資源簡介

浙江省寧波市余姚市2025年中考適應性模擬訓練（六）數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。請選出每小題中符合題意的一個選項，不選、多選、錯選均不給分）
1．（2025·余姚模擬）以下四個城市中某天上午9時氣溫最低的城市是（　　）
杭州 溫州 寧波 嘉興
-2℃ 0℃ 1℃ -1℃
A．杭州 B．溫州 C．寧波 D．嘉興
2．（2025·余姚模擬）6個相同正方體搭成的幾何體俯視圖為（　　）
A． B．
C． D．
3．（2025·余姚模擬） 截止2025年4月9日，《哪吒之魔童鬧海》全球票房（含預售及海外）已破1560000000元. 其中數“15600000000”用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·余姚模擬） 下列式子運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·余姚模擬）一次空氣污染指數抽查中，收集到某地一周的數據如下：67，68，63，90，89，75，89.該組數據的中位數是（　　）
A．68 B．75 C．89 D．90
6．（2025·余姚模擬） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC和△A'B'C位似，位似中心為原點O.已知點A（-1，1.5），點A'（2，-3），若△ABC的面積為2，則△A'B'C'的面積是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
7．（2025·余姚模擬） 不等式組的解集在數軸上可表示為（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025·余姚模擬）已知一個菱形的周長是20，面積是24，則該菱形的兩條對角線的長度之和為（　　）
A．7 B．4 C．14 D．8
9．（2025·余姚模擬） 如圖，一次函數 的圖象與反比例函數 的圖象相交于第一象限內的兩點 A（m，3n），B（m+2，n），且直線 與 x 軸交于點 C，則下列結論中正確的是（　　）
A． B．
C． D．當 時，
10．（2025·余姚模擬） 如圖，在四邊形 ABCD 中，，對角線 AC 和 BD 交于點 E，若 ，，則 BD 長的最小值為（　　）
A．6 B． C．4 D．
二、填空題（本大題有6小題，每小題3分，共18分）
11．（2025·余姚模擬）分解因式：x2－4x=　 　 ．
12．（2025·余姚模擬）一個不透明的袋子中，有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個白球，隨機摸出一個小球，摸出紅球的概率是　 　.
13．（2025·余姚模擬）已知分式，若當x=1時分式的值為0，則實數α的值為　 　.
14．（2025·余姚模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD是半圓的切線，cosD=，∠CAB=30° .若CD=6，則AC的長是　 　.
15．（2025·余姚模擬）“化積為方”是一個古老的幾何學問題，即給定一個長方形，作一個和它面積相等的正方形，這也是證明勾股定理的一種思想方法，如圖所示，在矩形ABCD中（AB>AD），以AD為邊作正方形ADEF，在FE的延長線上取一點G，使得∠DGC=RT∠，過點D作DH⊥DG交AB于點H，過點H作HK⊥GC于點K.若AF=2，BF=3FH，則FH的長為　 　.
16．（2025·余姚模擬） 已知二次函數y=ax2+2ax+d（a<0）的圖象上有兩點， ， 當 時， 始終有 ， 則 m 的取值范圍是　 　.
三、解答題（本題共有8小題，第17~21題各8分，第22~23題各10分，第24題12分，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2025·余姚模擬）
（1）計算：；
（2）解方程：.
18．（2025·余姚模擬）佳佳計算分式方程 的過程如下：
解方程： 去分母，得 第①步 移項，得 第②步 合并同類項，得 第③步 系數化1，得 第④步 經檢驗， 是該分式方程的解.
（1）佳佳在計算過程中，第一次出現錯誤的步驟是　 　（填序號）；
（2）請你寫出正確的解答過程.
19．（2025·余姚模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點E.
（1）尺規作圖：作CF平分∠BCD交AD于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形.
20．（2025·余姚模擬）觀察下面的等式：
第 1 個等式：，
第 2 個等式：，
第 3 個等式：，
第 4 個等式：，
……
按照以上規律，解決下列問題：
（1）寫出第 5 個等式：　 　；
（2）請你猜想第 n 個等式（用含 n 的式子表示），并證明.
21．（2025·余姚模擬）某校組織九年級學生參加研學活動，為了確定本次研學的目的地，學校對學生去向意愿進行了摸底調查（A：農家樂；B：科技館；C：大學城）.下面兩幅統計圖反映了抽取的部分學生對研學活動去向意愿的情況，請你根據圖中的信息回答下列問題：
（1）本次調查抽取的學生總人數為 ▲ 人，并補全條形統計圖；
（2）求扇形統計圖中選項B所對應的圓心角度數；
（3）若該校九年級的總人數為250人，試估計選擇去大學城研學的總人數
22．（2025·余姚模擬）綜合與實踐：
背景：當前排球漸漸走入初中生的學習和生活中，排球運動不僅能提升身體素質，還
能促進心理健康，對青少年的身心發展有著諸多益處。
排球的購買與售賣
素材1：為了能讓學生日常鍛煉“排球墊球”體育運動，某中學打算購進一批排球，計劃購買甲品牌的排球35個，乙品牌的排球50個，共花費3550元，已知購買一個甲品牌的排球比購買一個乙品牌的排球少花20元.
素材2：某商店售賣丙品牌排球，進價為每個20元，當前售價為每個36元，每周可售出50個，經市場調查發現，售價每降低3元，每周可多售出15個.
任務1：求購買一個甲品牌、一個乙品牌的排球各需多少元？
任務2：求當一個丙品牌的排球售價為多少元時有最大利潤？最大利潤是多少？
23．（2025·余姚模擬）在平面直角坐標系中，二次函數的表達式為 ，其中 .
（1）若此函數圖象過點 （2， 5），求這個二次函數的表達式；
（2）若 ， 為此二次函數圖象上不同的兩個點，當 時，，求 m 的值；
（3）若點 （-1， t） 在此二次函數圖象上，當 時，y 隨 x 的增大而增大，求 t 的取值范圍.
24．（2025·余姚模擬）如圖，點D是Rt△ABC斜邊AB上的一點，以BD為直徑的圓⊙O交邊AC于E，F兩點，連結DE，BE，BF，并且BE平分∠DBF，
（1）求證： △BCF∽△BED ；
（2）若DE=2.5，CF=2，求BC的長；
（3）若BD=2AD，BF =8，求CF的長.
答案解析部分
1．【答案】A
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：-2<-1<0<1，故最低氣溫為杭州.
故答案為：A.
【分析】直接比較有理數的大小得到氣溫最低的城市.
2．【答案】A
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：從上往下看，有三排，第一排有1個正方體，在中間，第二排有3個正方體，第三排有1個正方體，在左邊，只有A符合.
故答案為：A.
【分析】由俯視的定義從上往下看，觀察正方體的個數及位置，即可判斷.
3．【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 1560000000= .
故答案為：B.
【分析】直接將較大的數化為()，對原數保留一位整數，位數為11，即可得n=10.
4．【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：對A選項，，故A錯誤；
對B選項，，故B錯誤；
對C選項，，故C錯誤；
對D選項，，故D正確.
故答案為：D.
【分析】直接根據合并同類項、同底數冪的乘除法和乘方的運算規則依次判斷即可.
5．【答案】B
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：對于數據 67，68，63，90，89，75，89，從小到大排列為63，67，68，75，89，89，90，共7個數字，第4個數據為75，故該組數據的中位數為75.
故答案為：B.
【分析】先將數據進行排序，中間數字即為中位數.
6．【答案】C
【知識點】位似圖形的性質
【解析】【解答】解：由 A（-1，1.5），點A'（2，-3） 知位似比為，故，即 △A'B'C' 為ABC面積的4倍，故.
故答案為：C.
【分析】根據點A與A 的坐標可知位似比，再由面積比為位似比的平方，即可得 △A'B'C' 的面積.
7．【答案】C
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：7-4x>-1
-4x>-1-7
-4x>-8
x<2
3(x-1)≤6
3x-3≤6
3x≤6+3
3x≤9
x≤3
解集為x<2，由各選項知，C符合要求.
故答案為：C.
【分析】分別求解不等式得不等式的解集，再觀察各選項即可得正確結果.
8．【答案】C
【知識點】完全平方公式及運用；菱形的性質
【解析】【解答】解：設菱形的對角線分別為x，y，則由題意可得，即有，
，故x+y=14，即對角線之和為14.
故答案為：C.
【分析】由菱形的性質知對角線與邊長的關系、面積與對角線的關系，再結合完全平方式即可得對角線的長度之和.
9．【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解： 將點A（m，3n），B（m+2，n）代入一次函數y=-2x+8得，解得，故A(1，6)、B(3，2)
將A(1，6)代入得k=6，故A錯誤，B錯誤；
對于一次函數y=-2x+8，令y=0，得-2x+8=0，得x=4，得C(4，0)，AB=，BC=，即有AB=2ABC，故C錯誤；
觀察圖形知當時，，故D正確.
故答案為：D.
【分析】直接將點A、B從坐標代入一次函數可得m、n的值可得A、B的坐標，代入反比例函數解析式得k的值，求出點C的坐標，利用兩點間的距離公式可得AB、BC的長，即可判斷C，數形結合可知D正確.
10．【答案】B
【知識點】勾股定理；垂徑定理；圓與四邊形的綜合
【解析】【解答】解：由知，點B、D在以AC為直徑的圓上運動，且AC=AE+CE=2+4=6，即半徑為3.
取BD的中點F，連接OF、OB，易知OE=1，在△OFE中，OF故BDmin=
故答案為：B.
【分析】由題意知B、D在圓上運動，結合垂徑定理知當OF取最大值時，BF取最小值，再由勾股定理得BD的長.
11．【答案】x (x－4)
【知識點】因式分解﹣提公因式法
【解析】 【解答】x2-4x=x（x-4）．
故答案為：x（x-4）．
【分析】首先找出多項式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
12．【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：隨機摸一個小球共有5種情況，即m=5，摸出紅球的情況有3種，即n=3，故摸出紅球的概率P=
故答案為：.
【分析】隨機摸出1個球有5種情況，摸出紅球的情況有3種，即可得概率.
13．【答案】-1
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：由題意，即有x+a=0且x≠0，x=1代入得1+a=0，即a=-1.
故答案為：-1.
【分析】由分式的值為0的條件，將x=1代入即可得a的值.
14．【答案】
【知識點】切線的性質；解直角三角形—三邊關系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：連接OC、CB，
∵CD為切線
∴OC⊥CD
在△OCD中，cosD=，
即有，得OD=10
由勾股定理得OC=
故AB=16
∵AB為直徑
∴∠ACB=90°
在△ABC中，∠BAC=30°，
cos30°=
即有，解得AC=8
故答案為：.
【分析】連接OC右∠OCD=90°，結合cosD的值和勾股定理得OC的長，即知AB的長，在△ABC中，利用30°角的余弦值，可得AC的長.
15．【答案】
【知識點】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定與性質
【解析】【解答】解：∵ADEF為正方形
∴AD=DE，∠ADE=90°
∵DH⊥DG
∴∠HDG=90°
∴∠ADE-∠HDE=∠HDG-∠HDE
∴∠ADH=∠EDG
又∵∠ADG=∠DAH=90°
∴△ADH≌△EDG
又HK⊥CG，∠DGC=90°
∴DHKG為正方形
在矩形ABCD和正方形DHKG中，
即有
設HF=m，則BF=3m，AH=2-m
由勾股定理得DH2=，
于是，解得m=或(舍去)
故答案為：.
【分析】由條件知△ADH≌△EDG，即可得DHKG為正方形，由CDH與矩形ABCD和正方形DHKG的關系知，設HF的長，表達矩形和正方形的面積即可得m的值.
16．【答案】m＜-3或m>2
【知識點】二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：二次函數對稱軸為直線x=，如圖所示，點關于對稱軸的對稱點B'(-3，y2)
由圖知，當點A在點B'左側或在點B的右側滿足題意，
①當點A在B'左側時，m<-3；
②當點A在B右側時，m-1>1，即m>2；
故答案為：m＜-3或m>2.
【分析】結合拋物線的對稱軸和點B關于對稱軸的對稱點，分點A在B’左側和B右側2種情況討論，即可得m的取值范圍.
17．【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：
，
解得：，.
【知識點】配方法解一元二次方程；實數的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】(1)求出特殊角的正弦值，同時去絕對值并化簡二次根式，即可得結果；
(2)兩邊同時加1，兩邊同時開方即可得方程的根.
18．【答案】（1）①
（2）解：去分母、得
1-x=-1-2(x-3)
去括號，得1-x=-1-2x+6
移項，得-x+2x=-1+6-1
合并同類項，得x=4
經檢驗，x=4是該分式方程的解.
【知識點】解分式方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)觀察各步驟知①中，去分母漏乘公因式；
(2)接著第一步，分別去分母化為整式方程，求解方程并檢驗即可得正確結果.
19．【答案】（1）解：如圖ABCD是平行四邊形
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，，.
∵AE平分，CF平分.
∴，.
∴，（ASA）.
∴，.
又∵，∴，即.
∴四邊形AECF是平行四邊形.
【知識點】平行四邊形的判定與性質；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】(1)由角平分線的作圖方法作圖即可；
(2)結合平行線和角平分線的定義可知AF=CE，AF||CE，即可知AECF為平行四邊形.
20．【答案】（1）
（2）解：猜想的第n個等式為；
證明：
.
【知識點】分式的通分；探索數與式的規律；探索規律-等式類規律；異分母分式的加、減法
【解析】【分析】(1)直接由條件規則可得第5個等式；
(2)由題意寫出第n個代數式，根據分式的性質通分，再作減法，即可證明結論.
21．【答案】（1）解：由圖知A有15人，占比30%，故總數為15；
B中人數為50-15-25=10人
去向選擇人數條形統計圖
（2）解：
（3）解：（人）
答：估計選擇去大學城研學的總人數為125人.
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】(1)由A的人數和占比，即可得總人數；用總人數減去A和C的人數，即可得B的人數，根據人數補全條件統計圖即可；
(2)根據B所占比例，再用360°乘以這個比例即可得圓心角的度數；
(3)根據大學城研學人數比例即可估算九年級去研學的人數.
22．【答案】解：任務1：解：設購買一個甲品牌排球需x元，則購買一個乙品牌排球需(x+20)元.
根據題意，可列方程：35x+50(x+20)=3550
解得：x=30
所以購買一個乙品脾的排球需x+20=30+20=50（元）
答：購買一個甲品牌的排球需30元，購買一個乙品牌的排球需50元.
任務2：解：設當一個丙品牌的排球降價y元時，其利潤為w元.
根據題意、得：w=(36-20-y)(50+y)
=(16-y)50+5y)
=-5y2+30y+800
=-5(y-3)2 +845
所以當y=3，即售價為36-3=33元時利潤w有最大值，最大值為845.
答：當一個丙品牌的排球售價為33元時有最大利潤，最大利潤是845元。
【知識點】一元一次方程的實際應用-銷售問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】任務1：由題意設甲排球為x元，則乙排球為x+20元，列出方程，求解方程即可得兩者的價格；
任務2：設丙降價y元，可得利潤與y的關系，配方可知當y=3時，利潤取最大值，代入即可得最大利潤.
23．【答案】（1）解： 把點 (2，5) 代入到二次函數的表達式 中，得： .
化簡得： ，聯立方程組：
，
解得：
所以二次函數的表達式為 ；
（2）解：∵，∴，∴.
∵，∴，解得：
（3）解：由題意得： 且 ，解得： .
由 ，把 (-1，t) 代入整理得 ，∴.
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式
【解析】【分析】(1)將點(2，5)代入二次函數表達式，結合條件組成二元一次方程組，即可得二次函數表達式；
(2)由條件知二次函數兩點關于對稱軸對稱，求出對稱軸，即可得m的值；
(3)由開口方向和增減性，可知t的范圍.
24．【答案】（1）證明：∵四邊形BDEF內接于MI. ∴∠EDF+ ∠EFB =180°，
∵∠CFB + ∠EFB =180°， ∴∠EDB = ∠CFB.
∵BD是A徑. ∴∠BED=90° . ∠C=90°， ∴∠BED= ∠C.
∴△BCF∽△BED ：
（2）解：∵BE平分，∴，∴EF = DE = 2.5
∵，∴.
設，則，.
根據勾股定理，得.
解得：，∴
（3）解：如圖，連結 OE .
平分 ，.
，.
，.
又 ，.
設 ，圓 O 的半徑為 r ，則 .
∵四邊形 BDEF 內接于圓O，.
，.
，即 ，解得：.
，.
.
【知識點】圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】(1)由圓內接四邊形的性質知∠BFC=∠BDE，再由∠BED=∠C，即可得 △BCF∽△BED ；
(2)結合(1)中相似可得BC與BE的比值，再由勾股定理可得BC的長；
(3)連接OE知OE||BC可得AF與EF的比值，再結合和，即可得CF的長.
1 / 1浙江省寧波市余姚市2025年中考適應性模擬訓練（六）數學試題
一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分。請選出每小題中符合題意的一個選項，不選、多選、錯選均不給分）
1．（2025·余姚模擬）以下四個城市中某天上午9時氣溫最低的城市是（　　）
杭州 溫州 寧波 嘉興
-2℃ 0℃ 1℃ -1℃
A．杭州 B．溫州 C．寧波 D．嘉興
【答案】A
【知識點】有理數的大小比較-直接比較法
【解析】【解答】解：-2<-1<0<1，故最低氣溫為杭州.
故答案為：A.
【分析】直接比較有理數的大小得到氣溫最低的城市.
2．（2025·余姚模擬）6個相同正方體搭成的幾何體俯視圖為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知識點】簡單組合體的三視圖
【解析】【解答】解：從上往下看，有三排，第一排有1個正方體，在中間，第二排有3個正方體，第三排有1個正方體，在左邊，只有A符合.
故答案為：A.
【分析】由俯視的定義從上往下看，觀察正方體的個數及位置，即可判斷.
3．（2025·余姚模擬） 截止2025年4月9日，《哪吒之魔童鬧海》全球票房（含預售及海外）已破1560000000元. 其中數“15600000000”用科學記數法表示為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知識點】科學記數法表示大于10的數
【解析】【解答】解： 1560000000= .
故答案為：B.
【分析】直接將較大的數化為()，對原數保留一位整數，位數為11，即可得n=10.
4．（2025·余姚模擬） 下列式子運算正確的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知識點】同底數冪的乘法；同底數冪的除法；合并同類項法則及應用；冪的乘方運算
【解析】【解答】解：對A選項，，故A錯誤；
對B選項，，故B錯誤；
對C選項，，故C錯誤；
對D選項，，故D正確.
故答案為：D.
【分析】直接根據合并同類項、同底數冪的乘除法和乘方的運算規則依次判斷即可.
5．（2025·余姚模擬）一次空氣污染指數抽查中，收集到某地一周的數據如下：67，68，63，90，89，75，89.該組數據的中位數是（　　）
A．68 B．75 C．89 D．90
【答案】B
【知識點】中位數
【解析】【解答】解：對于數據 67，68，63，90，89，75，89，從小到大排列為63，67，68，75，89，89，90，共7個數字，第4個數據為75，故該組數據的中位數為75.
故答案為：B.
【分析】先將數據進行排序，中間數字即為中位數.
6．（2025·余姚模擬） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，△ABC和△A'B'C位似，位似中心為原點O.已知點A（-1，1.5），點A'（2，-3），若△ABC的面積為2，則△A'B'C'的面積是（　　）
A．2 B．4 C．8 D．16
【答案】C
【知識點】位似圖形的性質
【解析】【解答】解：由 A（-1，1.5），點A'（2，-3） 知位似比為，故，即 △A'B'C' 為ABC面積的4倍，故.
故答案為：C.
【分析】根據點A與A 的坐標可知位似比，再由面積比為位似比的平方，即可得 △A'B'C' 的面積.
7．（2025·余姚模擬） 不等式組的解集在數軸上可表示為（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知識點】在數軸上表示不等式組的解集；解一元一次不等式組
【解析】【解答】解：7-4x>-1
-4x>-1-7
-4x>-8
x<2
3(x-1)≤6
3x-3≤6
3x≤6+3
3x≤9
x≤3
解集為x<2，由各選項知，C符合要求.
故答案為：C.
【分析】分別求解不等式得不等式的解集，再觀察各選項即可得正確結果.
8．（2025·余姚模擬）已知一個菱形的周長是20，面積是24，則該菱形的兩條對角線的長度之和為（　　）
A．7 B．4 C．14 D．8
【答案】C
【知識點】完全平方公式及運用；菱形的性質
【解析】【解答】解：設菱形的對角線分別為x，y，則由題意可得，即有，
，故x+y=14，即對角線之和為14.
故答案為：C.
【分析】由菱形的性質知對角線與邊長的關系、面積與對角線的關系，再結合完全平方式即可得對角線的長度之和.
9．（2025·余姚模擬） 如圖，一次函數 的圖象與反比例函數 的圖象相交于第一象限內的兩點 A（m，3n），B（m+2，n），且直線 與 x 軸交于點 C，則下列結論中正確的是（　　）
A． B．
C． D．當 時，
【答案】D
【知識點】反比例函數與一次函數的交點問題
【解析】【解答】解： 將點A（m，3n），B（m+2，n）代入一次函數y=-2x+8得，解得，故A(1，6)、B(3，2)
將A(1，6)代入得k=6，故A錯誤，B錯誤；
對于一次函數y=-2x+8，令y=0，得-2x+8=0，得x=4，得C(4，0)，AB=，BC=，即有AB=2ABC，故C錯誤；
觀察圖形知當時，，故D正確.
故答案為：D.
【分析】直接將點A、B從坐標代入一次函數可得m、n的值可得A、B的坐標，代入反比例函數解析式得k的值，求出點C的坐標，利用兩點間的距離公式可得AB、BC的長，即可判斷C，數形結合可知D正確.
10．（2025·余姚模擬） 如圖，在四邊形 ABCD 中，，對角線 AC 和 BD 交于點 E，若 ，，則 BD 長的最小值為（　　）
A．6 B． C．4 D．
【答案】B
【知識點】勾股定理；垂徑定理；圓與四邊形的綜合
【解析】【解答】解：由知，點B、D在以AC為直徑的圓上運動，且AC=AE+CE=2+4=6，即半徑為3.
取BD的中點F，連接OF、OB，易知OE=1，在△OFE中，OF故BDmin=
故答案為：B.
【分析】由題意知B、D在圓上運動，結合垂徑定理知當OF取最大值時，BF取最小值，再由勾股定理得BD的長.
二、填空題（本大題有6小題，每小題3分，共18分）
11．（2025·余姚模擬）分解因式：x2－4x=　 　 ．
【答案】x (x－4)
【知識點】因式分解﹣提公因式法
【解析】 【解答】x2-4x=x（x-4）．
故答案為：x（x-4）．
【分析】首先找出多項式的公因式，然后提取公因式法因式分解即可．
12．（2025·余姚模擬）一個不透明的袋子中，有5個除顏色外完全相同的小球，其中3個紅球，2個白球，隨機摸出一個小球，摸出紅球的概率是　 　.
【答案】
【知識點】概率公式
【解析】【解答】解：隨機摸一個小球共有5種情況，即m=5，摸出紅球的情況有3種，即n=3，故摸出紅球的概率P=
故答案為：.
【分析】隨機摸出1個球有5種情況，摸出紅球的情況有3種，即可得概率.
13．（2025·余姚模擬）已知分式，若當x=1時分式的值為0，則實數α的值為　 　.
【答案】-1
【知識點】分式的值為零的條件
【解析】【解答】解：由題意，即有x+a=0且x≠0，x=1代入得1+a=0，即a=-1.
故答案為：-1.
【分析】由分式的值為0的條件，將x=1代入即可得a的值.
14．（2025·余姚模擬）如圖，AB是半圓O的直徑，點C在半圓上，CD是半圓的切線，cosD=，∠CAB=30° .若CD=6，則AC的長是　 　.
【答案】
【知識點】切線的性質；解直角三角形—三邊關系（勾股定理）；解直角三角形—含30°角直角三角形
【解析】【解答】解：連接OC、CB，
∵CD為切線
∴OC⊥CD
在△OCD中，cosD=，
即有，得OD=10
由勾股定理得OC=
故AB=16
∵AB為直徑
∴∠ACB=90°
在△ABC中，∠BAC=30°，
cos30°=
即有，解得AC=8
故答案為：.
【分析】連接OC右∠OCD=90°，結合cosD的值和勾股定理得OC的長，即知AB的長，在△ABC中，利用30°角的余弦值，可得AC的長.
15．（2025·余姚模擬）“化積為方”是一個古老的幾何學問題，即給定一個長方形，作一個和它面積相等的正方形，這也是證明勾股定理的一種思想方法，如圖所示，在矩形ABCD中（AB>AD），以AD為邊作正方形ADEF，在FE的延長線上取一點G，使得∠DGC=RT∠，過點D作DH⊥DG交AB于點H，過點H作HK⊥GC于點K.若AF=2，BF=3FH，則FH的長為　 　.
【答案】
【知識點】三角形全等的判定；勾股定理；正方形的判定與性質
【解析】【解答】解：∵ADEF為正方形
∴AD=DE，∠ADE=90°
∵DH⊥DG
∴∠HDG=90°
∴∠ADE-∠HDE=∠HDG-∠HDE
∴∠ADH=∠EDG
又∵∠ADG=∠DAH=90°
∴△ADH≌△EDG
又HK⊥CG，∠DGC=90°
∴DHKG為正方形
在矩形ABCD和正方形DHKG中，
即有
設HF=m，則BF=3m，AH=2-m
由勾股定理得DH2=，
于是，解得m=或(舍去)
故答案為：.
【分析】由條件知△ADH≌△EDG，即可得DHKG為正方形，由CDH與矩形ABCD和正方形DHKG的關系知，設HF的長，表達矩形和正方形的面積即可得m的值.
16．（2025·余姚模擬） 已知二次函數y=ax2+2ax+d（a<0）的圖象上有兩點， ， 當 時， 始終有 ， 則 m 的取值范圍是　 　.
【答案】m＜-3或m>2
【知識點】二次函數的對稱性及應用
【解析】【解答】解：二次函數對稱軸為直線x=，如圖所示，點關于對稱軸的對稱點B'(-3，y2)
由圖知，當點A在點B'左側或在點B的右側滿足題意，
①當點A在B'左側時，m<-3；
②當點A在B右側時，m-1>1，即m>2；
故答案為：m＜-3或m>2.
【分析】結合拋物線的對稱軸和點B關于對稱軸的對稱點，分點A在B’左側和B右側2種情況討論，即可得m的取值范圍.
三、解答題（本題共有8小題，第17~21題各8分，第22~23題各10分，第24題12分，共72分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（2025·余姚模擬）
（1）計算：；
（2）解方程：.
【答案】（1）解：原式 ；
（2）解：
，
解得：，.
【知識點】配方法解一元二次方程；實數的混合運算（含開方）；特殊角的三角函數的混合運算
【解析】【分析】(1)求出特殊角的正弦值，同時去絕對值并化簡二次根式，即可得結果；
(2)兩邊同時加1，兩邊同時開方即可得方程的根.
18．（2025·余姚模擬）佳佳計算分式方程 的過程如下：
解方程： 去分母，得 第①步 移項，得 第②步 合并同類項，得 第③步 系數化1，得 第④步 經檢驗， 是該分式方程的解.
（1）佳佳在計算過程中，第一次出現錯誤的步驟是　 　（填序號）；
（2）請你寫出正確的解答過程.
【答案】（1）①
（2）解：去分母、得
1-x=-1-2(x-3)
去括號，得1-x=-1-2x+6
移項，得-x+2x=-1+6-1
合并同類項，得x=4
經檢驗，x=4是該分式方程的解.
【知識點】解分式方程；去分母法解分式方程
【解析】【分析】(1)觀察各步驟知①中，去分母漏乘公因式；
(2)接著第一步，分別去分母化為整式方程，求解方程并檢驗即可得正確結果.
19．（2025·余姚模擬）如圖，平行四邊形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于點E.
（1）尺規作圖：作CF平分∠BCD交AD于點F（不寫作法，保留作圖痕跡）；
（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形.
【答案】（1）解：如圖ABCD是平行四邊形
（2）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴，，，.
∵AE平分，CF平分.
∴，.
∴，（ASA）.
∴，.
又∵，∴，即.
∴四邊形AECF是平行四邊形.
【知識點】平行四邊形的判定與性質；尺規作圖-作角的平分線
【解析】【分析】(1)由角平分線的作圖方法作圖即可；
(2)結合平行線和角平分線的定義可知AF=CE，AF||CE，即可知AECF為平行四邊形.
20．（2025·余姚模擬）觀察下面的等式：
第 1 個等式：，
第 2 個等式：，
第 3 個等式：，
第 4 個等式：，
……
按照以上規律，解決下列問題：
（1）寫出第 5 個等式：　 　；
（2）請你猜想第 n 個等式（用含 n 的式子表示），并證明.
【答案】（1）
（2）解：猜想的第n個等式為；
證明：
.
【知識點】分式的通分；探索數與式的規律；探索規律-等式類規律；異分母分式的加、減法
【解析】【分析】(1)直接由條件規則可得第5個等式；
(2)由題意寫出第n個代數式，根據分式的性質通分，再作減法，即可證明結論.
21．（2025·余姚模擬）某校組織九年級學生參加研學活動，為了確定本次研學的目的地，學校對學生去向意愿進行了摸底調查（A：農家樂；B：科技館；C：大學城）.下面兩幅統計圖反映了抽取的部分學生對研學活動去向意愿的情況，請你根據圖中的信息回答下列問題：
（1）本次調查抽取的學生總人數為 ▲ 人，并補全條形統計圖；
（2）求扇形統計圖中選項B所對應的圓心角度數；
（3）若該校九年級的總人數為250人，試估計選擇去大學城研學的總人數
【答案】（1）解：由圖知A有15人，占比30%，故總數為15；
B中人數為50-15-25=10人
去向選擇人數條形統計圖
（2）解：
（3）解：（人）
答：估計選擇去大學城研學的總人數為125人.
【知識點】扇形統計圖；條形統計圖；用樣本所占百分比估計總體數量
【解析】【分析】(1)由A的人數和占比，即可得總人數；用總人數減去A和C的人數，即可得B的人數，根據人數補全條件統計圖即可；
(2)根據B所占比例，再用360°乘以這個比例即可得圓心角的度數；
(3)根據大學城研學人數比例即可估算九年級去研學的人數.
22．（2025·余姚模擬）綜合與實踐：
背景：當前排球漸漸走入初中生的學習和生活中，排球運動不僅能提升身體素質，還
能促進心理健康，對青少年的身心發展有著諸多益處。
排球的購買與售賣
素材1：為了能讓學生日常鍛煉“排球墊球”體育運動，某中學打算購進一批排球，計劃購買甲品牌的排球35個，乙品牌的排球50個，共花費3550元，已知購買一個甲品牌的排球比購買一個乙品牌的排球少花20元.
素材2：某商店售賣丙品牌排球，進價為每個20元，當前售價為每個36元，每周可售出50個，經市場調查發現，售價每降低3元，每周可多售出15個.
任務1：求購買一個甲品牌、一個乙品牌的排球各需多少元？
任務2：求當一個丙品牌的排球售價為多少元時有最大利潤？最大利潤是多少？
【答案】解：任務1：解：設購買一個甲品牌排球需x元，則購買一個乙品牌排球需(x+20)元.
根據題意，可列方程：35x+50(x+20)=3550
解得：x=30
所以購買一個乙品脾的排球需x+20=30+20=50（元）
答：購買一個甲品牌的排球需30元，購買一個乙品牌的排球需50元.
任務2：解：設當一個丙品牌的排球降價y元時，其利潤為w元.
根據題意、得：w=(36-20-y)(50+y)
=(16-y)50+5y)
=-5y2+30y+800
=-5(y-3)2 +845
所以當y=3，即售價為36-3=33元時利潤w有最大值，最大值為845.
答：當一個丙品牌的排球售價為33元時有最大利潤，最大利潤是845元。
【知識點】一元一次方程的實際應用-銷售問題；二次函數的實際應用-銷售問題
【解析】【分析】任務1：由題意設甲排球為x元，則乙排球為x+20元，列出方程，求解方程即可得兩者的價格；
任務2：設丙降價y元，可得利潤與y的關系，配方可知當y=3時，利潤取最大值，代入即可得最大利潤.
23．（2025·余姚模擬）在平面直角坐標系中，二次函數的表達式為 ，其中 .
（1）若此函數圖象過點 （2， 5），求這個二次函數的表達式；
（2）若 ， 為此二次函數圖象上不同的兩個點，當 時，，求 m 的值；
（3）若點 （-1， t） 在此二次函數圖象上，當 時，y 隨 x 的增大而增大，求 t 的取值范圍.
【答案】（1）解： 把點 (2，5) 代入到二次函數的表達式 中，得： .
化簡得： ，聯立方程組：
，
解得：
所以二次函數的表達式為 ；
（2）解：∵，∴，∴.
∵，∴，解得：
（3）解：由題意得： 且 ，解得： .
由 ，把 (-1，t) 代入整理得 ，∴.
【知識點】二次函數的最值；待定系數法求二次函數解析式
【解析】【分析】(1)將點(2，5)代入二次函數表達式，結合條件組成二元一次方程組，即可得二次函數表達式；
(2)由條件知二次函數兩點關于對稱軸對稱，求出對稱軸，即可得m的值；
(3)由開口方向和增減性，可知t的范圍.
24．（2025·余姚模擬）如圖，點D是Rt△ABC斜邊AB上的一點，以BD為直徑的圓⊙O交邊AC于E，F兩點，連結DE，BE，BF，并且BE平分∠DBF，
（1）求證： △BCF∽△BED ；
（2）若DE=2.5，CF=2，求BC的長；
（3）若BD=2AD，BF =8，求CF的長.
【答案】（1）證明：∵四邊形BDEF內接于MI. ∴∠EDF+ ∠EFB =180°，
∵∠CFB + ∠EFB =180°， ∴∠EDB = ∠CFB.
∵BD是A徑. ∴∠BED=90° . ∠C=90°， ∴∠BED= ∠C.
∴△BCF∽△BED ：
（2）解：∵BE平分，∴，∴EF = DE = 2.5
∵，∴.
設，則，.
根據勾股定理，得.
解得：，∴
（3）解：如圖，連結 OE .
平分 ，.
，.
，.
又 ，.
設 ，圓 O 的半徑為 r ，則 .
∵四邊形 BDEF 內接于圓O，.
，.
，即 ，解得：.
，.
.
【知識點】圓內接四邊形的性質；相似三角形的判定；相似三角形的性質-對應邊
【解析】【分析】(1)由圓內接四邊形的性質知∠BFC=∠BDE，再由∠BED=∠C，即可得 △BCF∽△BED ；
(2)結合(1)中相似可得BC與BE的比值，再由勾股定理可得BC的長；
(3)連接OE知OE||BC可得AF與EF的比值，再結合和，即可得CF的長.
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