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3.3 一元一次方程的應(yīng)用
第3章 一次方程與方程組
第 1 課時(shí) 等積變形和行程問(wèn)題
情景引入
一支牙膏出口處直徑為 5 mm，小明每次刷牙都擠出 1 cm 長(zhǎng)的牙膏，這樣一支牙膏可以用 36 次. 該品牌牙膏現(xiàn)推出新包裝，只是將出口直徑改為 6 mm，小明還是按習(xí)慣每次擠出 1 cm 長(zhǎng)的牙膏，這樣，這只牙膏能用多少次？
直徑為 6 mm
直徑為 5 mm
1 cm 長(zhǎng)的牙膏
例1 如圖，用直徑為 200 mm 的圓柱體鋼，鍛造一個(gè)長(zhǎng)、寬、高分別為 300 mm、300 mm 和 90 mm 的長(zhǎng)方體毛坯底板，應(yīng)截取圓鋼多少（圓柱的體積公式：體積 = 底面積 高線長(zhǎng).計(jì)算時(shí) 取 3.14.要求結(jié)果誤差不超過(guò) 1 mm）？
等積變形問(wèn)題
講授新課
200
x
90
300
300
問(wèn)題1：題目中有哪些已知量和未知量？如何表示未知量？
想一想
已知：圓鋼直徑（200 mm）、長(zhǎng)方體毛胚的長(zhǎng)寬高（300 mm、300 mm、90 mm）
未知：圓鋼的高
設(shè)未知數(shù)：設(shè)應(yīng)截取圓鋼 x 毫米.
問(wèn)題2：分析題意，你能找到什么等量關(guān)系？
等量關(guān)系：圓鋼體積 = 長(zhǎng)方體毛胚的體積
問(wèn)題3：如何根據(jù)等量關(guān)系“圓鋼體積 = 長(zhǎng)方體毛胚的體積”列出方程？
根據(jù)等量關(guān)系列出方程，得：
解方程，得 x≈258.
答：應(yīng)截取 258 mm 長(zhǎng)的圓柱體鋼.
等積變形就是無(wú)論物體怎么變化都存在一個(gè)等量關(guān)系，即物體變化前后面積或體積不變
歸納總結(jié)
列方程解應(yīng)用題的一般步驟：
1：弄清題意和題中數(shù)量關(guān)系，用字母
(如 x，y ) 表示問(wèn)題中的未知數(shù)；
2：分析題意，找出相等關(guān)系；
3：根據(jù)相等關(guān)系，列出需要的代數(shù)式，
并列出方程；
4：解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值；
5：檢查所得值是否正確和符合實(shí)際情形，
并寫(xiě)出答案(包括單位名稱(chēng)).
設(shè)未知數(shù)
找等量關(guān)系
列出方程
解方程
檢驗(yàn)作答
例2 為了適應(yīng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展，鐵路運(yùn)輸再次提速. 如果客車(chē)行駛的平均速度增加 40 km/h，提速后由合肥到北京 1110 km 的路程只需行駛 10 h. 那么，提速前，這趟客車(chē)平均每時(shí)行駛多少千米？
分析：行程問(wèn)題中常涉及的量有路程、平均速度和時(shí)間，它們之間的基本關(guān)系為：
路程 = 平均速度×?xí)r間.
行程問(wèn)題
解：設(shè)提速前客車(chē)平均每小時(shí)行駛 x km，那么提速后客車(chē)每小時(shí)行駛 (x + 40) km，客車(chē)行駛路程為 1110 km，所需時(shí)間是 10 h.
根據(jù)題意，得
10(x + 40) = 1110
解方程，得 x = 71.
答：提速前這趟客車(chē)的平均速度為 71 km/h.
例3 甲、乙兩站相距 480 千米，一列慢車(chē)從甲站開(kāi)出，每小時(shí)行 90 千米，一列快車(chē)從乙站開(kāi)出，每小時(shí)行 140 千米．
(1) 慢車(chē)先開(kāi)出 1 小時(shí)，快車(chē)再開(kāi)，兩車(chē)相向而行.
問(wèn)快車(chē)開(kāi)出多少小時(shí)后兩車(chē)相遇？
解：設(shè)快車(chē)開(kāi)出 x 小時(shí)后兩車(chē)相遇．
等量關(guān)系：
慢車(chē)行駛距離 + 快車(chē)行駛距離 = 甲乙兩地的距離.
依題意，得 90×1 + 90x + 140x = 480.
解方程，得
解：設(shè)相背而行 y 小時(shí)兩車(chē)相距 600 千米．
等量關(guān)系：
慢車(chē)行駛距離 + 快車(chē)行駛距離 + 甲乙兩地的距離 = 600 km.
依題意，得 90y + 480 + 140y = 600.
(2) 兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，相背而行，多少小時(shí)后兩車(chē)相距 600 千米？
解方程，得
解：設(shè) z 小時(shí)后快車(chē)與慢車(chē)相距 600 千米，
等量關(guān)系：
快車(chē)行駛距離 + 甲乙兩地的距離 - 慢車(chē)行駛距離= 600 km.
依題意，得 140z + 480 - 90z = 600.
(3) 兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，慢車(chē)在快車(chē)后面同向而行，多少小時(shí)后快車(chē)與慢車(chē)相距 600 千米？
解方程，得
解：設(shè) m 小時(shí)后快車(chē)追上慢車(chē)，
等量關(guān)系：
慢車(chē)行駛距離 + 甲乙兩地的距離 = 快車(chē)行駛距離.
依題意，得 90m + 480 = 140m.
(4)兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出同向而行，快車(chē)在慢車(chē)的后面，多少小時(shí)后快車(chē)追上慢車(chē)？
解方程，得
答： 小時(shí)后快車(chē)追上慢車(chē).
行程問(wèn)題中一般涉及“路程”“速度”“時(shí)間”這三個(gè)量，且路程＝速度×?xí)r間．
行程問(wèn)題分同向而行和相向而行兩種情況，找等量關(guān)系時(shí)可以畫(huà)線段示意圖幫助分析．
歸納總結(jié)
例4 汽船從甲地順?biāo)_(kāi)往乙地，所用時(shí)間比從乙地逆水開(kāi)往甲地少 1.5 h. 已知船在靜水的速度為 18 km/h，水流速度為 2 km/h，求甲、乙兩地之間的距離？
分析：本題是行程問(wèn)題，故有：路程=平均速度×?xí)r間；
時(shí)間=路程÷平均速度.
但涉及水流速度，必須要掌握：順?biāo)俣?船速+水速；
逆水速度=船速－水速.
方法一
解：設(shè)甲、乙兩地的距離為 x 千米，
直接設(shè)元法
等量關(guān)系：逆水所用時(shí)間－順?biāo)脮r(shí)間 = 1.5
依題意，得
解方程，得 x = 120.
答：甲乙兩地之間的距離為 120 千米.
想一想，這道題
是不是只有這一
種解法呢？
方法二
解：設(shè)汽船逆水航行從乙地到甲地需 x 小時(shí)，
則汽船順?biāo)叫械木嚯x是 (18 + 2)(x－1.5) 千米,
逆水航行的距離是 (18－2)x 千米.
等量關(guān)系：汽船順?biāo)叫械木嚯x = 汽船逆水航行的距離
答：甲、乙兩地距離為 120 千米.
依題意，得
(18 + 2)(x －1.5) = (18 － 2)x
x = 7.5
解方程，得
間接設(shè)元法
所以 (18 －2)×7.5 = 120.
問(wèn)題1：操場(chǎng)一周是 400 米，小明每秒跑 5 米，小華騎自行車(chē)每秒 10 米，兩人繞跑道同時(shí)同地同向而行，他倆能相遇嗎？
環(huán)形跑道問(wèn)題
問(wèn)題2：操場(chǎng)一周是 400 米，小明每秒跑 5 米，小華騎自行車(chē)每秒 10 米，兩人繞跑道同時(shí)同地同向而行，經(jīng)過(guò)幾秒鐘兩人第一次相遇？
分 析
小華
小明
同時(shí)同地同向而行
拓展訓(xùn)練：
經(jīng)過(guò)幾秒鐘兩人
第三次相遇？
變式訓(xùn)練：操場(chǎng)一周是 400 米，小明每秒跑 5 米，小華騎自行車(chē)每秒 10 米，兩人繞跑道同時(shí)同地相背而行，則兩個(gè)人何時(shí)相遇？
分 析
小華
小明
同時(shí)同地
相背而行
1. 一個(gè)寬為 3 cm 的長(zhǎng)方形與一個(gè)邊長(zhǎng)為 6 cm 的正方形面積相等，則這個(gè)長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為（ ）
A. 12.5 千米/時(shí) B. 15 千米/時(shí)
C. 17.5 千米/時(shí) D. 20 千米/時(shí)
2. 甲、乙兩人騎自行車(chē)同時(shí)從相距 65 千米的兩地相向而行，2 小時(shí)相遇，若甲比乙每小時(shí)多騎 2.5 千米，則乙的時(shí)速是（ ）
A. 12 cm B. 18 cm C. 24 cm D. 30 cm
D
B
3. 一個(gè)底面直徑為 16 厘米的圓柱形木桶內(nèi)裝滿水，水中淹沒(méi)著一個(gè)底面直徑為 8 厘米、高為 15 厘米的鐵質(zhì)小圓柱體. 當(dāng)鐵質(zhì)小圓柱體取出后，木桶內(nèi)水面下降了多少？
[解析] 木桶內(nèi)水面下降的圓柱體體積 ＝ 鐵質(zhì)小圓柱體體積．
解：設(shè)木桶內(nèi)水面下降 x cm. 由題意，得
解方程，得
答：木桶內(nèi)水面下降
4. 一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛，用了 2 小時(shí)；從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛，用了 2.5 小時(shí). 已知水流的速度是 3 千米/時(shí)，求船在靜水中的速度.
解：設(shè)船在靜水中的平均速度為 x 千米/時(shí)，則順流速度為 (x + 3) 千米/時(shí)，逆流速度為 (x - 3) 千米/時(shí).
根據(jù)題意，得
2(x + 3) = 2.5(x - 3).
解方程，得
x = 27.
答：船在靜水中的平均速度為 27 千米/時(shí).
用一元一次方程解決問(wèn)題
步驟
應(yīng)用
1.設(shè)未知數(shù)；
2.找等量關(guān)系；3.列方程；
4.解方程；
5.檢驗(yàn)作答.
等積變形：變形前后的面（體)積相等
行程問(wèn)題：
路程=時(shí)間×平均速度
直接設(shè)元
簡(jiǎn)接設(shè)元
問(wèn)題的已
知條件
解決行程問(wèn)題的基本步驟：
畫(huà)出線
段圖
找出等
量關(guān)系
列方程
并求解
作答
同向追及問(wèn)題
同地不同時(shí)：
同時(shí)不同地：
甲路程＋路程差＝乙路程；
甲路程＝乙路程
相向相遇問(wèn)題
甲的路程＋乙的路程=總路程
課堂小結(jié)

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