資源簡介

(共25張PPT)
4.3 線段的長短
第4章 直線與角
第2課時 線段的中點
情境導入
如何找到一條繩子的中點呢？
線段AB上有一點C，且點C到點A，B的距離相等，那么點C是線段AB的什么點呢？
C
B
A
思考
問題：描述一下線段中點的概念呢？(對照圖形)
點 C在線段 AB 上,且AC=BC，像這樣把一條線段分成兩條相等的線段的點，叫作線段的中點.
因為 C 是線段 AB 的中點，
所以 AC = CB = AB ，
（或 AB = 2AC = 2CB）.
中點定義
數學語言：
注意:（1）線段的中點一定在直線上，并且只有一個.
（2）若點C是線段AB的中點，則AC=CB；但反過來，若AC=CB , 點C不一定是AB的中點，如圖所示.
知識拓展:
線段的三等分點：如圖，若點C，D將線段AB分成相等的三條線段AC，CD，DB，則點C，D叫作線段AB的三等分點，這時AC=CD=DB= AB（類似地，還有四等分點、五等分點等）.
解：如圖，
因為AB=4，點D為AB的中點，所以AD= AB=2.
又因為AC=11，點E為AC中點，所以AE= AC =5.5.
所以DE=AE-AD =5.5-2 =3.5.
例1 已知線段AB=4，延長AB至點C，使AC=11.點D是AB的中點，點E是AC的中點，求DE的長.
A
C
D
B
E
變式　如圖，在直線上有 A，B，C 三點，AB＝4 cm，BC＝3 cm，如果 O 是線段 AC 的中點，求線段 OB 的長度.
解：因為 AB＝4 cm，BC＝3 cm，
所以 AC＝AB＋BC＝7 cm.
因為點 O 是線段 AC 的中點，
所以 OC＝ AC＝3.5 cm.
所以 OB＝OC－BC＝3.5－3＝0.5(cm).
(1)逐段計算：求線段的長度，主要圍繞線段的和、差、倍、分關系展開．若每一條線段的長度均已確定，所求問題可迎刃而解．
計算線段長度的一般方法：
(2)整體轉化：巧妙轉化是解題關鍵．首先將線段轉化為兩條線段的和，然后再通過線段的中點的等量關系進行替換，將未知線段轉化為已知線段．
歸納總結
例2 如圖，B、C 兩點把線段 AD 分成 2 : 3 : 4 的三部分，點 E 是線段 AD 的中點，EC＝2 cm，求：
(1) AD 的長； (2) AB : BE.
解：(1) 設 AB＝2x，則 BC＝3x，CD＝4x，
由線段的和差，得 AD＝AB＋BC＋CD＝9x.
由 E 為 AD 的中點，得 ED＝ AD＝ x.
由線段的和差，得 CE＝DE－CD＝ x－4x＝ ＝2.
解得 x＝4. ∴ AD＝9x＝36 (cm).
（2）AB : BE.
解：AB＝2x＝8 cm，BC＝3x＝12 cm.
由線段的和差，
得 BE＝BC－CE＝12－2＝10（cm）.
所以 AB : BE＝8 : 10＝4 : 5.
方法總結：在遇到線段之間比的問題時，往往設出未知數，列方程解答.
變式：如果線段 AB＝6，點 C 在直線 AB 上，BC＝4，D 是 AC 的中點，那么 A、D 兩點間的距離是（　　）
A. 5 B. 2.5 C. 5 或 2.5 D. 5 或 1
【解析】本題有兩種情形：
（1）當點 C 在線段 AB 上時，如圖：
所以 AC＝AB－BC＝6－4＝2.
因為 D 是 AC 的中點，
所以 AD＝1.
（2）當點 C 在線段 AB 的延長線上時，如圖：
所以 AC＝AB＋BC＝6＋4＝10，
因為 D 是 AC 的中點，
所以 AD＝5.故選D.
方法總結：解答本題關鍵是正確畫圖，本題滲透了分類討論的思想，體現了思維的嚴密性，在今后解決類似的問題時，要防止漏解.
合作探究


A
B
如圖，從 A 地到 B 地有四條道路，除它們外能否再修一條從 A 地到 B 地的最短道路？如果能，請你在圖上畫出最短路線.
發現：兩點之間的所有連線中，線段最短
兩點之間線段最短
思考：2. 如圖，人們修建公路遇到大山阻隔時，常會打一條隧道直穿過去，為什么？
因為修隧道可以縮短兩地之間的路程， 實現路途近的目的。
線段有如下的基本事實：
兩點之間的所有連線中，線段最短.
兩點之間線段的長度，叫作這兩點之間的距離.
這5條線中，
線段AB最短.
線段AB的長度就是A，B兩點之間的距離.
A
B
注意:
（1）兩點間的距離是一個具體的數量，而線段是圖形，因此不能把A，B兩點間的距離說成線段AB;
（2）兩點間的連線是指以兩個點為端點的任意線，包括線段、折線和曲線，有無數條.
典例精析
[解析] 在 MN 上任選一點 P，它到 A，B 的距離即線段 PA 與 PB 的長，結合兩點之間線段最短可求．
例3 如圖所示，直線 MN 表示一條鐵路，鐵路兩旁各有一點 A 和 B，表示兩個工廠．要在鐵路上建一貨站，使它到兩廠距離之和最短，這個貨站應建在何處？
解：連接 AB，交 MN 于點 P，則這個貨站應建在點 P 處.
P
P
(1) 兩點之間的距離的概念描述的是數量，而不是圖形，指的是連接兩點的線段的長度，而不是線段本身．
(2) 在解決選擇位置、求最短距離等問題時，通常轉化為“兩點之間線段最短”．
歸納總結
1. 如圖，P是線段MN的中點，那么MN=____MP=____PN，MP=PN=______MN.
M
N
P
2
2
2. 如圖，用刻度尺量出AB，AC，BC的長度，并比較AB+AC與BC的長短．不通過測量，你能比較AB+AC與BC的長短嗎？依據是什么？
A
B
C
解:
AB+AC >BC.
能，依據是“兩點之間的所有連線中，線段最短”.
3.下列說法中正確的是（ ）
A.連結兩點的線段叫作兩點間的距離
B.在所有連接兩點的線中，直線最短
C.線段AB就是表示點A到點B的距離
D.點A到點B的距離就是線段AB的長度
D
4.已知A、B、C三點在同一直線上，如果
線段AB=6cm，BC=3cm，A、C兩點的
距離為d，那么（ ）
A. d=9cm B. d=3cm
C. d=9cm或d=3cm D. d大小不確定
C
5.如圖，已知線段AB=6 cm，C是AB的中點，D是AC的中點，求線段BD的長.
A
B
C
D
解:因為AB=6 cm，C是AB的中點，
所以AC=BC= AB=3 cm.
因為D是AC的中點，所以AD=CD= AC=1.5 cm.
所以BD=BC+CD=3+1.5=4.5 （ cm ）.
2.線段的基本事實：
兩點之間的所有的連線中，線段最短.
3.兩點之間線段的長度，叫作這兩點之間的距離.
1.線段的中點
點 C在線段 AB 上,且AC=BC，像這樣把一條線段分成兩條相等的線段的點，叫作線段的中點.
課堂小結

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