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2025-2026學年廣西來賓高級中學高二（上）開學數學試卷
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.若復數滿足，則復數的虛部為( )
A. B. C. D.
2.一個樣本，，，的平均數是，且、是方程的兩根，則這個樣本的方差是( )
A. B. C. D.
3.如圖，為的邊上的中線，且，那么為( )
A.
B.
C.
D.
4.已知在中，，，，則的面積為( )
A. B. C. D.
5.某同學統計了自年以來，中國代表隊在歷屆奧運會獲得金牌數如下不含中國香港、中國臺灣：，，，，，，，則這組數據的分位數為( )
A. B. C. D.
6.從、、、這四個數中一次隨機取兩個，則取出的這兩數字之和為偶數的概率是( )
A. B. C. D.
7.已知非零向量，滿足，且，則與的夾角為( )
A. B. C. D.
8.已知正四棱錐的所有頂點都在同一個球面上，若該棱錐的高為，底面邊長為，則球的體積為( )
A. B. C. D.
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.以下關于統計學中數字特征的說法，正確的是( )
A. 若一組數據，，，，的平均數為，給這組數據中的每個數都加上一個常數，新數據的平均數為
B. 方差是用來衡量一組數據波動大小的量，若數據，，，，的方差為，則，，，，為非零常數的方差為
C. 眾數是一組數據中出現次數最多的數．對于數據，，，，，，，眾數是
D. 數據，，，，，，中位數是；對于數據，，，，，中位數是
10.已知的內角，，的對邊分別為，，，則如下判斷正確的是( )
A. 若，則
B. 若，則為等腰三角形或直角三角形
C. 若，則是銳角三角形
D. 若，，，則符合條件的有兩個
11.如圖，在棱長為的正方體中，，分別為棱，的中點，則( )
A. 直線與是異面直線
B. 直線與所成的角是
C. 直線平面
D.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.某單位有男職工人，女職工人，若根據性別采取分層抽樣的方法，從中抽取一個容量為的樣本，則女職工應抽取的人數為______．
13.甲、乙兩人獨立的解同一道題，甲、乙解對題的概率分別是，，那么兩人都解錯的概率是______．
14.銳角的內角，，的對邊分別為，，，，則的取值范圍為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題分
已知平面向量，，．
求與的夾角的正弦值；
若在上的投影向量是，求實數．
16.本小題分
記的內角、、的對邊分別為、、，已知．
求；
若，，求的面積．
17.本小題分
如圖，在四棱錐中，底面，底面是邊長為的正方形，，，分別是，的中點．
求證：平面；
求證：平面；
求與平面所成角的正弦值．
18.本小題分
為了解某校高一年級學生數學學習的階段性表現，年級組織了一次階段測試已知此次考試共有名學生參加，考試成績的頻率分布直方圖如圖所示同一組中的數據以該區間的中點值為代表．
求的值；
估計這次數學考試成績的眾數、中位數和平均數結果保留兩位小數；
估計該校學生的數學成績的第百分位數結果保留兩位小數．
19.本小題分
某課程考核分理論與實驗兩部分進行，每部分考核成績只記“合格”與“不合格”，兩部分考核都“合格”則該課程考核“合格”甲、乙、丙三人在理論考核中合格的概率分別為、、；在實驗考核中合格的概率分別為、、所有考核是否合格相互之間沒有影響．
Ⅰ求甲、乙、丙三人在理論考核中至少有兩人合格的概率；
Ⅱ求這三人該課程考核都合格的概率結果保留三位小數．
參考答案
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10.
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13.
14.
15.因為，，，
所以，，
所以，
所以，
即與的夾角的正弦值為；
由題意知，，
所以，
，
因為在上的投影向量是，
所以，
則，解得．
16.根據題意可知，及正弦定理可得，
即，由余弦定理可得，
因為，故；
因為，即，
所以的面積為．
17.證明：若為的中點，連接，，又，分別是，的中點，
所以且，而底面是正方形，
則且，
所以，，故EFGD為平行四邊形，即，
由平面，平面，則平面；
證明：由及，則，而，故FG，
由底面，底面，則，
所以，
由底面是正方形，則，
所以，是的中點，則，
由且都在面平面內，故FG平面；
解：由底面，，底面，則，，
又，，，
所以，
則，
令棱錐的高為，又，
所以，
即，解得，
又，
故GA與平面所成角的正弦值為．
18.解：由評論分布直方圖的性質可得，解得．
由頻率分布直方圖知：眾數為，
，，
故中位數位于內，設中位數為，
則有，解得．
中位數為．
平均數為．
成績小于分所占的比例為，
成績小于分所占的比例為，
第百分位數在內，
第百分位數為．
19.記“甲理論考核合格”為事件；
“乙理論考核合格”為事件；“丙理論考核合格”為事件；
記為的對立事件，，，；記“甲實驗考核合格”為事件；
“乙實驗考核合格”為事件；“丙實驗考核合格”為事件；
Ⅰ記“理論考核中至少有兩人合格”為事件，
理論考核中至少有兩人合格的概率為
Ⅱ記“三人該課程考核都合格”為事件
這三人該課程考核都合格的概率為
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