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海南省2024年初中學業水平考試數學試卷
一、選擇題（本大題滿分36分，每小題3分）在下列各題的四個備選答案中，有且只有一個是正確的，請在答題卡上把你認為正確的答案的字母代號按要求用2B鉛筆涂黑．
1．（2024·海南）負數的概念最早記載于我國古代著作《九章算術》．若零上記作，則零下應記作（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】用正數、負數表示相反意義的量
【解析】【解答】解：若零上記作，則零下應記作，
故答案為：A．
【分析】根據正負數是一對具有相反意義的量，即可求得.
2．（2024·海南）福建艦是我國首艘完全自主設計建造的電磁彈射型航空母艦，滿載排水量8萬余噸，數據80000用科學記數法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：數據80000用科學記數法表示為．
故答案為：B．
【分析】用科學記數法表示大于10的數，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原數的整數位數減去1，據此求解即可.
3．（2024·海南）若代數式的值為5，則x等于（　　）
A．8 B． C．2 D．
【答案】A
【知識點】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代數式的值為5，
∴，
∴，
故答案為：A．
【分析】根據題意可知，求解即可．
4．（2024·海南）下圖是由兩塊完全相同的長方體木塊組成的幾何體，其左視圖為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：從左邊看得到的圖形是，即左視圖為.
故答案為：B．
【分析】根據從左邊看得到的圖形即為左視圖，即可求得.
5．（2024·海南）下列計算中，正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故A項不符合題意；
B、，故B項不符合題意；
C、，故C項符合題意；
D、與不是同類項，不能合并，故D項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據同底數冪除法，積的乘方和冪的乘方，合并同類項法則即可求得.
6．（2024·海南）分式方程的解是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分得：，
解得，
檢驗，當時，，
∴是原方程的解，
故答案為：A．
【分析】方程兩邊同時乘以各個分母的最簡公分母“x-2”約去分母，將分式方程轉化為整式方程，再解方程求出x的值，最后檢驗即可．
7．（2024·海南）平面直角坐標系中，將點A向右平移3個單位長度得到點，則點A的坐標是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：∵將點A向右平移3個單位長度得到點，
∴點A的坐標是，即．
故答案為：C．
【分析】根據坐標的平移變化的規律，左減右加橫坐標，下減上加縱坐標，即可求得.
8．（2024·海南）設直角三角形中一個銳角為x度（），另一個銳角為y度，則y與x的函數關系式為（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】函數解析式；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形中一個銳角的度數為x度，另一個銳角為y度，
∴．
故答案為：D．
【分析】根據三角形的內角和定理可得直角三角形的兩銳角互余，據此可得y與x的關系式．
9．（2024·海南）如圖，直線，把一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式放置，點B在直線n上，，若，則等于（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】平行公理的推論；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：如圖，過點C作直線平行于直線m，
∵直線，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：D．
【分析】根據平行公理的推論可得，根據平行線的性質可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
10．（2024·海南）如圖，菱形的邊長為2，，邊在數軸上，將繞點A順時針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3，則點A表示的數是（　　）
A．1 B． C．0 D．
【答案】D
【知識點】實數在數軸上表示；含30°角的直角三角形；菱形的性質
【解析】【解答】解：作于點，
∵，
∴，
∴ ∠BCF=30°，
∴ BF=1，CF=，
∵ ∠CAF=30°，
∴ AC=2CF=，即AE=，
∴點A表示的數是，
故答案為：D．
【分析】作于點，根據30°的直角三角形的性質和勾股定理求得CF，再求出AC，即可求得.
11．（2024·海南）如圖，是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且，點P在上，若，則等于（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】等邊三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理
【解析】【解答】解：連接，，
∵是半圓O的直徑，，
∴，
∴和都是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：B．
【分析】連接OB，OC，由圓心角、弧、弦得關系得∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，從而根據有一個內角為60°的等腰三角形是等邊三角形得△AOB與△BOC都是等邊三角形，由等邊三角形的每一個內角都是60°得∠OBC=∠OBA=60°，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得∠BPC=∠BOC=30°，由三角形的內角和定理求出∠PBC=20°，由角的構成算出∠PBO=40°，∠ABP=100°.
12．（2024·海南）如圖，在中，，以點D為圓心作弧，交于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，若，則四邊形的周長是（　　）
A．22 B．21 C．20 D．18
【答案】A
【知識點】平行四邊形的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：∵ 四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ AB∥CD，AD=BC，CD=AB=8
∴ ∠DCE=∠BEC，
∵ ∠BCE=∠DCE，
∴ ∠BCE=∠BEC，
∴ BE=BC，
設BC為x，則AD=x，AE=8-x，
由尺規作圖可得，DE⊥AB，
∴ AD2=DE2+AE2，即x2=(8-x)2+42，
解得，x=5，
∴四邊形的周長是，
故答案為：A．
【分析】根據平行四邊形的性質可得 AB∥CD，AD=BC，根據平行線的性質和等角對等邊可得BE=BC，根據勾股定理列出方程求得BC的長，即可求得周長.
二、填空題（本大題滿分12分，每小題3分）
13．（2024·海南）因式分解： 　 　.
【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案為：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解為止.
14．（2024·海南）某型號蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，即，它的圖象如圖所示，則蓄電池的電壓U為　 　（V）．
【答案】64
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【解答】解：設用電阻R表示電流I的函數解析式為，
∵點在該函數圖象上，
∴（V），
故答案為：64．
【分析】根據函數圖象可用電阻R表示電流I的函數解析式為，其中U為電壓，再根據反比例函數圖象上任意一點的橫縱坐標得乘積都等于比例系數，把代入可得U的值．
15．（2024·海南）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經過的中點O，與地面垂直于點M，，當蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為　 ?。?br/>【答案】80
【知識點】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：過點B作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B離地面的高度為．
故答案為：80．
【分析】過點B作BN⊥CD于N，由同一平面內，垂直同一直線的兩條直線互相平行得OM∥BN，得由平行于三角形一邊得直線，截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似得△AOM∽△ABN，進而根據相似三角形的對應邊成比例建立方程，求解得出BN的值.
16．（2024·海南）如圖，矩形紙片中，，點E、F分別在邊上，將紙片沿折疊，使點D的對應點在邊上，點C的對應點為，則的最小值為　 　，CF的最大值為　 ?。?br/>【答案】6；
【知識點】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：如圖所示，過點E作于H，則四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴的最小值為6，
由折疊的性質可得，
∴的最小值為6；
如圖所示，連接，
由折疊的性質可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴當最大時，最大，即最大時，最大，
∴當與點B重合時，最大，
設此時，則，
∴，
解得，
∴的最大值為
故答案為：，．
【分析】過點E作EH⊥BC于H，易得四邊形ABHE是矩形，由矩形的對邊相等得AB=EH=6，根據垂線段最短得D'E≥EH，可得D'E的最小值為6，則由折疊的性質可得DE=D'E，從而可得DE的最小值；如圖所示，連接DF，由折疊性質得∠D'EF=∠DEF，DE=D'E及DF=D'F，由二直線平行，內錯角相等得∠DEF=∠D'FE，則∠D'FE=∠D'EF，由等角第等邊得D'E=D'F，則DE=DF；在Rt△CDF中，利用勾股定理得到當DF最大時，CF最大，即DE最大時，CF最大，則當D'與點B重合時，DE最大，設此時CF=x，據此利用勾股定理建立方程求解即可．
三、解答題（本大題滿分72分）
17．（2024·海南）（1）計算：；
（2）解不等式組：．
【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】（1）先算術平方根性質、絕對值代數意義、0指數冪法則“a0=1(a≠0)”及有理數的乘方運算法則分別計算，再計算有理數的除法和乘法，最后計算加減法即可；
（2）先根據解不等式的步驟，求出每個不等式組中每一個不等式的解集，再根據 “同小取小”求出不等式組的解集即可．
18．（2024·海南）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據以下對話，求促銷活動前每個瘦肉粽、五花肉粽的售價．
【答案】解：設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價元，
依題意得，
解得，
，
答：促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元．
【知識點】一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為x元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價(x-5)元，根據單價乘以數量等于總價及標價乘以折扣率等于售價，由打折后購買10個瘦肉粽的費用+購買5個五花肉粽的費用=160元列方程求解即可．
19．（2024·海南）根據以下調查報告解決問題．
調查主題 學校八年級學生視力健康情況
背景介紹 學生視力健康問題引起社會廣泛關注．某學習小組為了解本校八年級學生視力情況，隨機收集部分學生《視力篩查》數據．
調查結果
八年級學生右眼視力領數分布表
右眼視力 頻數
3
24
18
12
9
9
15
合計 90
建議：……
（說明：以上僅展示部分報告內容）．
（1）本次調查活動采用的調查方式是________（填寫“普查”或“抽樣調查”）：
（2）視力在“”是視力“最佳矯正區”，該范圍的數據為：，這組數據的中位數是________；
（3）視力低于屬于視力不良，該校八年級學生有600人，估計該校八年級右眼視力不良的學生約為_______人；
（4）視力在“”范圍有兩位男生和一位女生，從中隨機抽取兩位學生采訪，恰好抽到兩位男生的概率是________；
（5）請為做好近視防控提一條合理的建議．
【答案】（1）抽樣調查
（2）
（3）
（4）
（5）解：由表中數據說明該校學生近視程度較嚴重，建議學校加強電子產品進校園及使用的管控．
【知識點】頻數（率）分布表；頻數（率）分布直方圖；用列表法或樹狀圖法求概率；中位數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】解答（1）解：由題意可知，本次調查采用的調查方式為抽樣調查，
故答案為：抽樣調查；
（2）解：把9個數據按從小到大的順序排列為：，排在第5位的數是，
∴這組數據的中位數是，
故答案為：4.8；
（3）解：調查數據中，視力低于的人數有：（人），
∴估計該校八年級右眼視力不良的學生約為：（人）
故答案為：；
（4）解：把兩個男生標記為男1，男2，畫樹狀圖如下：
共有6種等可能情況，其中恰好抽到兩位男生的情況有2種，
∴恰好抽到兩位男生的概率是：，
故答案為：；
【分析】（1）普查就是針對研究對象的全體個體進行全面調查；抽樣調查就是從總體中隨機抽取部分樣本進行調查，據此可判斷得出答案；
（2）將一組數據按從小到大（或者從大到小）的順序排列后，如果數據的個數是奇數個時，則處在最中間的那個數據叫做這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數個時，則處在最中間的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數，據此求解即可；
（3）用該校八年級學生的總人數乘以樣本中視力低于5.0的人數所占的百分比即可估計該校八年級右眼視力不良的學生人數；
（4）此題是抽取不放回類型，根據題意畫出樹狀圖，由圖可知共有6種等可能情況，其中恰好抽到兩位男生的情況有2種，再根據概率公式求解即可；
（5）根據學生近視程度較為嚴重，提出合理化建議即可．
（1）解：由題意可知，本次調查采用的調查方式為抽樣調查，
故答案為：抽樣調查；
（2）解：把9個數據按從小到大的順序排列為：，排在第5位的數是，
∴這組數據的中位數是，
故答案為：；
（3）解：調查數據中，視力低于的人數有：（人），
∴估計該校八年級右眼視力不良的學生約為：
（人）
故答案為：；
（4）解：把兩個男生標記為男1，男2，畫樹狀圖如下：
共有6種等可能情況，其中恰好抽到兩位男生的情況有2種，
∴恰好抽到兩位男生的概率是：，
故答案為：；
（5）解：由表中數據說明該校學生近視程度較嚴重，建議學校加強電子產品進校園及使用的管控．
20．（2024·海南）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．
航行記錄 記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處． 記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處． 記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．
請你根據以上信息解決下列問題：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^，請計算說明．
（參考數據：）
【答案】（1）30；75；5
（2）解：設海里，在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9時時，船距離A的距離為海里，
∵，
∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題
【解析】【解答】（1）解：如圖所示，過點P作于D，則∠ADP=90°，
由題意得， ，
∴；
∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，
∴海里．
故答案為：30；75；5；
【分析】（1）過點P作于D，則∠ADP=90°，根據方位角的描述得出∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，根據三角形內角和定理可求出∠PAB的度數；然后根據角的構成，由∠APC=∠APD+∠CPD可算出∠PAB的度數，最后根據路程等于速度乘以時間可以計算出對應線段AB的長度；
（2）設海里，由正切函數的定義及特殊銳角三角形函數值得到，由∠A的正切函數及特殊銳角三角函數值得到海里，由∠A的正弦函數及特殊銳角三角函數值求得AP=2x海里，根據AD=AB+BD建立方程求解可得AP的長；由三角形內角和定理證明，由等角對等邊得海里，再求出上午9時時船與C點的距離即可得到結論．
（1）解：如圖所示，過點P作于D，
由題意得， ，
∴；
∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，
∴海里．
（2）解：設海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9時時，船距離A的距離為海里，
∵，
∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^．
21．（2024·海南）如圖1，拋物線經過點、，交y軸于點，點P是拋物線上一動點．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）當點P的坐標為時，求四邊形的面積；
（3）當時，求點P的坐標；
（4）過點A、O、C的圓交拋物線于點E、F，如圖2．連接，判斷的形狀，并說明理由．
【答案】（1）解：將點代入，得
解得
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點P作于T，
∵，，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：如圖所示，取，連接，
∵、，，
∴，
∴，
∴線段與拋物線的交點即為所求；
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
如圖所示，取，連接，
同理可得，
∴直線與拋物線的交點即為所求；
同理可知直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
綜上所述，符合題意的點P的坐標為或；
（4）解：是等邊三角形，理由如下：
∵三點共圓，且，
∴為過三點的圓的直徑，
如圖所示，取中點R，連接，
∵，
∴；
設與拋物線交于，
聯立
得，
∴，
解得，
在中，當時，
當時，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等邊三角形．
【知識點】圓周角定理；坐標系中的兩點距離公式；二次函數-面積問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）將點B的坐標代入拋物線y=-x2+bx+4可算出b的值，從而即可得到拋物線的解析式；
（2）過點P作PT⊥AB于T，根據A、C、P三點的坐標得出OA=4，OT=2，OC=4，PT=6，則AT=2，然后利用割補法，根據列式求解即可；
（3）取，連接，由等腰直角三角形的性質得，則線段與拋物線的交點即為所求；利用待定系數法求出直線的解析式，聯立拋物線與直線BH1得解析式求解可得點P1的坐標；如圖所示，取，連接，同理可得，則直線與拋物線的交點即為所求；同理可得；綜上可得答案；
（4）由90度的圓周角所對的弦是直徑得到AC為過A、O、C三點的圓的直徑，如圖所示，取AC中點R，連接AE、AF、EF、ER、FR，根據中點坐標公式可得根據兩點間的距離公式算出AC的長；設與拋物線交于，根據兩點間的距離及同圓半徑相等可得，根據拋物線上點的坐標特點可得-m2-3m+4=n，得聯立兩式求解可得點E、F的坐標，然后再根據兩點間的距離公式分貝計算出AE、AF、EF，即可判斷得出結論.
（1）解：將點代入，
得
解得
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如圖所示，取，連接，
∵、，，
∴，
∴，
∴線段與拋物線的交點即為所求；
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
如圖所示，取，連接，
同理可得，
∴直線與拋物線的交點即為所求；
同理可知直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
綜上所述，符合題意的點P的坐標為或；
（4）解：是等邊三角形，理由如下：
∵三點共圓，且，
∴為過三點的圓的直徑，
如圖所示，取中點R，連接，
∵，
∴，
∴；
設與拋物線交于，
聯立得，
∴，
解得，
在中，當時，
當時，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等邊三角形．
22．（2024·海南）正方形中，點E是邊上的動點（不與點B、C重合），，，交于點H，交延長線于點G．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，于點P，交于點M．
①求證：點P在的平分線上；
②當時，猜想與的數量關系，并證明；
③作于點N，連接，當時，若，求的值．
【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①證明：連接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四點共圓，
∴，
∵，，
∴點P在的平分線上；
②，理由如下：
由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∴，
同理四點共圓，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
設平行四邊形的對角線的交點為，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
設，則，，
∵，，
∴，
∴，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識點】正方形的性質；圓周角定理；圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）由正方形及垂直定義可得∠ABE=∠G=90°，從而利用AAS即可證明△ABE≌△EGF；
（2）①根據直角三角形兩銳角互余、等量代換可得∠AEB+∠FEG=90°，根據平角的定義可推出∠AEF=90°，則△AEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得∠APE=90°，∠AEP=∠FEP=45°，從而根據確定圓的條件判斷出A、B、E、P四點共圓，進而根據同弧所對的圓周角相等得∠ABP=∠AEP=45°，據此即可證明結論成立；
②由①得點P在∠ABC的平分線即正方形的對角線BD上，由平行于三角形一邊得直線截其它兩邊的延長線，所截三角形與原三角形相似得△ABP∽△HDP，由相似三角形對應邊成比例即可求解；
③根據確定圓的條件判斷出M、D、H、P四點共圓，進而根據同弧所對的圓周角相等得∠PMH=∠PDH=45°，由內錯角相等兩直線平行推出MH∥EN，從而由“兩組對邊分別平行得四邊形是平行四邊形”得四邊形MNEH是平行四邊形，推出△PHQ和PHM都是等腰直角三角形，設PM=PH=a，則MQ=2a，ME=2MQ=4a，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似得△APM∽△ADH，由相似三角形對應邊成比例可求出DH，利用勾股定理算出AH，進而結合AH的長度求出a的值，最后利用勾股定理可算出BE的長.
（1）證明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）①證明：連接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四點共圓，
∴，
∵，，
∴點P在的平分線上；
②，理由如下：
由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∴，
同理四點共圓，則，
∵，
∴，
∴，∵，
∴四邊形是平行四邊形，
設平行四邊形的對角線的交點為，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
設，則，，
∵，，
∴，
∴，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
1 / 1海南省2024年初中學業水平考試數學試卷
一、選擇題（本大題滿分36分，每小題3分）在下列各題的四個備選答案中，有且只有一個是正確的，請在答題卡上把你認為正確的答案的字母代號按要求用2B鉛筆涂黑．
1．（2024·海南）負數的概念最早記載于我國古代著作《九章算術》．若零上記作，則零下應記作（　?。?br/>A． B． C． D．
2．（2024·海南）福建艦是我國首艘完全自主設計建造的電磁彈射型航空母艦，滿載排水量8萬余噸，數據80000用科學記數法表示為（　?。?br/>A． B． C． D．
3．（2024·海南）若代數式的值為5，則x等于（　　）
A．8 B． C．2 D．
4．（2024·海南）下圖是由兩塊完全相同的長方體木塊組成的幾何體，其左視圖為（　?。?br/>A． B．
C． D．
5．（2024·海南）下列計算中，正確的是（　?。?br/>A． B． C． D．
6．（2024·海南）分式方程的解是（　?。?br/>A． B． C． D．
7．（2024·海南）平面直角坐標系中，將點A向右平移3個單位長度得到點，則點A的坐標是（　　）
A． B． C． D．
8．（2024·海南）設直角三角形中一個銳角為x度（），另一個銳角為y度，則y與x的函數關系式為（　?。?br/>A． B． C． D．
9．（2024·海南）如圖，直線，把一塊含角的直角三角板按如圖所示的方式放置，點B在直線n上，，若，則等于（　　）
A． B． C． D．
10．（2024·海南）如圖，菱形的邊長為2，，邊在數軸上，將繞點A順時針旋轉，點C落在數軸上的點E處，若點E表示的數是3，則點A表示的數是（　　）
A．1 B． C．0 D．
11．（2024·海南）如圖，是半圓O的直徑，點B、C在半圓上，且，點P在上，若，則等于（　　）
A． B． C． D．
12．（2024·海南）如圖，在中，，以點D為圓心作弧，交于點M、N，分別以點M、N為圓心，大于為半徑作弧，兩弧交于點F，作直線交于點E，若，則四邊形的周長是（　　）
A．22 B．21 C．20 D．18
二、填空題（本大題滿分12分，每小題3分）
13．（2024·海南）因式分解： 　 　.
14．（2024·海南）某型號蓄電池的電壓U（單位：V）為定值，使用蓄電池時，電流I（單位：A）與電阻R（單位：）是反比例函數關系，即，它的圖象如圖所示，則蓄電池的電壓U為　 ?。╒）．
15．（2024·海南）如圖是蹺蹺板示意圖，支柱經過的中點O，與地面垂直于點M，，當蹺蹺板的一端A著地時，另一端B離地面的高度為　 ?。?br/>16．（2024·海南）如圖，矩形紙片中，，點E、F分別在邊上，將紙片沿折疊，使點D的對應點在邊上，點C的對應點為，則的最小值為　 　，CF的最大值為　 ?。?br/>三、解答題（本大題滿分72分）
17．（2024·海南）（1）計算：；
（2）解不等式組：．
18．（2024·海南）端午節是中國傳統節日，人們有吃粽子的習俗．某商店售賣某品牌瘦肉粽和五花肉粽．請依據以下對話，求促銷活動前每個瘦肉粽、五花肉粽的售價．
19．（2024·海南）根據以下調查報告解決問題．
調查主題 學校八年級學生視力健康情況
背景介紹 學生視力健康問題引起社會廣泛關注．某學習小組為了解本校八年級學生視力情況，隨機收集部分學生《視力篩查》數據．
調查結果
八年級學生右眼視力領數分布表
右眼視力 頻數
3
24
18
12
9
9
15
合計 90
建議：……
（說明：以上僅展示部分報告內容）．
（1）本次調查活動采用的調查方式是________（填寫“普查”或“抽樣調查”）：
（2）視力在“”是視力“最佳矯正區”，該范圍的數據為：，這組數據的中位數是________；
（3）視力低于屬于視力不良，該校八年級學生有600人，估計該校八年級右眼視力不良的學生約為_______人；
（4）視力在“”范圍有兩位男生和一位女生，從中隨機抽取兩位學生采訪，恰好抽到兩位男生的概率是________；
（5）請為做好近視防控提一條合理的建議．
20．（2024·海南）木蘭燈塔是亞洲最高、世界第二高的航標燈塔，位于海南島的最北端，是海南島東北部最重要的航標．某天，一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，如圖所示．
航行記錄 記錄一：上午8時，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的A處． 記錄二：上午8時30分，漁船到達木蘭燈塔P北偏西方向上的B處． 記錄三：根據氣象觀測，當天凌晨4時到上午9時，受天文大潮和天氣影響，瓊州海峽C點周圍5海里內，會出現異常海況，點C位于木蘭燈塔P北偏東方向．
請你根據以上信息解決下列問題：
（1）填空：________，________， ________海里；
（2）若該漁船不改變航線與速度，是否會進入“海況異?！眳^，請計算說明．
（參考數據：）
21．（2024·海南）如圖1，拋物線經過點、，交y軸于點，點P是拋物線上一動點．
（1）求該拋物線的函數表達式；
（2）當點P的坐標為時，求四邊形的面積；
（3）當時，求點P的坐標；
（4）過點A、O、C的圓交拋物線于點E、F，如圖2．連接，判斷的形狀，并說明理由．
22．（2024·海南）正方形中，點E是邊上的動點（不與點B、C重合），，，交于點H，交延長線于點G．
（1）如圖1，求證：；
（2）如圖2，于點P，交于點M．
①求證：點P在的平分線上；
②當時，猜想與的數量關系，并證明；
③作于點N，連接，當時，若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】用正數、負數表示相反意義的量
【解析】【解答】解：若零上記作，則零下應記作，
故答案為：A．
【分析】根據正負數是一對具有相反意義的量，即可求得.
2．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解：數據80000用科學記數法表示為．
故答案為：B．
【分析】用科學記數法表示大于10的數，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原數的整數位數減去1，據此求解即可.
3．【答案】A
【知識點】解一元一次方程
【解析】【解答】解：∵代數式的值為5，
∴，
∴，
故答案為：A．
【分析】根據題意可知，求解即可．
4．【答案】B
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：從左邊看得到的圖形是，即左視圖為.
故答案為：B．
【分析】根據從左邊看得到的圖形即為左視圖，即可求得.
5．【答案】C
【知識點】同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；積的乘方運算；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：A、，故A項不符合題意；
B、，故B項不符合題意；
C、，故C項符合題意；
D、與不是同類項，不能合并，故D項不符合題意；
故答案為：C．
【分析】根據同底數冪除法，積的乘方和冪的乘方，合并同類項法則即可求得.
6．【答案】A
【知識點】解分式方程
【解析】【解答】解：
去分得：，
解得，
檢驗，當時，，
∴是原方程的解，
故答案為：A．
【分析】方程兩邊同時乘以各個分母的最簡公分母“x-2”約去分母，將分式方程轉化為整式方程，再解方程求出x的值，最后檢驗即可．
7．【答案】C
【知識點】坐標與圖形變化﹣平移
【解析】【解答】解：∵將點A向右平移3個單位長度得到點，
∴點A的坐標是，即．
故答案為：C．
【分析】根據坐標的平移變化的規律，左減右加橫坐標，下減上加縱坐標，即可求得.
8．【答案】D
【知識點】函數解析式；直角三角形的兩銳角互余
【解析】【解答】解：∵直角三角形中一個銳角的度數為x度，另一個銳角為y度，
∴．
故答案為：D．
【分析】根據三角形的內角和定理可得直角三角形的兩銳角互余，據此可得y與x的關系式．
9．【答案】D
【知識點】平行公理的推論；兩直線平行，內錯角相等
【解析】【解答】解：如圖，過點C作直線平行于直線m，
∵直線，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
故答案為：D．
【分析】根據平行公理的推論可得，根據平行線的性質可得，∠2=∠4，由可求出，即可求得∠2.
10．【答案】D
【知識點】實數在數軸上表示；含30°角的直角三角形；菱形的性質
【解析】【解答】解：作于點，
∵，
∴，
∴ ∠BCF=30°，
∴ BF=1，CF=，
∵ ∠CAF=30°，
∴ AC=2CF=，即AE=，
∴點A表示的數是，
故答案為：D．
【分析】作于點，根據30°的直角三角形的性質和勾股定理求得CF，再求出AC，即可求得.
11．【答案】B
【知識點】等邊三角形的判定與性質；圓心角、弧、弦的關系；圓周角定理
【解析】【解答】解：連接，，
∵是半圓O的直徑，，
∴，
∴和都是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案為：B．
【分析】連接OB，OC，由圓心角、弧、弦得關系得∠AOB=∠BOC=∠COD=60°，從而根據有一個內角為60°的等腰三角形是等邊三角形得△AOB與△BOC都是等邊三角形，由等邊三角形的每一個內角都是60°得∠OBC=∠OBA=60°，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半得∠BPC=∠BOC=30°，由三角形的內角和定理求出∠PBC=20°，由角的構成算出∠PBO=40°，∠ABP=100°.
12．【答案】A
【知識點】平行四邊形的性質；尺規作圖-垂直平分線
【解析】【解答】解：∵ 四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ AB∥CD，AD=BC，CD=AB=8
∴ ∠DCE=∠BEC，
∵ ∠BCE=∠DCE，
∴ ∠BCE=∠BEC，
∴ BE=BC，
設BC為x，則AD=x，AE=8-x，
由尺規作圖可得，DE⊥AB，
∴ AD2=DE2+AE2，即x2=(8-x)2+42，
解得，x=5，
∴四邊形的周長是，
故答案為：A．
【分析】根據平行四邊形的性質可得 AB∥CD，AD=BC，根據平行線的性質和等角對等邊可得BE=BC，根據勾股定理列出方程求得BC的長，即可求得周長.
13．【答案】
【知識點】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：x 2 4 =( x + 2 ) ( x 2 )，
故答案為：( x + 2 ) ( x 2 ).
【分析】利用平方差公式分解因式即可. 注意分解到不能再分解為止.
14．【答案】64
【知識點】反比例函數的實際應用
【解析】【解答】解：設用電阻R表示電流I的函數解析式為，
∵點在該函數圖象上，
∴（V），
故答案為：64．
【分析】根據函數圖象可用電阻R表示電流I的函數解析式為，其中U為電壓，再根據反比例函數圖象上任意一點的橫縱坐標得乘積都等于比例系數，把代入可得U的值．
15．【答案】80
【知識點】相似三角形的判定；A字型相似模型；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【解答】解：過點B作于N，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴另一端B離地面的高度為．
故答案為：80．
【分析】過點B作BN⊥CD于N，由同一平面內，垂直同一直線的兩條直線互相平行得OM∥BN，得由平行于三角形一邊得直線，截其它兩邊，所截三角形與原三角形相似得△AOM∽△ABN，進而根據相似三角形的對應邊成比例建立方程，求解得出BN的值.
16．【答案】6；
【知識點】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性質；翻折變換（折疊問題）
【解析】【解答】解：如圖所示，過點E作于H，則四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴的最小值為6，
由折疊的性質可得，
∴的最小值為6；
如圖所示，連接，
由折疊的性質可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴當最大時，最大，即最大時，最大，
∴當與點B重合時，最大，
設此時，則，
∴，
解得，
∴的最大值為
故答案為：，．
【分析】過點E作EH⊥BC于H，易得四邊形ABHE是矩形，由矩形的對邊相等得AB=EH=6，根據垂線段最短得D'E≥EH，可得D'E的最小值為6，則由折疊的性質可得DE=D'E，從而可得DE的最小值；如圖所示，連接DF，由折疊性質得∠D'EF=∠DEF，DE=D'E及DF=D'F，由二直線平行，內錯角相等得∠DEF=∠D'FE，則∠D'FE=∠D'EF，由等角第等邊得D'E=D'F，則DE=DF；在Rt△CDF中，利用勾股定理得到當DF最大時，CF最大，即DE最大時，CF最大，則當D'與點B重合時，DE最大，設此時CF=x，據此利用勾股定理建立方程求解即可．
17．【答案】解：（1）
；
（2）
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式組的解集為．
【知識點】解一元一次不等式組；實數的混合運算（含開方）
【解析】【分析】（1）先算術平方根性質、絕對值代數意義、0指數冪法則“a0=1(a≠0)”及有理數的乘方運算法則分別計算，再計算有理數的除法和乘法，最后計算加減法即可；
（2）先根據解不等式的步驟，求出每個不等式組中每一個不等式的解集，再根據 “同小取小”求出不等式組的解集即可．
18．【答案】解：設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價元，
依題意得，
解得，
，
答：促銷活動前每個瘦肉粽的售價為15元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價10元．
【知識點】一元一次方程的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】設促銷活動前每個瘦肉粽的售價為x元，則促銷活動前每個五花肉粽的售價(x-5)元，根據單價乘以數量等于總價及標價乘以折扣率等于售價，由打折后購買10個瘦肉粽的費用+購買5個五花肉粽的費用=160元列方程求解即可．
19．【答案】（1）抽樣調查
（2）
（3）
（4）
（5）解：由表中數據說明該校學生近視程度較嚴重，建議學校加強電子產品進校園及使用的管控．
【知識點】頻數（率）分布表；頻數（率）分布直方圖；用列表法或樹狀圖法求概率；中位數；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】解答（1）解：由題意可知，本次調查采用的調查方式為抽樣調查，
故答案為：抽樣調查；
（2）解：把9個數據按從小到大的順序排列為：，排在第5位的數是，
∴這組數據的中位數是，
故答案為：4.8；
（3）解：調查數據中，視力低于的人數有：（人），
∴估計該校八年級右眼視力不良的學生約為：（人）
故答案為：；
（4）解：把兩個男生標記為男1，男2，畫樹狀圖如下：
共有6種等可能情況，其中恰好抽到兩位男生的情況有2種，
∴恰好抽到兩位男生的概率是：，
故答案為：；
【分析】（1）普查就是針對研究對象的全體個體進行全面調查；抽樣調查就是從總體中隨機抽取部分樣本進行調查，據此可判斷得出答案；
（2）將一組數據按從小到大（或者從大到?。┑捻樞蚺帕泻螅绻麛祿膫€數是奇數個時，則處在最中間的那個數據叫做這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數個時，則處在最中間的兩個數據的平均數叫做這組數據的中位數，據此求解即可；
（3）用該校八年級學生的總人數乘以樣本中視力低于5.0的人數所占的百分比即可估計該校八年級右眼視力不良的學生人數；
（4）此題是抽取不放回類型，根據題意畫出樹狀圖，由圖可知共有6種等可能情況，其中恰好抽到兩位男生的情況有2種，再根據概率公式求解即可；
（5）根據學生近視程度較為嚴重，提出合理化建議即可．
（1）解：由題意可知，本次調查采用的調查方式為抽樣調查，
故答案為：抽樣調查；
（2）解：把9個數據按從小到大的順序排列為：，排在第5位的數是，
∴這組數據的中位數是，
故答案為：；
（3）解：調查數據中，視力低于的人數有：（人），
∴估計該校八年級右眼視力不良的學生約為：
（人）
故答案為：；
（4）解：把兩個男生標記為男1，男2，畫樹狀圖如下：
共有6種等可能情況，其中恰好抽到兩位男生的情況有2種，
∴恰好抽到兩位男生的概率是：，
故答案為：；
（5）解：由表中數據說明該校學生近視程度較嚴重，建議學校加強電子產品進校園及使用的管控．
20．【答案】（1）30；75；5
（2）解：設海里，在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9時時，船距離A的距離為海里，
∵，
∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異?！眳^．
【知識點】解直角三角形的實際應用﹣方向角問題
【解析】【解答】（1）解：如圖所示，過點P作于D，則∠ADP=90°，
由題意得， ，
∴；
∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，
∴海里．
故答案為：30；75；5；
【分析】（1）過點P作于D，則∠ADP=90°，根據方位角的描述得出∠APD=60°，∠BPD=45°，∠CPD=15°，根據三角形內角和定理可求出∠PAB的度數；然后根據角的構成，由∠APC=∠APD+∠CPD可算出∠PAB的度數，最后根據路程等于速度乘以時間可以計算出對應線段AB的長度；
（2）設海里，由正切函數的定義及特殊銳角三角形函數值得到，由∠A的正切函數及特殊銳角三角函數值得到海里，由∠A的正弦函數及特殊銳角三角函數值求得AP=2x海里，根據AD=AB+BD建立方程求解可得AP的長；由三角形內角和定理證明，由等角對等邊得海里，再求出上午9時時船與C點的距離即可得到結論．
（1）解：如圖所示，過點P作于D，
由題意得， ，
∴；
∵一艘漁船自西向東（沿方向）以每小時10海里的速度在瓊州海峽航行，上午8時從A出發到上午8時30分到達B，
∴海里．
（2）解：設海里，
在中，海里，
在中，海里，海里，
∵，
∴，
解得，
∴海里，
∵，
∴，
∴海里；
上午9時時，船距離A的距離為海里，
∵，
∴該漁船不改變航線與速度，會進入“海況異常”區．
21．【答案】（1）解：將點代入，得
解得
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點P作于T，
∵，，，
∴，
∴，
∴
；
（3）解：如圖所示，取，連接，
∵、，，
∴，
∴，
∴線段與拋物線的交點即為所求；
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
如圖所示，取，連接，
同理可得，
∴直線與拋物線的交點即為所求；
同理可知直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
綜上所述，符合題意的點P的坐標為或；
（4）解：是等邊三角形，理由如下：
∵三點共圓，且，
∴為過三點的圓的直徑，
如圖所示，取中點R，連接，
∵，
∴；
設與拋物線交于，
聯立
得，
∴，
解得，
在中，當時，
當時，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等邊三角形．
【知識點】圓周角定理；坐標系中的兩點距離公式；二次函數-面積問題；二次函數-角度的存在性問題
【解析】【分析】（1）將點B的坐標代入拋物線y=-x2+bx+4可算出b的值，從而即可得到拋物線的解析式；
（2）過點P作PT⊥AB于T，根據A、C、P三點的坐標得出OA=4，OT=2，OC=4，PT=6，則AT=2，然后利用割補法，根據列式求解即可；
（3）取，連接，由等腰直角三角形的性質得，則線段與拋物線的交點即為所求；利用待定系數法求出直線的解析式，聯立拋物線與直線BH1得解析式求解可得點P1的坐標；如圖所示，取，連接，同理可得，則直線與拋物線的交點即為所求；同理可得；綜上可得答案；
（4）由90度的圓周角所對的弦是直徑得到AC為過A、O、C三點的圓的直徑，如圖所示，取AC中點R，連接AE、AF、EF、ER、FR，根據中點坐標公式可得根據兩點間的距離公式算出AC的長；設與拋物線交于，根據兩點間的距離及同圓半徑相等可得，根據拋物線上點的坐標特點可得-m2-3m+4=n，得聯立兩式求解可得點E、F的坐標，然后再根據兩點間的距離公式分貝計算出AE、AF、EF，即可判斷得出結論.
（1）解：將點代入，
得
解得
∴拋物線解析式為；
（2）解：如圖所示，過點P作于T，
∵，，，
∴ ，
∴，
∴
；
（3）解：如圖所示，取，連接，
∵、，，
∴，
∴，
∴線段與拋物線的交點即為所求；
設直線的解析式為，
∴，
∴，
∴直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
如圖所示，取，連接，
同理可得，
∴直線與拋物線的交點即為所求；
同理可知直線的解析式為，
聯立，解得或（舍去），
∴；
綜上所述，符合題意的點P的坐標為或；
（4）解：是等邊三角形，理由如下：
∵三點共圓，且，
∴為過三點的圓的直徑，
如圖所示，取中點R，連接，
∵，
∴，
∴；
設與拋物線交于，
聯立得，
∴，
解得，
在中，當時，
當時，
∴，
∴，
，
，
∴，
∴是等邊三角形．
22．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）解：①證明：連接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四點共圓，
∴，
∵，，
∴點P在的平分線上；
②，理由如下：
由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∴，
同理四點共圓，則，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴四邊形是平行四邊形，
設平行四邊形的對角線的交點為，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
設，則，，
∵，，
∴，
∴，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知識點】正方形的性質；圓周角定理；圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】（1）由正方形及垂直定義可得∠ABE=∠G=90°，從而利用AAS即可證明△ABE≌△EGF；
（2）①根據直角三角形兩銳角互余、等量代換可得∠AEB+∠FEG=90°，根據平角的定義可推出∠AEF=90°，則△AEF是等腰直角三角形，根據等腰直角三角形的性質得∠APE=90°，∠AEP=∠FEP=45°，從而根據確定圓的條件判斷出A、B、E、P四點共圓，進而根據同弧所對的圓周角相等得∠ABP=∠AEP=45°，據此即可證明結論成立；
②由①得點P在∠ABC的平分線即正方形的對角線BD上，由平行于三角形一邊得直線截其它兩邊的延長線，所截三角形與原三角形相似得△ABP∽△HDP，由相似三角形對應邊成比例即可求解；
③根據確定圓的條件判斷出M、D、H、P四點共圓，進而根據同弧所對的圓周角相等得∠PMH=∠PDH=45°，由內錯角相等兩直線平行推出MH∥EN，從而由“兩組對邊分別平行得四邊形是平行四邊形”得四邊形MNEH是平行四邊形，推出△PHQ和PHM都是等腰直角三角形，設PM=PH=a，則MQ=2a，ME=2MQ=4a，由有兩組角對應相等的兩個三角形相似得△APM∽△ADH，由相似三角形對應邊成比例可求出DH，利用勾股定理算出AH，進而結合AH的長度求出a的值，最后利用勾股定理可算出BE的長.
（1）證明：∵正方形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴；
（2）①證明：連接，
由（1）得，
∴，
∴，即，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，，
∵，
∴四點共圓，
∴，
∵，，
∴點P在的平分線上；
②，理由如下：
由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，
∵，即，
∴，
∴；
③由①得點P在的平分線即正方形的對角線上，
∴，
同理四點共圓，則，
∵，
∴，
∴，∵，
∴四邊形是平行四邊形，
設平行四邊形的對角線的交點為，且，
∵是等腰直角三角形，
∴和都是等腰直角三角形，
設，則，，
∵，，
∴，
∴，則，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
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