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2025-2026 學年重慶市南開中學高一（上）開學數(shù)學試卷
一、單選題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.設全集 ， ， 或 ，則 ( )
A. B. C. D.
2.若集合 ， ，且 ，則實數(shù) 的值( )
A. B. C. 或 D. 或 或
3.關于 的一元二次方程 有實數(shù)根，則實數(shù) 的取值范圍是( )
A. 且 B. C. 且 D.
4.如圖，曲線表示一只蝴蝶在飛行過程中離地面的高度 隨行時間 的變化
情況，則這只蝴蝶飛行的最高高度約為( )
A.
B.
C.
D.
5.用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第 個圖案中有 個正方形，第 個圖案中有 個正方形，第
個圖案中有 個正方形，第 個圖案中有 個正方形，此規(guī)律排列下去，則第 個圖案中正方形的個數(shù)
為( )
A. B. C. D.
6.估計 的值應在( )
A. 和 之間 B. 和 之間 C. 和 之間 D. 和 之間
7.有三支股票 ， ， ， 位股民的持有情況如下：每位股民至少持有其中一支股票．在不持有 股票
的人中，持有 股票的人數(shù)是持有 股票的人數(shù)的 倍．在持有 股票的人中，只持有 股票的人數(shù)比除
了持有 股票外，同時還持有其它股票的人數(shù)多 在只持有一支股票的人中，有一半持有 股票．則只持
有 股票的股民人數(shù)是( )
A. B. C. D.
8.方程 的實根的個數(shù)為( )
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A. B. C. D.
二、多選題：本題共 4 小題，共 24 分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.設 為全集，下列選項中能推出 的有( )
A. B. C. D.
10.定義一個集合 的所有子集組成的集合叫做集合 的冪集，記為 ，用 表示有限集 的元素
個數(shù)，則下列命題中正確的是( )
A.對于任意集合 ，都有
B.若 ，則
C.若 ，則
D.若 ，則
11.已知 ， ， ，則 的取值不可能是( )
A. B. C. D.
12.有 個依次排列的整式：第 項是 ，用第 項乘以 ，所得之積記為 ，將第 項加上
得到第 項，再將第 項乘以 得到 ，將第 項加上 得到第 項，以此類推；下列
說法正確的是( )
A.第 項為 B.
C.若第 項的值為 ，則 D.當 時，第 項的值為
三、填空題：本題共 4 小題，每小題 5 分，共 20 分。
13.如圖，已知全集 ，集合 ， 或 ，
則圖中陰影部分表示的集合的真子集個數(shù)為______．
14.對于任意集合 ， ，定義： ，且 已知集合 ，
，則 ______．
15.A、 、 、 、 五個隊進行單循環(huán)賽 單循環(huán)賽制是指所有參賽隊在競賽中均能相遇一次 ，勝一
場得 分，負一場得 分，平局各得 分 若 隊 勝 負， 隊得 分， 隊得 分， 隊勝了 隊，則
隊得分為______．
16.已知有限集合 ，定義集合 中的元素個數(shù)為
集合 的“容量”，記為 若集合 ，則 ______；若集合
，且 ，則正整數(shù) 的值是______．
四、解答題：本題共 6 小題，共 66 分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
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17. 本小題 分
解下列各題：
化簡： ；
因式分解： ；
計算： ．
18. 本小題 分
已知關于 的方程 有兩個實數(shù)根 ， ．
若 ，求 的值；
若 ，求實數(shù) 的值．
19. 本小題 分
已知集合 或 ， ．
若 ，求 的取值范圍；
若 ，且 ，求 的取值范圍．
20. 本小題 分
已知一次函數(shù) 的圖象與反比例函數(shù) 的圖象相交于點 ， ．
求一次函數(shù)的表達式，并在圖中畫出這個一次函數(shù)的圖象；
根據(jù)函數(shù)圖象，直接寫出不等式 的解集；
若點 是點 關于 軸的對稱點，連接 ， ，求 的面積．
21. 本小題 分
若一個四位數(shù) 的個位數(shù)字與十位數(shù)字的平方和恰好是 去掉個位與十位數(shù)字后得到的兩位數(shù)，則這個四
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位數(shù) 為“勾股和數(shù)”．
例如： ， ， 是“勾股和數(shù)”；
又如： ， ， ， 不是“勾股和數(shù)”．
判斷 ， 是否是“勾股和數(shù)”，并說明理由；
一個“勾股和數(shù)” 的千位數(shù)字為 ，百位數(shù)字為 ，十位數(shù)字為 ，個位數(shù)字為 ，記 ，
當 ， 均是整數(shù)時，求出所有滿足條件的 ．
22. 本小題 分
設集合 為 元數(shù)集，若 的 個非空子集 ， 滿足： ， ，則稱 ， 為 的
一個二階劃分 記 中所有元素之和為 ， 中所有元素之和為 ．
Ⅰ 若 ，求 的一個二階劃分，使得 ；
Ⅱ 若 求證：不存在 的二階劃分 ， 滿足 ；
Ⅲ 若 ， ， ， 為 的一個二階劃分，滿足： 若 ，則 ；
若 ，則 ．
記 為符合條件的 的個數(shù)，求 的解析式．
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參考答案
1.
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13.
14.
15.
16.
17.解： 原式 ；
原式 ；
原式 ．
18.解： 當 時，原方程為 ，判別式 ，
， ，
；
根據(jù)題意， ，解得 ，
， ，
由 ，得 ，
解得 舍去 ，或 ，
所以實數(shù) 的值為 ．
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19.解： 集合 或 ， ．
．
， A.
當 時， ，得 ，符合題意．
當 時， ，解得 ．
的取值范圍為 ；
由題意得 ，由 可知 ，得 ．
當 ，即 時， ，
，得 ， ．
當 時，即 時， ，
，得 ， ．
當 ，即 時， ，不符合題意．
故 的取值范圍為 ．
20.解： 依題意， ， ，
解得 ， ，
， ，
一次函數(shù) 的圖象過 點和 點，
，解得 ，
一次函數(shù)的表達式為 ，描點作圖如下圖；
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由 中的圖象可得，不等式 的解集為： 或 ；
由題意作圖如下圖：
由圖知 中 邊上的高為 ， ，
．
21.解： ， ，
不是“勾股和數(shù)”，
，
是“勾股和數(shù)”；
為“勾股和數(shù)”，
，
，
為整數(shù)，
，
為整數(shù)，
為 的倍數(shù)，
為 的倍數(shù)，
當 ， 時， ；
當 ， 時， ；
當 ， 時， ，
當 ， 時， ．
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22.解： Ⅰ 因為 ，
所以 ，
所以 ，即可知 ，
因為 ， ，
所以 ；
Ⅱ 證明：假設存在符合條件的一個二階劃分 ， 滿足 ，
則 ，從而 是 的倍數(shù)，
又 ，所以 ，
因為 不能被 整除，所以 不是 的倍數(shù)，
所以假設不成立，
所以不存在 的二階劃分 ， 滿足 ；
Ⅲ 任取偶數(shù) ，將 除以 ，若商仍為偶數(shù)，再除以 ， ，經(jīng)過 次以后，
商必為奇數(shù)，此時記商為 ，即 ，其中 為奇數(shù)，
因為 ，則 ，即 ，
所以若 ， 為奇數(shù)時， ，即 ；當 為偶數(shù)時， ，
所以 中的任意一個偶數(shù) 的位置都是確定的，且與 的位零相關，
所以可知 是由 中的奇數(shù) ， ， ， 的位置確定，
設 表示 中所有的奇數(shù)的集合，則 等于 的子集的個數(shù)，
當 是偶數(shù)時， 中的奇數(shù)個數(shù)有 個，此時 的子集個數(shù)有 個，即 ，
當 是奇數(shù)時， 中的奇數(shù)個數(shù)有 個，此時 的子集個數(shù)有 個，即 ，
所以 ．
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