解析】
【知識點】①偶函數定義與性質；②求解方程的基本方法。
【解題思路】根據偶函數的性質，結合問題條件得到關于a的方程，運用求解方程的基本方法，結合問題條件就可求出實數a的值。
【詳細解答】 f(x)=(x+a)(x-4)為偶函數， f(-x)=(-x+a)(-x-4)= +（4-a）x-4a= f(x)=(x+a)(x-4)=+（a-4）x-4a，2（a-4）x=0，a=4。
7、設f(x)是定義在R上且周期為2的函數，在區間［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，
，0x≤1，
其中a，b∈R，若f()=f()，則a+3b的值為 。
【解析】
【知識點】①周期函數的定義與性質；②求解方程組的基本方法。
【解題思路】根據周期函數的性質，運用求解方程組的基本方法，結合問題條件，得到關于a，b的方程組，求解方程組求出a，b的值求出a，b的值，從而就可求出a+3b
的值。
【詳細解答】 f(x)是定義在R上且周期為2的函數，f()=f()， f(1)= f(-2+1)= f(-1)，
f()=f()=f(-2+)= f(-)，在區間［-1,1］上，f(x)= ax+1， -1x ＜0，其中a，b
-a+1=， a=2， ，0x 1，∈R，
=-a+1， b=-4，a+3b=2+3（-4）=-10。
討論函數f(x)=x+ (a＞0)的單調性。
【解析】
【知識點】①函數單調性定義與性質；②參數分類討論原則和基本方法；③判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】根據函數單調性的性質，運用參數分類討論原則與基本方法和判斷函數單調性的基本方法，結合問題條件，對參數a的可能情況分別考慮，就可綜合得出函數f(x) 的單調性。
【詳細解答】函數f(x)的定義域為（-，0）（0，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+--=（-）（1-），①當1-＞0，即＞時，f（）-f（）=（-）（1-）＜0， f（）＜f（），函數f(x) 在區間［，+∞）上是增函數；②當1-＜0，即＜時，f（）-f（）=（-）（1-）＞0， f（）＞f（），函數f(x) 在區間（0，）上是減函數；同理可得函數f(x) 在區間（-∞，］上是增函數；在區間（-，0）上是減函數；綜上所述，當a＞0時，函數f(x) 在區間（-∞，］，［，+∞）上是增函數，在區間（-，0），（0，）上是減函數。
已知函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，求實數a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①復合函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③對數函數定義與性質；④判斷復合函數單調性的法則和基本方法。
【解題思路】根據對數函數，復合函數和函數單調性的性質，運用判斷復合函數單調性的法則和基本方法，結合問題條件得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】 a>0，且a1，函數g(x)在（0，1）上單調遞減，函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，函數f(g(x))在（0，1）上單調遞增，a>1，若函數f(x)= (2-ax)在（0，1）上是x的減函數，則實數a的取值范圍是（1，+∞）。
設函數f(x)=lg，若當x(-∞,1〕時，f(x)有意義，求實數a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①復合函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③對數函數定義與性質；④判斷復合函數單調性的法則和基本方法。
【解題思路】根據復合函數，對數函數和函數單調性的性質，運用判斷復合函數單調性的法則和基本方法，結合問題條件得到>0在(-∞,1〕上恒成立，從而得出>0在(-∞,1〕上恒成立，分離參數a得到a>--在(-∞,1〕上恒成立，令h(x)= --，判斷函數h(x) 在(-∞,1〕上的單調性，求出函數h(x)在(-∞,1〕上的最大值就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】函數f(x)=lg在(-∞,1〕上有意義，>0在(-∞,1〕上恒成立，>0在(-∞,1〕上恒成立， a>--在(-∞,1〕上恒成立，設h(x)= --，函數h(x) 在(-∞,1〕上的單調遞增，當x(-∞,1〕時，= h(1)=- - =- ，a>-，若函數f(x)=lg在(-∞,1〕上有意義，則實數a的取值范圍是（-，+∞）。
11、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)。
（1）求函數f(x)的定義域；
（2）證明函數f(x)是奇函數；
（3）判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；
（4）求使f(x)＞0成立的x的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數定義域定義與性質；②復合函數定義與性質；③分式定義與性質；④對數函數定義與性質；⑤函數奇偶性定義與性質；⑥函數單調性定義與性質；⑦求函數定義域的基本方法；⑧判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法；⑨判斷（或證明）函數單調性的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數定義域，對數函數，復合函數和分式的性質，運用求函數定義域的基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的定義域；（2）根據函數奇偶性，對數函數和分式的性質，運用判斷（或證明）函數奇偶性的基本方法，結合問題條件就可證明函數f(x)是奇函數；（3）根據函數單調性，對數函數和分式的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件就可判斷并證明函數f(x)在定義域上的單調性；（4）根據底數a的兩種可能情況分別得到關于x的不等式，求解不等式就可綜合得出使f(x)＞0成立的x的取值范圍。
【詳細解答】（1）函數f(x)有意義，必有 >0，-11時，函數f（g(x)）在（-1，1）上單調遞增，函數f(x)在（-1，1）上單調遞增；
（4）①當01時， f(x)＞0，>1，01時， f(x)＞0時，x的取值范圍是（0，1）。
12、若函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數。
（1）求實數a的值，并證明函數f(x)的單調性；
（2）若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，求實數k的取值范圍。
【解析】
【考點】①奇函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷（或證明）函數單調性的基本方法；④求函數在給定區間上最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據奇函數函數和函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件就可求出實數a的值，從而證明函數f(x)的單調性；（2）根據奇函數函數的性質，結合問題條件得到實數k關于某個函數的不等式在區間[-1，1]恒成立，運用求函數最值的基本方法求出該函數在區間[-1，1]上的最值，就可求出實數k的取值范圍。
【詳細解答】（1）函數f(x)=1-為定義在R上的奇函數，f(0)=1-為==0，a=2，任取，R，且<，f()-f()=1--1+=
=<0，函數f(x)在R上單調遞增；（2）函數f(x）為定義在R上的奇函數，不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，不等式f(k.)-f(-1)≥0能成立，不等式f(k.)≥f(-1)，函數f(x)在R上單調遞增，不等式f(k.)≥f(
-1)能成立，x[-1，1]使得不等式k.≥-1，x[-1，1]使得不等式k≥-，設t=,g（t）=-+2t，x[-1，1]，t[，2]，函數g（t）在[，2]上的最小值為g（2）=-4+4=0，x[-1，1]使得不等式k≥-，t[，2]使得不等式k≥-+2t，k,≥0，若存在實數x[-1，1]使得不等式f(k.)+f(1-)≥0能成立，則實數k的取值范圍是[0，+）。
『思考問題2』
【典例2】是函數性質中的參數問題，解答這類問題需要理解函數單調性（或奇偶性，或周期性）和參數的定義，掌握判斷（或證明）函數單調性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
（2）函數性質中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，判斷（或證明）函數的單調性（或奇偶性，或周期性）；②，已知函數的單調性（或奇偶性，或周期性），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
（3）解答已知函數含有參數的解析式，判斷（或證明）函數的單調性（或奇偶性，或周期性）的基本方法是：①根據函數單調性（或奇偶性，或周期性）和參數的性質；②運用判斷（或證明）函數單調性（或奇偶性，或周期性）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法分別對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果；
（4）解答已知函數的單調性（或奇偶性，或周期性），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：①根據問題條件得到關于參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組）；②求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組），求出參數的值（或取值范圍）；③得出問題解答的結果。
〔練習2〕解答下列問題：
1、如果函數f(x)=a+2x-3在區間（-∞，4）上是單調遞增的，則實數a的取值范圍是（ ）（答案：C）
A a＞- B a - C -a＜0 D -a0
2、若函數f(x)=+（2a-1）x+1在區間（-∞，2]上單調遞減，則實數a的取值范圍是（ ）（答案：B）
A （-，+∞） B （-∞，-] C （3，+∞） D （-∞，-3]
3、已知函數f(x)是定義在[0，+∞）上的減函數，則當f(2a-1)>f()時，實數a的取值范圍為（ ）（答案：C）
A （，+∞） B （-∞，） C （，） D （，）
4、已知函數f(x)= （2-a）x+1，x＜1，滿足對任意，都有＞0成立，
，x1，那么實數a的取值范圍是 。（答案：實數a的取值范圍是（1，2）。）
5、若函數f(x)= 為奇函數，則a= 。（答案：a=-1。）
6、討論函數f(x)= (a＞0)在x∈(-1,1)上的單調性。（答案：函數f(x)在區間（-1，1）上單調遞減。）
7、已知函數f(x)= (a＞0,且a≠1)，求證函數f(x)是奇函數。（提示：用定義法進行證明。）
8、已知函數f(x)= (a＞1)。
（1）判斷函數f(x)的奇偶性；
（2）求f(x)的值域。（答案：（1）函數f(x)是奇函數；（2）f(x)的值域為（-1，1）。）
9、定義在區間D={x\x0}上的函數f(x)，對a，bD，都有f(ab)=f(a)+f(b)，且當x>1時，f(x)>0。
（1）判斷函數f(x)的奇偶性，并證明；
（2）判斷函數f(x)在（0，+）上的單調性，并證明；
（3）若f(2)=3，求滿足不等式f(3m+2)+f(m-1)-3<0的實數m的取值范圍。
（（1）是偶函數，提示：用定義法證明；（2）函數f(x)在（0，+）上單調遞增，提示：用定義法證明；（3）滿足不等式f(3m+2)+f(m-1)-3<0的實數m的取值范圍是（-1，-）（-，0）（，1）（1，）。）
【典例3】解答下列問題：
1、設函數f(x)= 3x-1，x＜1，則滿足f(f(a))= ，的a的取值范圍是（ ）
，x≥1，
A ［，1］ B ［0，1］ C ［，+） D ［1，+）
【解析】
【知識點】①求函數值的基本方法；②分段函數的定義與性質；③求分段函數值的基本方法；
④指數的定義與性質；⑤參數分類討論的原則與基本方法。
【解題思路】根據函數值，分段函數和指數的性質，運用求分段函數值的基本方法和數分類討論的原則與基本方法，結合問題條件求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】①當a＜時，由f(a)=3a-1＜1， f(f(a))=f(3a-1)=3(3a-1)-1=-9a-4 ，②當 a＜1時，由f(a)=3a-1＞1， f(f(a))=f(3a-1)= =，③當a≥1，由f(a)= ＞1， f(f(a))=f()==，綜上所述，當f(f(a))= 時，實數a的取值范圍是［，+），C正確，選C。
2、已知函數f(x)= -+2x (x≤0),若| f(x)|≥ax，則a的取值范圍是（ ）
ln(x+1) (x＞0)
A （-∞，0〕 B （-∞，1〕 C 〔-2，1〕 D 〔-2，0〕
【解析】
【知識點】①分段函數定義與性質；②一元二次函數定義與性質；③對數函數定義與性質；④參數分類討論的原則與基本方法。
【解題思路】作出根據分段函數，一元二次函數和對數函數的性質，運用參數分類討論的原則與基本方法，結合問題條件，就可綜合求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】作出函數|f(x)|的圖像如圖所示，①當x＞0時，y=ax只有 y
a0時，才能滿足|f(x)| ≥ax，可排除B，C；②當x<0時，y=|f(x)| y=|f(x)|
=|-+2x|=-2x，|f(x)| ≥ax，-2x≥ax，-（a+2)x≥0， 0 x
a≥x-2，x-2＜-2, a≥-2；③當x=0時，0-0≥0成立， 綜上所述，若| f(x)|≥ax，則實數a［-2,0］, D正確，選D。
3、設直線x=t與函數f(x)=，g(x)=lnx的圖像分別交于點M，N，則當|MN|達到最小時t的值為（ ）
A 1 B C D
【解析】
【知識點】①一元二次函數的定義，圖像與性質；②對數函數的定義，圖像與性質；③導數的定義與求法；④運用導數求最值的基本方法。
【解題思路】設函數h(x)= -lnx，根據一元二次函數，對數函數和函數導函數的性質，運用函數導函數求函數最值的基本方法，結合問題條件得到|MN|=-lnx，從而求出函數h(x)的最小值時t的值，就可得出選項。
【詳細解答】根據題意可得|MN|=-lnx，設h(x)= -lnx，（x）=2x-=，令（x）=0得x=，x∈（0, ）時，（x）＜0，x∈（，+ ）時，（x）＞0，函數h(x)在（0, ）上單減，在（，+ ）上單增，=h()，當x=，即t=時，|MN|達到最小值，D正確，選D。
4、設a∈R,若x＞0時均有〔（a-1）x-1〕(-ax-1)≥0,則a= 。
【解析】
【知識點】①一元一次函數定義與性質；②一元二次函數定義與性質；③數形結合數學思想及運用。
【解題思路】根據一元一次函數和一元二次函數的性質，運用數形結合的數學思想，結合問題條件就可求出實數a的值。
【詳細解答】設函數=（a-1）x-1，=-ax-1，作出函數 y =-ax-1
EMBED Equation.DSMT4 =（a-1）x-1，=-ax-1的圖像如圖所示，函數=（a =-ax-1
-1）x-1，=-ax-1的圖像都過定點P（0，-1），對函數=（a 0 M x
-1）x-1，令=0解之得：M（，0），當a＞1時，函數=-ax-1顯然過點M（，0），--1=0，解之得：a=，a＞1，a=。
5、已知函數f(x)=a- ，a為一個正的常數，且f(f())=-，則a的值為 。
【解析】
【知識點】①函數值定義與性質；②求函數值的基本方法；③求解方程的基本方法。
【解題思路】根據函數值的性質和求函數值的基本方法，結合問題條件得到關于a的方程，運用求解方程的基本方法求解方程，就可求出a的值。
【詳細解答】 f()=a-=2a-， f()=f（2a-）=a-=4-4+2a-=-，4-4+2a=0，a=0或a=，a＞0， a=。
6、已知實數a0，函數f(x)= 2x+a，x＜1，若f(1-a)=f(1+a)，則實數a的值為 。
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知識點】①函數值定義與性質；②分段函數定義與性質；③求分段函數值的基本方法；④求解方程的基本方法；⑤參數分類討論的原則與基本方法。
【解題思路】根據函數值和分段函數的性質，運用求分段函數值的基本方法，參數分類討論的法則與基本方法和求解方程的基本方法，結合問題條件得到不同情況下關于a的方程，求解方程分別求出實數a的值，就可綜合得出實數a的值。
【詳細解答】 a0，①當a＞0時，1-a＜1, f(1-a)=3(1-a)-1=-3a+2，1+a＞1，f(1+a)=-(1+a)-2a=-3a-1，f(1-a)=f(1+a)，-3a+2=-3a-1，2=-1不成立，②當a＜0時，1-a＞1，f(1-a)=-(1-a)-2a=-a-1，1+a＜1，f(1+a)=3(1+a)-1=3a+2，f(1-a)=f(1+a)，-a-1=3a+2，a=- ，綜上所述，當f(1-a)=f(1+a)時，a=- 。
設a＞1，求函數f(x)= 在區間〔2,4〕上的最大值和最小值；
【解析】
【知識點】①對數函數的定義，圖像與性質；②判斷復合函數單調性的基本方法；③求函數最值的基本方法。
【解題思路】設g(x)=a-x，根據對數函數和復合函數的性質，運用求函數最值的基本方法，結合問題條件
判斷函數f(x)在區間〔2,4〕的單調性，從而就可求出函數f(x)在區間〔2,4〕上的最大值和最小值。
【詳細解答】設g(x)=a-x，作出函數g(x)的圖像如圖所示，
EMBED Equation.DSMT4 由圖可知，函數f(x)的定義域為（-，0）（，+）， y
函數g(x)在（-，0）上單減，在（，+）上單增，根據
a＞1，函數f(g(x))在（-，0），（，+）上單增，函數
f(x) 在（-，0）上單減，在（，+）上單增，函數f(x) 0
在區間〔2,4〕單調遞增，當x〔2,4〕時，= f(4)= （16a-4），= f(2)= （4a-2）。
8、已知函數f(x)= -ax-1。
（1）若函數f(x)在實數集R上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）是否存在實數a，使函數f(x)在（-1,1）上單調遞減？若存在，求出實數a的取值范圍；若不存在，說明理由。
【解析】
【知識點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③運用導數判斷函數單調性的基本方法；④求解探索性問題的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則與基本方法和運用函數導函數判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件就可求出實數 a的取值范圍；（2）設存在實數a，使函數f(x)在（-1,1）上單調遞減，根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則與基本方法和求解探索性問題的好吧方法，結合問題條件得到關于參數a的不等式組，求解不等式組求出實數a取值范圍，從而得到存在實數a，使函數f(x)在（-1,1）上單調遞減。
【詳細解答】（1）函數f(x)在R上單增，（x）=3-a0在R恒成立，3a在R上恒成立，設g(x)= 30，=0，當函數f(x)在R上單增時，實數a的取值范圍是（-，0］；（2）設存在實數a，使函數f(x)在（-1,1）上單調遞減，由（1）知（x）=3-a，函數f(x)在（-1,1）上單調遞減， （-1）=3 -a=3-a0①，（1）=3 -a=3-a0②，聯立①②解得：a3，存在實數a∈［3，+），使函數f(x)在（-1,1）上單調遞減。
9、已知函數f(x)=ln(x+a)-x(a＞0)。
（1）求（x）；
（2）求函數f(x)在區間〔0,2〕的最小值。
【解析】
【知識點】①函數導函數定義與性質；②函數求導公式，法則和基本方法；③函數最值存在定理及運用；④運用函數導函數求函數最值的基本方法；⑤參數分類討論的法則與基本方法。
【解題思路】（1）根據函數導函數的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法，結合問題條件就可求出函數f(x)的導函數 （x）；（2）根據函數最值存在定理，運用函數導函數求函數最值的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法，結合問題條件，就可求出函數f(x)在區間〔0，2〕上的最小值。
【詳細解答】（1）（x）=-1=；（2）令（x）=0解得：x=1-a，①當1-a＜0，即a＞1時，（x）＜0在［0，2］上恒成立，函數f(x)在［0，2］上單調遞減，=f(2)=ln(2+a)-2；②當0＜1-a＜2，即0＜a＜1時，x∈［0,1-a）時，（x）＞0，x∈（1-a，2］時，（x）＜0， f(0) =lna，f(2)=ln(2+a)-2，f(2) -f(0)=ln(x+a)-2-lna=ln -2，若ln -20，即，xa（-1）時，=f(0)=lna；若ln -2＜0，即＜，x＜a（-1）時，=f(2)= =ln(2+a)-2；綜上所述，當x∈［0, a（-1））（1，+ ）時，=f(2)= =ln(2+a)-2；當x∈（ a（-1），1］時，=f(0)=lna。
10、已知函數f(x)=ax- ，x∈（0,2〕。
（1）若函數f(x) 在區間（0,2〕上單調遞增，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x) 在區間（0,2〕上的最大值。
【解析】
【知識點】①函數導函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③函數求導公式，法則和基本方法；④函數最值存在定理及運用；⑤運用函數導函數求函數最值的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數導函數和函數單調性的性質，運用函數求導公式，法則和基本方法，結合問題條件得到關于實數a的不等式，從而就可求出實數a的取值范圍；（2）根據函數導函數的性質，運用函數最值存在定理和函數導函數求函數最值的基本方法，結合問題條件，就可求出函數f(x) 在區間（0,2〕上的最大值。
【詳細解答】（1）函數f(x)在（0，2］上單增，（x）=a+ = 0在（0，2］恒成立，a+10在（0，2］上恒成立，a-在（0，2］上恒成立，設g(x)= -，函數g(x) 在（0，2］上單調遞增，=g(2)=- ，a-，若函數f(x)在（0，2］上單增，則實數a的取值范圍為［-，+）；（2）由（1）知，①當a-時， 函數f(x) 在（0，2］上單調遞增，=f(2)=2a-；②當a＜-時，令（x）=0解得：x=， x∈（0，）時，（x）＞0，x∈（，2］時，（x）＜0，函數f(x)在（0，）單調遞增，在（，2］單調遞減，= f()
=a-=-2，綜上所述，當a-時，=f(2)=2a-；當a＜-時，= f()=-2。
11、已知≤a≤1,若f(x)= 在區間〔1,3〕上的最大值為M(a)，最小值為N（a），令g(a)=M(a)-N(a)。
（1）求g(a)的函數表達式；
（2）判斷g(a)的單調性并求出g(a)的最小值。
【解析】
【知識點】①一元二次函數定義與性質；②函數單調性定義與性質；③判斷（或證明）函數單調性的基本方法；④分段函數定義與性質；⑤求一元二次函數在閉區間上最值的基本方法；⑥求函數最值的基本方法；⑦參數分類討論的原則和基本方法；
【解題思路】（1）根據一元二次函數和函數單調性的性質，運用求一元二次函數在閉區間上最值的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法，結合問題條件求出函數f(x)在區間〔1,3〕上的最大值為M(a)，最小值為N（a），就可求出函數g(a)的函數表達式；（2）根據函數單調性和分段函數的性質，運用判斷（或證明）函數單調性和求函數最值的基本方法，結合問題條件判斷函數g(a)在區間［，）和區間［，1]上的單性，從而就可求出函數 g(a)的最小值。
【詳細解答】（1）函數f(x)圖像的對稱軸為x=-=，≤a≤1, 1≤≤3， N（a）=f()=-2+1 =1-，f(1)=a-1，f(3)=9a-5，f(3)- f(1)=8a-4，①當≤a≤1時, f(3)- f(1) 0，M(a)=9a-5；②當≤a＜時, f(3)- f(1) <0， M(a)=a-1； g(a)=M(a)-N(a)= 9a+-6，≤a≤1，
a+-2，≤a＜；
（2）當≤a≤1時,任取，［，1］，且＜，f()-f()=9+-6-9-+6=（-）（9-）＜0， 函數g(a)在［，1］上單調遞增；當≤a＜時, 任取，［，），且＜，f()-f()=+-2--+2=（-）（1-）＞0，函數 g(a)在［，）上單調遞減；函數g(a)的最小值為g()=9+2-6=。
12、已知函數f(x)= ，x∈［1，+），且a≤1。
（1）當a=時，求函數f(x)的最小值；
（2）若對任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，試求實數a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數單調性定義與性質；②判斷（或證明）函數單調性的基本方法；③求函數最值的基本方法；④求解不等式恒成立問題的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數單調性的性質，運用判斷（或證明）函數單調性的基本方法，結合問題條件判斷函數f(x)在［1，+）上的單調性，從而就可求出函數f(x)的最小值；（2）根據對任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，對任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，對任意x∈［1，+），a＞--2x恒成立，運用求解不等式恒成立問題的基本方法，就可求出實數a的求值范圍。
【詳細解答】（1）當a=時， f(x)= =x+2+，x∈［1，+），任取，（0，+∞），且<，f（）-f（）=+2+（-）--2=（-）（2-）＜0， 函數f(x)在在［1，+）上的單調遞增， = f(1)=1+21+=；（2）由對任意x∈［1，+），f(x)= ＞0恒成立，對任意x∈［1，+），+2x+a＞0恒成立，對任意x∈［1，+），a＞--2x恒成立，設g(x)= --2x，函數g(x)在［1，+）上單調遞減，= g(1)=-3， a＞-3，a1，若對任意x∈［1，+），f(x)＞0恒成立，則實數a的求值范圍是（-3，1］。
『思考問題3』
【典例3】是函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題，解答這類問題需要理解函數值（或函數值域，或函數最值）和參數的定義，掌握求函數值（或函數值域，或函數最值）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
（2）函數值（或函數值域，或函數最值）中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，求函數值（或函數值域，或函數最值）；②，已知函數值（或函數值域，或函數最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）；
（3）解答已知函數含有參數的解析式，求函數值（或函數值域，或函數最值）的基本方法是：①根據函數值（或函數值域，或函數最值）和參數的性質；②運用求函數值（或函數值域，或函數最值）的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法分別對問題實施解答；③綜合得出問題解答的結果；
（4）解答已知已知函數值（或函數值域，或函數最值），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法是：①根據問題條件得到關于參數的方程（或方程組）或不等式（或不等式組）；②求解方程（或方程組）或不等式（或不等式組），求出參數的值（或取值范圍）；③得出問題解答的結果。
〔練習3〕解答下列問題：
1、若存在正數x使（x-a）＜1成立，則a的取值范圍是（ ）（答案：D）
A （-∞，+∞） B （-2，+∞） C （0，+∞） D （-1，+∞）
2、已知f(x)=（1-2a）x+3a，x＜1，的值域為R，那么a的取值范圍是（ ）（答案：A）
lnx，x≥1，
A （-，-1］ B （-1，） C ［-1，） D （0，）
3、設常數a＞0,若9x+≥a+1對一切正實數x成立，則實數a的取值范圍為 。（答案：當a＞0時,若9x+≥a+1對一切正實數x成立，則實數a的取值范圍為［，+∞））
4、若f(x)=+bx+c，且f(1)=0，f(3)=0，求f(-1)的值。（答案：f(-1)=8）
5、設k∈R，函數f(x)= ，求f(x)的最大值和最小值。（答案：f(x)的最大值為+（k＞1）；最小值為+（k＜1））
6、已知a≥0,函數f(x)=( -2ax) ，求函數f(x)的最小值。（答案：函數f(x)的最小值為2（1-））
7、若函數f(x)= 。
（1）若f(x)的定義域是R，求實數m的取值范圍；
（2）當m＞1時，求函數f(x)的最小值。（答案：（1）若f(x)的定義域是R，則實數m的取值范圍是（1，+∞）；（2）當m＞1時，函數f(x)的最小值為（m+ ）。）
8、已知函數f(x)=2ax-，x∈(0,1〕。
（1）若函數f(x)在(0,1〕上是增函數，求實數a的取值范圍；
（2）求函數f(x)在(0,1〕上的最大值。（答案：（1）實數a的取值范圍是［-1，+）；（2）當a≥-1時，函數f(x)在(0,1〕上的最大值為2a-1；當a<-1時，函數f(x)在(0,1〕上的最大值為f()=-3。)
【典例4】解答下列問題：
1、若a＜b＜c，則函數f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區間（ ）
A （a，b）和（b，c）內 B （-，a）和（a，b）內
C （b，c）和（c，+）內 D （-，a）和（c，+）內
【解析】
【知識點】①函數零點定義與性質；②函數零點存在定理及運用；③判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法。
【解題思路】根據函數零點的性質，運用函數零點存在定理和判斷函數在給定區間上是否存在零點的基本方法，對各選項的區間進行判斷就可得出選項。
【詳細解答】 f(a)=(a-a)(a-b)+(a-b)(a-c)+(a-c)(a-a)= (a-b)(a-c)>0，f(b)=(b-a)
(b-b)+(b-b)(b-c)+(b-c)(b-a)= (b-c)(b-a)<0，f(c)=(c-a)(c-b)+(c-b)(c-c) +(c-c)(c-a)
= (c-a)(c-b)>0， f(a). f(b)<0，f(b). f(c)<0，函數f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)
+(x-c)(x-a)的兩個零點分別位于區間（a，b）和（b，c）內，A正確，選A。
2、滿足a，b{-1，0，1，2}，且關于x的方程a+2x+b=0有實數解的有序數對（a，b）的個數為（ ）
A 14 B 13 C 12 D 10
【解析】
【知識點】①參數分類討論的原則與基本方法；②一元二次方程的定義與性質；③一元二次方程根的判別式及運用。
【解題思路】根據一元二次方程的性質，運用參數分類討論的原則與基本方法和一元二次方程根的判別式，結合問題條件分別確定出參數a，b的可能取值，從而得到所有可能有序數對（a，b）的個數就可得出選項。
【詳細解答】①當a=0時，方程a+2x+b=0，2x+b=0，b在{-1，0，1，2}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（0，-1），（0，0），（0，1），（0，2）；②當a=-1時，=4+4b=4（1+b），1+b0，即b-1，方程a+2x+b=0有實數解， b在{-1，0，1，2}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（-1，-1），（-1，0），（-1，1），（-1，2）；③當a=1時，=4-4b=4（1-b），1-b0，即1b，方程a+2x+b=0有實數解， b在{-1，0，1}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（1，-1），（1，0），（1，1）；④當a=2時，=4-8b=4（1-2b），1-2b0，即b，方程a+2x+b=0有實數解， b在{-1，0}中任取一個值方程都有實數解，從而得到有序數對（2，-1），（2，0），綜上所述，若滿足a，b{-1，0，1，2}，且關于x的方程a+2x+b=0有實數解的有序數對（a，b）的個數為13個，B正確，選B。
3、設函數f(x)= -ax(a＞0)的零點都在區間〔0，5〕上，且函數g(x)= 與函數h(x)= -a的圖像的交點的橫坐標為正整數，則實數a的取值有（ ）
A 3個 B 4個 C 5個 D 無數個
【解析】
【知識點】①函數零點定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】根據函數零點的性質，運用函數零點存在定理，結合問題條件得到關于參數a的不等式組，求解不等式組求出實數a的取值范圍，從而確定實數a取值的個數就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)= -ax(a＞0)的零點都在區間〔0，5〕上，由f(x)= -ax=0，解之得：x=0或x=，0<5，04、函數f(x)= --a的一個零點在區間（1，2）內，則實數a的取值范圍是（ ）
A （1，3） B （1，2） C （0，3） D （0，2）
【解析】
【知識點】①函數零點定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】根據函數零點的性質，運用函數零點存在定理，結合問題條件得到關于參數a的不等式，求解不等式求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)= --a的一個零點在區間（1，2）內，且在（1，2）上單調遞增，f(1)= 2-2-a=-a，f(2)= 4-1-a=3-a， f(1). f(2)=-a（3-a）<0，05、設函數f(x)= ，g(x)= a+bx(a，bR，a0)，若y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有兩個不同的公共點A（，），B（，），則下列判斷正確的是（ ）
A 當a＜0時，+＜0，+＞0 B 當a＜0時，+＞0，+＜0
C 當a＞0時，+＜0，+＜0 D 當a＞0時，+＞0，+＞0
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】根據函數零點的性質，運用函數零點存在定理，結合問題條件對關于參數a>0（a<0）分別確定+，+的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】y=f(x)的圖像與y=g(x)的圖像有且僅有兩個不同的公共點，方程a+bx-=0有兩個不同的實數根，，a+b-1=a（x-）=a（-2+x-+2x-），b=a（-2-）.+2=0，-a=-1，+2=0，a,0，①當a>0時，>0，+=-<0，+=+=>0；②當a<0時，<0，+=->0，+=+=<0，B正確，選B。
6、若一元二次方程a+2x+1=0（a0）有一個正根和一個負根，則有（ ）
A a＜0 B a＞0 C a＜-1 D a＞1
【解析】
【知識點】①一元二次方程的定義與性質；②一元二次方程根的判別式及運用；③一元二次方程根與系數的關系定理及運用。
【解題思路】根據一元二次方程的性質，運用一元二次方程根與系數的關系定理，結合問題條件得到關于參數a的不等式，求解不等式求出參數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】元二次方程a+2x+1=0（a0）有一個正根和一個負根，<0，即a<0，A正確，選A。
7、已知函數f(x)= x+x-b(a＞0，且a≠1)，當2＜a＜3＜b＜4時，函數f(x)的零點∈（n，n+1），n∈，則n= 。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】根據函數零點的性質，運用函數零點存在定理，結合問題條件確定函數f(x)的零點所在的區間，從而就可求出實數n的值。
【詳細解答】2＜a＜3＜b＜4，f(1)=0+1-b=1-b <0，f(2)= 2+2-b<1+2-b=3-b<0，f(3)= 3+3-b>1+3-b=4-b>0，函數f(x)的零點在區間（2，3）內，函數f(x)的零點∈（n，n+1），n∈，n=2。
8、已知函數f(x)=|+3x|，x∈R，若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍是 。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用。
【解題思路】根據函數零點的性質，運用函數零點存在定理，結合問題條得到關于參數a的不等式，求解不等式就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】設函數g(x)= a|x-1|，方程f(x)-a|x-1|=0，方程f(x)=a|x-1|，在同一直角坐標系作出函數f(x)，g(x)的圖像如圖所示，由圖可知方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4個互異的實數根，函數f(x)，g(x)的圖像恰有4個不同的交點，且4個交點的橫坐標都小于1，聯立函數f(x)，g(x)的解析式所得的方程：+（3-a）x+a=0有兩個不相等的實數根，=-4a=-10a+9>0，a<1或a>9，由圖知a>0，09，即：若方程f(x)-a|x-1|=0，恰有4個互異的實數根，則實數a的取值范圍是（0，1）（9，+ ）。
9、方程+（m-2）x+5-m=0的兩根都大于2，則m的取值范圍為 。
【解析】
【知識點】①一元二次方程的定義與性質；②一元二次方程根的判別式及運用；③一元二次方程根與系數關系定理及運用。
【解題思路】根據一元二次方程的性質，運用一元二次方程根的判別式和根與系數關系定理，結合問題條件得到關于參數m的不等式組，求解不等式組就可求出實數m的取值范圍。
【詳細解答】設方程+（m-2）x+5-m=0的兩根分別為，，<，方程+（m-2）x+5-m=0的兩根都大于2，=-4（5-m）=-160①，（-2）（-2）=-2（+）+4=5-m+2m-4+4=m+5>0②，聯立①②解得：-510、已知函數f(x)= +（-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小，求實數a的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②一元二次方程的定義與性質；③一元二次方程根的判別式及運用；④一元二次方程根與系數關系定理及運用。
【解題思路】根據函數零點和一元二次方程的性質，運用一元二次方程根的判別式和根與系數關系定理，結合問題條件得到關于參數a的不等式組，求解不等式組就可求出實數a的取值范圍。
【詳細解答】設方程+（-1）x+（a-2）=0的兩根分別為，，<，函數f(x)= +（-1）x+（a-2）的一個零點比1大，一個零點比1小，=-4（a-2）
=-2-4a+90①，（-1）（-1）=-（+）+1=a-2+-1+1 =+a-2<0②，聯立①②解得：-2已知函數f(x)= m+（m-3）x+1的零點至少有一個大于0，求實數m的取值范圍。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②參數分類討論的原則與基本方法；③一元二次方程定義與性質；④一元二次方程根的判別式及運用；⑤一元二次方程根與系數關系定理及運用。
【解題思路】根據函數零點和一元二次方程的性質，運用參數分類討論的原則與基本方法，一元二次方程根的判別式和根與系數關系定理，結合問題條件分別得到關于參數m的不等式（或不等式組），求解不等式（或不等式組）就可求出實數m的取值范圍。
【詳細解答】①當m=0時，函數f(x)= m+（m-3）x+1=-3x+1的零點為x=>0，函數f(x)= m+（m-3）x+1的零點至少有一個大于0；②當m 0時，設函數f(x)= m+（m-3）x+1的零點方分別為，，<，若<0，>0，由=-4m=-10m+90，且.=<0解得：m<0，若0<<，由=-4m=-10m+90，且.=>0解得：012、已知函數f(x)=-+2ex+m-1，g(x)=x+(x＞0)。
（1）若g(x)=m有零點，求m的取值范圍；
（2）確定m的取值范圍，使得g(x)- f(x)=0有兩個相異實根。
【解析】
【知識點】①函數零點的定義與性質；②函數零點存在定理及運用；③求函數零點的基本方法。
【解題思路】（1）根據函數零點的性質，運用求函數零點的基本方法，結合問題條件得到關于參數m的不等式，求解不等式就可求出實數m的取值范圍；（2）根據函數零點的性質，運用函數零點存在定理，結合問題條件得到關于參數m的不等式，求解不等式就可求實數m的取值范圍。
【詳細解答】（1） g(x)=m有零點，方程x+-m=0有實數根，x+ 2 2e，當且僅當x=e時等號成立， 函數g(x)的值域為[2e，+ ），m2e，若g(x)=m有零點，則實數m的取值范圍是[2e，+ ）；（2）方程g(x)- f(x)=0有兩個相異實根，函數g(x)， f(x)的圖像由兩個不同的交點，在同一直角坐標系中作出函數g(x)， f(x)的圖像如圖所示，函數f(x)=-+2ex+m-1=- +m-1+ 圖像的對稱軸為x=e，開口向下，最大值為m-1+ ，由圖知，當m-1+ >2e，即m>1- +2e時，函數g(x)， f(x)的圖像由兩個不同的交點，即方程g(x)- f(x)=0有兩個相異實根，若g(x)- f(x)=0有兩個相異實根，則實數m的取值范圍是（1- +2e，+ ）。
『思考問題4』
【典例4】是函數零點中的參數問題，解答這類問題需要理解函數零點和參數的定義，掌握求函數零點的基本方法和參數分類討論的法則與基本方法；
函數零點中的參數問題主要包括：①已知函數含有參數的解析式，求函數零點（或函數零點的個數）；②已知函數零點（函數零點的個數，或函數零點所在的區間），求函數解析式中參數的值（或取值范圍）兩種類型；
解答已知函數含有參數的解析式，求函數零點（或函數零點的個數）問題的基本方法是：①根據參數分類討論的法則與基本方法，對參數進行正確的分類；②在①的基礎上分別求出函數的零點（或函數零點的個數）；③綜合得出問題解答的結果；
（4）解答已知函數零點（或函數零點的個數，或函數零點所在的區間）求函數解析式中參數的值（或取值范圍）問題的基本方法有：①直接法；②分離參數法；③數形結合法；
（5）直接法的基本方法是：①判斷函數的單調性；②利用零點存在定理得到關于參數的不等式（或不等式組），③求解不等式（或不等式組）得出參數的值（或取值范圍）；
（6）分離參數法的基本方法是：①把原函數解析式中的參數分離出來與一個新函數構成不等式；②求出新函數的最值；③得出參數的值（或取值范圍）；
（7）數形結合法的基本方法是：①對解析式變形，化為兩個函數相等的等式；②在同一直角坐標系中畫出兩個函數的圖像；③根據所作函數圖像得出參數的值（或取值范圍）。
〔練習4〕解答下列問題：
1、若函數f(x)=3ax+1-2a在區間（-1，1）內存在一個零點，則a的取值范圍是（）（答案：B）
A a＞ B a＞或a＜-1 C -1＜a＜ D a＜-1
2、已知方程| -a|-x+2=0(a＞0)有兩個不等的實數根，則實數a的取值范圍是（ ）（答案：B）
A 0＜a＜4 B a＞4 C 0＜a＜2 D a＞2
3、已知函數f(x)= x ，x 0，若函數g(x)=f(x)-m有三個不同的零點，則實數m的取值范
-x，x＞0，圍是（ ） （答案：C）
A ［-，1］ B ［-，1） C （-，0） D （-，0］
4、已知函數f(x)=2（m+1）+4mx+2m-1的一個零點為1，則函數f(x)的所有零點為 ；（答案：函數f(x)的所有零點為x=1或x=-。）
5、若函數f(x)= -2x-a在R上有兩個零點，則實數a的取值范圍是 。（答案：實數a的取值范圍是（2-2ln2，+）。）
6、已知函數f(x)= +x+a（a＜0）在區間（0，1）上有零點，則a的取值范圍為 。（答案：實數a的取值范圍是（-2，0）。）
7、若函數f(x)=| -2|-b有兩個零點，則實數b的取值范圍是 。（答案：實數b的取值范圍是（0，2）。）
8、已知函數f(x)= x+x-b(a＞0且a1)，當2＜a＜3＜b＜4時，函數f(x)的零點x （n，n+1），nN，則n= 。（答案：n=2）
9、若函數f(x)= (m-2)+mx+2m+1的兩個零點分別在區間（-1，0）和區間（1，2）內，則實數m的取值范圍是 。（答案：實數m的取值范圍是（，）。）
10、若方程-2mx+2=0的兩個不同根都小于1，則實數m的取值范圍是 。（答案：實數m的取值范圍是（-，-）。）
11、已知函數f(x)= 2(m+1)+4mx+2m-1，如果函數的兩個零點在原點的兩側，則實數m的取值范圍是 。（答案：實數m的取值范圍是（-，-1）（-1，）。）
12、方程-（k+2）x+1-3k=0有兩個不等的實數根 ，，且0＜＜1＜＜2，則實數k的取值范圍是 。（答案：實數k的取值范圍是（0，）。）
13、若方程a-x-1=0在（0，1）內恰有一解，求實數a的取值范圍。（答案：實數a的取值范圍是（2，+）。）
【雷區警示】
【典例5】解答下列問題：
函數f(x)=在[0，1]上最大值與最小值的和為3，則a=（ ）
A B 2 C 4 D
【解析】
【知識點】①指數函數定義與性質；②函數最值定義與性質；③求函數最值的基本方法。
【解題思路】根據指數函數和函數最值的性質，運用求函數最值的基本方法，結合問題條件，從a>1和0【詳細解答】①當a>1時，函數f(x)=在[0，1]上單調遞增，=f(0)=1，
=f(1)=a，1+a=3，a=2；②當0=f(1)=a，=f(0)=1，1+a=3，a=2，02、已知實數a0，函數f(x)= 2x+a，x<1，若f(1-a)= f(1+a)=，則a的值為 。
-x-2a，x≥1，
【解析】
【知識點】①分段函數定義與性質；②求分段函數值的基本方法；③參數分類討論的原則和基本方法。
【解題思路】根據分段函數的性質，運用求函數值的基本方法和參數分類討論的原則與基本方法，結合問題條件，從a>0和a<0兩種情況考慮分別得到關于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【詳細解答】①當a>0時，1-a<1，1+a>1， f(1-a)=2（1-a）+a=2-a，f(1+a)=-（1+a）-2a=-3a-1， f(1-a)=f(1+a)，2-a=-3a-1，a=-<0，此時無解；②當a<0時，1-a>1，1+a<1， f(1-a)=-（1-a）-2a=-1-a，f(1+a)=2（1+a）+a=3a+2， f(1-a)=f(1+a)，-1-a=-3a+2，a=- <0，當a0，f(1-a)=f(1+a)時，a=- 。
3、若函數f(x)=-x-a（a>0，且a1） 有兩個零點，則實數a的取值范圍是 。
【解析】
【考點】①函數零點的定義與性質；②指數函數定義與性質；③一元一次函數定義與性質；④數學轉化思想及運用。
【解題思路】根據函數零點，指數函數和一元一次函數的性質，運用數學轉化思想，結合問題條件，確定出函數f(x)有兩個零點時，實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】函數f(x)=-x-a（a>0，且a1）有 y =y y=x+a y y=
兩個零點，函數y=與函數y=x+a的圖像有兩個 0 x y=x+a 0 x
交點，在同一直角坐標系中作出函數y=與函數y=x+a的圖像如圖所示，若當01時，函數y=與函數y=x+a的圖像有兩個交點，即函數f(x)有兩個零點，綜上所述，若函數f(x)=-x-a（a>0，且a1） 有兩個零點，則實數a的取值范圍是（1，+）。
4、已知函數函數f(x)= +2xtan-1，x[-1，]，其中（-，）。
當=時，求函數f(x)的最大值與最小值；
求的取值范圍，使y=f(x)在區間[-1，]上是單調函數。
【解析】
【知識點】①一元二次函數定義與性質；②正切三角函數定義與性質；③函數單調性定義與性質；④求一元二次函數最值的基本方法；⑤判斷函數單調性的基本方法。
【解題思路】（1）根據一元二次函數和正切三角函數的性質，運用求一元二次函數最值的基本方法，結合問題條件，就可求出當=時，函數f(x)的最大值與最小值；（2）根據一元二次函數，正切三角函數和函數單調性的性質，運用判斷函數單調性的基本方法，就可求出使y=f(x)在區間[-1，]上是單調函數的取值范圍。
【詳細解答】（1）當=-時，f(x)= +2xtan-1=f(x)= -x-1， -1-=，函數f(x)的最大值為f(-1)=1+-1=；（2）函數函數f(x)= +2xtan-1的對稱軸為x=-tan，（-，），x=-tan<-1或x=-tan>，即tan>1或tan<-時，y=f(x)在區間[-1，]上是單調函數，<<-或-<<-，當（-，-）（，）時，y=f(x)在區間[-1，]上是單調函數。
『思考問題5』
【典例5】是解答函數中參數問題時容易觸碰的雷區，該類問題常見的雷區主要包括：①忽視函數解析式有意義（或隱含）的條件；②忽視分段函數求值時，各段的定義域；③忽視問題涉及到的基本知識點及運用基本知識點解答問題的正確方法；④忽視數學轉化思想的正確運用；
（2）解答函數中參數問題時，為避免忽視函數解析式有意義（或隱含）的條件的雷區，注意從函數解析式中挖掘其有意義（或隱含）的條件；
（3）解答函數中參數問題時，為避免分段函數求值時，各段的定義域的雷區，注意分辨所求函數值的自變量屬于分段函數中的哪一段，從而選取正確的函數解析式求出函數值。
（4）解答函數中參數問題時，為避免忽視問題涉及到的基本知識點及運用基本知識點解答問題的正確方法的雷區，需要對問題涉及的基本知識點是什么，運用該基本知識點解答問題的正確方法是怎樣的，做到心中有數；
（5）解答函數中參數問題時，為避免忽視數學轉化思想正確運用的雷區，需要理解并掌握數學的轉化思想，注意數學轉化思想的正確運用。
〔練習5〕解答下列各題：
已知函數f(x)= +x（a＞0且a≠1）在［1,2］上的最大值與最小值之和為2+6，則a的值為 。（答案：a=2）
2、若關于x的方程+a+a+1=0有實根，則實數a的取值范圍是 。（答案：實數a的取值范圍是（-，2-2]。）
3、已知函數函數f(x)= +3x-5，x[t，t+1]，若函數f(x)的最小值為h(t)，寫出h(t)的表達式。（答案：當t≤-時，h(t)=+5t-1；當-【追蹤考試】
【典例6】解答下列問題：
1、已知關于x的方程-a+4=0有一個大于22的實數根，則實數a的取值范圍為（ ）（成都市2024-2025學年度高一上期期末調研考試）
A （0，5） B （4，5） C （4，+） D （5，+）
【解析】
【考點】①一元二次方程定義與性質；②指數定義與性質；③數學換元法及運用；④求解一元二次方程的基本方法。
【解題思路】根據指數和一元二次方程的性質，運用數學換元法和求解一元二次方程的基本方法，結合問題條件求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】設t=，t（0，+），關于x的方程-a+4=0，關于t的方程-at+4=0，關于x的方程-a+4=0有一個大于22的實數根，關于t的方程-at+4=0有一個大于4的實數根，=-16>0①，>4②，聯立①②解之得：a>5，若關于x的方程-a+4=0有一個大于22的實數根，則實數a的取值范圍為（5，+），D正確，選D。
+ax-a+1，x≤0，（成都市2024-2025學年度高一上期期末調研考試）
2、函數f(x)= ln（x+2）-a，x>0，若f()=f(0)（>0），= ；若函數f(x)有三個零點，則實數a的取值范圍是 。
【解析】
【考點】①一元二次函數定義與性質；②對數函數定義與性質；③函數零點定義與性質；④參數分類討論的法則和基本方法；⑤求函數零點的基本方法。
【解題思路】根據一元二次函數和對數函數的性質，運用參數分類討論的法則與基本方法和求函數零點的基本方法，結合問題條件就可求出的值和實數a的取值范圍值。
【詳細解答】>0，f()=ln（+2）-a=f(0)= -a+1， y
ln（+2）=1，=e-2；f(x)=0，當x≤0時， 0 x
+ax+1=a，當x>0時，ln（x+2）=a，設函數g(x)=+ax （a>0）
+1，函數h(x)=ln（x+2），在同一直角坐標系中作出函數 y
g(x)，函數h(x)的圖像如圖所示，根據圖像可知，當a>0時，
函數f(x)有三個零點，ln2≤a≤1；當a=0時，函數f(x)最多有
兩個零點，與題意不符；當a<0時，函數f(x)最多有兩個零
點，與題意不符；綜上所述，若函數f(x)有三個零點，則實數a的取值范圍是[ln2,1]
x+1，x≤a，（成都市2024-2025學年度高一上期期末名校聯盟考試）
3、若函數f(x)= -3x+2，x>a，恰有兩個零點，則實數a的取值范圍為（ ）
A （-，1]（2，+） B （-，-1）（1，+）
C （-，-1）[1，2） D （-1，1]（2，+）
【解析】
【考點】①分段函數定義與性質；②函數零點定義與性質；③確定分段函數零點的基本方法。
【解題思路】根據分段函數和函數零點的性質，運用確定分段函數零點的基本方法，結合問題條件求出實數a的取值范圍就可得出選項。
【詳細解答】當a<-1時，函數f(x)=x+1，x≤a在（-，-1）上沒有零點，函數f(x)= -3x+2，x>a