資源簡介

17.1 用提公因式法分解因式（第1課時）教學設計
一、內(nèi)容和內(nèi)容解析
1. 內(nèi)容
本節(jié)課是在學生學習了整式乘法的基礎上，研究對整式的一種變形即因式分解，是把一個多項式轉(zhuǎn)化成幾個整式相乘的形式，它與整式乘法是互逆變形的關系。
2. 內(nèi)容分析
本節(jié)課是整式乘法的逆向?qū)W習，核心是將多項式轉(zhuǎn)化為幾個整式乘積的形式，即因式分解。這種互逆關系是理解因式分解意義的關鍵。提公因式法作為因式分解的基礎方法，其本質(zhì)是運用乘法分配律的逆運算，提取多項式各項中含有的公共因式，從而簡化多項式結構。本節(jié)課既是對整式運算的深化，也為后續(xù)學習分式化簡、解一元二次方程等內(nèi)容奠定基礎，在代數(shù)變形體系中具有承上啟下的作用。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重點為：理解因式分解的概念；能用提公因式法分解因式。
二、目標和目標解析
1. 目標
（1）理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系。
（2）了解公因式的概念，能用提公因式法進行因式分解（指數(shù)為正整數(shù)）。
（3）在探究提公因式法的過程中，體會逆向思維與轉(zhuǎn)化思想，發(fā)展代數(shù)推理能力，培養(yǎng)運算素養(yǎng)和嚴謹?shù)臄?shù)學思維習慣。
2. 目標解析
（1）學生需明確因式分解是“和差化積”的變形，能準確判斷一個變形是否為因式分解；通過對比實例，清晰區(qū)分整式乘法與因式分解的互逆關系，理解二者在變形方向上的本質(zhì)區(qū)別。
（2）學生需掌握公因式的定義，能從多項式各項中識別出系數(shù)的最大公約數(shù)與相同字母的最低次冪的乘積；并能運用提公因式法將多項式分解因式，做到提取徹底、結果正確。
（3）學生在經(jīng)歷“觀察多項式結構—尋找公因式—提取公因式”的過程中，體會將復雜多項式轉(zhuǎn)化為簡單整式乘積的“轉(zhuǎn)化思想”，以及從整式乘法逆向思考因式分解的“逆向思維”；通過規(guī)范的因式分解步驟訓練，提升代數(shù)運算的準確性與邏輯性，發(fā)展運算素養(yǎng)，同時培養(yǎng)嚴謹?shù)乃季S習慣。
三、教學問題診斷分析
1.混淆因式分解與整式乘法的概念
部分學生可能無法判斷一個變形是否為因式分解，對“和差化積”的本質(zhì)理解不深，僅停留在形式記憶。應對策略：通過對比表格呈現(xiàn)二者的變形方向，結合具體實例讓學生辨析，并設計“判斷下列變形是否為因式分解”的練習，強化“因式分解的結果必須是整式乘積形式”的核心特征。
2. 提取公因式后漏項或符號錯誤
提取公因式后，括號內(nèi)的項數(shù)減少或符號處理錯誤。學生可能對乘法分配律逆用不熟練，忽略“提取公因式后括號內(nèi)各項需與原項對應”，尤其對負號的處理缺乏意識。應對策略：強調(diào)“提公因式后括號內(nèi)的項數(shù)與原多項式一致”，可通過“用乘法分配律逆向驗證”的方法檢驗；對于含負號的多項式，先提取“-”號，括號內(nèi)各項變號，結合實例演示符號變化規(guī)律，設計針對性的糾錯練習。
基于以上分析，確定本節(jié)課的教學難點為：運用提公因式法分解因式。
四、教學過程設計
（一）復習引入
問題1 上一章，我們研究的整式乘法分了哪幾類？運算的結果是什么形式？
答 單項式乘以單項式，單項式乘以多項式，多項式乘以多項式.
運算的結果是單項式或多項式.
問題2 我們學習了哪些乘法公式？運算的結果是什么形式？
答 平方差公式，完全平方公式.
運算的結果是多項式.
問題3 在跳水比賽中，選手每一跳的得分是根據(jù)裁判的評分和難度系數(shù)計算得出的．某單人跳水選手完成了一個難度系數(shù)為p的動作，如果有7名裁判進行評分，按照評分規(guī)則，去掉2個最高分和2個最低分后，會剩下3個分數(shù)a，b， c，選手的得分有兩種計算方法：
① pa+pb+pc； ② p(a+b+c).
我們知道上述兩式是相等的．從整式運算的角度看，從②式到①式就是上一章我們學習的整式的乘法運算；從①式到②式，相當于把一個多項式寫成兩個整式的乘積．
設計意圖：通過復習整式乘法的分類與結果、乘法公式等舊知，關聯(lián)跳水比賽得分計算實例，既喚醒學生對整式乘法的認知，又借助生活情境引出“把多項式寫成整式乘積”的新內(nèi)容，為講解提公因式法分解因式做鋪墊，讓學生感受數(shù)學與生活的聯(lián)系，理解因式分解與整式乘法的互逆關系，自然過渡到新課學習。
（二）合作探究
探究　請把下列多項式寫成整式的乘積的形式：
（1）x2+ x = x( x+1) ； （2）x2 1 = ( x+1)( x 1) ； （3）x2+2x+1= ( x+1)2 .
我們先來看整式的乘法：
（1） x( x+1) = x2+ x ；（2）( x+1)( x 1) = x2 1 ； （3） ( x+1)2 = x2+2x+1 .
反過來，即可得到【探究】的答案.
概念 （多項式的）因式分解
把一個多項式化成幾個整式的乘積的形式，這樣的式子變形叫作這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式．因式分解與整式乘法是方向相反的變形.
觀察 多項式pa+pb+pc的各項有什么共同特征？
答 它的各項都有一個公共的因式p.
我們把因式p叫作這個多項式各項的公因式.
例如 pa+pb+pc =p(a+b+c) .
p是各項的公因式，a+b+c是pa+pb+pc除以p所得的商.
概念 提公因式法
一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形式，這種分解因式的方法叫作提公因式法．
設計意圖：直觀呈現(xiàn)因式分解與整式乘法的反向變形關系，幫助學生理解因式分解的概念，實現(xiàn)新舊知識的自然過渡。以pa+pb+pc為例，引導學生觀察多項式各項的公共因式，提煉“公因式”概念，讓學生掌握提公因式法的關鍵——找公因式。基于公因式的概念，明確提公因式法的操作步驟，讓學生學會用提公因式法分解因式，掌握因式分解的基本技能。
（三）典例分析
例1 下列從左到右的變形中是因式分解的有( B )
①x2 y2 1=(x+y)(x y) 1；
②x3+x=x(x2+1)；
③(x y)2=x2 2xy+y2；
④x2 9y2=(x+3y)(x 3y)．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
例2 分解因式：
(1) mx2+my2 ； (2)3x2 4xy2+x .
解 (1)原式=m(x2+y2) ；
(2)原式=x·3x x·4y2+x·1=x(3x 4y2+1) .
注意 將x提出后，括號內(nèi)的第三項為1.
設計意圖：通過判斷變形是否為因式分解的題目，強化學生對因式分解概念的理解。設置用提公因式法分解因式的實例，讓學生運用已學知識，實踐提公因式法的操作流程。同時，強調(diào)提出公因式后括號內(nèi)的第三項為1，及時提醒學生注意易錯點，實現(xiàn)知識從概念到應用的轉(zhuǎn)化。
（四）鞏固練習
1. 下列由左邊到右邊的式子變形，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？
(1) 4a(a+2b)=4a2+8ab ； 不是，是整式乘法.
(2) a2 4=(a+2)(a 2) ； 是.
(3) x2 3x+2=x(x 3)+2 . 不是，等式右邊不是整式乘積的形式.
2. 分解因式：
(1) ax ay ； (2) a2 2a ； (3) a2+ab ； (4) xy y2+yz .
解 （1）原式=a(x y). （2）原式=a(a 2).
（3）原式=a(a+b). （4）原式=y(x y+z).
3. 利用因式分解計算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ； (2) 49×20.22+52×20.22 20.22 ；
(3) 5×34+4×34+9×32 .
解 （1）原式=1.99×(1.99+0.01)=1.99×2=3.98.
（2）原式=20.22×(49+52 1)=20.22×100=2022.
（3）原式=5×34+4×34+34 =34×(5+4+1)=34×10=810.
4. 已知a+b=7，ab=4，求a2b+ab2的值：
解 ∵a+b=7，ab=4，
∴原式=ab(a+b)=4×7=28.
方法總結 含a±b，ab的求值題，通常要將所求代數(shù)式進行因式分解，將其變形為能用a±b和ab表示的式子，然后將a±b，ab的值整體代入即可.
設計意圖：學完新知識后及時進行課堂鞏固練習，不僅可以強化學生對新知的記憶，加深學生對新知的理解，還可以及時反饋學習情況，幫助學生查漏補缺，幫助教師及時調(diào)整教學策略。
歸納總結
（六）感受中考
1．（2022·山東濟寧）下面各式從左到右的變形，屬于因式分解的是（ C ）
A． B．
C． D．
2．（2020·河北）對于①，②，從左到右的變形，表述正確的是（ C ）
A．都是因式分解 B．都是乘法運算
C．①是因式分解，②是乘法運算 D．①是乘法運算，②是因式分解
3．（2025·江西）因式分解： ．
4．（2025·四川達州）因式分解： ．
5．（2025·湖南長沙）分解因式： ．
6．（2024·江蘇徐州）若，，則代數(shù)式的值是 2 ．
解：∵，，
∴ ，
設計意圖：在學習完新知識后加入中考真題練習，不僅可以幫助學生明確考試方向，熟悉考試題型，檢驗學習成果，提升應考能力，還可以提升學生的學習興趣和動力。
（七）小結梳理
（八）布置作業(yè)
1.必做題：習題17.1 第1，2，3題.
2.探究性作業(yè)：習題17.1 第7題.
五、教學反思

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