資源簡介

(共18張PPT)
3.3 一元一次方程的應用
第3章 一次方程與方程組
第 3 課時 比例與和、差、倍、分問題
課堂小結
問題引入
父子兩人今年年齡之和為 40 歲，已知兩年前父親年齡是兒子年齡的 8 倍，請問兩年前父子各幾歲？ 請問再過幾年父親的年齡是兒子年齡的 2 倍？
例1 三個作業隊共同使用水泵排澇，如果三個作業隊排澇的土地面積之比為 4∶5∶6，而這一次裝運水泵和耗用的電力費用共計 120 元，三個作業隊按土地面積比各應負擔多少元？
分析：各個作業隊應負擔費用與排澇的土地面積成正比，且三個作業隊各自應負擔費用之和等于 120 元. 由于共有土地 4 + 5 + 6 = 15 份，因而 120 元可由 15 份共同分擔.
比例問題
解：設每份土地排澇分擔費用為 x 元，那么三個作業隊應負擔費用分別為 4x 元，5x 元，6x 元.
依據題意，得 4x + 5x + 6x = 120.
解方程，得 x = 8.
4x = 32，5x = 40，6x = 48.
答：三個作業隊各應負擔 32 元、40 元、48 元.
例2 質量為 45 克的某種三色冰淇淋中，咖啡色、紅色和白色配料的比為 1∶2∶6，這種三色冰淇淋中，咖啡色、紅色和白色配料分別是多少
解：設咖啡色配料為 x 克，那么紅色配料為 2x 克，白色配料為 6x 克.
依據題意，得 x + 2x + 6x = 45.
解方程，得 x = 5.
則 2x = 10，6x = 30.
答：咖啡色、紅色和白色配料分別為 5 克、10 克、30 克.
比例問題：就是把一個數按照一定的比分成若干份.一般需間接設元，設每一份為 x，再根據各部分之和等于總體列出方程.
方法歸納
例3 (1) 學校圖書館原有圖書 a 冊，最近增加了 20%，則增加了圖書______冊，現在有圖書______冊；
(2) 某煤礦去年比前年減產 15%，已知去年產煤 60 萬噸. 設前年產煤 x 萬噸，則可列方程______________.
增長量 = 原有量×增長率，現有量 = 原有量 + 增加量；
降低量 = 原有量×降低率，現有量 = 原有量 - 降低量.
20%a
1.2a
x - 15%x = 60
和、差、倍、分問題
例4 一只輪船載重量為 300 噸，容積為 1000 立方米.現有甲、乙兩種貨物待裝，已知甲種貨物每噸體積 7 立方米，乙種貨物每噸體積 2 立方米，問怎樣安排貨運，才能充分利用船的載重量與容積？
載重量（噸） 容積（立方米）
甲
乙
總計 300 1000
解：設甲種貨物運載 x 噸，則乙種貨物為 (300 - x) 噸，甲種貨物所占容積為 7x 立方米，乙種貨物所占容積為 2(300 - x) 立方米，總容積為 1000 立方米.
根據題意，得 7x + 2(300 - x)=1000.
解方程，得 x = 80. 則 300 - x = 220.
答：甲種貨物裝運 80 噸，乙種貨物裝運 220 噸.
和、差、倍、分問題：常用兩種不同的形式表示題中的同一個量，由這兩個式子相等得到方程.我們可以通過列表格的方式呈現題目中給出的信息，找出等量關系，列出方程.
方法歸納
父子兩人今年年齡之和為 40 歲，已知兩年前父親年齡是兒子年齡的 8 倍，請問兩年前父子各幾歲？
兩年前 今年
兒子
父親
總計 40
解：兩年前兒子為 x 歲.
依據題意，得
(8x + 2) + (x + 2) = 40.
解方程，得
x = 4， 則 8x = 32.
答：兩年前父親 32 歲，兒子 4 歲.
練一練
x
8x
x + 2
8x + 2
1. 甲、乙二人按照 2∶5 的比例投資開辦了一家公司，約定除去各項支出外，所得利潤按投資比例分成，第一個月盈利 3500 元，那么甲得________，乙分別應得________.
2. 一個兩位數，個位數字和十位數字的和為 7，如果把十位數字和各位數字對調，所得新數比原數大 45，那么原兩位數是____.
1000 元
2500 元
16
3. 一根長 16 米的鐵絲分成兩段，做成一個長方形和一個正方形，已知長方形的長和寬之比為 2∶1，長方形的長比正方形的邊長多 3 米，正方形的面積____平方米.
1
4. 我國四大發明之一的黑火藥是用硝酸鉀、硫磺、木炭三種，原料按 15∶2∶3 的比例配制而成，現要配制這種火藥 150 公斤，則這三種原料各需要多少公斤？
解：設需要硝酸鉀 15x 公斤，硫磺 2x 公斤，木炭 3x 公斤.
依題意，得 15x + 2x + 3x = 150. 解方程得 x = 7.5.
則 15x = 15×7.5 = 112.5， 2x = 2×7.5 = 15，
3x = 3×7.5 = 22.5.
答：硝酸鉀需要 112.5 公斤，硫磺需要 15 公斤，
木炭需要 22.5 公斤.
5. 甲、乙、丙三隊合修一條公路，計劃出 280 人，如果甲隊人數是乙隊的一半，丙隊人數是乙隊的 2 倍，問三隊各出多少人？
解：設乙隊出 x 人，則甲隊出 人，丙隊出 2x 人，三隊共出 280 人.
依題意 得 x + +2x = 280.
解方程 得 x = 80， = 40，2x = 160.
答：甲隊出 40 人，乙隊出 80 人，丙隊出 160 人.
6. 甲、乙、丙三位同學向貧困地區的少年兒童捐贈圖書，已知這三位同學捐贈圖書冊數的比是 5∶6∶9.
(1) 如果他們共捐書 320 冊，那么這三位同學各捐書多少冊？(2) 如果甲、丙兩同學捐書的和是乙同學捐書冊數的 2 倍還多 12 冊，那么他們各捐書多少冊
甲 乙 丙
捐書數量(冊) 5x 6x 9x
(1) 合計捐書 320 冊 (2) 甲 + 丙 = 2×乙 + 12 解：設甲同學捐書 5x 本，乙同學捐書 6x 本，丙同學捐書 9x 本，
（1）依題意，得 5x + 6x + 9x = 320.
解方程 得 x = 16. 則 5x = 80；6x = 96；9x = 144.
（2）依題意，得 5x + 9x = 2×6x + 12.
解方程，得 x = 6. 則 5x = 30；6x = 36；9x = 54.
答：他們個捐了 30 本，36 本，54 本書.
一元一次方程的應用
比例問題
和、差、倍、分問題
步驟
增長量 = 原有量×增長率；降低量 = 原有量×降低率
現有量 = 原有量 + 增加量；現有量 = 原有量 - 降低量
采用間接設元法，通常設每一份為 x
1.設未知數；2.找等量關系；3.列方程；4解方程；5.檢驗作答

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