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(共22張PPT)
3.4 二元一次方程組及其解法
第3章 一次方程與方程組
第 2 課時(shí) 用代入法解二元一次方程組
問題引入
問題1：籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝一場(chǎng)得 2 分，負(fù)一場(chǎng)得 1 分. 如果某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好名次，想在全部 22 場(chǎng)比賽中得 40 分，這個(gè)隊(duì)勝、負(fù)場(chǎng)數(shù)應(yīng)分別是多少
設(shè)他們勝場(chǎng)次數(shù)為 x，負(fù)場(chǎng)數(shù)為 y. 根據(jù)題意得
昨天，我們 8 個(gè)人去紅山公園玩，買門票花了 34 元
每張成人票 5 元，每張兒童票 3 元
設(shè)他們中有 x 個(gè)成人，y 個(gè)兒童. 根據(jù)題意得
問題2：他們到底去了幾個(gè)成人，幾個(gè)兒童呢
合作探究
有哪些值滿足方程 x + y = 22 且符合問題的實(shí)際意義？
x 0 1 2 … 18 … 22
y
x + y
22 21 20 … 4 … 0
22 22 22 … 22 … 22
二元一次方程（組）的解
若不考慮實(shí)際意義，你還能再找出方程的幾個(gè)解嗎？
一般地，一個(gè)二元一次方程有無數(shù)個(gè)解.如果對(duì)未知數(shù)的取值附加某些限制條件，那么可能有有限個(gè)解.
使二元一次方程左右兩邊相等的一組未知數(shù)的值，叫做這個(gè)二元一次方程的一個(gè)解
通常記作： ······
x + y = 22
x = 2
y = 20
x 0 1 2 … 18 … 22
y
x + y
22 21 20 … 4 … 0
22 22 22 … 22 … 22
x 0 1 2 … 18 … 22
2x
y
2x + y
0 2 4 … 36 … 44
40 40 40 … 40 … 40
40 36 32 … 4 … /
不難發(fā)現(xiàn) x = 18，y = 4 既是 x + y = 22 的解，也是2x + y = 40 的解，也就是說它是這兩個(gè)方程的公共解，
我們把它們叫做方程組 的解.
x + y = 22
2x + y = 40
記作：
x = 18
y = 4
使二元一次方程組中每個(gè)方程都成立的兩個(gè)未知數(shù)的值，叫做二元一次方程組的解.
怎么求 x、y 的值呢？
昨天，我們 8個(gè)人去紅山公園玩，買門票花了34 元.
每張成人票 5 元，每張兒童票 3 元.他們到底去了幾個(gè)成人、幾個(gè)兒童呢
還記得下面這一問題嗎
設(shè)他們中有 x 個(gè)成人，y 個(gè)兒童.
用代入法解二元一次方程組
x + y = 8，
5x + 3y = 34.
5x + 3(8 - x) = 34.
解：設(shè)去了 x 個(gè)成人，則去了 (8－x) 個(gè)兒童，根據(jù)題意，得
解得 x = 5.
將 x = 5 代入
8－x = 8－5 = 3.
答:去了5個(gè)成人，3個(gè)兒童.
用一元一次方程求解
解：設(shè)去了 x 個(gè)成人，去了 y 個(gè)兒童，根據(jù)題意，得
用二元一次方程組求解
觀察：二元一次方程組和一元一次方程有何聯(lián)系？這對(duì)你解二元一次方程組有何啟示？
y = 8 - x
用二元一次方程組求解
解：由①得 y = 8－x. ③
將③代入②，得
5x + 3(8－x) = 34.
解得 x = 5.
把 x = 5代入③，得 y = 3.
x + y = 8 ①
5x + 3y = 34 ②
所以原方程組的解為
x + y = 8
5x + 3y = 34
5x + 3(8 - x) = 34
第一個(gè)方程 x + y = 8
說明 y = 8 - x
將第二個(gè)方程 5x + 3y = 34 的 y 換成 8 - x
解得 x = 5
代入 y = 8 - x
得 y = 3
y = 3
x = 5
思考：從
到
達(dá)到了什么目的 怎樣達(dá)到的
x + y = 8
5x + 3y = 34
5x + 3(8 - x) = 34
要點(diǎn)歸納
解二元一次方程組的基本思路：“消元”
二元一次方程組
一元一次方程
消元
轉(zhuǎn)化
也就是要消去其中一個(gè)未知數(shù)，把解二元一次方程組轉(zhuǎn)化成解一元一次方程.
這里的消元方法是，從一個(gè)方程中求出某一個(gè)未知數(shù)的表達(dá)式，并把它“代入”另一個(gè)方程，進(jìn)行求解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法.
典例精析
將 y = 1 代入② ，得 x = 4.
經(jīng)檢驗(yàn)， x = 4，y = 1 適合原方程組.
所以原方程組的解是
x = 4，
y = 1.
解：將②代入①，得 3(y + 3) + 2y = 14
3y + 9+ 2y = 14
5y = 5
y = 1.
例1 解方程組
3x + 2y = 14 ①
x = y + 3 ②
檢驗(yàn)可以口算或在草稿紙上驗(yàn)算，以后可以不必寫出.
解：由②，得 x = 13 - 4y. ③
將③代入①，得 2(13 - 4y) + 3y = 16.
26 - 8y + 3y = 16.
-5y = -10.
y = 2.
所以原方程組的解是
x = 5，
y = 2.
例2 解方程組
2x + 3y = 16 ①
x + 4y = 13 ②
將 y = 2 代入③ ，得 x = 5.
用代入法解二元一次方程組的一般步驟
1.將方程組里的一個(gè)方程變形，用含有一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)；
變
代
2.用這個(gè)式子代替另一個(gè)方程中相應(yīng)的未知數(shù)，得到一個(gè)一元一次方程，求得一個(gè)未知數(shù)的值；
求
3.把這個(gè)未知數(shù)的值代入上面的式子，求得另一個(gè)未知數(shù)的值；
寫
4.寫出方程組的解.
由①直接代入②
下列各方程組中，應(yīng)怎樣代入消元？
由①得 y = 7x –11. ③
將③代入②
x = 4y - 1 ①
3x + y = 10 ②
7x - y = 11 ①
5x + 2y = 0 ②
小技巧： 用代入法時(shí)，往往對(duì)方程組中系數(shù)為 1 的未知數(shù)所在的方程進(jìn)行變形代入.
練一練
例3 籃球聯(lián)賽中，每場(chǎng)比賽都要分出勝負(fù)，勝一場(chǎng)得 2 分.負(fù)一場(chǎng)得 1 分，某隊(duì)為了爭(zhēng)取較好的名次，想在全部 20 場(chǎng)比賽中得到 35 分，那么這個(gè)隊(duì)勝負(fù)場(chǎng)數(shù)分別是多少？
解： 設(shè)勝的場(chǎng)數(shù)是 x，負(fù)的場(chǎng)數(shù)是 y，可列方程組：
由①得 y＝20 - x .
將③代入②，得 2x + 20 - x = 35 ，
解得 x = 15.
將 x = 15 代入③得 y = 5. 則這個(gè)方程組的解是
答：這個(gè)隊(duì)勝 15 場(chǎng)，負(fù) 5 場(chǎng).
①
②
1. 二元一次方程組 的解是（ ）
A．
B．
C．
D.
D
y = 2x，　　
x + y = 12；　
(1)
(2)
2x = y - 5，
4x + 3y = 65.
解：
(1)
x = 4，
y = 8.
(2)
2. 解下列方程組：
x = 5，
y = 15.
3. 根據(jù)市場(chǎng)調(diào)查，某種消毒液的大瓶裝 (500 g) 和小瓶裝 (250 g)，兩種產(chǎn)品的銷售數(shù)量 (按瓶計(jì)算) 的比為 2∶5. 某廠每天生產(chǎn)這種消毒液 22.5 噸，這些消毒液應(yīng)該分裝大、小瓶兩種產(chǎn)品各多少瓶？
解：設(shè)這些消毒液應(yīng)該分裝 x 瓶大瓶、y 瓶小瓶.
根據(jù)題意，可列方程組：
解方程組，得
答：這些消毒液應(yīng)分裝 20000 瓶大瓶，50000 瓶小瓶.
小技巧：當(dāng)相同未知數(shù)的系數(shù)成倍數(shù)關(guān)系時(shí)，我們常用整體代入法會(huì)使解法更加快捷簡便！
解二元一次方程組
基本思路“消元”
代入法解二元一次方程組的一般步驟
變：用含一個(gè)未知數(shù)的式子表示另一個(gè)未知數(shù)
代：用這個(gè)式子替代另一個(gè)方程中相應(yīng)未知數(shù)
求：求出兩個(gè)未知數(shù)的值
寫：寫出方程組的解
課堂小結(jié)

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