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廣元市川師大萬(wàn)達(dá)中學(xué)高2024級(jí)2025年秋季入學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷
一、單選題
1．下列計(jì)算結(jié)果是的是（ ）
A． B． C． D．
2．某校為了解同學(xué)們對(duì)“天宮課堂”這種授課模式的興趣，決定利用分層抽樣的方法從高一、高二、高三學(xué)生中選取90人進(jìn)行調(diào)查，已知該校高一年級(jí)學(xué)生有400人，高二年級(jí)學(xué)生有500人，高三年級(jí)學(xué)生有600人，則抽取的學(xué)生中，高一年級(jí)有（ ）
A．40人 B．36人 C．30人 D．24人
3．已知向量與的夾角為 ，且則 （ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，若，且，則∠B＝（ ）
A． B． C． D．
5．設(shè)、是不同的直線，、是不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，，，則
6．某學(xué)校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間（單位：小時(shí)），制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是17.5，30]，樣本數(shù)據(jù)分組為17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于22.5小時(shí)的人數(shù)是
A．56 B．60 C．140 D．120
7．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為，如果不計(jì)容器的厚度，則球的體積為（ ）

A． B． C． D．
8．在銳角中，若，則的最小值是（ ）
A．4 B． C． D．8
二、多選題
9．已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A．若復(fù)數(shù)z為實(shí)數(shù)，則
B．若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則
C．當(dāng)時(shí)，
D．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)不可能在第二象限
10．下列四個(gè)命題為真命題的是（ ）
A．若向量，，則與反向共線
B．向量在上的投影向量為
C．與向量共線的單位向量為
D．已知向量，，則的最大值為
11．如圖，在直棱柱中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)面內(nèi)（包含邊界）一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A．平面截四棱柱所得的截面是五邊形
B．
C．平面與平面ABCD所成角的余弦值為
D．若∥平面，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為
三、填空題
12．已知一組數(shù)據(jù)如下：，則這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是 .
13．已知中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，，．若為直角三角形，則的面積為 ．
14．已知三棱錐中，，則該三棱錐的外接球表面積為 .
四、解答題
15．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，側(cè)面是正三角形，，分別是，的中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)若側(cè)面底面，求證：平面.
16．課外閱讀有很多好處，可以幫助學(xué)生提高閱讀能力、拓展知識(shí)面、提高思維能力等．某校為了解學(xué)生課外閱讀的情況，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了n名學(xué)生一個(gè)學(xué)期的課外閱讀時(shí)間（單位：時(shí)），所得數(shù)據(jù)都在內(nèi)，將所得的數(shù)據(jù)分成4組：，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖，現(xiàn)知道課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的有80人．
(1)求n和a的值；
(2)估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表）；
(3)估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)．
17．已知分別為銳角三個(gè)內(nèi)角的對(duì)邊，且.
(1)求；
(2)若；求周長(zhǎng)的取值范圍.
18．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形中.

(1)求；
(2)若E為對(duì)角線上一動(dòng)點(diǎn).連結(jié)并延長(zhǎng)，交于點(diǎn)F，連結(jié)，設(shè).當(dāng)λ為何值時(shí)，可使最小，并求出的最小值.
19．如圖，在四棱錐中，底面，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在棱上，且，四邊形為正方形，．
(1)證明：；
(2)求點(diǎn)到平面的距離；
(3)求二面角的余弦值．
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D C B A C A D ACD ABD
題號(hào) 11
答案 BCD
1．D
由倍角公式計(jì)算即可.
【詳解】，A錯(cuò)誤；
，B錯(cuò)誤；
，C錯(cuò)誤；
正確．
故選：D
2．D
確定高一、高二、高三的人數(shù)比，由分層抽樣特征即可求解；
【詳解】由題意可知該校高一年級(jí)學(xué)生有400人，高二年級(jí)學(xué)生有500人，高三年級(jí)學(xué)生有600人，
則高一年級(jí)，高二年級(jí)與高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)比為，
根據(jù)分層抽樣的特征可知，抽取的學(xué)生中，高一年級(jí)有人，
故選：D
3．C
根據(jù)平面向量的模結(jié)合向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.
【詳解】與的夾角
則，
解得.
故選：C.
4．B
由正弦定理可得，即，再利用三角形內(nèi)角和為即可求角.
【詳解】
由正弦定理得，
即，
所以，在中，所以，
，又，所以，
則．
故選：B．
5．A
利用線面平行、線面垂直的性質(zhì)定理以及面面垂直的判定定理可判斷A；舉反例可判斷BCD，進(jìn)而可得正確選項(xiàng).
【詳解】
對(duì)于A：因?yàn)椋裕驗(yàn)椋^(guò)作平面與平面交線為，則，因?yàn)椋擅婷娲怪钡呐卸ǘɡ砜傻茫蔬x項(xiàng)A正確；
對(duì)于B：如下圖正方體中，
對(duì)于B，令直線為，直線為，平面為，平面為，符合，，，但，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤．
對(duì)于C，令直線為，直線為，平面為，平面為，符合，，，但與相交，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤．
對(duì)于D，如圖為，為，平面為，平面，且，則滿足，，，，但與相交，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：A.
6．C
【詳解】試題分析：由題意得，自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的頻率為，故自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)為，故選C.
考點(diǎn)：頻率分布直方圖及其應(yīng)用．
7．A
先求出正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑，再根據(jù)截面圓半徑，球的半徑以及球心距的關(guān)系，即可求出球的半徑，再利用球的體積公式計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)球的半徑為，如圖所示，

根據(jù)已知條件知，正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為，
球心到截面圓的距離為，
所以由，
解得，
所以球的體積為，
故選：A.
8．D
由可得，在中，利用和角的正切公式化簡(jiǎn)推出，由利用基本不等式和上述結(jié)論，可推得，從而可得的最小值.
【詳解】由，可得．
因?yàn)闉殇J角三角形，所以均大于0．
則（*），
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)．
而
，
則由（*）可得：，
即，當(dāng)且僅當(dāng)，
即時(shí)取等號(hào).
即當(dāng)或時(shí)， 的最小值是8．
故選： D.
9．ACD
對(duì)于AB，由復(fù)數(shù)的概念驗(yàn)算即可；對(duì)于C，由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式求解即可；對(duì)于D，由復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.
【詳解】對(duì)于A，依題意可得，即，則，故A正確；
對(duì)于B，依題意可得，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，依題意可得，所以，故C正確；
對(duì)于D，若復(fù)數(shù)z在平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則，所以D正確，
故選：ACD．
10．ABD
對(duì)于A，根據(jù)向量數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及平面向量共線定理即可判斷；對(duì)于B，根據(jù)投影向量的計(jì)算公式直接求解即可；對(duì)于C，與向量共線的單位向量有同向和反向兩種情況，直接判斷；對(duì)于D，利用向量減法、向量模長(zhǎng)及輔助角公式即可求解.
【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋耘c反向共線，故A正確；
對(duì)于B，向量在上的投影向量為，故B正確；
對(duì)于C，與向量共線的單位向量為或，故C不正確；
對(duì)于D，若向量，，
則，
其中，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最大值，故D正確.
故選：ABD.
11．BCD
作出截面判斷A，由線面垂直的判定與性質(zhì)定理判斷B，用空間向量法求二面角判斷C，確定出動(dòng)點(diǎn)軌跡后判斷D.
【詳解】對(duì)A，取中點(diǎn)，連接PM，如圖，則（都與平行），所以四點(diǎn)共面，
則平面截四棱柱所得的截面是四邊形，A錯(cuò)誤．
對(duì)B，連接，由題意可得，底面，
底面ABCD，所以，而平面，
所以平面，又平面，所以，B正確．

對(duì)C，設(shè)AC與BD交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，所以，
設(shè)平面的法向量為，則
不妨取，則，易知平面ABCD的一個(gè)法向量為，
則，C正確．
對(duì)D，連接，由A項(xiàng)知四點(diǎn)共面，平面，
又平面平面，所以，
所以的軌跡為線段（不含點(diǎn)），，D正確．
故選：BCD.
12．8.5/
根據(jù)題意，利用百分位數(shù)的計(jì)算方法，即可求解.
【詳解】由題意，數(shù)據(jù)，可得，
故第80百分位數(shù)是第8個(gè)數(shù)和第9個(gè)數(shù)的平均數(shù)，即為.
故答案為：8.5.
13．或
根據(jù)題意，由正弦定理化簡(jiǎn)，再結(jié)合余弦定理即可求得，然后根據(jù)為直角三角形，分或，再由三角形的面積公式即可得到結(jié)果.
【詳解】由正弦定理，可化為：
，即，
所以，，所以，
又為直角三角形，
若，則，，，，
若，則，，，．
14．
根據(jù)勾股定理逆定理，構(gòu)造長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體的性質(zhì)、球的表面積公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>顯然有，，，
因此兩兩互相垂直，補(bǔ)成長(zhǎng)方體如圖所示：
該長(zhǎng)方體的對(duì)角線長(zhǎng)為，
所以該三棱錐的外接球的半徑為，
因此該三棱錐的外接球表面積為，
故答案為：

15．(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析
(2)證明過(guò)程見(jiàn)解析
（1）作出輔助線，得到四邊形為平行四邊形，故，證明出平面；
（2）由面面垂直得到線面垂直，即⊥平面，所以⊥，由三線合一得到⊥，故可證平面.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，，
底面為矩形，是的中點(diǎn)，所以，，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，故，
又平面，平面，
所以平面；
（2）底面為矩形，故⊥，
側(cè)面底面，交線為，平面，
所以⊥平面，
因?yàn)槠矫妫浴停?br/>側(cè)面是正三角形，為的中點(diǎn)，所以⊥，
因?yàn)椋矫妫?br/>所以平面.
16．(1)400；
(2)105
(3)106.25
（1）由頻率分布直方圖，先求得課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的頻率，進(jìn)而求得的值，利用各小組頻率之和為1求得a的值；
（2）利用頻率分布直方圖對(duì)應(yīng)的平均數(shù)公式計(jì)算即得；
（3）根據(jù)中位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖列方程計(jì)算即得.
【詳解】（1）根據(jù)題意，課外閱讀時(shí)間在內(nèi)的有80人，頻率為，
所以．
由頻率分布直方圖可知，，
解得．
（2）估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)為：
．
（3）因?yàn)椋灾形粩?shù)位于內(nèi)，
設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，
所以估計(jì)該校學(xué)生一個(gè)學(xué)期課外閱讀時(shí)間的中位數(shù)為106.25．
17．(1)
(2)
（1）由正弦定理邊化角變形已知等式，再結(jié)合兩角和的正弦，輔助角公式和誘導(dǎo)公式可得；
（2）由正弦定理邊化角和兩角差的正弦得到，再結(jié)合銳角范圍和三角函數(shù)值域可得.
【詳解】（1）.
由正弦定理得
在中，
代入上式化簡(jiǎn)得：
因?yàn)椋裕?br/>為銳角，.
（2）由正弦定理得
所以
，
是銳角三角形，，
，
即，
所以周長(zhǎng)的取值范圍為.
18．(1)
(2)
（1）根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)，結(jié)合向量的加法以及數(shù)量積的運(yùn)算律，可得答案；
（2）根據(jù)菱形的幾何性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的運(yùn)算律，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.
【詳解】（1）在菱形中，易知，，
所以
.
（2）在菱形中，，易知，
由，則，即，
所以
，
故，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值為.
19．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
(3)
【詳解】（1）證明：因?yàn)榈酌妫酌妫裕?br/>因?yàn)樗倪呅螢檎叫危裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>在中，因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫?br/>因?yàn)槠矫妫裕?br/>（2）連接交于點(diǎn)，如圖所示：
則，又因?yàn)榈酌妫矫妫裕?br/>因?yàn)椋矫妫云矫妫瑒t點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)榈酌嬲叫芜呴L(zhǎng)為，所以，，
所以，，
所以，
，所以．
在中，滿足，有，
所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
由可得
（3）由（1）可得平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫?br/>所以，所以為二面角的平面角，
，
因?yàn)椋裕?br/>所以，解得，
因?yàn)椋矗裕?br/>故二面角的余弦值為．

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