資源簡(jiǎn)介

作業(yè)9　空間中直線、平面的平行
分值：80分
單選題每小題5分，共25分；多選題每小題6分，共12分
1.(多選)設(shè)a，b分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，則根據(jù)下列條件能判斷l(xiāng)1∥l2的是
A.a＝，b＝(－2，－4，0)
B.a＝(4，6，－2)，b＝(－2，－3，1)
C.a＝(5，0，2)，b＝(0，1，0)
D.a＝(－2，－1，1)，b＝(4，－2，－8)
2.已知直線l的方向向量是a＝(3，2，1)，平面α的法向量是u＝(－1，2，－1)，則l與α的位置關(guān)系是
A.l⊥α B.l∥α
C.l與α相交但不垂直 D.l∥α或l α
3.已知平面α∥β，n＝(－1，2，3)為平面α的一個(gè)法向量，則下列向量是平面β的一個(gè)法向量的是
A.(1，－2，3) B.(3，－1，2)
C.(1，2，－3) D.
4. 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為A1B，AC的中點(diǎn)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能確定
5.(多選)直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，若l1∥l2，則λ的值為
A.2 B. C.－3 D.3
6.已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一個(gè)法向量為n＝(－1，－1，－1)，且β與α不重合，則β與α的位置關(guān)系是　　　　.
7.(13分)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，C1B1的中點(diǎn).求證：MN∥平面A1BD.
8.(15分)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：平面ADE∥平面B1C1F.
9.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD，CB1上，且BE＝BD，CF＝CB1，則
A.DB1∥EF
B.AC1與EF不平行
C.AD1∥平面DEC1
D.D1B1與平面DEF不平行
10. 如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，則OP與BD1的位置關(guān)系是　　　　；設(shè)＝λ，若平面D1BQ∥平面PAO，則λ＝　　　　.
11. 如圖所示，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為
A.(1，1，1) B.
C. D.
12. 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長(zhǎng)為　　　　.
答案精析
1.AB　[對(duì)于A，易知a＝－b，所以l1∥l2，A正確；對(duì)于B，a＝－2b，所以l1∥l2，B正確；對(duì)于C，D，由于a與b不共線，所以不能判斷l(xiāng)1∥l2，C，D不正確.]
2.D　[因?yàn)閍·u＝－3＋4－1＝0，
所以a⊥u.所以l∥α或l α.]
3.D　[設(shè)平面β的法向量為m，
因?yàn)棣痢桅拢詍∥n，
即m＝λn＝(－λ，2λ，3λ)，λ∈R，
對(duì)于A項(xiàng)，無(wú)解，故A項(xiàng)不成立；
對(duì)于B項(xiàng)，無(wú)解，故B項(xiàng)不成立；
對(duì)于C項(xiàng)，無(wú)解，故C項(xiàng)不成立；
對(duì)于D項(xiàng)， 解得λ＝，故D項(xiàng)成立.]
4.B　[根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則A(2，2，2)，
A1(2，2，0)，
C(0，0，2)，B(2，0，2)，
∴M(2，1，1)，N(1，1，2)，
∴＝(－1，0，1).
又平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n＝(0，1，0)，
∴·n＝－1×0＋0×1＋1×0＝0，
∴⊥n，
又∵M(jìn)N 平面BB1C1C，
∴MN∥平面BB1C1C.]
5.AC　[因?yàn)閍＝(λ＋1，0，2)，b＝(6，2μ－1，2λ)，
l1∥l2，令a＝tb，
則(λ＋1，0，2)＝t(6，2μ－1，2λ)
＝(6t，(2μ－1)t，2λt)，
即
解得或]
6.平行
解析　∵＝(0，1，－1)，
＝(1，0，－1)，
n·＝(－1，－1，－1)·(0，1，－1)
＝－1×0＋(－1)×1＋(－1)×(－1)＝0，
n·＝(－1，－1，－1)·(1，0，－1)
＝－1×1＋0＋(－1)×(－1)＝0，
∴n⊥，n⊥.
∴n也為α的一個(gè)法向量，
又 α與β不重合，∴α∥β.
7.證明　方法一　如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，
則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，
于是＝(1，0，1)，＝(1，1，0)，
.
設(shè)平面A1BD的法向量為
n＝(x，y，z)，
則
取x＝1，則y＝－1，z＝－1，
所以平面A1BD的一個(gè)法向量為
n＝(1，－1，－1).
又·n＝·(1，－1，－1)＝0，所以⊥n.
又MN 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
方法二　)＝，所以∥，
又MN 平面A1BD，
DA1 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
方法三　)－)＝.即可用與線性表示，故與是共面向量，又MN 平面A1BD，故MN∥平面A1BD.
8.證明　建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，0，0)，
A(2，0，0)，
C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，
F(0，0，1)，
B1(2，2，2)，
所以＝(0，2，1)，
＝(2，0，0)，
＝(0，2，1)，＝(2，0，0)，
＝(0，2，1)，
設(shè)n1＝(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥，n1⊥，
即
得
令z1＝2，則y1＝－1，
所以可取n1＝(0，－1，2).
同理，設(shè)n2＝(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量.
則n2⊥，n2⊥，
即
得
令z2＝2，得y2＝－1，
所以可取n2＝(0，－1，2).
因?yàn)閚1＝n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
9.C　[建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，
則D(0，0，0)，
E(2，2，0)，
F(1，3，1)，
B1(3，3，3)，A(3，0，0)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
對(duì)于A，＝(3，3，3)，
＝(－1，1，1)，由≠λ，故DB1與EF不平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)椋?－3，3，3)，所以＝3，故AC1與EF平行，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，＝(2，2，0)，
＝(0，3，3)，
設(shè)平面DEC1的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令x＝1，則n＝(1，－1，1)，
因?yàn)椋?－3，0，3)，
所以n·＝0，
即n⊥，又AD1 平面DEC1，
則AD1∥平面DEC1，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?3，3，0)，
＝(2，2，0)，所以D1B1∥DE，
又D1B1 平面DEF，DE 平面DEF，所以D1B1∥平面DEF，故D錯(cuò)誤.]
10.平行　
解析　如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則O，C(0，1，0)，
C1(0，1，1)，P，A(1，0，0)，
B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
則，
＝(－1，－1，1)，
所以，所以O(shè)P∥BD1.
設(shè)Q(0，1，z)，則＝(－1，0，z).
又，
設(shè)平面PAO的一個(gè)法向量為
n＝(a，b，c)，
則
取n＝(1，1，2)，
因?yàn)槠矫鍰1BQ∥平面PAO，
則n⊥平面D1BQ，
因?yàn)锽Q 平面D1BQ，所以n⊥，
所以n·＝－1＋2z＝0，
故z＝，則Q，
由＝(0，0，1)及＝λ，得λ＝.
11.C　[方法一　由題意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，0)，
則＝(－，0，1)，
＝(，－，0)，
設(shè)M(a，a，1)，平面BDE的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令z＝，則x＝1，y＝1，
所以n＝(1，1，)，
又＝(a－，a－，1)，
所以·n＝a－＋a－＝0，解得a＝，
即M.
方法二　如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，由AM∥平面BDE，
且AM 平面ACEF，
平面ACEF∩平面BDE＝OE，得AM∥OE，
又O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以M為線段EF的中點(diǎn).
在空間直角坐標(biāo)系中，E(0，0，1)，F(xiàn)(，1).
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為.]
12.
解析　如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB＝a，AP＝b，
則A(0，0，0)，
D(0，1，0).
P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E.
于是＝(a，0，1)，
＝(0，－1，b).
方法一　設(shè)平面B1AE的法向量為
n＝(x，y，z)，
則
得取x＝2，
得y＝－a，z＝－2a，
∴n＝(2，－a，－2a)是平面B1AE的一個(gè)法向量.∵DP∥平面B1AE，
∴·n＝a－2ab＝0，
解得b＝，即AP＝.
方法二　∵DP∥平面B1AE，
∴存在實(shí)數(shù)λ，μ，
使＝λ＋μ，
即(0，－1，b)＝λ(a，0，1)＋μ.
∴
∴b＝λ＝，即AP＝.第2課時(shí)　空間中直線、平面的平行
學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系.
一、直線和直線平行
問(wèn)題1　由直線與直線的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量具有什么關(guān)系？
知識(shí)梳理
設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 　　　　　　　　　　 λ∈R，使得u1＝　　　　.
例1　在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，AD＝4，AA1＝2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM＝2MB1，點(diǎn)S在棱DD1上，且SD1＝2SD，點(diǎn)N，R分別為棱A1D1，BC的中點(diǎn).求證：MN∥RS.
反思感悟　證明線線平行的兩種思路：
(1)(基向量法)用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過(guò)向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要條件證明.
(2)(坐標(biāo)法)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示.
跟蹤訓(xùn)練1　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM＝DB，DA＝DP＝1，CD＝2.求證：MN∥AP.
二、直線和平面平行
問(wèn)題2　如圖，直線l與平面α平行，u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關(guān)系？
知識(shí)梳理
設(shè)u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α u　　　n 　　　　　　.
例2　在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD＝DC＝a.E是PC的中點(diǎn).證明：PA∥平面EDB.
延伸探究　在本例題的條件下，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，問(wèn)：在棱PC上是否存在一點(diǎn)N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
三、平面和平面平行
問(wèn)題3　如圖，平面α與β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關(guān)系？
知識(shí)梳理
設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β 　　　　　　　　 λ∈R，使得　　　　　　　.
例3　如圖，已知正方體ABCD－A'B'C'D'，求證：平面AB'D'∥平面BDC'.
反思感悟　證明面面平行的方法
(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.
(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.
跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA＝AD＝2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC.
1.知識(shí)清單：
(1)線線平行的向量表示及應(yīng)用.
(2)線面平行的向量表示及應(yīng)用.
(3)面面平行的向量表示及應(yīng)用.
2.方法歸納：坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化化歸.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：通過(guò)向量和平面平行直接得到線面平行，忽略直線不在平面內(nèi)的條件.
1.已知直線l1的方向向量為m＝(1，2，1)，若直線l1∥l2，則直線l2的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是(　　)
A.(2，4，2) B.(2，3，－2)
C.(1，1，1) D.(－1，1，－1)
2.(多選)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，且l α，能使l∥α的是(　　)
A.a＝(1，0，0)，n＝(0，－2，0)
B.a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1)
C.a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1)
D.a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
3.已知平面α，β的一個(gè)法向量分別為u＝(1，2，－2)，v＝(－3，－6，6)，α與β不重合，則α，β的位置關(guān)系為　　　　.
4.已知直線l∥平面ABC，且l的一個(gè)方向向量為a＝(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，則實(shí)數(shù)m的值是　　　　.
答案精析
問(wèn)題1　平行.
知識(shí)梳理
u1∥u2　λu2
例1　證明　方法一　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)題意得
M，
N(0，2，2)，
R(3，2，0)，
S.
則，分別為MN，RS的方向向量，又=，
=，
所以=，所以∥，
因?yàn)镸 RS，所以MN∥RS.
方法二　設(shè)=a，=b，=c，
則=++
=c-a+b，
=++=b-a+c.
所以=，所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
跟蹤訓(xùn)練1　證明　方法一　由題意知，直線DA，DC，DP兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，
P(0，0，1)，N，M，
所以=(-1，0，1)，
=，
所以=，又M AP，
故MN∥AP.
方法二　由題意可得=+=+=+×+)=++=+=+)=，又M AP，
所以MN∥AP.
問(wèn)題2　垂直.
知識(shí)梳理
⊥　u·n=0
例2　證明　如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
連接AC，
交BD于點(diǎn)G，
連接EG，
依題意得
D(0，0，0)，
A(a，0，0)，P(0，0，a)，
E，B(a，a，0).
方法一　設(shè)平面EDB的法向量為
n=(x，y，z)，
又=，
=，
則有
即
即
令z=1，則
所以n=(1，-1，1)，
又=(a，0，-a)，
所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法二　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，
所以=.
又=(a，0，-a)，
所以=2，則PA∥EG.
而EG 平面EDB，
且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
方法三　假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ使得
=λ+μ，
即(a，0，-a)=λ+μ，
則有
解得
所以=-+，
又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
延伸探究　解　以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，
則D(0，0，0)，P(0，0，a)，
M，C(0，a，0)，
則=(0，0，a)，=，
設(shè)平面PDM的法向量為
n1=(x1，y1，z1)，
則即
令y1=2，則x1=-1，z1=0，
∴n1=(-1，2，0)，設(shè)N(0，y，z)，
則=(0，y，z-a)，
=(0，a，-a)，
由=λ(0≤λ≤1)得，
(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)，
∴y=λa，z=a(1-λ)，
∴N(0，λa，a(1-λ)).
又B(a，a，0)，
∴=(-a，λa-a，a(1-λ))，
由BN∥平面PDM，得·n1=0，
即a+2(λ-1)a=0，∴λ=，
即在棱PC上存在一點(diǎn)N，且當(dāng)N為PC的中點(diǎn)時(shí)，使得BN∥平面PDM.
問(wèn)題3　平行.
知識(shí)梳理
n1∥n2　n1=λn2
例3　證明　方法一　設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(1，0，0)，B'(1，1，1)，
D'(0，0，1)，B(1，1，0)，
D(0，0，0)，C'(0，1，1)，
于是
=(0，1，1)，
=(1，1，0)，
=(1，1，0)，=(0，1，1).
設(shè)平面AB'D'的法向量為n1=(x1，y1，z1)，
則
令y1=1，則x1=-1，z1=-1，
可得n1=(-1，1，-1).
設(shè)平面BDC'的法向量為
n2=(x2，y2，z2)，
則
令y2=1，則x2=-1，z2=-1，
可得n2=(-1，1，-1).
所以n1=n2，所以n1∥n2，
故平面AB'D'∥平面BDC'.
方法二　由方法一知=(-1，0，1)，=(-1，0，1)，=(0，1，1)，=(0，1，1)，
所以=，=，
即AD'∥BC'，AB'∥DC'，又AD' 平面BDC'，BC' 平面BDC'，AB' 平面BDC'，DC' 平面BDC'，
所以AD'∥平面BDC'，
AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A，
且AD'，AB' 平面AB'D'，
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
方法三　由方法一得平面AB'D'的一個(gè)法向量為n1=(-1，1，-1).
易知=(1，1，0)，=(0，1，1).
因?yàn)閚1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0，
n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0，
所以n1也是平面BDC'的一個(gè)法向量，所以平面AB'D'∥平面BDC'.
跟蹤訓(xùn)練2　證明　因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，PA=AD，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，
F(0，1，1)，G(1，2，0).
所以=(0，-1，0)，=(1，1，-1)，
=(2，0，-2)，=(0，2，0)，設(shè)n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量，
則即
令z1=1，則x1=1，y1=0，
所以n1=(1，0，1)，
設(shè)n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，
則即
令z2=1，則x2=1，y2=0，
所以n2=(1，0，1)，所以n1∥n2，
所以平面EFG∥平面PBC.
隨堂演練
1.A　[設(shè)直線l2的方向向量為n=(x，y，z)，因?yàn)橹本€l1∥l2，所以n=λm，λ∈R，即n=λ(1，2，1)，結(jié)合選項(xiàng)可知A正確.]
2.AD　[若l∥α，則a·n=0.
而A中a·n=0，
B中a·n=1+5=6，
C中a·n=-1，
D中a·n=-3+3=0.]
3.平行
解析　∵v=-3(1，2，-2)=-3u，
∴α∥β.
4.-3
解析　∵l∥平面ABC，
∴存在實(shí)數(shù)x，y，
使a=x+y，
又=(1，0，-1)，=(0，1，-1)，
∴(2，m，1)=x(1，0，-1)+y(0，1，-1)
=(x，y，-x-y)，
∴∴m=-3.(共101張PPT)
第2課時(shí)
空間中直線、平面的平行
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
<<<
1.能用向量語(yǔ)言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系.
2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的平行關(guān)系.(重點(diǎn))
學(xué)習(xí)目標(biāo)
上節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了用空間向量表示點(diǎn)、直線、平面等空間中的元素，直線的方向向量和平面的法向量是確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵因素，那么，我們能否用這些向量來(lái)刻畫空間中的平行和垂直關(guān)系呢？如果能的話，應(yīng)該怎樣刻畫呢？今天，我們來(lái)探究如何用空間向量刻畫平行問(wèn)題.
導(dǎo) 語(yǔ)
一、直線和直線平行
二、直線和平面平行
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
三、平面和平面平行
隨堂演練
內(nèi)容索引
直線和直線平行
一
提示　平行.
由直線與直線的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量具有什么關(guān)系？
問(wèn)題1
設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，則l1∥l2 λ∈R，使得u1= .
u1∥u2
λu2
上述結(jié)論中的直線l1，l2為兩條不重合的直線.
注 意 點(diǎn)
<<<
　在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，AD=4，AA1=2，點(diǎn)M在棱BB1上，且BM=2MB1，點(diǎn)S在棱DD1上，且SD1=2SD，點(diǎn)N，R分別為棱A1D1，BC的中點(diǎn).求證：MN∥RS.
例 1
方法一　如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，
根據(jù)題意得MN(0，2，2)，
R(3，2，0)，S.
則分別為MN，RS的方向向量，
又==
所以=所以∥因?yàn)镸 RS，
所以MN∥RS.
證明
方法二　設(shè)=a=b=c，
則=++=c-a+b，
=++=b-a+c.
所以=所以∥.
又R MN，所以MN∥RS.
證明
證明線線平行的兩種思路：
(1)(基向量法)用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過(guò)向量的線性運(yùn)算，利用向量共線的充要條件證明.
(2)(坐標(biāo)法)建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算，利用向量平行的坐標(biāo)表示.
反
思
感
悟
　如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，E為CP的中點(diǎn)，N為DE的中點(diǎn)，DM=DB，DA=DP=1，CD=2.求證：MN∥AP.
跟蹤訓(xùn)練 1
方法一　由題意知，直線DA，DC，DP兩兩垂直.以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，1)，NM所以=(-1，0，1)=所以=又M AP，故MN∥AP.
證明
方法二　由題意可得=+=+=+×+) =++=+=+)=又M AP，所以MN∥AP.
證明
二
直線和平面平行
提示　垂直.
如圖，直線l與平面α平行，u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，u與n有什么關(guān)系？
問(wèn)題2
設(shè)u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l α，則l∥α u n
.
⊥
u·n=0
(1)證明線面平行的關(guān)鍵是證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
(2)特別強(qiáng)調(diào)直線在平面外.
注 意 點(diǎn)
<<<
(課本例3)　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.線段B1C上是否存在點(diǎn)P，使得A1P∥平面ACD1？
例 2
以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、
y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
因?yàn)锳，C，D1的坐標(biāo)分別為(3，0，0)，(0，4，0)，
(0，0，2)，
所以=(-3，4，0)=(-3，0，2).
設(shè)n=(x，y，z)是平面ACD1的法向量，則n·=0，n·=0，
即所以
取z=6，則x=4，y=3.
解
所以，n=(4，3，6)是平面ACD1的一個(gè)法向量.
由A1，C，B1的坐標(biāo)分別為(3，0，2)，(0，4，0)，
(3，4，2)，得=(0，4，0)=(-3，0，-2).
設(shè)點(diǎn)P滿足=λ(0≤λ≤1)，則=(-3λ，0，-2λ)，
所以=+=(-3λ，4，-2λ).
令n·=0，得-12λ+12-12λ=0，解得λ=此時(shí)A1P 平面ACD1，這樣的點(diǎn)P存在.
所以，當(dāng)=即P為B1C的中點(diǎn)時(shí)，A1P∥平面ACD1.
解
　在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD是正方形，側(cè)棱PD垂直于底面ABCD，PD=DC=a.E是PC的中點(diǎn).證明：PA∥平面EDB.
例 2
如圖所示，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，
連接AC，交BD于點(diǎn)G，
連接EG，
依題意得D(0，0，0)，
A(a，0，0)，P(0，0，a)，
EB(a，a，0).
證明
方法一　設(shè)平面EDB的法向量為n=(x，y，z)，
又==
則有即
令z=1，則所以n=(1，-1，1)，
證明
又=(a，0，-a)，
所以n·=(1，-1，1)·(a，0，-a)=a-a=0.
所以n⊥.
又PA 平面EDB，所以PA∥平面EDB.
證明
方法二　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以G是此正方形的中心，
故點(diǎn)G的坐標(biāo)為
所以=.
又=(a，0，-a)，
所以=2則PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
證明
方法三　假設(shè)存在實(shí)數(shù)λ，μ使得
=λ+μ
即(a，0，-a)=λ+μ
則有解得
所以=-+又PA 平面EDB，
所以PA∥平面EDB.
證明
在本例題的條件下，若點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，問(wèn)：在棱PC上是否存在一點(diǎn)N，使得BN∥平面PDM？若存在，求出點(diǎn)N的位置，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.
延伸探究
以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，
則D(0，0，0)，P(0，0，a)，MC(0，a，0)，
則=(0，0，a)=
設(shè)平面PDM的法向量為n1=(x1，y1，z1)，
則
令y1=2，則x1=-1，z1=0，∴n1=(-1，2，0)，
解
設(shè)N(0，y，z)，則=(0，y，z-a)=(0，a，-a)，
由=λ(0≤λ≤1)得，(0，y，z-a)=λ(0，a，-a)，
∴y=λa，z=a(1-λ)，∴N(0，λa，a(1-λ)).
又B(a，a，0)，∴=(-a，λa-a，a(1-λ))，
由BN∥平面PDM，得·n1=0，
即a+2(λ-1)a=0，∴λ=
即在棱PC上存在一點(diǎn)N，且當(dāng)N為PC的中點(diǎn)時(shí)，使得BN∥平面PDM.
解
利用空間向量證明線面平行一般有三種方法
(1)先求平面的法向量，證明直線的方向向量與平面的法向量垂直.
(2)證明直線的方向向量與平面內(nèi)某一向量共線，轉(zhuǎn)化為線線平行，利用線面平行判定定理得證.
(3)證明直線的方向向量與平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線的向量共面，即可用平面內(nèi)的一個(gè)基底表示.
注意：以上三種方法都需要點(diǎn)明：直線在平面外.
反
思
感
悟
平面和平面平行
三
提示　平行.
如圖，平面α與β平行，n1，n2分別是平面α，β的法向量，n1與n2具有什么關(guān)系？
問(wèn)題3
設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β λ∈R，使得
.
n1∥n2
n1=λn2
上述結(jié)論中的平面α，β為兩個(gè)不重合的平面.
注 意 點(diǎn)
<<<
(課本例2)　證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行.
已知：如圖，a β，b β，a∩b=P，a∥α，b∥α.
求證：α∥β.
例 3
如圖，取平面α的法向量n，直線a，b的方向向量u，v.
因?yàn)閍∥α，b∥α，
所以n·u=0，n·v=0.
因?yàn)閍 β，b β，a∩b=P，
所以對(duì)任意點(diǎn)Q∈β，存在x，y∈R，使得=xu+yv.
從而n·=n·(xu+yv)=xn·u+yn·v=0.
所以，向量n也是平面β的法向量.
故α∥β.
證明
圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'，求證：平面AB'D'∥平面BDC'.
例 3
方法一　設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(1，0，0)，B'(1，1，1)，D'(0，0，1)，
B(1，1，0)，D(0，0，0)，C'(0，1，1)，
于是=(0，1，1)，
=(1，1，0)，
=(1，1，0)=(0，1，1).
證明
設(shè)平面AB'D'的法向量為n1=(x1，y1，z1)，
則
令y1=1，則x1=-1，z1=-1，
可得n1=(-1，1，-1).
設(shè)平面BDC'的法向量為n2=(x2，y2，z2)，
則
證明
令y2=1，則x2=-1，z2=-1，
可得n2=(-1，1，-1).
所以n1=n2，所以n1∥n2，
故平面AB'D'∥平面BDC'.
方法二　由方法一知=(-1，0，1)
=(-1，0，1)=(0，1，1)=(0，1，1)，
所以==
證明
即AD'∥BC'，AB'∥DC'，
又AD' 平面BDC'，BC' 平面BDC'，
AB' 平面BDC'，DC' 平面BDC'，
所以AD'∥平面BDC'，AB'∥平面BDC'.
又AD'∩AB'=A，且AD'，AB' 平面AB'D'，
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
證明
方法三　由方法一得平面AB'D'的一個(gè)法向量為n1=(-1，1，-1).
易知=(1，1，0)=(0，1，1).
因?yàn)閚1·=(-1，1，-1)·(1，1，0)=0，
n1·=(-1，1，-1)·(0，1，1)=0，
所以n1也是平面BDC'的一個(gè)法向量，
所以平面AB'D'∥平面BDC'.
證明
證明面面平行的方法
(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行.
(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明.
反
思
感
悟
　如圖所示，平面PAD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，E，F(xiàn)，G分別是線段PA，PD，CD的中點(diǎn)，求證：平面EFG∥平面PBC.
跟蹤訓(xùn)練 2
因?yàn)槠矫鍼AD⊥平面ABCD，四邊形ABCD為正方形，△PAD是直角三角形，PA=AD，所以AB，AP，AD兩兩垂直，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
證明
則A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，E(0，0，1)，F(xiàn)(0，1，1)，G(1，2，0).
所以=(0，-1，0)=(1，1，-1)，
=(2，0，-2)=(0，2，0)，
設(shè)n1=(x1，y1，z1)是平面EFG的法向量，
則
令z1=1，則x1=1，y1=0，所以n1=(1，0，1)，
設(shè)n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，
則
令z2=1，則x2=1，y2=0，所以n2=(1，0，1)，所以n1∥n2，
所以平面EFG∥平面PBC.
證明
1.知識(shí)清單：
(1)線線平行的向量表示及應(yīng)用.
(2)線面平行的向量表示及應(yīng)用.
(3)面面平行的向量表示及應(yīng)用.
2.方法歸納：坐標(biāo)法、轉(zhuǎn)化化歸.
3.常見(jiàn)誤區(qū)：通過(guò)向量和平面平行直接得到線面平行，忽略直線不在平面內(nèi)的條件.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.已知直線l1的方向向量為m=(1，2，1)，若直線l1∥l2，則直線l2的一個(gè)方向向量的坐標(biāo)是
A.(2，4，2) B.(2，3，-2)
C.(1，1，1) D.(-1，1，-1)
√
設(shè)直線l2的方向向量為n=(x，y，z)，因?yàn)橹本€l1∥l2，所以n=λm，λ∈R，即n=λ(1，2，1)，結(jié)合選項(xiàng)可知A正確.
解析
1
2
3
4
2.(多選)若直線l的方向向量為a，平面α的法向量為n，且l α，能使l∥α的是
A.a=(1，0，0)，n=(0，-2，0) B.a=(1，3，5)，n=(1，0，1)
C.a=(0，2，1)，n=(-1，0，-1) D.a=(1，-1，3)，n=(0，3，1)
√
若l∥α，則a·n=0.
而A中a·n=0，
B中a·n=1+5=6，
C中a·n=-1，
D中a·n=-3+3=0.
解析
√
1
2
3
4
3.已知平面α，β的一個(gè)法向量分別為u=(1，2，-2)，v=(-3，-6，6)，α與β不重合，則α，β的位置關(guān)系為　　　.
∵v=-3(1，2，-2)=-3u，
∴α∥β.
解析
平行
1
2
3
4
4.已知直線l∥平面ABC，且l的一個(gè)方向向量為a=(2，m，1)，A(0，0，1)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，則實(shí)數(shù)m的值是　 　.
∵l∥平面ABC，∴存在實(shí)數(shù)x，y，
使a=x+y又=(1，0，-1)=(0，1，-1)，
∴(2，m，1)=x(1，0，-1)+y(0，1，-1)=(x，y，-x-y)，
∴∴m=-3.
解析
-3
課時(shí)對(duì)點(diǎn)練
五
對(duì)一對(duì)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號(hào) 1 2 3 4 5 6 9
答案 AB D D B AC 平行 C
題號(hào) 10 11 12 答案 C
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法一　如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，M，N，
于是=(1，0，1)，=(1，1，0)，
.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x，y，z)，
則
取x=1，則y=-1，z=-1，
所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(1，-1，-1).
又·n=·(1，-1，-1)=0，所以⊥n.
又MN 平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二　)=，所以∥，
又MN 平面A1BD，
DA1 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法三　)-)=.即可用與線性表示，故與，是共面向量，又MN 平面A1BD，故MN∥平面A1BD.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，
=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1)，
設(shè)n1=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，則n1⊥，n1⊥，
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
即
得
令z1=2，則y1=-1，
所以可取n1=(0，-1，2).
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
同理，設(shè)n2=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量.
則n2⊥，n2⊥，
即
得
令z2=2，得y2=-1，
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以可取n2=(0，-1，2).
因?yàn)閚1=n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
基礎(chǔ)鞏固
1.(多選)設(shè)a，b分別是不重合的直線l1，l2的方向向量，則根據(jù)下列條件能判斷l(xiāng)1∥l2的是
A.a=，b=(-2，-4，0)
B.a=(4，6，-2)，b=(-2，-3，1)
C.a=(5，0，2)，b=(0，1，0)
D.a=(-2，-1，1)，b=(4，-2，-8)
答案
1
2
3
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5
6
7
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10
11
12
√
√
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
對(duì)于A，易知a=-b，所以l1∥l2，A正確；
對(duì)于B，a=-2b，所以l1∥l2，B正確；
對(duì)于C，D，由于a與b不共線，所以不能判斷l(xiāng)1∥l2，C，D不正確.
解析
2.已知直線l的方向向量是a=(3，2，1)，平面α的法向量是u=(-1，2，-1)，則l與α的位置關(guān)系是
A.l⊥α B.l∥α
C.l與α相交但不垂直 D.l∥α或l α
√
答案
1
2
3
4
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6
7
8
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10
11
12
因?yàn)閍·u=-3+4-1=0，
所以a⊥u.所以l∥α或l α.
解析
3.已知平面α∥β，n=(-1，2，3)為平面α的一個(gè)法向量，則下列向量是平面β的一個(gè)法向量的是
A.(1，-2，3) B.(3，-1，2)
C.(1，2，-3) D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
11
12
設(shè)平面β的法向量為m，因?yàn)棣痢桅拢詍∥n，即m=λn=(-λ，2λ，3λ)，λ∈R，
對(duì)于A項(xiàng)，無(wú)解，故A項(xiàng)不成立；
對(duì)于B項(xiàng)，無(wú)解，故B項(xiàng)不成立；
解析
答案
1
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6
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10
11
12
對(duì)于C項(xiàng)，無(wú)解，故C項(xiàng)不成立；
對(duì)于D項(xiàng)， 解得λ=，故D項(xiàng)成立.
解析
答案
1
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6
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11
12
4.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為A1B，AC的中點(diǎn)，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是
A.相交 B.平行
C.垂直 D.不能確定
√
答案
1
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11
12
答案
1
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9
10
11
12
根據(jù)題意建立空間直角坐標(biāo)系如圖，
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2，
則A(2，2，2)，A1(2，2，0)，C(0，0，2)，B(2，0，2)，
∴M(2，1，1)，N(1，1，2)，∴=(-1，0，1).
又平面BB1C1C的一個(gè)法向量為n=(0，1，0)，
∴·n=-1×0+0×1+1×0=0，
∴⊥n，
又∵M(jìn)N 平面BB1C1C，∴MN∥平面BB1C1C.
解析
5.(多選)直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a=(λ+1，0，2)，b=(6，2μ-1，2λ)，若l1∥l2，則λ的值為
A.2 B.
C.-3 D.3
√
答案
1
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3
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10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因?yàn)閍=(λ+1，0，2)，b=(6，2μ-1，2λ)，
l1∥l2，令a=tb，
則(λ+1，0，2)=t(6，2μ-1，2λ)
=(6t，(2μ-1)t，2λt)，
即
解析
6.已知平面α內(nèi)的三點(diǎn)A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一個(gè)法向量為n=(-1，-1，-1)，且β與α不重合，則β與α的位置關(guān)系是　 　.
答案
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3
4
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6
7
8
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10
11
12
平行
答案
1
2
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∵=(0，1，-1)，=(1，0，-1)，
n·=(-1，-1，-1)·(0，1，-1)
=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0，
n·=(-1，-1，-1)·(1，0，-1)
=-1×1+0+(-1)×(-1)=0，
∴n⊥，n⊥.
∴n也為α的一個(gè)法向量，
又 α與β不重合，∴α∥β.
解析
7.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別是CC1，C1B1的中點(diǎn).求證：MN∥平面A1BD.
答案
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答案
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12
方法一　如圖，以D為原點(diǎn)，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)該正方體的棱長(zhǎng)為1，
則D(0，0，0)，A1(1，0，1)，B(1，1，0)，
M，N=
(1，0，1)，=(1，1，0)，=.
證明
答案
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12
設(shè)平面A1BD的法向量為n=(x，y，z)，
則
取x=1，則y=-1，z=-1，
所以平面A1BD的一個(gè)法向量為n=(1，-1，-1).
又·n=·(1，-1，-1)=0，
所以⊥n.
又MN 平面A1BD，所以MN∥平面A1BD.
證明
答案
1
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12
方法二　=-=-=-)=∥，
又MN 平面A1BD，DA1 平面A1BD，
所以MN∥平面A1BD.
方法三　=-=-=-=+)-+)
=-.即是共面向量，又MN 平面A1BD，故MN∥平面A1BD.
證明
8.已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是BB1，DD1的中點(diǎn)，求證：平面ADE∥平面B1C1F.
答案
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答案
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12
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C1(0，2，2)，
E(2，2，1)，F(xiàn)(0，0，1)，B1(2，2，2)，
所以=(0，2，1)，=(2，0，0)，
=(0，2，1)，=(2，0，0)，=(0，2，1)，
設(shè)n1=(x1，y1，z1)是平面ADE的法向量，
則n1⊥，n1⊥，
證明
答案
1
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12
即
令z1=2，則y1=-1，
所以可取n1=(0，-1，2).
同理，設(shè)n2=(x2，y2，z2)是平面B1C1F的法向量.
則n2⊥，n2⊥，
即
證明
答案
1
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12
令z2=2，得y2=-1，
所以可取n2=(0，-1，2).
因?yàn)閚1=n2，即n1∥n2，
所以平面ADE∥平面B1C1F.
證明
9.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BD，CB1上，且BE=BD，CF=CB1，則
A.DB1∥EF
B.AC1與EF不平行
C.AD1∥平面DEC1
D.D1B1與平面DEF不平行
答案
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12
綜合運(yùn)用
√
答案
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12
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為3，
則D(0，0，0)，E(2，2，0)，F(xiàn)(1，3，1)，B1(3，3，3)，A(3，0，0)，C1(0，3，3)，D1(0，0，3)，
對(duì)于A，=(3，3，3)，=(-1，1，1)，
由≠λ，故DB1與EF不平行，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，因?yàn)?(-3，3，3)，所以=3，
故AC1與EF平行，故B錯(cuò)誤；
解析
答案
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12
對(duì)于C，=(2，2，0)，=(0，3，3)，設(shè)平面DEC1的法向量為n=(x，y，z)，
則
解析
令x=1，則n=(1，-1，1)，因?yàn)?(-3，0，3)，所以n·=0，即n⊥
，又AD1 平面DEC1，則AD1∥平面DEC1，故C正確；
答案
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12
對(duì)于D，因?yàn)?(3，3，0)，=(2，2，0)，所以D1B1∥DE，又D1B1 平面DEF，DE 平面DEF，所以D1B1∥平面DEF，故D錯(cuò)誤.
解析
10.如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，P是DD1的中點(diǎn)，則OP與BD1的位置關(guān)系是　　　；設(shè)=λ，若平面
D1BQ∥平面PAO，則λ=　　.
答案
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平行
答案
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12
如圖所示，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
則O，C(0，1，0)，C1(0，1，1)，P，A(1，0，0)，B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
則==(-1，-1，1)，
所以=，所以O(shè)P∥BD1.
設(shè)Q(0，1，z)，則=(-1，0，z).
解析
答案
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12
又=，
設(shè)平面PAO的一個(gè)法向量為n=(a，b，c)，
則
取n=(1，1，2)，
因?yàn)槠矫鍰1BQ∥平面PAO，則n⊥平面D1BQ，
因?yàn)锽Q 平面D1BQ，所以n⊥，
解析
答案
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12
所以n·=-1+2z=0，
故z=，則Q，
由==(0，0，1)及=λ，
得λ=.
解析
11.如圖所示，正方形ABCD與矩形ACEF所在平面互相垂直，AB=，AF=1，M在EF上，且AM∥平面BDE.則M點(diǎn)的坐標(biāo)為
A.(1，1，1) B.
C. D.
√
答案
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能力提升
答案
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方法一　由題意得C(0，0，0)，D(，0，0)，B(0，，0)，E(0，0，1)，A(，0)，
則=(-，0，1)，=(，-，0)，
設(shè)M(a，a，1)，平面BDE的法向量為n=(x，y，z)，
則
令z=，則x=1，y=1，
所以n=(1，1，)，
解析
答案
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又=(a-，a-，1)，
所以·n=a-+a-+=0，
解得a=，即M.
解析
答案
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12
方法二　如圖，設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連接OE，
由AM∥平面BDE，
且AM 平面ACEF，
平面ACEF∩平面BDE=OE，得AM∥OE，
又O是正方形ABCD對(duì)角線的交點(diǎn)，
所以M為線段EF的中點(diǎn).
在空間直角坐標(biāo)系中，E(0，0，1)，F(xiàn)(，1).
由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)為.
解析
12.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1=AD=1，E為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P
在棱AA1上，且DP∥平面B1AE，則AP的長(zhǎng)為　　.
答案
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答案
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如圖，以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)AB=a，AP=b，
則A(0，0，0)，D(0，1，0).
P(0，0，b)，B1(a，0，1)，E.
于是=(a，0，1)，=，
=(0，-1，b).
解析
答案
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方法一　設(shè)平面B1AE的法向量為n=(x，y，z)，則取x=2，
得y=-a，z=-2a，
∴n=(2，-a，-2a)是平面B1AE的一個(gè)法向量.
∵DP∥平面B1AE，∴·n=a-2ab=0，
解得b=，即AP=.
解析
答案
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方法二　∵DP∥平面B1AE，∴存在實(shí)數(shù)λ，μ，
使=λ+μ，
即(0，-1，b)=λ(a，0，1)+μ
=.
∴∴b=λ=，即AP=.
解析
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系
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