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3.4 二元一次方程組及其解法
第3章 一次方程與方程組
第 1 課時 二元一次方程與二元一次方程組
　累死我了！
你還累 這么大的個，才比我多馱了2個.
觀察與思考
哼，我從你背上拿來 1 個，我的包裹數就是你的 2 倍！
真的 ！
思考：聽完它們的對話，你能猜出它們各馱了多少包裹嗎
問題1：設老牛馱了 x 個包裹，小馬馱了 y 個包裹.你能根據它們的對話列出方程嗎？
老牛的包裹數比小馬的多 2 個；
老牛從小馬的背上拿來 1 個包裹，就是小馬的 2 倍.
x－y＝2
x＋1＝2(y－1)
二元一次方程組的定義
情景2：某班同學在植樹節時植樟樹和白楊樹共 45 棵.已知樟樹樹苗每棵 2 元，白楊樹苗每棵 1 元，購買這些樹苗用了 60 元. 問樟樹苗、白楊樹苗各買了多少棵？
2元/棵
1元/棵
問題1：情景 2 中有幾個未知數？列一元一次方程能解嗎？
想一想
未知數：樟樹苗的數量、楊樹苗的數量
解：設樟樹苗買了 x 棵，花了 2x 元；白楊樹苗買了 (45 - x) 棵，花了 (45 - x) · 1 元. 買樹苗一共花了60 元.
依據題意，得 2x + (45 - x) · 1 = 60.
解方程 得 x = 15， 45 - x = 30.
答：樟樹苗買了 15 棵，楊樹苗買了 30 棵.
問題2：如果設兩個未知數 x，y，你能列出幾個獨立的方程？
設樟樹苗買了 x 棵，白楊樹苗買了 y 棵，根據兩種樹苗總數為 45 棵，得
x + y = 45. ①
又根據購買樹苗的總費用是 60 元，得
2x + y = 60. ②
觀察以上兩個方程，它們與我們學過的一元一次方程有什么相同點和不同點？
上面所列方程各含有幾個未知數
含有未知數的項的次數是多少
2 個未知數
次數是 1
含有兩個未知數，并且所含未知數的項的次數都是 1 的方程叫做二元一次方程.
x－y＝2 x＋y＝45
x＋1＝2(y－1) 2x＋y＝60
定義：
歸納總結
只含有 1 個未知數(元)，未知數的次數為 1；
比一比
x + y = 45.
x + 15 = 60
含有 2 個未知數(元)，未知數的次數為 1；
一元一次方程
都是含未知數的等式
二元一次方程
練一練
判斷下面哪些方程是二元一次方程.
不是，最高項次數為 2
不是，含有 3 個未知數
方程左邊的式子不是整式
不是，是一元一次方程
是
注意：二元一次方程是整式方程；所含未知數有 2 個，所含未知數項的最高次數是“1”，這里要特別注意項的次數．
x + 3 = 6；
xy = 3；
x + y = a；
x + y = 45. ①
2x + y = 60. ②
思考：觀察情景 2 中列出的兩個二元一次方程，它們之間有什么聯系？
樹苗總數關系
購買樹苗總費用關系
x，y 必須同時滿足這兩個關系，就是說它必須同時滿足①②兩個方程.
聯立在一起的幾個方程，稱為方程組；
由兩個一次方程組成的含有兩個未知數的方程組叫做二元一次方程組.
注 意
1.二元一次方程是整式方程；所含未知數有 2 個，所含未知數項的最高次數是“1”，這里要特別注意項的次數．
2. 二元一次方程組中，兩個方程都是一次的，方程組中含有兩個未知數.
請問下列方程組是二元一次方程組嗎？
三個未知數
未知數出現在分母中
練一練
√
√
√
×
×
例1 已知 |m－1| x|m|＋y2n－1 ＝ 3 是關于 x、y 的二元一次方程，則 m＋n ＝_____．
典例精析
解析：根據題意得 | m |＝1 且 |m－1|≠0，2n－1 ＝ 1，解得 m ＝ －1，n ＝ 1，所以 m＋n ＝ 0.
0
由方程是二元一次方程可知：
(1) 未知數的系數不為 0；
(2) 含未知數的項的次數都是 1.
方法
例2 下列方程組是二元一次方程組的是（ ）
A. B.
C. D.
緊扣相關概念
B
小提示： 也是二元一次方程組.
列二元一次方程組
解：設雞有 x 只，兔有 y 只. 根據頭數、腳數可得二元一次方程組
①
②
方法歸納：根據實際情境列二元一次方程組，一般要根據題目中的數量關系，選擇兩個未知數，將題中給出的數量關系表示成含有兩個未知數的等式.
1. 植樹節這天有 20 位同學共種了 52 棵樹苗，其中男生每人種 3 棵，女生每人種 2 棵，請問男生、女生各有多少人？
解：設男生 x 人，女生 y 人，根據題意可得方程組為：
①
②
練習：設適當的未知數，列二元一次方程組.
2. 如果甲數比乙數少 3，甲數與乙數的和是 15，求甲數與乙數.
解：設甲數為 x，乙數為 y.
①
②
根據題意可得方程組為
1. 下列哪些方程是二元一次方程？如不是，請說明理由.
(1) + 2y = 1； (2) x + = -7； (3) 8ab = 5；
(4) 2x2 - x + 1 = 0 ；(5)2(x + y) - 3(x - y) = 1；(6)2x + 5 = 10.
答：(1)是；(2)不是，y 出現在分母中；(3)不是，是二元二次方程；(4) x 的最高次數是 2，不是1；(5)是；(6)不是，是一元一次方程.
2. 若 是關于 x，y 的二元一次方程，則 m = .
1
3. 根據題意及題中給出的未知數，列二元一次方程組.
（1）設有 x 節車廂，y 噸貨物，若每節車廂裝10 噸，則還剩下 12 噸未裝下，若每節車廂裝 12 噸，則還剩下一節車廂.
（2）甲數與乙數之差為 6，且甲數比乙數的 大 10，設甲數為 x，乙數為 y.
（3）足球比賽中勝場積 3 分，平場積 1 分，負場積 0 分. 中天隊第 12 輪比賽戰罷，輸了 3 場，共積 19 分.設其勝了 x 場，平了 y 場.
二元一次方程組
二元一次方程
二元一次方程組
含有 未知數；
未知數最高次數為 ；
方程兩邊都是 .
含有 未知數.
由兩個 方程組成；
兩個
1 次
整式
一次
兩個
課堂小結

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