資源簡介

(共65張PPT)
第1課時
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
<<<
空間中點、直線和
平面的向量表示
1.會用向量語言描述直線和平面.
2.理解直線的方向向量和平面的法向量.
3.會求直線的方向向量和平面的法向量.(重點)
學習目標
我們知道，點、直線和平面是空間的基本圖形，點、線段和平面圖形等是組成空間幾何體的基本元素.因此，為了用空間向量解決立體幾何問題，首先要用向量表示空間中的點、直線和平面.本節我們就來研究如何用空間向量表示空間中的點、直線和平面.
導 語
一、空間中點的向量和直線的向量表示
二、空間中平面的向量表示
課時對點練
隨堂演練
內容索引
空間中點的向量和直線的向量表示
一
提示　在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示，我們把向量稱為點P的位置向量.
在空間中，如何用向量表示空間中的一個點？
問題1
空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用向量表示直線l？
問題2
提示　如圖1，a是直線l的方向向量，在直線l上取=a，設P是直線l上的任意一點，由向量共線的條件可知，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得=ta，即=t.如圖2，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使=+ta， ①
將=a代入①式，得=+t. ②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.
1.設A是直線l上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取=a，設P是直線l上任意一點，
(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得= ，即= .
(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使=+ ，即=+ .
2.空間任意直線都可以由直線上一點及直線的 唯一確定.
ta
ta
方向向量
t
t
(1)空間中，一個向量成為直線l的方向向量，必須具備以下兩個條件：①是非零向量；②向量所在的直線與l平行或重合.
(2)與直線l平行或重合的任意非零向量a都是直線l的方向向量，且直線l的方向向量有無數個.
注 意 點
<<<
(1)在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為　　　 　，直線BC1的一個方向向量為　　 　　.
例 1
(0，0，1)
(0，1，1)(答案不唯一)
因為DD1∥AA1=(0，0，1)，
故直線DD1的一個方向向量為(0，0，1)；
因為BC1∥AD1=(0，1，1)，
故直線BC1的一個方向向量為(0，1，1).
解析
(2)已知直線l的一個方向向量m=(2，-1，3)，且直線 l 過 A(0，y，3)和
B(-1，2，z)兩點，則y-z等于
A.0 B.1 C. D.3
√
∵A(0，y，3)，B(-1，2，z)，
∴=(-1，2-y，z-3)，
∵直線l的一個方向向量為m=(2，-1，3)，
故設=km.
∴
∴y-z=0.
解析
理解直線方向向量的概念
(1)直線上任意兩個不同的點確定的向量都可以作為直線的方向向量.
(2)直線的方向向量不唯一.
反
思
感
悟
　(1)(多選)若M(1，0，-1)，N(2，1，2)在直線l上，則下列可作為直線l方向向量的是
A.(2，2，6) B.(1，1，3)
C.(3，1，1) D.(-3，0，1)
跟蹤訓練 1
√
√
∵=(1，1，3)，M，N在直線l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作為直線l的方向向量.
解析
(2)已知向量a=(2，-1，3)，b=(-4，2x2，6x)都是直線l的方向向量，則x的值是
A.-1 B.1或-1 C.-3 D.1
√
由題意知a∥b，則設b=λa，λ∈R，
即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)，
所以解得x=-1.
解析
二
空間中平面的向量表示
1.如圖，設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，兩條直線確定的平面為α，P為平面α內任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得= .
2.如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使=+ + .我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.
xa+yb
x
y
3.空間中任意平面由空間一點及兩個 向量唯一確定.如圖，直線l⊥ α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的 .給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·=0}.
不共線
法向量
(1)平面α的法向量為非零向量.
(2)平面α的法向量垂直于平面α內的所有向量.
(3)一個平面的法向量有無限多個，它們都是平行向量.
注 意 點
<<<
　(課本例1)　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中點.以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.
(1)求平面BCC1B1的法向量；
例 2
因為y軸垂直于平面BCC1B1，
所以n1=(0，1，0)是平面BCC1B1的一個法向量.
解
(2)求平面MCA1的法向量.
因為AB=4，BC=3，CC1=2，M是AB的中點，所以M，C，A1的坐標分別為(3，2，0)，(0，4，0)，(3，0，2).
因此=(-3，2，0)=(0，-2，2).
設n2=(x，y，z)是平面MCA1的法向量，
則n2⊥n2⊥.
所以所以
取z=3，則x=2，y=3.
于是n2=(2，3，3)是平面MCA1的一個法向量.
解
　已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=2，AD=1.在如圖所示的空間直角坐標系中，分別求平面SCD和平面SAB的一個法向量.
例 2
答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即為該平面的法向量).
∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，
∴=(1，2，0)=(-1，0，2)，
設平面SCD的法向量為n=(x，y，z)，
則
令x=1，則y=-z=∴n=
即平面SCD的一個法向量為n=
∵x軸⊥平面SAB，∴m=(1，0，0)即為平面SAB的一個法向量.
解
求平面法向量的步驟
(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內兩個不共線向量，如.
(2)設平面的法向量為n=(x，y，z).
(3)聯立方程組并求解.
(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定一個坐標為常數(常數不能為0)便可得到平面的一個法向量.
反
思
感
悟
　在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為棱A1D1， A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：
(1)平面BDD1B1的一個法向量；
跟蹤訓練 2
設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則D(0，0，0)，B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2).
設平面BDD1B1的法向量為n=(x1，y1，z1)，
∵=(2，2，0)=(0，0，2)，
∴
令x1=1，則y1=-1，z1=0，
∴平面BDD1B1的一個法向量為n=(1，-1，0).(答案不唯一)
解
(2)平面BDEF的一個法向量.
設平面BDEF的法向量為m=(x2，y2，z2).
∵=(2，2，0)=(1，0，2)，
∴
令x2=2，則y2=-2，z2=-1，
∴平面BDEF的一個法向量為m=(2，-2，-1).(答案不唯一)
解
1.知識清單：
(1)空間中點、直線、平面的向量表示.
(2)直線的方向向量.
(3)平面的法向量.
2.方法歸納：待定系數法、賦值法.
3.常見誤區：不理解直線的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.(多選)下列各式中，k為實數，可以判定點P在直線AB上的是
A.=+k B.=+k
C.=+k D.=+k
√
√
由點P在直線上的充要條件可得，A，B符合題意.
解析
1
2
3
4
2.在空間直角坐標系中，直線l過點A(1，0，-1)且以μ=(3，2，4)為方向向量，M(x，y，z)為直線l上的任意一點，則點M的坐標滿足的關系式是
A.== B.==
C.== D.==
√
由題意得=(x-1，y，z+1)∥μ，
則==.
解析
1
2
3
4
3.若n=(2，-3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的一個法向量的是
A.(0，-3，1) B.(2，0，1)
C.(-2，-3，1) D.(-2，3，-1)
√
由題意可得要求平面α的一個法向量，
即求與n共線的一個向量.
易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1).
解析
1
2
3
4
4.已知平面α經過點O(0，0，0)，且e=(1，2，-3)是α的一個法向量，
M(x，y，z)是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是　　　　　　.
由題意得e⊥
則·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0，
故x+2y-3z=0.
解析
x+2y-3z=0
課時對點練
四
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6
答案 D A C B BCD
題號 9 10 11 12
答案 AC AD A 2∶3∶(-4)
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)，
即(-2，2，-2)為直線BC的一個方向向量.(答案不唯一)
(2)由題意得=(x-2，y-2，z-2)，
∵是平面α的法向量，則·=0，
即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0.
∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.
化簡得x-y+z-2=0.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)，
D1(0，0，3)，A1(6，0，3)，
所以=(0，0，3)，
因為DD1⊥平面ABCD，
所以為平面ABCD的一個法向量，
所以平面ABCD的一個法向量為=(0，0，3).(答案不唯一)
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)設平面ACC1A1的法向量為m=(x，y，z)，
因為=(-6，2，0)，=(0，0，3)，
所以
令x=1，則m=(1，3，0)，
所以平面ACC1A1的一個法向量為m=(1，3，0).(答案不唯一)
基礎鞏固
1.棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1在空間直角坐標系中的位置如圖所示，則直線DB1的一個方向向量為
A.(1，1，0) B.(1，0，1)
C.(0，0，1) D.(1，1，1)
√
由題意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以=(1，1，1)，即直線DB1的一個方向向量是(1，1，1).
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.已知直線l的一個方向向量m=(3，-2，1)，且直線l經過A(a，2，-1)和B(-2，3，b)兩點，則a+b等于
A.-2 B.-1
C.1 D.2
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為=(-2-a，1，b+1)，直線l的一個方向向量為m=(3，-2，1)，所以與m共線，所以==，解得a=-，b=-，所以a+b=-2.
解析
3.已知平面α內有兩點M(-2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一個法向量為n=(6，a，6)，則a等于
A.- B.
C.-24 D.24
√
由題可得=(4，1，0)，因為平面α的一個法向量為n=(6，a，6)，所以n⊥，
所以n·=(6，a，6)·(4，1，0)=6×4+a×1+6×0=0，解得a=-24.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.已知平面α內有一個點A(2，-1，2)，它的一個法向量為n=(3，1，2)，則下列點P中，在平面α內的是
A.(1，-1，1) B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
對于選項A，=(1，0，1)，
則·n=(1，0，1)·(3，1，2)=5≠0，故排除A；
對于選項B，=，
則·n=·(3，1，2)=0，故B正確；
同理可排除C，D.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.(多選)已知空間中A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(-1，2，1)三點，則下列說法正確的是
A.與是共線向量
B.與同向的單位向量是
C.在方向上的投影向量是(-2，-1，0)
D.平面ABC的一個法向量是(1，-2，5)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=(2，1，0)，=(-1，2，1)，=(-3，1，1)，
若共線，
設=λ
方程無解，故不共線，A錯誤；
與==，B正確；
·=·=(-2，-1，0)，C正確；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設平面ABC的法向量是n=(x，y，z)，
則
令y=-2，則n=(1，-2，5)，D正確.
解析
6.在空間直角坐標系中，兩平面α與β分別以n1=(2，1，1)與n2=(0，2，1)
為其法向量，若α∩β=l，則直線l的一個方向向量為___________________
______.(寫出一個方向向量的坐標)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(答案不
唯一)
設直線l的方向向量為d=(x，y，z)，
則
令y=1，則z=-2，x=，所以直線l的一個方向向量為d=.
解析
7.已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，-2).
(1)寫出直線BC的一個方向向量；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵B(2，0，0)，C(0，2，-2)，∴=(-2，2，-2)，
即(-2，2，-2)為直線BC的一個方向向量.(答案不唯一)
解
(2)設平面α經過點A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α內的任意一點，試寫出x，y，z滿足的關系式.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由題意得=(x-2，y-2，z-2)，
∵是平面α的法向量，
則·=0，
即(-2，2，-2)·(x-2，y-2，z-2)=0.
∴-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0.
化簡得x-y+z-2=0.
解
8.如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，AD=6，AA1=3，建立適當的空間直角坐標系，求下列平面的一個法向量：
(1)平面ABCD；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D(0，0，0)，A(6，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，3)，A1(6，0，3)，
所以=(0，0，3)，
因為DD1⊥平面ABCD，
所以為平面ABCD的一個法向量，
所以平面ABCD的一個法向量為
=(0，0，3).(答案不唯一)
解
(2)平面ACC1A1.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設平面ACC1A1的法向量為m=(x，y，z)，
因為=(-6，2，0)，=(0，0，3)，
所以
令x=1，則m=(1，3，0)，
所以平面ACC1A1的一個法向量為
m=(1，3，0).(答案不唯一)
解
9.(多選)在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD-A1B1C1D1是棱長為1的正方體，下列結論中正確的是
A.直線BD1的一個方向向量為(-2，2，2)
B.直線BD1的一個方向向量為(2，2，2)
C.平面B1CD1的一個法向量為(1，1，1)
D.平面B1CD的一個法向量為(1，-1，-1)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
綜合運用
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由題意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).
對于A，B項，可知=(-1，1，1)，
所以向量(-2，2，2)為直線BD1的一個方向向量，故A正確，B不正確；
對于C項，設平面B1CD1的法向量為n=(x，y，z)，則
又=(0，-1，1)，=(-1，0，1)，
所以
令x=1，可得n=(1，1，1)，故C正確；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
對于D項，設平面B1CD的法向量為m=(a，b，c)，則
又=(0，-1，1)，=(-1，0，0)，
所以
令b=1，得m=(0，1，1)，故D不正確.
解析
10.(多選)已知直線l1的方向向量a=(2，4，x)，直線l2的方向向量b=(2，y，2)，若|a|=6，且a⊥b，則x+y的值是
A.1 B.-1
C.3 D.-3
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為|a|==6，所以x=±4.
因為a⊥b，所以a·b=2×2+4y+2x=0，
即y=-1-x，所以當x=4時，y=-3；
當x=-4時，y=1.所以x+y=1或x+y=-3.
解析
11.從點A(2，-1，7)沿向量a=(8，9，-12)的方向取線段長||=34，則B點的坐標為
A.(18，17，-17) B. (-14，-19，17)
C. D.
√
綜合運用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設B點坐標為(x，y，z)，
則=λa(λ>0)，
即(x-2，y+1，z-7)=λ(8，9，-12)，
因為||=34，
即=34，解得λ=2，
所以x=18，y=17，z=-17.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12.若A，B，C是平面α內三點，設平面α的法向量為a=(x，y，z)，則x∶y∶z=　 　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由已知得，=，=，
∵a是平面α的法向量，∴a·=0，a·=0，
即
∴x∶y∶z=y∶y∶=2∶3∶(-4).
解析
2∶3∶(-4)
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
<<<作業8　空間中點、直線和平面的向量表示
分值：80分
單選題每小題5分，共25分；多選題每小題6分，共18分
1. 棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1在空間直角坐標系中的位置如圖所示，則直線DB1的一個方向向量為
A.(1，1，0)
B.(1，0，1)
C.(0，0，1)
D.(1，1，1)
2.已知直線l的一個方向向量m＝(3，－2，1)，且直線l經過A(a，2，－1)和B(－2，3，b)兩點，則a＋b等于
A.－2 B.－1 C.1 D.2
3.已知平面α內有兩點M(－2，3，1)，N(2，4，1)，若平面α的一個法向量為n＝(6，a，6)，則a等于
A.－ B. C.－24 D.24
4.已知平面α內有一個點A(2，－1，2)，它的一個法向量為n＝(3，1，2)，則下列點P中，在平面α內的是
A.(1，－1，1) B.
C. D.
5.(多選)已知空間中A(0，0，0)，B(2，1，0)，C(－1，2，1)三點，則下列說法正確的是
A.與是共線向量
B.與同向的單位向量是
C.在方向上的投影向量是(－2，－1，0)
D.平面ABC的一個法向量是(1，－2，5)
6.在空間直角坐標系中，兩平面α與β分別以n1＝(2，1，1)與n2＝(0，2，1)為其法向量，若α∩β＝l，則直線l的一個方向向量為　　　　　　　　.(寫出一個方向向量的坐標)
7.(13分)已知A(2，2，2)，B(2，0，0)，C(0，2，－2).
(1)寫出直線BC的一個方向向量；(5分)
(2)設平面α經過點A，且是α的法向量，M(x，y，z)是平面α內的任意一點，試寫出x，y，z滿足的關系式.(8分)
8. (14分)如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝6，AA1＝3，建立適當的空間直角坐標系，求下列平面的一個法向量：
(1)平面ABCD；(7分)
(2)平面ACC1A1.(7分)
9. (多選)在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD－A1B1C1D1是棱長為1的正方體，下列結論中正確的是
A.直線BD1的一個方向向量為(－2，2，2)
B.直線BD1的一個方向向量為(2，2，2)
C.平面B1CD1的一個法向量為(1，1，1)
D.平面B1CD的一個法向量為(1，－1，－1)
10.(多選)已知直線l1的方向向量a＝(2，4，x)，直線l2的方向向量b＝(2，y，2)，若|a|＝6，且a⊥b，則x＋y的值是
A.1 B.－1
C.3 D.－3
11.從點A(2，－1，7)沿向量a＝(8，9，－12)的方向取線段長||＝34，則B點的坐標為
A.(18，17，－17) B. (－14，－19，17)
C. D.
12.若A，B，C是平面α內三點，設平面α的法向量為a＝(x，y，z)，則x∶y∶z＝　　　　　　.
答案精析
1.D　[由題意知D(0，0，0)，B1(1，1，1)，所以＝(1，1，1)，即直線DB1的一個方向向量是(1，1，1).]
2.A　[因為＝(－2－a，1，b＋1)，直線l的一個方向向量為m＝(3，－2，1)，所以與m共線，
所以，
解得a＝－，b＝－，
所以a＋b＝－2.]
3.C　[由題可得＝(4，1，0)，因為平面α的一個法向量為n＝(6，a，6)，
所以n⊥，
所以n·＝(6，a，6)·(4，1，0)
＝6×4＋a×1＋6×0＝0，
解得a＝－24.]
4.B　[對于選項A，＝(1，0，1)，
則·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；
對于選項B，，
則·n＝·(3，1，2)＝0，故B正確；同理可排除C，D.]
5.BCD　[＝(2，1，0)，
＝(－1，2，1)，＝(－3，1，1)，
若與共線，
設＝λ，則
方程無解，故與不共線，A錯誤；
與同向的單位向量是
，B正確；
在方向上的投影向量是··＝(－2，－1，0)，C正確；
設平面ABC的法向量是
n＝(x，y，z)，
則
令y＝－2，則n＝(1，－2，5)，D正確.]
6.(答案不唯一)
解析　設直線l的方向向量為
d＝(x，y，z)，
則所以
令y＝1，則z＝－2，x＝，
所以直線l的一個方向向量為
d＝.
7.解　(1)∵B(2，0，0)，C(0，2，－2)，
∴＝(－2，2，－2)，
即(－2，2，－2)為直線BC的一個方向向量.(答案不唯一)
(2)由題意得＝(x－2，y－2，z－2)，
∵是平面α的法向量，
則·＝0，
即(－2，2，－2)·(x－2，y－2，z－2)＝0.
∴－2(x－2)＋2(y－2)－2(z－2)＝0.
化簡得x－y＋z－2＝0.
8.解　(1)以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線
分別為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D(0，0，0)，
A(6，0，0)，
C(0，2，0)，
D1(0，0，3)，
A1(6，0，3)，
所以＝(0，0，3)，
因為DD1⊥平面ABCD，
所以為平面ABCD的一個法向量，
所以平面ABCD的一個法向量為
＝(0，0，3).(答案不唯一)
(2)設平面ACC1A1的法向量為
m＝(x，y，z)，
因為＝(－6，2，0)，
＝(0，0，3)，
所以
令x＝1，則m＝(1，3，0)，
所以平面ACC1A1的一個法向量為
m＝(1，3，0).(答案不唯一)
9.AC　[由題意，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，
C(1，1，0)，D(0，1，0)，D1(0，1，1).
對于A，B項，可知＝(－1，1，1)，
所以向量(－2，2，2)為直線BD1的一個方向向量，故A正確，B不正確；
對于C項，設平面B1CD1的法向量為n＝(x，y，z)，則
又＝(0，－1，1)，
＝(－1，0，1)，
所以
令x＝1，可得n＝(1，1，1)，故C正確；
對于D項，設平面B1CD的法向量為m＝(a，b，c)，則
又＝(0，－1，1)，
＝(－1，0，0)，
所以
令b＝1，得m＝(0，1，1)，
故D不正確.]
10.AD　[因為|a|＝＝6，所以x＝±4.因為a⊥b，
所以a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，
即y＝－1－x，
所以當x＝4時，y＝－3；
當x＝－4時，y＝1.
所以x＋y＝1或x＋y＝－3.]
11.A　[設B點坐標為(x，y，z)，
則＝λa(λ>0)，
即(x－2，y＋1，z－7)＝λ(8，9，－12)，
因為||＝34，
即＝34，
解得λ＝2，
所以x＝18，y＝17，z＝－17.]
12.2∶3∶(－4)
解析　由已知得，，
，
∵a是平面α的法向量，
∴a·＝0，a·＝0，
即
解得
∴x∶y∶z＝y∶y∶
＝2∶3∶(－4).1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
第1課時　空間中點、直線和平面的向量表示
學習目標　1.會用向量語言描述直線和平面.2.理解直線的方向向量和平面的法向量.3.會求直線的方向向量和平面的法向量.
一、空間中點的向量和直線的向量表示
問題1　在空間中，如何用向量表示空間中的一個點？
問題2　空間中給定一個點A和一個方向就能唯一確定一條直線l.如何用向量表示直線l？
知識梳理
1.設A是直線l上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取＝a，設P是直線l上任意一點，
(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得＝　　　　，即＝　　　　　.
(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使＋　　　　，即＋　　　　　.
2.空間任意直線都可以由直線上一點及直線的　　　　　唯一確定.
例1　(1)在如圖所示的空間直角坐標系中，ABCD－A1B1C1D1為正方體，棱長為1，則直線DD1的一個方向向量為　　　，直線BC1的一個方向向量為　　　　.
(2)已知直線l的一個方向向量m＝(2，－1，3)，且直線 l 過 A(0，y，3)和B(－1，2，z)兩點，則y－z等于(　　)
A.0 B.1 C. D.3
反思感悟　理解直線方向向量的概念
(1)直線上任意兩個不同的點確定的向量都可以作為直線的方向向量.
(2)直線的方向向量不唯一.
跟蹤訓練1　(1)(多選)若M(1，0，－1)，N(2，1，2)在直線l上，則下列可作為直線l方向向量的是(　　)
A.(2，2，6) B.(1，1，3)
C.(3，1，1) D.(－3，0，1)
(2)已知向量a＝(2，－1，3)，b＝(－4，2x2，6x)都是直線l的方向向量，則x的值是(　　)
A.－1 B.1或－1
C.－3 D.1
二、空間中平面的向量表示
1. 如圖，設兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，兩條直線確定的平面為α，P為平面α內任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序實數對(x，y)，使得＝　　　　　　　.
2. 如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內的充要條件是存在實數x，y，使＋　　 ＋　　 .我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式.
3. 空間中任意平面由空間一點及兩個　　　　向量唯一確定.如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的　　　　.給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·＝0}.
例2　已知四邊形ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝2，AD＝1.在如圖所示的空間直角坐標系中，分別求平面SCD和平面SAB的一個法向量.
反思感悟　求平面法向量的步驟
(1)求平面ABC的法向量時，要選取平面內兩個不共線向量，如，.
(2)設平面的法向量為n＝(x，y，z).
(3)聯立方程組并求解.
(4)所求出向量中的三個坐標不是具體的值而是比例關系，設定一個坐標為常數(常數不能為0)便可得到平面的一個法向量.
跟蹤訓練2　在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為棱A1D1， A1B1的中點，在如圖所示的空間直角坐標系中，求：
(1)平面BDD1B1的一個法向量；
(2)平面BDEF的一個法向量.
1.知識清單：
(1)空間中點、直線、平面的向量表示.
(2)直線的方向向量.
(3)平面的法向量.
2.方法歸納：待定系數法、賦值法.
3.常見誤區：不理解直線的方向向量和平面法向量的作用和不唯一性.
1.(多選)下列各式中，k為實數，可以判定點P在直線AB上的是(　　)
A.＋k B.＋k
C.＋k D.＋k
2.在空間直角坐標系中，直線l過點A(1，0，－1)且以μ＝(3，2，4)為方向向量，M(x，y，z)為直線l上的任意一點，則點M的坐標滿足的關系式是(　　)
A. B.
C. D.
3.若n＝(2，－3，1)是平面α的一個法向量，則下列向量中能作為平面α的一個法向量的是(　　)
A.(0，－3，1) B.(2，0，1)
C.(－2，－3，1) D.(－2，3，－1)
4.已知平面α經過點O(0，0，0)，且e＝(1，2，－3)是α的一個法向量，M(x，y，z)是平面α內任意一點，則x，y，z滿足的關系式是　　　　　　　　　　　　　.
答案精析
問題1　在空間中，我們取一定點O作為基點，那么空間中任意一點P就可以用向量來表示，我們把向量稱為點P的位置向量.
問題2　如圖1，a是直線l的方向向量，在直線l上取=a，設P是直線l上的任意一點，由向量共線的條件可知，點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使得=ta，即=t.如圖2，取定空間中的任意一點O，可以得到點P在直線l上的充要條件是存在實數t，使=+ta， ①
將=a代入①式，得
=+t. ②
①式和②式都稱為空間直線的向量表示式.由此可知，空間任意直線由直線上一點及直線的方向向量唯一確定.
知識梳理
1.(1)ta　t　(2)ta　t
2.方向向量　
例1　(1)(0，0，1)　(0，1，1)(答案不唯一)
解析　因為DD1∥AA1，=(0，0，1)，
故直線DD1的一個方向向量為(0，0，1)；
因為BC1∥AD1，=(0，1，1)，
故直線BC1的一個方向向量為
(0，1，1).
(2)A　[∵A(0，y，3)，B(-1，2，z)，
∴=(-1，2-y，z-3)，
∵直線l的一個方向向量為
m=(2，-1，3)，故設=km.
∴解得
∴y-z=0.]
跟蹤訓練1　(1)AB　[∵=(1，1，3)，M，N在直線l上，∴向量(1，1，3)，(2，2，6)都可作為直線l的方向向量.]
(2)A　[由題意知a∥b，
則設b=λa，λ∈R，
即(-4，2x2，6x)=λ(2，-1，3)=(2λ，-λ，3λ)，
所以，解得x=-1.]
知識梳理
1.xa+yb
2.x　y　
3.不共線　法向量　
例2　解　答案不唯一(只要垂直于所求平面的非零向量即為該平面的法向量).
∵D(1，0，0)，C(2，2，0)，S(0，0，2)，
∴=(1，2，0)，=(-1，0，2)，
設平面SCD的法向量為n=(x，y，z)，
則
令x=1，則y=-，z=，
∴n=，
即平面SCD的一個法向量為
n=，
∵x軸⊥平面SAB，
∴m=(1，0，0)即為平面SAB的一個法向量.
跟蹤訓練2　解　設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，則D(0，0，0)，
B(2，2，0)，D1(0，0，2)，E(1，0，2).
(1)設平面BDD1B1的法向量為
n=(x1，y1，z1)，
∵=(2，2，0)，=(0，0，2)，
∴
令x1=1，則y1=-1，z1=0，
∴平面BDD1B1的一個法向量為
n=(1，-1，0).(答案不唯一)
(2)設平面BDEF的法向量為
m=(x2，y2，z2).
∵=(2，2，0)，=(1，0，2)，
∴
令x2=2，則y2=-2，z2=-1，
∴平面BDEF的一個法向量為
m=(2，-2，-1).(答案不唯一)
隨堂演練
1.AB　[由點P在直線上的充要條件可得，A，B符合題意.]
2.C　[由題意得
=(x-1，y，z+1)，∥μ，
則==.]
3.D　[由題意可得要求平面α的一個法向量，即求與n共線的一個向量.
易知(2，-3，1)=-(-2，3，-1).]
4.x+2y-3z=0
解析　由題意得e⊥，
則·e=(x，y，z)·(1，2，-3)=0，
故x+2y-3z=0.

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