資源簡介

第3課時　空間中直線、平面的垂直
學習目標　1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關系.
一、直線與直線垂直
問題1　如圖，直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，直線l1，l2垂直時，u1，u2之間有什么關系？
知識梳理
設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 　　　　　　 　　　　　　　.
例1　如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN＝CC1.求證：AB1⊥MN.
反思感悟　證明兩直線垂直的基本步驟
(1)坐標法：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.
(2)基向量法：確定基向量→表示直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.
跟蹤訓練1　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為AC的中點.
求證：BD1⊥EB1.
二、直線與平面垂直
問題2　如圖，設u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，當直線l垂直于平面α時，u，n之間有什么關系？
知識梳理
設直線 l 的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α 　　　　　　 λ∈R，使得　　　　　　.
例2　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF⊥平面B1AC.
反思感悟　向量法證明線面垂直的兩種思路
(1)應用判定定理：選取基向量或建立空間直角坐標系，表示直線的方向向量和平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，證明直線的方向向量與另兩個相交直線的方向向量的數(shù)量積均為零，從而證得結論.
(2)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后證明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結論.
跟蹤訓練2　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC1＝2，D，E分別是線段AC，CC1的中點，C1在平面ABC內(nèi)的射影為D.求證：A1C⊥平面BDE.
三、平面與平面垂直
問題3　設n1，n2 分別是平面α，β的法向量，當平面α垂直于平面β時，n1，n2之間有什么關系？
知識梳理
設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β 　　　　　　　 　　　　　　　.
例3　如圖，在正三棱錐P－ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2.求證：平面EFG⊥平面PBC.
反思感悟　證明面面垂直的兩種方法
(1)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.
(2)幾何法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明.
跟蹤訓練3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為矩形，△APB是以∠APB為直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.證明：平面PAD⊥平面PBC.
1.知識清單：
(1)直線與直線垂直的向量表示及應用.
(2)直線與平面垂直的向量表示及應用.
(3)平面與平面垂直的向量表示及應用.
2.方法歸納：轉化法、法向量法.
3.常見誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關系與線面間的垂直關系的對應易混淆.
1.若平面α，β的法向量分別為a＝(2，－1，0)，b＝(－1，－2，0)，則α與β的位置關系是(　　)
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.無法確定
2.已知平面α的法向量為a＝(1，2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于(　　)
A.4 B.－4
C.5 D.－5
3. 如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知＝λ，＝3，若AM⊥DE，則λ等于(　　)
A. B.
C. D.
4. 如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD＝1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點，則直線EF與平面PBC的位置關系是　　　　.
答案精析
問題1　垂直.
知識梳理
u1⊥u2　u1·u2=0
例1　證明　方法一　設AB的中點為O，作OO1∥AA1.以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.由已知得A，
B，C，
N，B1，
∵M為BC的中點，
∴M.
∴=，=(1，0，1)，
∴·=-+0+=0.
∴⊥，即AB1⊥MN.
方法二　設=a，=b，=c，
則由已知條件和正三棱柱的性質，
得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0，
=a+c，=(a+b)，
=b+c，
=-=-a+b+c，
∴·
=(a+c)·
=-+cos 60°+0-0+0+=0.
∴⊥，即AB1⊥MN.
跟蹤訓練1　證明　以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.設正方體的棱長為1，則
B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
E，B1(1，1，1).
=(-1，-1，1)，
=，
∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0，
∴⊥，∴BD1⊥EB1.
問題2　平行(共線).
知識梳理
u∥n　u=λn
例2　證明　方法一　設該正方體的棱長為2a，建立如圖所示的空間直角坐標系.
則A(2a，0，0)，
C(0，2a，0)，
B1(2a，2a，2a)，
E(2a，2a，a)，
F(a，a，2a).
所以=(-a，-a，a)，
=(0，2a，2a)，
=(-2a，2a，0).
設平面B1AC的法向量為
m=(x，y，z)，
則
取x=1，則y=1，z=-1，
故m=(1，1，-1).
又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.
所以∥m，所以EF⊥平面B1AC.
方法二　由方法一可知，
=(-a，-a，a)，
=(0，2a，2a)，
=(-2a，2a，0).
因為·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a)=(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0，
·
=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)
=2a2-2a2+0=0，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC=A，
AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
方法三　設=a，=c，=b，
連接BD(圖略)，
則=+
=+)
=+)
=+-)
=(b+c-a).
因為=+=a+b，
所以·=(b+c-a)·(a+b)
=(b2-a2+c·a+c·b)
=(|b|2-|a|2+0+0)=0，
所以⊥，即EF⊥AB1.同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1，
AB1，B1C 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
跟蹤訓練2　證明　連接C1D，
∵C1在平面ABC內(nèi)的射影為D，
∴C1D⊥平面ABC，
又BD，AC 平面ABC，
∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，∴BD⊥AC，
則以D為坐標原點，DB，DA，DC1所在直線分別為x，y，z軸，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D(0，0，0)，
B(，0，0)，
C(0，-1，0)，
C1(0，0，)，E，
A1(0，2，)，∴=(，0，0)，
=，
=(0，-3，-).
方法一　設平面BDE的法向量為
m=(x，y，z)，
∵即
不妨取z=1，則y=，
則m=(0，，1)，
∴平面BDE的一個法向量為
m=(0，，1)，
∵=(0，-3，-)，
∴=-m，∴∥m，
∴A1C⊥平面BDE.
方法二　∵·=0，
·=-=0，
∴⊥，⊥，
即BD⊥A1C，DE⊥A1C，
又BD∩DE=D，
BD，DE 平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE.
問題3　垂直.
知識梳理
n1⊥n2　n1·n2=0
例3　證明　如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
設PA=PB=PC=3，則P(0，0，0)，A(3，0，0)，
E(0，2，1)，F(xiàn)(0，1，0)，G(1，1，0)，
∴=(0，-1，-1)，
=(1，-1，-1).
設平面EFG的法向量為n=(x，y，z)，
則有n⊥，n⊥.
∴
令y=1，得z=-1，x=0，
即n=(0，1，-1).
顯然=(3，0，0)是平面PBC的一個法向量.
又n·=0，所以n⊥，
即平面EFG的法向量與平面PBC的法向量互相垂直，
∴平面EFG⊥平面PBC.
跟蹤訓練3　證明　取AB的中點O，CD的中點M，
連接OM，則OM⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
OM 平面ABCD，
所以OM⊥平面PAB，
又PA=PB，所以PO⊥AB，
以點O為原點，OP，OB，OM所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.設
AP=a，
AD=b，
則A(0，-a，0)，B(0，a，0)，
P(a，0，0)，C(0，a，b)，D(0，-a，b)，
所以=(0，0，b)，=(a，a，0)，
=(0，0，b)，=(a，-a，0)，
設n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，
則由得
z1=0，令x1=1，
則y1=-1，即n1=(1，-1，0)，
同理，
z2=0，令x2=1，
可得y2=1，即n2=(1，1，0).
因為n1·n2=1-1=0，
所以平面PAD⊥平面PBC.
隨堂演練
1.B　[a·b=-2+2+0=0，
∴a⊥b，∴α⊥β.]
2.D　[∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.]
3.D　[連接AM，DE，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖所示，
則D(0，0，0)，A(1，0，0)，
M，E(1，1，λ)，
則=，
=(1，1，λ)，
因為AM⊥DE，所以·=0，即(-1)×1+×1+λ=0，
解得λ=.]
4.垂直
解析　以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，
則E，F(xiàn)，
P(0，0，1)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
∴=，
=(-1，0，0)，
=(0，1，-1)，
設平面PBC的法向量為n=(x，y，z)，
則即
令y=1，則z=1，
∴平面PBC的一個法向量為
n=(0，1，1).
∴=-n，
∴∥n，∴EF⊥平面PBC.(共100張PPT)
第3課時
空間中直線、平面的垂直
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
<<<
1.能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系.
2.能用向量方法判斷或證明直線、平面間的垂直關系.(重點)
學習目標
類比空間中直線、平面平行的向量表示，在直線與直線、直線與平面、平面與平面的垂直關系中，直線的方向向量、平面的法向量之間有什么關系？
導 語
一、直線與直線垂直
二、直線與平面垂直
課時對點練
三、平面與平面垂直
隨堂演練
內(nèi)容索引
直線與直線垂直
一
提示　垂直.
如圖，直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，直線l1，l2垂直時，u1，u2之間有什么關系？
問題1
設直線l1，l2的方向向量分別為u1，u2，則l1⊥l2 .
u1⊥u2
u1·u2=0
(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉化為兩直線的方向向量互相垂直.
(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量互相垂直，坐標法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.
注 意 點
<<<
如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱長都為1，M是底面上BC邊的中點，N是側棱CC1上的點，且CN=CC1.求證：AB1⊥MN.
例 1
方法一　設AB的中點為O，作OO1∥AA1.以O為坐標原點，建立如圖所示的空間直角坐標系.
由已知得AB
CNB1
∵M為BC的中點，∴M.
證明
∴==(1，0，1)，
∴·=-+0+=0.
∴⊥
即AB1⊥MN.
證明
方法二　設=a=b=c，
則由已知條件和正三棱柱的性質，
得|a|=|b|=|c|=1，a·c=b·c=0，
=a+c=(a+b)=b+c，
=-=-a+b+c，
∴·=(a+c)·=-+cos 60°+0-0+0+=0.
∴⊥即AB1⊥MN.
證明
證明兩直線垂直的基本步驟
(1)坐標法：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.
(2)基向量法：確定基向量→表示直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直.
反
思
感
悟
　如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，
E為AC的中點.
求證：BD1⊥EB1.
跟蹤訓練 1
以D為坐標原點，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
設正方體的棱長為1，
則B(1，1，0)，D1(0，0，1)，
EB1(1，1，1).
=(-1，-1，1)，=
∴·=(-1)×+(-1)×+1×1=0，
∴⊥∴BD1⊥EB1.
證明
二
直線與平面垂直
提示　平行(共線).
如圖，設u是直線 l 的方向向量，n是平面α的法向量，當直線l垂直于平面α時，u，n之間有什么關系？
問題2
設直線 l 的方向向量為u，平面α的法向量為n，則l⊥α λ∈R，使得 .
u∥n
u=λn
　(課本例4)　如圖，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1 =1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，求證：直線A1C⊥平面BDD1B1.
例 2
設=a=b=c，則{a，b，c}為空間的一個基底，
且=a+b-c=b-a=c.
因為AB=AD=AA1=1，∠A1AB =∠A1AD=∠BAD=60°，
所以a2=b2=c2=1，a·b=b·c=c·a=.
在平面BDD1B1上，取為基向量，則對于平面BDD1B1上任意一點P，存在唯一的有序實數(shù)對(λ，μ)，使得=λ+μ.
證明
所以·=λ·+μ·=λ(a+b-c)·(b-a)+μ(a+b-c)·c=0.
所以是平面BDD1B1的法向量.
所以A1C⊥平面BDD1B1.
證明
　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是BB1，D1B1的中點.求證：EF⊥平面B1AC.
例 2
方法一　設該正方體的棱長為2a，建立如圖所示的空間直角坐標系.
則A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，
B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(xiàn)(a，a，2a).
所以=(-a，-a，a)，
=(0，2a，2a)=(-2a，2a，0).
證明
設平面B1AC的法向量為m=(x，y，z)，
則
取x=1，則y=1，z=-1，故m=(1，1，-1).
又=(-a，-a，a)=-a(1，1，-1)=-am.
所以∥m，
所以EF⊥平面B1AC.
證明
方法二　由方法一可知=(-a，-a，a)
=(0，2a，2a)=(-2a，2a，0).
因為·=(-a，-a，a)·(0，2a，2a)
=(-a)·0+(-a)·2a+a·2a=0，
·=(-a，-a，a)·(-2a，2a，0)=2a2-2a2+0=0，
所以EF⊥AB1，EF⊥AC.
又AB1∩AC=A，AB1，AC 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
證明
方法三　設=a=c=b，
連接BD(圖略)，
則=+=+)
=+)=+-)
=(b+c-a).
因為=+=a+b，
證明
所以·=(b+c-a)·(a+b)
=(b2-a2+c·a+c·b)
=(|b|2-|a|2+0+0)=0，
所以⊥即EF⊥AB1.
同理，EF⊥B1C.
又AB1∩B1C=B1，AB1，B1C 平面B1AC，
所以EF⊥平面B1AC.
證明
向量法證明線面垂直的兩種思路
(1)應用判定定理：選取基向量或建立空間直角坐標系，表示直線的方向向量和平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，證明直線的方向向量與另兩個相交直線的方向向量的數(shù)量積均為零，從而證得結論.
(2)法向量法：建立空間直角坐標系，求出直線方向向量的坐標以及平面法向量的坐標，然后證明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結論.
反
思
感
悟
　如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是邊長為2的等邊三角形，CC1=2，D，E分別是線段AC，CC1的中點，C1在平面ABC內(nèi)的射影為D.求證：A1C⊥平面BDE.
跟蹤訓練 2
連接C1D，
∵C1在平面ABC內(nèi)的射影為D，
∴C1D⊥平面ABC，
又BD，AC 平面ABC，
∴C1D⊥BD，C1D⊥AC，
又△ABC為等邊三角形，D為AC的中點，
∴BD⊥AC，
則以D為坐標原點，DB，DA，DC1所在直線分別為x，y，z軸，
證明
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D(0，0，0)，B(0，0)，
C(0，-1，0)，C1(0，0)，
EA1(0，2)，
∴=(0，0)=
=(0，-3，-).
證明
方法一　設平面BDE的法向量為m=(x，y，z)，
∵
不妨取z=1，則y=則m=(01)，
∴平面BDE的一個法向量為m=(01)，
∵=(0，-3，-)，
∴=-m，∴∥m，∴A1C⊥平面BDE.
證明
方法二　∵·=0·=-=0，
∴⊥⊥即BD⊥A1C，DE⊥A1C，
又BD∩DE=D，BD，DE 平面BDE，
∴A1C⊥平面BDE.
證明
平面與平面垂直
三
提示　垂直.
設n1，n2 分別是平面α，β的法向量，當平面α垂直于平面β時，n1，n2之間有什么關系？
問題3
設平面α，β的法向量分別為n1，n2，則α⊥β .
n1⊥n2
n1·n2=0
　(課本例5)　證明“平面與平面垂直的判定定理”：若一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直.
已知：如圖，l⊥α，l β，
求證：α⊥β.
例 3
如圖，取直線l的方向向量u，平面β的法向量n.
因為l⊥α，
所以u是平面α的法向量.
因為l β，而n是平面β的法向量，
所以u⊥n.
所以α⊥β.
證明
如圖，在正三棱錐P-ABC中，三條側棱兩兩互相垂直，G是△PAB的重心，E，F(xiàn)分別為BC，PB上的點，且BE∶EC=PF∶FB=1∶2.求證：平面EFG⊥平面PBC.
例 3
如圖，以三棱錐的頂點P為原點，以PA，PB，PC所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
設PA=PB=PC=3，則P(0，0，0)，A(3，0，0)，E(0，2，1)，F(xiàn)(0，1，0)，G(1，1，0)，
∴=(0，-1，-1)=(1，-1，-1).
設平面EFG的法向量為n=(x，y，z)，
則有n⊥n⊥.
∴令y=1，得z=-1，x=0，即n=(0，1，-1).
證明
顯然=(3，0，0)是平面PBC的一個法向量.
又n·=0，所以n⊥
即平面EFG的法向量與平面PBC的法向量互相垂直，
∴平面EFG⊥平面PBC.
證明
證明面面垂直的兩種方法
(1)向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直.
(2)幾何法：利用面面垂直的判定定理轉化為線面垂直、線線垂直去證明.
反
思
感
悟
　如圖，在四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，△APB是以∠APB為直角的等腰直角三角形，平面PAB⊥平面ABCD.證明：平面PAD⊥平面PBC.
跟蹤訓練 3
取AB的中點O，CD的中點M，
連接OM，則OM⊥AB，
又平面PAB⊥平面ABCD，
平面PAB∩平面ABCD=AB，
OM 平面ABCD，
所以OM⊥平面PAB，
又PA=PB，所以PO⊥AB，
以點O為原點，OP，OB，OM所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.
證明
設AP=a，AD=b，
則A(0，-a，0)，B(0，a，0)，
P(a，0，0)，C(0，a，b)，
D(0，-a，b)，
所以=(0，0，b)=(a，a，0)，
=(0，0，b)=(a，-a，0)，
設n1=(x1，y1，z1)是平面PAD的法向量，
n2=(x2，y2，z2)是平面PBC的法向量，
證明
則由
z1=0，令x1=1，
則y1=-1，即n1=(1，-1，0)，
同理z2=0，令x2=1，
可得y2=1，即n2=(1，1，0).
因為n1·n2=1-1=0，
所以平面PAD⊥平面PBC.
證明
1.知識清單：
(1)直線與直線垂直的向量表示及應用.
(2)直線與平面垂直的向量表示及應用.
(3)平面與平面垂直的向量表示及應用.
2.方法歸納：轉化法、法向量法.
3.常見誤區(qū)：直線的方向向量、平面的法向量的關系與線面間的垂直關系的對應易混淆.
隨堂演練
四
1
2
3
4
1.若平面α，β的法向量分別為a=(2，-1，0)，b=(-1，-2，0)，則α與β的位置關系是
A.平行 B.垂直
C.相交但不垂直 D.無法確定
√
a·b=-2+2+0=0，
∴a⊥b，∴α⊥β.
解析
1
2
3
4
2.已知平面α的法向量為a=(1，2，-2)，平面β的法向量為b=(-2，-4，k)，若α⊥β，則k等于
A.4 B.-4 C.5 D.-5
√
∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b=-2-8-2k=0.∴k=-5.
解析
1
2
3
4
3.如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知＝λ，＝3，若AM⊥DE，則λ等于
A. B.
C. D.
√
1
2
3
4
連接AM，DE，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
如圖所示，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，M，E(1，1，λ)，
解析
則，＝(1，1，λ)，
因為AM⊥DE，所以·＝0，
即(－1)×1＋×1＋λ＝0，解得λ＝.
1
2
3
4
4.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的正方形，PD⊥底面ABCD，且PD=1，若E，F(xiàn)分別為PB，AD的中點，則直線EF與平面PBC的位置關系是　　　.
垂直
1
2
3
4
以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，
則EFP(0，0，1)，
B(1，1，0)，C(0，1，0)，
∴==(-1，0，0)，
=(0，1，-1)，
設平面PBC的法向量為n=(x，y，z)，
解析
1
2
3
4
則
令y=1，則z=1，
∴平面PBC的一個法向量為n=(0，1，1).
∴=-n，
∴∥n，∴EF⊥平面PBC.
解析
課時對點練
五
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
題號 1 2 3 4 5 6 9
答案 B C D C ABC 0 AC
題號 10 11 12 答案 (-2，4，1)或 (2，-4，-1) ABD
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設PA=AB=BC=1，則A(0，0，0)，
B(1，0，0)，P(0，0，1).
因為∠ABC=60°，AB=BC，
所以△ABC為正三角形.
所以C，E，，
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設D(0，y1，0)，則，
由AC⊥CD得·=0，
即-=0，
解得y1=，則D，
所以.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又，
所以·=-××=0，
所以⊥，即AE⊥CD.
7.
(2)方法一　由(1)知=(1，0，0)，，
設平面ABE的法向量為n=(x，y，z)，
則
即
令y=2，則n=(0，2，-).
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
又，
顯然n，所以∥n，
所以PD⊥平面ABE.
方法二　由(1)知，.
所以·××(-1)=0，
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
所以⊥，即PD⊥AE.
由(1)知=(1，0，0)，
所以·=0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設AB=AS=1，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，
S(0，0，1)，E.
方法一　連接AC，設AC與BD相交于點O，
連接OE，則O.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為=(0，0，1)，，
所以，
又E AS，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二　設平面BDE的法向量為n1=(x，y，z).
因為=(-1，1，0)，，
所以
令x=1，
可得平面BDE的一個法向量為n1=(1，1，0).
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一個法向量為n2==(0，0，1).
因為n1·n2=0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
基礎鞏固
1.設l1的一個方向向量為a=(1，3，-2)，l2的一個方向向量為b=(-4，3，m)，若l1⊥l2，則m等于
A.1　　　　B.　　　　C.　　　　D.3
√
因為l1⊥l2，所以a·b=0，
即1×(-4)+3×3+(-2)×m=0，
所以2m=9-4=5，即m=.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
2.設a，b分別是兩條直線a，b的方向向量，α，β是兩個平面，且a⊥α，b⊥β，則“α⊥β”是“a⊥b”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
a⊥α，b⊥β，則a是平面α的一個法向量，b是平面β的一個法向量，
則由a⊥b得α⊥β，必要性滿足，反之若α⊥β，則法向量a⊥b，充分性滿足，應是充要條件.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3.已知n1=(，x，2)，n2=(-3，，-2)分別是平面α，β的法向量，若α⊥β，則x等于
A.-7 B.-1
C.1 D.7
√
因為α⊥β，所以n1⊥n2，所以n1·n2=×(-3)+x×+2×(-2)=0，解得x=7.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.已知點A(0，1，0)，B(-1，0，-1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標為
A.(1，0，-2) B.(1，0，2)
C.(-1，0，2) D.(2，0，-1)
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
由題意知=(-1，-1，-1)，=(2，0，1)，=(x，-1，z)，又PA⊥平面ABC，
所以有·=(-1，-1，-1)·(x，-1，z)=0，
得-x+1-z=0. 　①
·=(2，0，1)·(x，-1，z)=0，得2x+z=0， 　②
聯(lián)立①②得x=-1，z=2，
故點P的坐標為(-1，0，2).
解析
5.(多選)已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，若=(2，-1，-4)，=(4，2，0)，=(-1，2，-1)，則下列結論正確的有
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一個法向量
D.∥
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為·=-2-2+4=0，
所以⊥，所以AP⊥AB，A正確；
因為·=-4+4+0=0，
所以⊥，所以AP⊥AD，B正確；
因為AP⊥AB，AP⊥AD，AB∩AD=A，
AB，AD 平面ABCD，所以AP⊥平面ABCD，
所以是平面ABCD的一個法向量，C正確；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
=-=(2，3，4)，
設=λ=(-λ，2λ，-λ)，
即此方程組無解，D錯誤.
解析
6.已知a=(0，1，1)，b=(1，1，0)，c=(1，0，1)分別是平面α，β，γ的一個法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有　　對.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
0
因為a·b=(0，1，1)·(1，1，0)=1≠0，a·c=(0，1，1)·(1，0，1)=1≠0，b·c=(1，1，0)·(1，0，1)=1≠0，所以a，b，c中任意兩個都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0對.
解析
7.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足為A，AB⊥AD，垂足為A，AC⊥CD，垂足為C，∠ABC=60°，PA=AB=BC，E是PC的中點.
(1)求證：AE⊥CD；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設PA=AB=BC=1，則A(0，0，0)，B(1，0，0)，
P(0，0，1).
因為∠ABC=60°，AB=BC，所以△ABC為正三角形.
所以C，E=，
證明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設D(0，y1，0)，則=，
由AC⊥CD得·=0，
即-+=0，
解得y1=，則D，
所以=.
又=，
證明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以·=-×+×=0，
所以⊥，即AE⊥CD.
證明
(2)求證：PD⊥平面ABE.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法一　由(1)知=(1，0，0)，=，
設平面ABE的法向量為n=(x，y，z)，
則
令y=2，則n=(0，2，-).
又==n，所以∥n，
所以PD⊥平面ABE.
證明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法二　由(1)知==.
所以·=×+×(-1)=0，
所以⊥，即PD⊥AE.
由(1)知=(1，0，0)，所以·=0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE=A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
證明
8.在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS=AB，E是SC的中點.求證：平面BDE⊥平面ABCD.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設AB=AS=1，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(1，0，0)，D(0，1，0)，A(0，0，0)，S(0，0，1)，E.
方法一　連接AC，設AC與BD相交于點O，
連接OE，則O.
因為=(0，0，1)，=，
所以=，
又E AS，所以OE∥AS.
證明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二　設平面BDE的法向量為n1=(x，y，z).
因為=(-1，1，0)，=，
所以
證明
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
令x=1，
可得平面BDE的一個法向量為n1=(1，1，0).
因為AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一個法向量為
n2==(0，0，1).
因為n1·n2=0，所以平面BDE⊥平面ABCD.
證明
9.(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則直線OM
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.和AC，MN都不垂直
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
√
綜合運用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略).
設正方體的棱長為2a(a>0)，
則M(0，0，a)，A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，O(a，a，0)，
N(0，a，2a)，A1(2a，0，2a).
∴=(-a，-a，a)，=(0，a，a)，=(-2a，2a，0)，=(0，0，2a).
∴·=0，·=0，·=2a2≠0，
∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1顯然不垂直.
解析
10.在△ABC中，A(1，-2，-1)，B(0，-3，1)，C(2，-2，1).若向量n所在的直線與平面ABC垂直，且|n|=，則n的坐標為　 　 　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(-2，4，1)或(2，-4，-1)
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
根據(jù)題意，得=(-1，-1，2)，
=(1，0，2).設n=(x，y，z)，
∵n與平面ABC垂直，
∴
可得
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵|n|=，∴=，
解得y=4或y=-4.
當y=4時，x=-2，z=1；
當y=-4時，x=2，z=-1.
∴n的坐標為(-2，4，1)或(2，-4，-1).
解析
11.(多選)如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，M，N分別為BC1，CD1的中點，則下列說法正確的是
A.MN與CC1垂直
B.MN與平面ACC1A1垂直
C.MN與DC平行
D.MN與平面BDA1平行
√
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
能力提升
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，設AB=2，則A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，D(0，0，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1)，
對于A，=(-1，-1，0)，=(0，0，2)，
則·=0，所以MN⊥CC1，故A正確；
對于B，=(-2，2，0)，則·=0，
所以MN⊥AC，又AC∩CC1=C，AC，CC1 平面ACC1A1，所以MN⊥平面ACC1A1，故B正確；
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
對于C，=(0，2，0)，若MN與DC平行，則存在唯一實數(shù)λ，使得=λ
無解，所以MN與DC不平行，故C錯誤；
對于D，=(2，2，0)，=(2，0，2)，設平面BDA1
的法向量n=(x，y，z)，則有
可取n=(1，-1，-1)，因為·n=-1+1+0=0，且MN 平面BDA1，所以MN∥平面BDA1，故D正確.
解析
12.已知梯形CEPD如圖1所示，其中PD=8，CE=6，A為線段PD的中點，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進行折疊，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如圖2所示的幾何體.已知當點F滿足=λ(0<λ<1)時，平面DEF⊥
平面PCE，則λ的值為　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖，以A為坐標原點，
AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，∴C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，P(0，0，4)，F(xiàn)(4λ，0，0)，則=(4，0，-2)，=(4，4，-4)，
=(4(λ-1)，0，-2)，=(4，-4，2)，
若m=(x，y，z)是平面DEF的一個法向量，
則令z=2，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
可得m=，
若n=(a，b，c)是平面PCE的一個法向量，
則令c=2，可得n=(1，1，2)，
由平面DEF⊥平面PCE，得m·n=0，
即++4=0，解得λ=.
解析
第一章　1.4.1　用空間向量研究直線、平面的位置關系
<<<作業(yè)10　空間中直線、平面的垂直
分值：80分
單選題每小題5分，共20分；多選題每小題6分，共18分
1.設l1的一個方向向量為a＝(1，3，－2)，l2的一個方向向量為b＝(－4，3，m)，若l1⊥l2，則m等于
A.1 B. C. D.3
2.設a，b分別是兩條直線a，b的方向向量，α，β是兩個平面，且a⊥α，b⊥β，則“α⊥β”是“a⊥b”的
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
3.已知n1＝(，x，2)，n2＝(－3，，－2)分別是平面α，β的法向量，若α⊥β，則x等于
A.－7 B.－1 C.1 D.7
4.已知點A(0，1，0)，B(－1，0，－1)，C(2，1，1)，P(x，0，z)，若PA⊥平面ABC，則點P的坐標為
A.(1，0，－2) B.(1，0，2)
C.(－1，0，2) D.(2，0，－1)
5.(多選)已知點P是平行四邊形ABCD所在平面外的一點，若＝(2，－1，－4)，＝(4，2，0)，＝(－1，2，－1)，則下列結論正確的有
A.AP⊥AB
B.AP⊥AD
C.是平面ABCD的一個法向量
D.∥
6.已知a＝(0，1，1)，b＝(1，1，0)，c＝(1，0，1)分別是平面α，β，γ的一個法向量，則α，β，γ三個平面中互相垂直的有　　　　對.
7.(13分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足為A，AB⊥AD，垂足為A，AC⊥CD，垂足為C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點.
(1)求證：AE⊥CD；(6分)
(2)求證：PD⊥平面ABE.(7分)
8.(14分)在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是正方形，AS⊥底面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點.求證：平面BDE⊥平面ABCD.
9. (多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分別是棱DD1，D1C1的中點，則直線OM
A.和AC垂直
B.和AA1垂直
C.和MN垂直
D.和AC，MN都不垂直
10.在△ABC中，A(1，－2，－1)，B(0，－3，1)，C(2，－2，1).若向量n所在的直線與平面ABC垂直，且|n|＝，則n的坐標為　　　　　　　　　　　　　　　　.
11. (多選)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N分別為BC1，CD1的中點，則下列說法正確的是
A.MN與CC1垂直
B.MN與平面ACC1A1垂直
C.MN與DC平行
D.MN與平面BDA1平行
12.已知梯形CEPD如圖1所示，其中PD＝8，CE＝6，A為線段PD的中點，四邊形ABCD為正方形，現(xiàn)沿AB進行折疊，使得平面PABE⊥平面ABCD，得到如圖2所示的幾何體.已知當點F滿足＝λ(0<λ<1)時，平面DEF⊥平面PCE，則λ的值為　　　　　.
答案精析
1.B　[因為l1⊥l2，所以a·b＝0，
即1×(－4)＋3×3＋(－2)×m＝0，
所以2m＝9－4＝5，即m＝.]
2.C　[a⊥α，b⊥β，則a是平面α的一個法向量，b是平面β的一個法向量，
則由a⊥b得α⊥β，必要性滿足，反之若α⊥β，則法向量a⊥b，充分性滿足，應是充要條件.]
3.D　[因為α⊥β，所以n1⊥n2，
所以n1·n2＝×(－3)＋x×＋2×(－2)＝0，解得x＝7.]
4.C　[由題意知＝(－1，－1，－1)，＝(2，0，1)，＝(x，－1，z)，
又PA⊥平面ABC，
所以有·＝(－1，－1，－1)·(x，－1，z)＝0，
得－x＋1－z＝0. ①
·＝(2，0，1)·(x，－1，z)＝0，得2x＋z＝0， ②
聯(lián)立①②得x＝－1，z＝2，
故點P的坐標為(－1，0，2).]
5.ABC　[因為
·＝－2－2＋4＝0，
所以⊥，
所以AP⊥AB，A正確；
因為·＝－4＋4＋0＝0，
所以⊥，
所以AP⊥AD，B正確；
因為AP⊥AB，AP⊥AD，
AB∩AD＝A，
AB，AD 平面ABCD，
所以AP⊥平面ABCD，
所以是平面ABCD的一個法向量，C正確；
＝(2，3，4)，
設＝λ＝(－λ，2λ，－λ)，
即此方程組無解，D錯誤.]
6.0
解析　因為a·b＝(0，1，1)·(1，1，0)＝1≠0，a·c＝(0，1，1)·(1，0，1)＝1≠0，b·c＝(1，1，0)·(1，0，1)＝1≠0，所以a，b，c中任意兩個都不垂直，即α，β，γ中互相垂直的有0對.
7.證明　(1)如圖，以A為坐標原點，AB，AD，AP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
設PA＝AB＝BC＝1，則A(0，0，0)，
B(1，0，0)，P(0，0，1).
因為∠ABC＝60°，AB＝BC，
所以△ABC為正三角形.
所以C，E，
設D(0，y1，0)，
則，
由AC⊥CD得·＝0，
即－＝0，
解得y1＝，則D，
所以.
又，
所以·＝－××＝0，
所以⊥，即AE⊥CD.
(2)方法一　由(1)知＝(1，0，0)，，
設平面ABE的法向量為
n＝(x，y，z)，
則
即
令y＝2，則n＝(0，2，－).
又，
顯然n，所以∥n，
所以PD⊥平面ABE.
方法二　由(1)知
，
.
所以·××(－1)＝0，
所以⊥，即PD⊥AE.
由(1)知＝(1，0，0)，
所以·＝0，所以PD⊥AB.
又AB∩AE＝A，AB，AE 平面ABE，所以PD⊥平面ABE.
8.證明　設AB＝AS＝1，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B(1，0，0)，
D(0，1，0)，
A(0，0，0)，
S(0，0，1)，
E.
方法一　連接AC，設AC與BD相交于點O，連接OE，則O.
因為＝(0，0，1)，，
所以，
又E AS，所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD，
所以OE⊥平面ABCD.
又OE 平面BDE，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
方法二　設平面BDE的法向量為
n1＝(x，y，z).
因為＝(－1，1，0)，
，
所以
令x＝1，
可得平面BDE的一個法向量為
n1＝(1，1，0).
因為AS⊥平面ABCD，
所以平面ABCD的一個法向量為
n2＝＝(0，0，1).
因為n1·n2＝0，
所以平面BDE⊥平面ABCD.
9.AC　[以D為原點，DA，DC，DD1所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略).
設正方體的棱長為2a(a>0)，
則M(0，0，a)，A(2a，0，0)，
C(0，2a，0)，O(a，a，0)，N(0，a，2a)，
A1(2a，0，2a).
∴＝(－a，－a，a)，
＝(0，a，a)，
＝(－2a，2a，0)，＝(0，0，2a).
∴·＝0，·＝0，
·＝2a2≠0，
∴OM⊥MN，OM⊥AC，OM和AA1顯然不垂直.]
10.(－2，4，1)或(2，－4，－1)
解析　根據(jù)題意，得
＝(－1，－1，2)，
＝(1，0，2).設n＝(x，y，z)，
∵n與平面ABC垂直，
∴即
可得
∵|n|＝，
∴，
解得y＝4或y＝－4.
當y＝4時，x＝－2，z＝1；
當y＝－4時，x＝2，z＝－1.
∴n的坐標為
(－2，4，1)或(2，－4，－1).
11.ABD　[如圖，以點D為原點建立空間直角坐標系，設AB＝2，則A(2，0，0)，
B(2，2，0)，
C(0，2，0)，
D(0，0，0)，
A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，M(1，2，1)，N(0，1，1)，
對于A，＝(－1，－1，0)，
＝(0，0，2)，則·＝0，
所以MN⊥CC1，故A正確；
對于B，＝(－2，2，0)，
則·＝0，所以MN⊥AC，
又AC∩CC1＝C，
AC，CC1 平面ACC1A1，
所以MN⊥平面ACC1A1，故B正確；
對于C，＝(0，2，0)，若MN與DC平行，則存在唯一實數(shù)λ，
使得＝λ，
所以無解，
所以MN與DC不平行，故C錯誤；
對于D，＝(2，2，0)，＝(2，0，2)，設平面BDA1的法向量n＝(x，y，z)，則有
可取n＝(1，－1，－1)，
因為·n＝－1＋1＋0＝0，
且MN 平面BDA1，
所以MN∥平面BDA1，故D正確.]
12.
解析　如圖，以A為坐標原點，
AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，
∴C(4，4，0)，D(0，4，0)，E(4，0，2)，
P(0，0，4)，F(xiàn)(4λ，0，0)，
則＝(4，0，－2)，＝(4，4，－4)，
＝(4(λ－1)，0，－2)，
＝(4，－4，2)，
若m＝(x，y，z)是平面DEF的一個法向量，
則令z＝2，
可得m＝，
若n＝(a，b，c)是平面PCE的一個法向量，
則
令c＝2，可得n＝(1，1，2)，
由平面DEF⊥平面PCE，得m·n＝0，
即＋4＝0，解得λ＝.

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