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山東省淄博市2024年中考真題數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每題4分，共40分）
1．（2024·淄博）下列運算結果是正數的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】負整數指數冪；有理數的乘方法則；正數、負數的概念與分類；化簡含絕對值有理數；算術平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：A、，是正數，故A符合題意；
B、，是負數，故B不符合題意；
C、，是負數，故C不符合題意；
D、是負數，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據負整數指數冪、有理數的乘方、絕對值的化簡，算術平方根的意義，結合正數的定義逐項進行判斷即可.
2．（2024·淄博）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】可：因為圖A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以不符合題意；
因為圖B是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，所以不符合題意；
因為圖C是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以符合題意；
因為圖D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以不符合題意．
故選：C．
【分析】根據將一個圖形沿某直線折疊，直線兩旁的部分能夠重合，這樣的圖形是軸對稱圖形；將一個圖形繞某點旋轉，能與本身重合，這樣的圖形是中心對稱圖形，即可求解.
3．（2024·淄博）我國大力發展新質生產力，推動了新能源汽車產業的快速發展．據中國汽車工業協會發布的消息顯示.2024年1至3月，我國新能源汽車完成出口萬輛．將萬用科學記數法表示為．則的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：萬，
則，
故選：B．
【分析】本題主要考查科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中a為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，據此即可作答．
4．（2024·淄博）如圖，已知，平分．若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】角平分線的性質；平行線的應用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
平分，
．
∵AD∥BC
．
故答案為：C.
【分析】由二直線平行，同旁內角互補求出∠ABC=70°，由角平分線的定義得∠DBC=35°，最后根據二直線平行，內錯角相等得∠D=∠DBC，從而得出答案.
5．（2024·淄博）數學興趣小組成員小剛對自己的學習質量進行了測試．如圖是他最近五次測試成績（滿分為100分）的折線統計圖，那么其平均數和方差分別是（　　）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
【答案】D
【知識點】折線統計圖；平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：平均數=（分）；
方差=；
因此平均數和方差分別是96分、10，
故答案為：D．
【分析】本題考查折線圖數據的分析、平均數和方差計算。
平均數，即將所有的數據求和，再除以數據數量；方差，即將所有數據與平均數的差的平方再求和，最后除以數據數量。本題中的五個數據分別是92分、96分、93分、100分和99分，可以先計算出平均數，然后利用方差公式計算即可。
6．（2024·淄博）如圖，在綜合與實踐活動課上，小強先測得教學樓在水平地面上的影長為．又在點處測得該樓的頂端的仰角是．則用科學計算器計算教學樓高度的按鍵順序正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】計算器—三角函數；解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【解答】解：根據題意，得，，
在中，，
∴，
∴計算器的按鍵為 ，
故答案為：A．
【分析】在中，解直角三角形得到，結合選項進行判斷即可．
7．（2024·淄博）《九章算術》中提到：今有戶高多于廣六尺八寸．兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？其大意為：已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？（1丈尺，1尺寸）若設門的高和寬分別是尺和尺．則下面所列方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知識點】勾股定理；二元二次方程與方程組的認識
【解析】【解答】解：設門的高和寬分別是尺和尺，
根據題意，得，
故答案為：D．
【分析】設門的高和寬分別是尺和尺，根據“已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈”，然后結合勾股定理即可列出方程組.
8．（2024·淄博）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（　　）
A．2 B． C． D．
【答案】A
【知識點】勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：連接交于點F，
設，則，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴
∵將四邊形沿翻折，點C，D分別落在點A，E處，
∴點C與點A關于直線對稱，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故答案為：A．
【分析】連接交于點F，設，則，根據勾股定理可得AC，根據折疊性質可得，垂直平分，再根據邊之間的關系可得，，，再根據勾股定理建立方程，解方程可得AM，再根據勾股定理可得MF，再根據正切定義即可求出答案.
9．（2024·淄博）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（　　）
A．5 B．1 C．3 D．2
【答案】C
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；正方形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：設，
由題意得：．
∵正方形與（其中邊分別在x，y軸的正半軸上）的公共頂點A在反比例函數的圖象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案為：C
【分析】
設，利用正方形的性質得到，再利用AA判定三角形相似，再根據性質得到a，b的關系式，再利用求得a，b值，則點A坐標可求，最后利用待定系數法計算即可解答．
10．（2024·淄博）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從地勻速出發，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，駐足交流后，繼續以原速步行前進；乙因故比甲晚出發，跑步到達地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離與甲出發的時間之間的函數關系．(　　)
那么以下結論：
①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為；
②甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值；
③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后；
④，兩地之間的距離是．
其中正確的結論有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】B
【知識點】二元一次方程組的實際應用-行程問題；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：①乙比甲晚出發，圖像顯示，當時，，即在甲出發50min后，甲乙相遇，
乙出發時，兩人第一次相遇，
即乙的鍛煉用時為，結論①正確；
②觀察函數圖象，可知：當時，取得最大值m，
即甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值，結論②正確；
③設甲的速度為，乙的速度為，
根據題意得：，
解得：，
∴，
甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，結論③錯誤；
④，
，兩地之間的距離是，結論④正確．
綜上所述，正確的結論有①②④．
故答案為：B．
【分析】本題考查了函數圖象以及二元一次方程組的應用等知識。
①根據條件“甲先出發、 乙因故比甲晚出發 ”，結合圖象可以發現，在甲出發50min后，甲乙相遇。因此計算可得出乙出發時兩人第一次相遇；
②觀察函數圖象，可得出當時，取得最大值，最大值為；
③在50min的時候甲乙相遇，此時甲的行走路程是（50-10）xm，乙的路程是（50-30）ym，因此有方程（50-10）x=（50-30）y；在第86min的時候，此時乙到達B第，即乙的路程（86-30）y減去甲的路程（86-10）x就是3600m，因此有方程（86-30）y-（86-10）x=3600，最后列出二元一次方程組，解出，的值，將其代入中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，進而可得出結論③錯誤；
④利用路程=速度×時間，即可求出，兩地之間的距離是．
二、填空題（共5小題，每題4分，共20分）
11．（2024·淄博）計算：　 　．
【答案】
【知識點】二次根式的加減法
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】本題主要考查了二次根式的減法計算。
首先對進行化簡，然后再計算二次根式減法即可．
12．（2024·淄博）如圖，已知，兩點的坐標分別為，，將線段平移得到線段．若點的對應點是，則點的對應點的坐標是　 　．
【答案】
【知識點】坐標與圖形性質；坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：平移后對應點C的坐標為，
點的橫坐標加上了4，縱坐標加1，
，
點坐標為，
即，
故答案為：
【分析】根據平移的性質：左加右減，上加下減，然后再結合已知點，的坐標，即可得到答案。
13．（2024·淄博）若多項式能用完全平方公式因式分解，則的值是　 　．
【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多項式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據完全平方公式的結構特征直接將原多項式化為，據此即可求出的值.
14．（2024·淄博）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為　 　．
【答案】96
【知識點】菱形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖，過點作交于點，
∴，
∴，
∵菱形的邊長為10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：96．
【分析】過點作交于點，可得，由相似三角形對應邊成比例性質得，然后根據菱形的性質得，，，，從而可求出，接下來再證明，求得，結合菱形以及三角形外角的性質推出，進而根據等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的長，于是有，，最后利用菱形的面積公式求解即可.
15．（2024·淄博）如圖，在平面直角坐標系中，作直線與軸相交于點，與拋物線相交于點，連接，相交于點，得和，若將其面積之比記為，則　 　．
【答案】
【知識點】二次函數與一次函數的綜合應用；探索規律-圖形的遞變規律；二次函數-面積問題；相似三角形的判定預備定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵作直線與軸相交于點，與拋物線相交于點，
∴軸，
∴，即
∴，且，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，二次函數的圖象和性質。
首先根據條件可以推出，即，這樣就可以證明出，根據“面積比=相似比的平方”，得到，進行求解即可．
三、解答題（共8題90分）
16．（2024·淄博）解不等式組：并求所有整數解的和．
【答案】解：，
由①，得，
由②，得，
∴原不等式組的解集為：，
∴不等式組所有整數解為：，
∴不等式組所有整數解的和為．
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【分析】根據不等式組的解法，先分別求兩個不等式的解，再根據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”得不等式組的解集，再將各整數解相加即可.
17．（2024·淄博）如圖，已知，點，在線段上，且．
請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．
你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．
添加條件后，請證明．
【答案】①（或②）
【知識點】平行線的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】證明：當選取①時，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
；
證明：當選取②時，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在與中，
，
，
，
；
當選 ③ 時，無法證明出 ，進而無法推出 。
故答案為：①（或②）
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質及平行線的判定．
選擇①或②，首先利用SSS或SAS證明出，然后得出對應角度相等和對應邊長相等，進一步證明出，此時即可得出，最后根據“內錯角相等、兩直線平行”即可得出。
18．（2024·淄博）化簡分式：，并求值（請從小宇和小麗的對話中確定，的值）
【答案】解：根據條件可以得出，，
而且為整數，又，∴，
；
將，代入，原式．
【知識點】無理數的估值；分式的化簡求值
【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值，無理數估算。
首先根據對話內容可推出，的值，然后利用因式分解法將原分式進行合并化簡，最后將a和b代入計算即可。
19．（2024·淄博）希望中學做了如下表的調查報告（不完整）：
調查目的 了解本校學生：（1）周家務勞動的時間；（2）最喜歡的勞動課程
調查方式 隨機問卷調查
調查對象 部分七年級學生（該校所有學生周家務勞動時間都在范圍內）
調查內容 （1）你的周家務勞動時間（單位：）是①②③④⑤ （2）你最喜歡的勞動課程是（必選且只選一門） A家政 B.烹飪 C.剪紙 D.園藝 E．陶藝
調查結果
結合調查信息，回答下列問題：
（1）參與本次問卷調查的學生人數________名；在扇形統計圖中，第④組所對應扇形的圓心角的度數為________度；
（2）補全周家務勞動時間的頻數直方圖：
（3）若該校七年級學生共有800人，請估計最喜歡“烹飪”課程的學生人數；
（4）小紅和小穎分別從“家政”等五門最喜歡的勞動課程中任選一門學習，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩人恰好選到同一門課程的概率．
【答案】（1）100，126；
（2）解：根據題意，得第③組的人數為：（人），
∴補全周家務勞動時間的頻數直方圖如下圖所示：
（3）解：根據題意，得被調查人數中喜歡“烹飪”課程的學生人數為：（人），
∴（人），
∴估計最喜歡“烹飪”課程的學生人數有176人；
（4）解：畫樹狀圖如下：
∴共有25種等可能的結果數，其中兩人恰好選到同一門課程的結果數有5種，
∴兩人恰好選到同一門課程的概率為：．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）根據題意，得參與本次調查的學生總人數為：（名），
∴第④組所對應扇形的圓心角的度數為：，
故答案為：100，126.
【分析】（1）先用家務勞動時間為②組的人數除以其所占百分比得到參與本次調查的學生總人數，再用360°乘以第④組人數所占比即可求解；
（2）先用調查總人數減去第①②④⑤組的人數得到第③組的人數，再補全周家務勞動時間的頻數直方圖即可；
（3）先求出調查人數中喜歡“烹飪”課程的學生人數，再用800乘以喜歡“烹飪”課程的學生人數所占比即可；
（4）畫出樹狀圖得到所有的可能結果數，從而得兩人恰好選到同一門課程的結果數，進而利用概率公式進行求解即可.
（1）解：調查總人數為：（名），
第④組所對應扇形的圓心角的度數為：
（2）解：第③組的人數為：（人），
可補全周家務勞動時間的頻數直方圖如圖；
（3）解：被調查人數中喜歡“烹飪”課程的學生人數為：（人）
（人），
答：估計最喜歡“烹飪”課程的學生人數有176人；
（4）解：樹狀圖如圖所示：
則共有25中情況，兩人恰好選到同一門課程的結果數有5種，
兩人恰好選到同一門課程的概率為：．
20．（2024·淄博）“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高．某市參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
（1）求該市參加健身運動人數的年均增長率；
（2）為支持市民的健身運動，市政府決定從公司購買某種套裝健身器材．該公司規定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．
【答案】（1）解：設該市參加健身運動人數的年均增長率為，
根據題意，得，
解得：，（舍去），
∴該市參加健身運動人數的年均增長率為25%；
（2）解：∵元，
∴購買的這種健身器材的套數大于100套，
設購買的這種健身器材的套數為套，
根據題意，得，
整理得：，
解得：，
當時，售價為，
∴，
∴購買的這種健身器材的套數為200套．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該市參加健身運動人數的年均增長率為，根據“從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人“可列出關于的一元二次方程，解方程且取符合題意的值即可；
（2）先求出購買的這種健身器材的套數大于100套，然后設購買的這種健身器材的套數為套，根據”購買不超過100套，每套售價1600元，超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元以及市政府向該公司支付貨款24萬元“列出關于的一元二次方程，解方程并取符合題意的值即可．
（1）解：設該市參加健身運動人數的年均增長率為，
由題意得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：該市參加健身運動人數的年均增長率為；
（2）解：∵元，
∴購買的這種健身器材的套數大于100套，
設購買的這種健身器材的套數為套，
由題意得：，
整理得：，
解得：，
當時，售價元（不符合題意，故舍去），
答：購買的這種健身器材的套數為200套．
21．（2024·淄博）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，與，軸分別相交于點，．且．
（1）分別求這兩個函數的表達式；
（2）以點為圓心，線段的長為半徑作弧與軸正半軸相交于點，連接，．求的面積；
（3）根據函數的圖象直接寫出關于的不等式的解集．
【答案】（1）解：∵一次函數的圖象與軸交于點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函數解析式為，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函數解析式為；
（2）解：聯立，
解得：或，
∴，
設，
由題意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍為或，
∴關于的不等式的解集為或．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，則，然后利用待定系數法求出一次函數解析式，從而求出點的坐標，進而再利用待定系數法求出反比例函數解析式；
（2）聯立兩函數的解析式得到方程組并解之可求出點的坐標，然后設，由題意得，可利用勾股定理建立方程求出點的坐標，最后根據，結合三角形面積公式即可求解；
（3）利用函數圖象找到一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．
（1）解：在中，當時，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函數解析式為，
在中，當時，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函數解析式為；
（2）解：聯立
解得或，
∴；
設，
由題意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍為或，
∴關于的不等式的解集為或．
22．（2024·淄博）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．
【操作發現】
小明作出了的內接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉得到．如圖①
小明發現：與的位置關系是__________，請說明理由：
【實踐探究】
連接，與相交于點．如圖②，小明又發現：當確定時，線段的長存在最大值．
請求出當．時，長的最大值；
【問題解決】
在圖②中，小明進一步發現：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．
【答案】【操作發現】解：與相切，理由如下：
如圖，連接并延長交于點，連接，
是的直徑，
，
，
∵將繞點逆時針旋轉得到，
∴，
，
，
，
是的半徑，
與相切；
【實踐探究】解：∵將繞點逆時針旋轉得到，
∴，
∴，
，
，，
，
∴，
，
又，
，
，
，
設，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
當時，有最大值為；
【問題解決】證明：如圖，過點作交于點，
，
由旋轉的性質知：，，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，即點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等.
【知識點】二次函數的最值；切線的判定；旋轉的性質；手拉手相似模型；圓與三角形的綜合
【解析】【分析】【操作發現】連接并延長交于點，連接，根據直徑所對的圓周角是直角得到，從而得到，然后由旋轉的性質以及圓周角定理，進行等量代換得到，進而證明，最后根據切線的判定得證；
【實踐探究】根據“旋轉相似”模型證明，結合等腰三角形”等邊對等角“的性質可得到，由三角形外角的性質得到，從而推出，得到，然后設，則，得到，最后利用二次函的最值知識進行求解；
【問題解決】過點作交于點，根據平行線、旋轉、等腰三角形”等邊對等角“的性質可得，，從而由等腰三角形的判定推出，進而進行等量代換得，然后證明，得到，最后進行等量代換即可得證結論.
23．（2024·淄博）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），其中，是方程的兩個根，拋物線與軸相交于點．
（1）求該拋物線對應的函數表達式；
（2）已知直線與，軸分別相交于點，．
①設直線與相交于點，問在第三象限內的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；
②過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．設直線，相交于點．連接，．求線段的最小值．
【答案】（1）解：，變形為，
解得，，
∴，，
∵拋物線與軸相交于，兩點，
∴，解得：，
∴該拋物線對應的函數表達式為。
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，則，即，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將，代入解析式得，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，解得，
∴，
如圖，作軸于，則，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，解得：或，
∵點在第三象限，
∴；
②∵過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．
∴設，，設直線的解析式為：，
設直線的解析式為，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
設直線的解析式為，
將代入得，
∴直線的解析式為；
聯立得：，
∴，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
聯立，
得出，
∴點在直線上運動，
在中，令，則，即，
如圖，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，
，
由軸對稱的性質可得，
∴，
∴由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，
∵，
∴線段的最小值為．
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；待定系數法求二次函數解析式；二次函數-線段周長問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、解直角三角形、軸對稱—線段最短問題、勾股定理、二次函數的圖象與性質、求一次函數解析式、二次函數與一元二次方程、等腰直角三角形的判定與性質等知識點。（1）利用因式分解法解一元二次方程，得出，，再利用待定系數法求解即可；
（2）①在中，令得出，在中，令得出，從而得出，即，待定系數法求得直線的解析式為，聯立，得出，作軸于，則，，，求出，，由正切的定義得出，證明，得出，求出直線的解析式為，聯立，計算即可得解；②設，，設直線的解析式為：，求出直線的解析式為，直線的解析式為；聯立得：，由韋達定理得出，將代入，得，求出，同理可得，聯立，得出，推出點在直線上運動，求出，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，由軸對稱的性質可得，則，由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，再由勾股定理計算即可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵拋物線與軸相交于，兩點，
∴，
解得：，
∴該拋物線對應的函數表達式為；
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，則，即，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將，代入解析式得，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，解得，
∴，
如圖，作軸于，則，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，
解得：或，
∵點在第三象限，
∴；
②∵過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．
∴設，，設直線的解析式為：，
設直線的解析式為，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
設直線的解析式為，
將代入得，
∴直線的解析式為；
聯立得：，
∴，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
聯立，
得出，
∴點在直線上運動，
在中，令，則，即，
如圖，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，
，
由軸對稱的性質可得，
∴，
∴由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，
∵，
∴線段的最小值為．
1 / 1山東省淄博市2024年中考真題數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每題4分，共40分）
1．（2024·淄博）下列運算結果是正數的是（　　）
A． B． C． D．
2．（2024·淄博）下列圖案中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·淄博）我國大力發展新質生產力，推動了新能源汽車產業的快速發展．據中國汽車工業協會發布的消息顯示.2024年1至3月，我國新能源汽車完成出口萬輛．將萬用科學記數法表示為．則的值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．（2024·淄博）如圖，已知，平分．若，則的度數是（　　）
A． B． C． D．
5．（2024·淄博）數學興趣小組成員小剛對自己的學習質量進行了測試．如圖是他最近五次測試成績（滿分為100分）的折線統計圖，那么其平均數和方差分別是（　　）
A．95分， B．96分， C．95分，10 D．96分，10
6．（2024·淄博）如圖，在綜合與實踐活動課上，小強先測得教學樓在水平地面上的影長為．又在點處測得該樓的頂端的仰角是．則用科學計算器計算教學樓高度的按鍵順序正確的是（　　）
A． B．
C． D．
7．（2024·淄博）《九章算術》中提到：今有戶高多于廣六尺八寸．兩隅相去適一丈．問戶高、廣各幾何？其大意為：已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈，那么門的高和寬各是多少？（1丈尺，1尺寸）若設門的高和寬分別是尺和尺．則下面所列方程組正確的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2024·淄博）如圖所示，在矩形中，，點，分別在邊，上．連接，將四邊形沿翻折，點，分別落在點，處．則的值是（　　）
A．2 B． C． D．
9．（2024·淄博）如圖所示，正方形與（其中邊，分別在，軸的正半軸上）的公共頂點在反比例函數的圖象上，直線與，軸分別相交于點，．若這兩個正方形的面積之和是，且．則的值是（　　）
A．5 B．1 C．3 D．2
10．（2024·淄博）某日，甲、乙兩人相約在一條筆直的健身道路上鍛煉．兩人都從地勻速出發，甲健步走向地．途中偶遇一位朋友，駐足交流后，繼續以原速步行前進；乙因故比甲晚出發，跑步到達地后立刻以原速返回，在返回途中與甲第二次相遇．下圖表示甲、乙兩人之間的距離與甲出發的時間之間的函數關系．(　　)
那么以下結論：
①甲、乙兩人第一次相遇時，乙的鍛煉用時為；
②甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值；
③甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后；
④，兩地之間的距離是．
其中正確的結論有：
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
二、填空題（共5小題，每題4分，共20分）
11．（2024·淄博）計算：　 　．
12．（2024·淄博）如圖，已知，兩點的坐標分別為，，將線段平移得到線段．若點的對應點是，則點的對應點的坐標是　 　．
13．（2024·淄博）若多項式能用完全平方公式因式分解，則的值是　 　．
14．（2024·淄博）如圖，在邊長為10的菱形中，對角線，相交與點，點在延長線上，與相交與點．若，，則菱形的面積為　 　．
15．（2024·淄博）如圖，在平面直角坐標系中，作直線與軸相交于點，與拋物線相交于點，連接，相交于點，得和，若將其面積之比記為，則　 　．
三、解答題（共8題90分）
16．（2024·淄博）解不等式組：并求所有整數解的和．
17．（2024·淄博）如圖，已知，點，在線段上，且．
請從①；②；③中．選擇一個合適的選項作為已知條件，使得．
你添加的條件是：__________（只填寫一個序號）．
添加條件后，請證明．
18．（2024·淄博）化簡分式：，并求值（請從小宇和小麗的對話中確定，的值）
19．（2024·淄博）希望中學做了如下表的調查報告（不完整）：
調查目的 了解本校學生：（1）周家務勞動的時間；（2）最喜歡的勞動課程
調查方式 隨機問卷調查
調查對象 部分七年級學生（該校所有學生周家務勞動時間都在范圍內）
調查內容 （1）你的周家務勞動時間（單位：）是①②③④⑤ （2）你最喜歡的勞動課程是（必選且只選一門） A家政 B.烹飪 C.剪紙 D.園藝 E．陶藝
調查結果
結合調查信息，回答下列問題：
（1）參與本次問卷調查的學生人數________名；在扇形統計圖中，第④組所對應扇形的圓心角的度數為________度；
（2）補全周家務勞動時間的頻數直方圖：
（3）若該校七年級學生共有800人，請估計最喜歡“烹飪”課程的學生人數；
（4）小紅和小穎分別從“家政”等五門最喜歡的勞動課程中任選一門學習，請用列表法或畫樹狀圖的方法，求兩人恰好選到同一門課程的概率．
20．（2024·淄博）“我運動，我健康，我快樂！”隨著人們對身心健康的關注度越來越高．某市參加健身運動的人數逐年增多，從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人．
（1）求該市參加健身運動人數的年均增長率；
（2）為支持市民的健身運動，市政府決定從公司購買某種套裝健身器材．該公司規定：若購買不超過100套，每套售價1600元；若超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元．但最低售價不得少于1000元．已知市政府向該公司支付貨款24萬元，求購買的這種健身器材的套數．
21．（2024·淄博）如圖，一次函數的圖象與反比例函數的圖象相交于，兩點，與，軸分別相交于點，．且．
（1）分別求這兩個函數的表達式；
（2）以點為圓心，線段的長為半徑作弧與軸正半軸相交于點，連接，．求的面積；
（3）根據函數的圖象直接寫出關于的不等式的解集．
22．（2024·淄博）在綜合與實踐活動課上，小明以“圓”為主題開展研究性學習．
【操作發現】
小明作出了的內接等腰三角形，．并在邊上任取一點（不與點，重合），連接，然后將繞點逆時針旋轉得到．如圖①
小明發現：與的位置關系是__________，請說明理由：
【實踐探究】
連接，與相交于點．如圖②，小明又發現：當確定時，線段的長存在最大值．
請求出當．時，長的最大值；
【問題解決】
在圖②中，小明進一步發現：點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等．請予以證明．
23．（2024·淄博）如圖，拋物線與軸相交于，兩點（點在點的左側），其中，是方程的兩個根，拋物線與軸相交于點．
（1）求該拋物線對應的函數表達式；
（2）已知直線與，軸分別相交于點，．
①設直線與相交于點，問在第三象限內的拋物線上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由；
②過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．設直線，相交于點．連接，．求線段的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】負整數指數冪；有理數的乘方法則；正數、負數的概念與分類；化簡含絕對值有理數；算術平方根的概念與表示
【解析】【解答】解：A、，是正數，故A符合題意；
B、，是負數，故B不符合題意；
C、，是負數，故C不符合題意；
D、是負數，故D不符合題意；
故答案為：A．
【分析】根據負整數指數冪、有理數的乘方、絕對值的化簡，算術平方根的意義，結合正數的定義逐項進行判斷即可.
2．【答案】C
【知識點】軸對稱圖形；中心對稱及中心對稱圖形
【解析】【解答】可：因為圖A是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以不符合題意；
因為圖B是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形，所以不符合題意；
因為圖C是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，所以符合題意；
因為圖D是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，所以不符合題意．
故選：C．
【分析】根據將一個圖形沿某直線折疊，直線兩旁的部分能夠重合，這樣的圖形是軸對稱圖形；將一個圖形繞某點旋轉，能與本身重合，這樣的圖形是中心對稱圖形，即可求解.
3．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：萬，
則，
故選：B．
【分析】本題主要考查科學記數法，科學記數法的表示形式為的形式，其中a為整數，確定n的值時，要看把原數變成a時，小數點移動了多少位，n的絕對值與小數點移動的位數相同，據此即可作答．
4．【答案】C
【知識點】角平分線的性質；平行線的應用-求角度
【解析】【解答】解：，
，
平分，
．
∵AD∥BC
．
故答案為：C.
【分析】由二直線平行，同旁內角互補求出∠ABC=70°，由角平分線的定義得∠DBC=35°，最后根據二直線平行，內錯角相等得∠D=∠DBC，從而得出答案.
5．【答案】D
【知識點】折線統計圖；平均數及其計算；方差
【解析】【解答】解：平均數=（分）；
方差=；
因此平均數和方差分別是96分、10，
故答案為：D．
【分析】本題考查折線圖數據的分析、平均數和方差計算。
平均數，即將所有的數據求和，再除以數據數量；方差，即將所有數據與平均數的差的平方再求和，最后除以數據數量。本題中的五個數據分別是92分、96分、93分、100分和99分，可以先計算出平均數，然后利用方差公式計算即可。
6．【答案】A
【知識點】計算器—三角函數；解直角三角形的實際應用﹣仰角俯角問題
【解析】【解答】解：根據題意，得，，
在中，，
∴，
∴計算器的按鍵為 ，
故答案為：A．
【分析】在中，解直角三角形得到，結合選項進行判斷即可．
7．【答案】D
【知識點】勾股定理；二元二次方程與方程組的認識
【解析】【解答】解：設門的高和寬分別是尺和尺，
根據題意，得，
故答案為：D．
【分析】設門的高和寬分別是尺和尺，根據“已知矩形門的高比寬多6尺8寸，門的對角線長1丈”，然后結合勾股定理即可列出方程組.
8．【答案】A
【知識點】勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）；解直角三角形；求正切值
【解析】【解答】解：連接交于點F，
設，則，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴
∵將四邊形沿翻折，點C，D分別落在點A，E處，
∴點C與點A關于直線對稱，
∴，垂直平分，
∴，，，
∵，
∴
∴，
∴
∴．
故答案為：A．
【分析】連接交于點F，設，則，根據勾股定理可得AC，根據折疊性質可得，垂直平分，再根據邊之間的關系可得，，，再根據勾股定理建立方程，解方程可得AM，再根據勾股定理可得MF，再根據正切定義即可求出答案.
9．【答案】C
【知識點】反比例函數系數k的幾何意義；正方形的性質；反比例函數圖象上點的坐標特征；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：設，
由題意得：．
∵正方形與（其中邊分別在x，y軸的正半軸上）的公共頂點A在反比例函數的圖象上，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴．
∴．
∴，
∴．
故答案為：C
【分析】
設，利用正方形的性質得到，再利用AA判定三角形相似，再根據性質得到a，b的關系式，再利用求得a，b值，則點A坐標可求，最后利用待定系數法計算即可解答．
10．【答案】B
【知識點】二元一次方程組的實際應用-行程問題；通過函數圖象獲取信息
【解析】【解答】解：①乙比甲晚出發，圖像顯示，當時，，即在甲出發50min后，甲乙相遇，
乙出發時，兩人第一次相遇，
即乙的鍛煉用時為，結論①正確；
②觀察函數圖象，可知：當時，取得最大值m，
即甲出發時，甲、乙兩人之間的距離達到最大值，結論②正確；
③設甲的速度為，乙的速度為，
根據題意得：，
解得：，
∴，
甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，結論③錯誤；
④，
，兩地之間的距離是，結論④正確．
綜上所述，正確的結論有①②④．
故答案為：B．
【分析】本題考查了函數圖象以及二元一次方程組的應用等知識。
①根據條件“甲先出發、 乙因故比甲晚出發 ”，結合圖象可以發現，在甲出發50min后，甲乙相遇。因此計算可得出乙出發時兩人第一次相遇；
②觀察函數圖象，可得出當時，取得最大值，最大值為；
③在50min的時候甲乙相遇，此時甲的行走路程是（50-10）xm，乙的路程是（50-30）ym，因此有方程（50-10）x=（50-30）y；在第86min的時候，此時乙到達B第，即乙的路程（86-30）y減去甲的路程（86-10）x就是3600m，因此有方程（86-30）y-（86-10）x=3600，最后列出二元一次方程組，解出，的值，將其代入中，可得出甲、乙兩人第二次相遇的時間是在甲出發后，進而可得出結論③錯誤；
④利用路程=速度×時間，即可求出，兩地之間的距離是．
11．【答案】
【知識點】二次根式的加減法
【解析】【解答】解：，
故答案為：．
【分析】本題主要考查了二次根式的減法計算。
首先對進行化簡，然后再計算二次根式減法即可．
12．【答案】
【知識點】坐標與圖形性質；坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：平移后對應點C的坐標為，
點的橫坐標加上了4，縱坐標加1，
，
點坐標為，
即，
故答案為：
【分析】根據平移的性質：左加右減，上加下減，然后再結合已知點，的坐標，即可得到答案。
13．【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：∵多項式能用完全平方公式因式分解，
∴，
∴，
故答案為：．
【分析】根據完全平方公式的結構特征直接將原多項式化為，據此即可求出的值.
14．【答案】96
【知識點】菱形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：如圖，過點作交于點，
∴，
∴，
∵菱形的邊長為10，
∴，，，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵四邊形是菱形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：96．
【分析】過點作交于點，可得，由相似三角形對應邊成比例性質得，然后根據菱形的性質得，，，，從而可求出，接下來再證明，求得，結合菱形以及三角形外角的性質推出，進而根據等腰三角形的判定得，利用勾股定理求得的長，于是有，，最后利用菱形的面積公式求解即可.
15．【答案】
【知識點】二次函數與一次函數的綜合應用；探索規律-圖形的遞變規律；二次函數-面積問題；相似三角形的判定預備定理（利用平行）
【解析】【解答】解：∵作直線與軸相交于點，與拋物線相交于點，
∴軸，
∴，即
∴，且，
∴，
∴，
∴；
故答案為：．
【分析】本題考查相似三角形的判定和性質，二次函數的圖象和性質。
首先根據條件可以推出，即，這樣就可以證明出，根據“面積比=相似比的平方”，得到，進行求解即可．
16．【答案】解：，
由①，得，
由②，得，
∴原不等式組的解集為：，
∴不等式組所有整數解為：，
∴不等式組所有整數解的和為．
【知識點】解一元一次不等式組；一元一次不等式組的特殊解
【解析】【分析】根據不等式組的解法，先分別求兩個不等式的解，再根據口訣“同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小無解了”得不等式組的解集，再將各整數解相加即可.
17．【答案】①（或②）
【知識點】平行線的判定；三角形全等的判定；三角形全等的判定-SSS；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】證明：當選取①時，
∵ ， ， ，
，
，
，
，
，
在與中，
，
，
，
；
證明：當選取②時，
∵ ， ， ，
，
，，
，
，
在與中，
，
，
，
；
當選 ③ 時，無法證明出 ，進而無法推出 。
故答案為：①（或②）
【分析】本題主要考查全等三角形的判定與性質及平行線的判定．
選擇①或②，首先利用SSS或SAS證明出，然后得出對應角度相等和對應邊長相等，進一步證明出，此時即可得出，最后根據“內錯角相等、兩直線平行”即可得出。
18．【答案】解：根據條件可以得出，，
而且為整數，又，∴，
；
將，代入，原式．
【知識點】無理數的估值；分式的化簡求值
【解析】【分析】本題考查分式的化簡求值，無理數估算。
首先根據對話內容可推出，的值，然后利用因式分解法將原分式進行合并化簡，最后將a和b代入計算即可。
19．【答案】（1）100，126；
（2）解：根據題意，得第③組的人數為：（人），
∴補全周家務勞動時間的頻數直方圖如下圖所示：
（3）解：根據題意，得被調查人數中喜歡“烹飪”課程的學生人數為：（人），
∴（人），
∴估計最喜歡“烹飪”課程的學生人數有176人；
（4）解：畫樹狀圖如下：
∴共有25種等可能的結果數，其中兩人恰好選到同一門課程的結果數有5種，
∴兩人恰好選到同一門課程的概率為：．
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用列表法或樹狀圖法求概率；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【解答】解：（1）根據題意，得參與本次調查的學生總人數為：（名），
∴第④組所對應扇形的圓心角的度數為：，
故答案為：100，126.
【分析】（1）先用家務勞動時間為②組的人數除以其所占百分比得到參與本次調查的學生總人數，再用360°乘以第④組人數所占比即可求解；
（2）先用調查總人數減去第①②④⑤組的人數得到第③組的人數，再補全周家務勞動時間的頻數直方圖即可；
（3）先求出調查人數中喜歡“烹飪”課程的學生人數，再用800乘以喜歡“烹飪”課程的學生人數所占比即可；
（4）畫出樹狀圖得到所有的可能結果數，從而得兩人恰好選到同一門課程的結果數，進而利用概率公式進行求解即可.
（1）解：調查總人數為：（名），
第④組所對應扇形的圓心角的度數為：
（2）解：第③組的人數為：（人），
可補全周家務勞動時間的頻數直方圖如圖；
（3）解：被調查人數中喜歡“烹飪”課程的學生人數為：（人）
（人），
答：估計最喜歡“烹飪”課程的學生人數有176人；
（4）解：樹狀圖如圖所示：
則共有25中情況，兩人恰好選到同一門課程的結果數有5種，
兩人恰好選到同一門課程的概率為：．
20．【答案】（1）解：設該市參加健身運動人數的年均增長率為，
根據題意，得，
解得：，（舍去），
∴該市參加健身運動人數的年均增長率為25%；
（2）解：∵元，
∴購買的這種健身器材的套數大于100套，
設購買的這種健身器材的套數為套，
根據題意，得，
整理得：，
解得：，
當時，售價為，
∴，
∴購買的這種健身器材的套數為200套．
【知識點】一元二次方程的實際應用-百分率問題；一元二次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】（1）設該市參加健身運動人數的年均增長率為，根據“從2021年的32萬人增加到2023年的50萬人“可列出關于的一元二次方程，解方程且取符合題意的值即可；
（2）先求出購買的這種健身器材的套數大于100套，然后設購買的這種健身器材的套數為套，根據”購買不超過100套，每套售價1600元，超過100套，每增加10套，售價每套可降低40元以及市政府向該公司支付貨款24萬元“列出關于的一元二次方程，解方程并取符合題意的值即可．
（1）解：設該市參加健身運動人數的年均增長率為，
由題意得：，
解得：（不符合題意，舍去），
答：該市參加健身運動人數的年均增長率為；
（2）解：∵元，
∴購買的這種健身器材的套數大于100套，
設購買的這種健身器材的套數為套，
由題意得：，
整理得：，
解得：，
當時，售價元（不符合題意，故舍去），
答：購買的這種健身器材的套數為200套．
21．【答案】（1）解：∵一次函數的圖象與軸交于點，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴一次函數解析式為，
把代入，得，
解得：，
∴，
把代入，得，
解得：，
∴反比例函數解析式為；
（2）解：聯立，
解得：或，
∴，
設，
由題意得，
∴，
解得：或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍為或，
∴關于的不等式的解集為或．
【知識點】待定系數法求一次函數解析式；待定系數法求反比例函數解析式；反比例函數與一次函數的交點問題；三角形的面積
【解析】【分析】（1）先求出，得到，解直角三角形得到，則，然后利用待定系數法求出一次函數解析式，從而求出點的坐標，進而再利用待定系數法求出反比例函數解析式；
（2）聯立兩函數的解析式得到方程組并解之可求出點的坐標，然后設，由題意得，可利用勾股定理建立方程求出點的坐標，最后根據，結合三角形面積公式即可求解；
（3）利用函數圖象找到一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍即可得到答案．
（1）解：在中，當時，，
∴，
∴，
∵，
∴在中，，
∴，
∴，
把代入中得：，解得，
∴一次函數解析式為，
在中，當時，，
∴，
把代入中得：，解得，
∴反比例函數解析式為；
（2）解：聯立
解得或，
∴；
設，
由題意得，，
∴，
解得或（舍去），
∴，
∴，
∴
；
（3）解：由函數圖象可知，當一次函數圖象在反比例函數圖象上方時自變量的取值范圍為或，
∴關于的不等式的解集為或．
22．【答案】【操作發現】解：與相切，理由如下：
如圖，連接并延長交于點，連接，
是的直徑，
，
，
∵將繞點逆時針旋轉得到，
∴，
，
，
，
是的半徑，
與相切；
【實踐探究】解：∵將繞點逆時針旋轉得到，
∴，
∴，
，
，，
，
∴，
，
又，
，
，
，
設，
∵，
∴，
∵，
，
，
，
當時，有最大值為；
【問題解決】證明：如圖，過點作交于點，
，
由旋轉的性質知：，，
，
∴，
，
，
，
，
，
，
，
，即點分線段所成的比與點分線段所成的比始終相等.
【知識點】二次函數的最值；切線的判定；旋轉的性質；手拉手相似模型；圓與三角形的綜合
【解析】【分析】【操作發現】連接并延長交于點，連接，根據直徑所對的圓周角是直角得到，從而得到，然后由旋轉的性質以及圓周角定理，進行等量代換得到，進而證明，最后根據切線的判定得證；
【實踐探究】根據“旋轉相似”模型證明，結合等腰三角形”等邊對等角“的性質可得到，由三角形外角的性質得到，從而推出，得到，然后設，則，得到，最后利用二次函的最值知識進行求解；
【問題解決】過點作交于點，根據平行線、旋轉、等腰三角形”等邊對等角“的性質可得，，從而由等腰三角形的判定推出，進而進行等量代換得，然后證明，得到，最后進行等量代換即可得證結論.
23．【答案】（1）解：，變形為，
解得，，
∴，，
∵拋物線與軸相交于，兩點，
∴，解得：，
∴該拋物線對應的函數表達式為。
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，則，即，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將，代入解析式得，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，解得，
∴，
如圖，作軸于，則，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，解得：或，
∵點在第三象限，
∴；
②∵過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．
∴設，，設直線的解析式為：，
設直線的解析式為，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
設直線的解析式為，
將代入得，
∴直線的解析式為；
聯立得：，
∴，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
聯立，
得出，
∴點在直線上運動，
在中，令，則，即，
如圖，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，
，
由軸對稱的性質可得，
∴，
∴由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，
∵，
∴線段的最小值為．
【知識點】一元二次方程的根與系數的關系（韋達定理）；待定系數法求二次函數解析式；二次函數-線段周長問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、解直角三角形、軸對稱—線段最短問題、勾股定理、二次函數的圖象與性質、求一次函數解析式、二次函數與一元二次方程、等腰直角三角形的判定與性質等知識點。（1）利用因式分解法解一元二次方程，得出，，再利用待定系數法求解即可；
（2）①在中，令得出，在中，令得出，從而得出，即，待定系數法求得直線的解析式為，聯立，得出，作軸于，則，，，求出，，由正切的定義得出，證明，得出，求出直線的解析式為，聯立，計算即可得解；②設，，設直線的解析式為：，求出直線的解析式為，直線的解析式為；聯立得：，由韋達定理得出，將代入，得，求出，同理可得，聯立，得出，推出點在直線上運動，求出，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，由軸對稱的性質可得，則，由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，再由勾股定理計算即可得出答案．
（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵拋物線與軸相交于，兩點，
∴，
解得：，
∴該拋物線對應的函數表達式為；
（2）解：①在中，令，，解得，即，
在中，令，則，即，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將，代入解析式得，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，解得，
∴，
如圖，作軸于，則，，，
，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
設直線的解析式為，
將代入得：，
解得：，
∴直線的解析式為，
聯立，
解得：或，
∵點在第三象限，
∴；
②∵過拋物線上一點作直線的平行線．與拋物線相交于另一點．
∴設，，設直線的解析式為：，
設直線的解析式為，
將代入得，
解得：，
∴直線的解析式為，
設直線的解析式為，
將代入得，
∴直線的解析式為；
聯立得：，
∴，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
將代入，得，
∴，
∴，
解得：，
聯立，
得出，
∴點在直線上運動，
在中，令，則，即，
如圖，作點關于直線的對稱點，連接交直線于，連接，則，
，
由軸對稱的性質可得，
∴，
∴由兩點之間線段最短可得：線段的最小值的最小時為，
∵，
∴線段的最小值為．
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