資源簡介

第一章勾股定理 測試卷
時間：100分鐘　　滿分：120分
一、選擇題(每小題3分，共30分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.以下列各組數據為三角形三邊，能構成直角三角形的是( )
A.4 cm，8 cm，7 cm B.3 cm，5 cm，2 cm
C.2 cm，2 cm，4 cm D.13 cm，12 cm，5 cm
2.如圖，在一個高為3 m，斜邊長為5 m的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為( )
A.4 m B.5 m C.7 m D.8 m
第2題圖　　　第6題圖　　　第7題圖
3.在△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，則△ABC的周長是( )
A.21 B.36 C.48 D.36或48
4.若一直角三角形的兩邊長分別為12和5，則第三邊長的平方是( )
A.169 B.169或119 C.13或15 D.15
5.若△ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，則△ABC是( )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.如圖，甲船以20 n mile/h的速度從港口O出發向西北方向航行，乙船以15 n mile/h的速度同時從港口O出發向東北方向航行，則2 h后，兩船相距( )
A.40 n mile B.45 n mile C.50 n mile D.55 n mile
7.如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面積依次為2，4，3，則正方形D的面積為( )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積為S2……按此規律繼續下去，則S5的值為( )
A.（）4 B.（）3 C.（）5 D.
第8題圖　　　　第9題圖　　　　第10題圖
9.如圖，長方體的高為9 dm，底面是邊長為6 dm的正方形，一只螞蟻從頂點A開始爬向頂點B，那么它爬行的最短路程為( )
A.10 dm B.12 dm C.15 dm D.20 dm
10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于點E，交CB于點F，則CF的長是( )
A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.5
二、填空題(每小題4分，共20分)
11.如圖中陰影部分是一個正方形，如果正方形的面積為64 cm2，則x的長為 cm.
第11題圖　　　第12題圖　　　第13題圖
12.如圖所示是一個三級臺階，每一級的長、寬、高分別是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點.若一只壁虎從A點出發沿著臺階面爬到B點，則壁虎爬行的最短路線的長是 .
13.如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊起來，使其頂點C與A重合，折痕為EF.若AB＝1，BC＝2，則AF長為 .
14.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA2＝50，則BD2＝ .
第14題圖　　　　第15題圖
15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC擴充為等腰三角形ABD，使擴充的部分是以AC為直角邊的直角三角形，則CD的長為 .
三、解答題(共70分)
16.(6分)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積.
17.(6分)如圖，某斜拉橋的主梁AD垂直于橋面MN于點D，主梁上有兩根拉索分別為AB，AC.
(1)若拉索AB⊥AC，AB，BC的長度分別為10 m，26 m，求拉索AC的長度；
(2)若AB，AC的長分別為13 m，20 m，且固定點B，C之間的距離為21 m，求主梁AD的高度.
18.(6分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4.
(1)若BC＝3，求AB的長；
(2)若BC＝a，AB＝c，求代數式(c－2)2－(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)的值.
19.(6分)如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向600 km的B處，以每小時200 km的速度向北偏東60°的方向移動，距臺風中心500 km的范圍內是受臺風影響的區域.
(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？
(2)若A城受到這次臺風的影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？
(提示：直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)
20.(10分)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的長.
21.(10分)我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖所示(簡圖)，由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3.若正方形EFGH的邊長為3，求S1＋S2＋S3的值.
22.(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，動點P從點B出發沿射線BC以1 cm/s的速度移動，設運動的時間為t s.
(1)求BC邊的長；
(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值.
23.(14分)閱讀材料，解決下列問題。
材料：實際問題：如圖1，一圓柱的底面半徑為5 cm，BC是底面直徑，高AB為5 cm，求一只螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設計了兩條路線.
解決方案：
路線1：側面展開圖中的線段AC，如圖2所示.
設路線1的長度為l1，則＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路線2：高線AB＋底面直徑BC，如圖1所示.
設路線2的長度為l2，則＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
比較l1，l2的大小，采用“作差法”：
因為＝25(π2－8)＞0，
所以，所以l1＞l2.
小明認為應選擇路線2，路線2較短.
(1)小亮對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成“圓柱的底面半徑為1 cm，高AB為5 cm”.請你用上述方法幫小亮比較出l1與l2的大小；
(2)如圖3，把兩個相同的圓柱緊密排列在一起，高為5 cm，當螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到點C的兩條路線長度相等時，求圓柱的底面半徑r. (注：按上面小明所設計的兩條路線方式求解)第一章勾股定理 測試卷
時間：100分鐘　　滿分：120分
一、選擇題(每小題3分，共30分)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.以下列各組數據為三角形三邊，能構成直角三角形的是( D )
A.4 cm，8 cm，7 cm B.3 cm，5 cm，2 cm
C.2 cm，2 cm，4 cm D.13 cm，12 cm，5 cm
2.如圖，在一個高為3 m，斜邊長為5 m的樓梯表面鋪地毯，則地毯長度為( C )
A.4 m B.5 m C.7 m D.8 m
第2題圖　　　第6題圖　　　第7題圖
3.在△ABC中，AB＝17，AC＝10，高AD＝8，則△ABC的周長是( D )
A.21 B.36 C.48 D.36或48
4.若一直角三角形的兩邊長分別為12和5，則第三邊長的平方是( B )
A.169 B.169或119 C.13或15 D.15
5.若△ABC的三邊長a，b，c滿足(a－b)(a2＋b2－c2)＝0，則△ABC是( D )
A.等腰三角形 B.直角三角形
C.等邊三角形 D.等腰三角形或直角三角形
6.如圖，甲船以20 n mile/h的速度從港口O出發向西北方向航行，乙船以15 n mile/h的速度同時從港口O出發向東北方向航行，則2 h后，兩船相距( C )
A.40 n mile B.45 n mile C.50 n mile D.55 n mile
7.如圖，所有陰影部分的四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，已知正方形A，B，C的面積依次為2，4，3，則正方形D的面積為( C )
A.7 B.8 C.9 D.10
8.如圖，正方形ABCD的邊長為1，其面積記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積為S2……按此規律繼續下去，則S5的值為( A )
A.（）4 B.（）3 C.（）5 D.
第8題圖　　　　第9題圖　　　　第10題圖
9.如圖，長方體的高為9 dm，底面是邊長為6 dm的正方形，一只螞蟻從頂點A開始爬向頂點B，那么它爬行的最短路程為( C )
A.10 dm B.12 dm C.15 dm D.20 dm
10.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點D在AB上，AD＝AC，AF⊥CD交CD于點E，交CB于點F，則CF的長是( A )
A.1.5 B.1.8 C.2 D.2.5
二、填空題(每小題4分，共20分)
11.如圖中陰影部分是一個正方形，如果正方形的面積為64 cm2，則x的長為　17　cm.
第11題圖　　　第12題圖　　　第13題圖
12.如圖所示是一個三級臺階，每一級的長、寬、高分別是50 cm，30 cm，10 cm，A和B是這個臺階的兩個相對的端點.若一只壁虎從A點出發沿著臺階面爬到B點，則壁虎爬行的最短路線的長是　130 cm　.
13.如圖，把一張長方形紙片ABCD折疊起來，使其頂點C與A重合，折痕為EF.若AB＝1，BC＝2，則AF長為 　.
14.如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝5，DA2＝50，則BD2＝　65　.
第14題圖　　　　第15題圖
15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，將△ABC擴充為等腰三角形ABD，使擴充的部分是以AC為直角邊的直角三角形，則CD的長為　3或或2　.
三、解答題(共70分)
16.(6分)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，求四邊形ABCD的面積.
解：因為∠B＝90°，所以△ABC為直角三角形，又因為AB＝3，BC＝4，所以根據勾股定理得AC2＝AB2＋BC2＝25，所以AC＝5.又因為CD＝12，AD＝13，所以AD2＝132＝169，CD2＋AC2＝122＋52＝144＋25＝169，所以CD2＋AC2＝AD2，所以△ACD為直角三角形，∠ACD＝90°，則AB BC＋AC CD＝×3×4＋×5×12＝36.故四邊形ABCD的面積是36.
17.(6分)如圖，某斜拉橋的主梁AD垂直于橋面MN于點D，主梁上有兩根拉索分別為AB，AC.
(1)若拉索AB⊥AC，AB，BC的長度分別為10 m，26 m，求拉索AC的長度；
(2)若AB，AC的長分別為13 m，20 m，且固定點B，C之間的距離為21 m，求主梁AD的高度.
解：(1)因為AB⊥AC，所以∠BAC＝90°.在Rt△ABC中，由勾股定理得，AC2＝BC2－AB2＝262－102＝242，所以AC＝24 m.
因為BC＝21 m，所以CD＝(21－BD)m.因為AD⊥BC，所以∠ADB＝∠ADC＝90°.在Rt△ABD中，由勾股定理得，AD2＝AB2－BD2.在Rt△ACD中，由勾股定理得，AD2＝AC2－CD2，所以AB2－BD2＝AC2－CD2，所以132－BD2＝202－(21－BD)2，所以BD＝5，所以AD2＝AB2－BD2＝132－52＝122，所以AD＝
12 m.
18.(6分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4.
(1)若BC＝3，求AB的長；
(2)若BC＝a，AB＝c，求代數式(c－2)2－(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)的值.
解：(1)在Rt△ABC中，因為∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，所以AB2＝AC2＋BC2＝42＋32＝25.所以AB＝5.
(2)在Rt△ABC中，所以∠C＝90°，BC＝a，AB＝c，AC＝4，所以c2－a2＝42＝16.所以(c－2)2－(a＋4)2＋4(c＋2a＋3)＝c2－4c＋4－(a2＋8a＋16)＋4c＋8a＋12＝c2－4c＋4－a2－8a－16＋4c＋8a＋12＝c2－a2＝16.
19.(6分)如圖，A城氣象臺測得臺風中心在A城正西方向600 km的B處，以每小時200 km的速度向北偏東60°的方向移動，距臺風中心500 km的范圍內是受臺風影響的區域.
(1)A城是否受到這次臺風的影響？為什么？
(2)若A城受到這次臺風的影響，那么A城遭受這次臺風影響有多長時間？
(提示：直角三角形中，30°角所對的直角邊等于斜邊的一半)
解：(1)A城受到這次臺風的影響.理由：由A點向BC作垂線，垂足為M，在Rt△ABM中，∠ABM＝30°，AB＝600 km，則AM＝300 km，因為300＜500，所以A城會受臺風影響.
(2)設BC上點D，DA＝500 km，則還有一點G，有AG＝500 km.因為DA＝AG，所以△ADG是等腰三角形，因為AM⊥BC，所以AM是DG的垂直平分線，MD＝GM，在Rt△ADM中，DA＝500 km，AM＝300 km，由勾股定理得，MD2＝AD2－AM2，所以MD＝400 km，則DG＝2DM＝800 km，遭受臺風影響的時間是t＝800÷200＝4(h)，所以A城遭受這次臺風影響時間為4 h.
20.(10分)如圖，在△ABC中，D是BC的中點，DE⊥BC，垂足為D，交AB于點E，且BE2－AE2＝AC2.
(1)判斷△ABC的形狀，并說明理由；
(2)若DE＝3，BD＝4，求AE的長.
解：(1)△ABC是直角三角形.理由：連接CE.因為D是BC的中點，DE⊥BC，所以CE＝BE.因為BE2－AE2＝AC2，所以CE2－AE2＝AC2，即AE2＋AC2＝CE2，所以∠A＝90°，所以△ABC是直角三角形.
(2)因為DE⊥BC，所以∠BDE＝90°.在Rt△BDE中，DE＝3，BD＝4，所以BE2＝DE2＋BD2＝25，所以CE＝BE＝5.由(1)可知∠A＝90°，所以AC2＝CE2－AE2＝25－AE2.因為D是BC的中點，所以BC＝2BD＝8.在Rt△ABC中，AB＝5＋AE，由勾股定理得BC2－BA2＝AC2，所以64－(5＋AE)2＝25－AE2，所以AE＝.
21.(10分)我國漢代數學家趙爽為了證明勾股定理，創制了一幅“弦圖”，后人稱其為“趙爽弦圖”.如圖所示(簡圖)，由弦圖變化得到，它是由八個全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面積分別為S1，S2，S3.若正方形EFGH的邊長為3，求S1＋S2＋S3的值.
解：在Rt△CFG中，CG2＋CF2＝GF2.因為八個直角三角形全等，四邊形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，所以CG＝KG＝FN，CF＝DG＝KF，所以S1＝(CG＋DG)2＝CG2＋DG2＋2CG·DG＝CG2＋CF2＋2CG·DG＝GF2＋2CG·DG，S2＝GF2，S3＝(KF－NF)2＝KF2＋NF2－2KF·NF.因為正方形EFGH的邊長為3，所以GF2＝9，所以S1＋S2＋S3＝GF2＋2CG·DG＋GF2＋KF2＋NF2－2KF·NF＝3GF2＝27.
22.(12分)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5 cm，AC＝3 cm，動點P從點B出發沿射線BC以1 cm/s的速度移動，設運動的時間為t s.
(1)求BC邊的長；
(2)當△ABP為直角三角形時，求t的值.
解：(1)在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16，所以BC＝4 cm.
(2)由題意知BP＝t cm，如圖1，當∠APB為直角時，點P與點C重合，BP＝BC＝4 cm，即t＝4.如圖2，當∠BAP為直角時，BP＝t cm，CP＝(t－4)cm，AC＝3 cm，在Rt△ACP中，AP2＝32＋(t－4)2，在Rt△BAP中，AB2＋AP2＝BP2，所以52＋［32＋(t－4)2］＝t2，解得t＝.綜上，當△ABP為直角三角形時，t的值為4或.
23.(14分)閱讀材料，解決下列問題。
材料：實際問題：如圖1，一圓柱的底面半徑為5 cm，BC是底面直徑，高AB為5 cm，求一只螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到點C的最短路線，小明設計了兩條路線.
解決方案：
路線1：側面展開圖中的線段AC，如圖2所示.
設路線1的長度為l1，則＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2；
路線2：高線AB＋底面直徑BC，如圖1所示.
設路線2的長度為l2，則＝(AB＋BC)2＝(5＋10)2＝225.
比較l1，l2的大小，采用“作差法”：
因為＝25(π2－8)＞0，
所以，所以l1＞l2.
小明認為應選擇路線2，路線2較短.
(1)小亮對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成“圓柱的底面半徑為1 cm，高AB為5 cm”.請你用上述方法幫小亮比較出l1與l2的大小；
(2)如圖3，把兩個相同的圓柱緊密排列在一起，高為5 cm，當螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到點C的兩條路線長度相等時，求圓柱的底面半徑r. (注：按上面小明所設計的兩條路線方式求解)
解：(1)因為圓柱的底面半徑為1 cm，高AB為5 cm，所以路線1為＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋π2；路線2為l2＝AB＋BC＝5＋2＝7，＝(AB＋BC)2＝49.因為＝25＋π2－49＝π2－24＜0，所以，所以l1＜l2.
(2)由題知圓柱的高為5 cm.如圖是沿兩圓柱相交處剪開的側面展開圖，所以＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋(2πr)2，＝(AB＋BC)2＝(5＋4r)2，由題意得25＋(2πr)2＝(5＋4r)2，解得r＝.即當圓柱的底面半徑r為 cm時，螞蟻從點A出發沿圓柱表面爬行到點C的兩條路線長度相等.

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