資源簡介

作業11　距離問題
分值：80分
單選題每小題5分，共30分；多選題每小題6分，共6分
1.在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝a，AA1＝2a，則點D1到直線AC的距離為
A.a B. C. D.
2.兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，則兩平面間的距離是
A. B. C. D.3
3.(多選)已知平面α的一個法向量為n＝(－1，－2，2)，點A(x2，2x＋1，2)為平面α內一點，若點P(0，1，2)到平面α的距離為4，則x的值為
A.2 B.1 C.－3 D.－6
4. 如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AB，BC的中點，則點C1到平面B1EF的距離等于
A. B. C. D.
5. 如圖，已知在長方體ABCD－A1B1C1D1中，A1A＝5，AB＝12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是
A.5 B.8 C. D.
6. 如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB＝3，AD＝4，PA＝1，則P到BD的距離為　　　　.
7.(14分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，M為BB1的中點，N為BC的中點.
(1)求點M到直線AC1的距離；(6分)
(2)求點N到平面MA1C1的距離.(8分)
8.(15分)如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點，F為線段BB1的中點.
(1)求直線FC1到直線AE的距離；(7分)
(2)求直線FC1到平面AB1E的距離.(8分)
9. 如圖，ABCD－EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿足，則P到AB的距離為
A. B. C. D.
10. 如圖，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F分別為BB1，CC1的中點，G為線段DD1上的點，且DG＝DD1，過E，F，G的平面交AA1于點H，則直線A1D1到平面EFGH的距離為
A. B. C. D.
11. 在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”，如圖.已知在鱉臑P－ABC中，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝BC＝2，M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為　　　　.
12. 如圖，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，則線段AB1上的動點P到直線BC1的距離的最小值為　　　　.
答案精析
1.D　[方法一　連接BD，AC交于點O(圖略)，
則D1O＝為所求.
方法二　如圖建立空間直角坐標系，易得C(a，a，0)，
D1(0，a，2a)，
取a＝＝(－a，0，2a)，
u＝＝，
則點D1到直線AC的距離為
＝.]
2.B　[∵兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，＝(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n＝(－1，0，1)，
∴兩平面間的距離
d＝.]
3.AD　[因為＝(0，1，2)－(x2，2x＋1，2)＝(－x2，－2x，0)，
n＝(－1，－2，2)，
所以·n＝x2＋4x，
|n|＝＝3，
所以點P到平面α的距離為
d＝＝4，
解得x＝2或x＝－6.]
4.D　[以D1為坐標原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，
E(2，1，2)，F(1，2，2).
＝(0，－1，2)，＝(－1，0，2)，
設平面B1EF的法向量為n＝(x，y，z)，
則即
令z＝1，得n＝(2，2，1).
又∵＝(－2，0，0)，
∴點C1到平面B1EF的距離
d＝.]
5.C　[以D為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C(0，12，0)，D1(0，0，5).
設B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0).
設平面A1BCD1的法向量為
n＝(a，b，c)，由n⊥，n⊥，
得n·＝(a，b，c)·(－x，0，0)
＝－ax＝0，
n·＝(a，b，c)·(0，－12，5)
＝－12b＋5c＝0，
所以a＝0，b＝c，
所以可取n＝(0，5，12).
又＝(0，0，－5)，
所以點B1到平面A1BCD1的距離為
.
因為B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距離為.]
6.
解析　如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
所以＝(3，0，－1)，
＝(－3，4，0)，
取a＝＝(3，0，－1)，
u＝，
則a2＝10，a·u＝－，
所以點P到BD的距離為
.
7.解　(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，
A1(0，0，2)，
M(2，0，1)，
C1(0，2，2)，
直線AC1的一個單位方向向量為
u＝＝(2，0，1)，
故點M到直線AC1的距離
d＝
＝.
(2)設平面MA1C1的法向量為
n＝(x，y，z)，
則即
取x＝1，得z＝2，
故n＝(1，0，2)為平面MA1C1的一個法向量，因為N(1，1，0)，
所以＝(－1，1，－1)，
故N到平面MA1C1的距離
d＝.
8.解　建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B1(1，1，1)，
E，
F，
C1(0，1，1)，A(1，0，0).
(1)因為，
，
所以∥，即AE∥FC1，
所以點F到直線AE的距離即為直線FC1到直線AE的距離.
取u＝，
又.
所以·u＝，
所以直線FC1到直線AE的距離為
.
(2)因為AE∥FC1，
所以FC1∥平面AB1E，
所以直線FC1到平面AB1E的距離等于C1到平面AB1E的距離.
＝(1，0，0)，＝(0，1，1)，
設平面AB1E的法向量為
n＝(x，y，z)，
則即
取z＝2，可得n＝(1，－2，2)，
所以C1到平面AB1E的距離為，所以直線FC1到平面AB1E的距離為.
9.C　[如圖，分別以AB，AD，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可作為x，y，z軸方向上的單位向量，
因為，
所以，
＝(1，0，0)，
，
所以P點到AB的距離
d＝
＝ .]
10.A　[以點D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示.則
E，F，G，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，
∴＝(－1，0，0)，
，
＝(－1，0，0)，
則，∴∥.
又∵EF 平面EFGH，
A1D1 平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距離，即為點D1到平面EFGH的距離.
設平面EFGH的法向量為
n＝(x，y，z)，
則即
令z＝6，則y＝－1，
∴n＝(0，－1，6)，
又∵，
∴點D1到平面EFGH的距離
d＝，
∴直線A1D1到平面EFGH的距離為.]
11.
解析　以B為坐標原點，BA，BC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系，如圖，則B(0，0，0)，
A(2，0，0)，
P(2，0，2)，
C(0，2，0)，
由M為PC的中點可得M(1，1，1).＝(1，1，1)，
＝(2，0，0)，＝(2，0，2).
設n＝(x，y，z)為平面MAB的法向量，
則即
令z＝－1，可得n＝(0，1，－1)，
點P到平面MAB的距離為
d＝.
12.
解析　如圖，在平面ABC內過點A作Ay⊥AB，
顯然射線AB，Ay，AA1兩兩垂直，
以點A為原點，射線AB，Ay，AA1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
因為正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱長均為1，
則A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C1，
所以＝(1，0，1)，
，
因為動點P在線段AB1上，
則令＝t＝(t，0，t)，0≤t≤1，
即有點P(t，0，t)，
所以＝(t－1，0，t)，
則||2＝(t－1)2＋t2＝2t2－2t＋1，
從而(t＋1)，
因此點P到直線BC1的距離
d＝
＝
＝
＝≥，
當且僅當t＝時取等號，
所以線段AB1上的動點P到直線BC1的距離的最小值為.1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
第1課時　距離問題
學習目標　1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面間的距離問題.2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
一、點到直線的距離
問題1　已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點.請找出向量在直線l上的投影向量，其模為多少？如何利用這些條件求點P到直線l的距離？
知識梳理　點到直線的距離
已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設＝a，則向量在直線l上的投影向量＝(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ＝＝　　　　　　.
典例　在長方體OABC－O1A1B1C1中，OA＝2，AB＝3，AA1＝2，求O1到直線AC的距離.
延伸探究1　在典例的條件下，M，N分別是O1A1，O1C1的中點，證明：MN∥AC，并求直線MN與AC的距離.
反思感悟　(1)用向量法求點到直線的距離的一般步驟
①求直線的單位方向向量u.
②計算所求點與直線上某一點所構成的向量a.
③利用公式d＝.
(2)如果求空間中兩條平行直線l，m間的距離，可在其中一條直線(如l)上任取一點P，將兩條平行直線的距離轉化為點P到另一條直線m的距離求解.
二、點、直線、平面到平面的距離
問題2　已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.如何利用向量與n求點P到平面α的距離？
知識梳理　點到平面的距離
已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則點P到平面α的距離PQ＝.
延伸探究2　在典例的條件下，E，F分別為AB，BC的中點.求點O到平面O1EF的距離.
延伸探究3　在典例及延伸探究1，2的條件下，證明：MN∥平面O1EF，并求直線MN到平面O1EF的距離.
延伸探究4　在典例及延伸探究1，2的條件下，證明平面BMN∥平面O1EF，并求兩平面的距離.
反思感悟　(1)用向量法求點面距離的步驟
①建系：建立恰當的空間直角坐標系.
②求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標.
③求向量：求出相關向量的坐標(，α內兩不共線向量，平面α的法向量n).
④求距離d＝.
(2)如果直線l∥平面α，求直線l到平面α的距離，可在直線l上任取一點P，則點P到平面α的距離等于直線l到平面α的距離.
(3)如果兩個平面α，β互相平行，求這兩個平行平面的距離，可在其中一個平面α內任取一點P，則點P到平面β的距離等于這兩個平行平面的距離.
1.知識清單：
(1)點到直線的距離.
(2)點到平面的距離與直線到平面的距離和兩個平行平面的距離的轉化.
2.方法歸納：數形結合、轉化法.
3.常見誤區：對距離公式理解不到位，在使用時生硬套用.對公式推導過程的理解是應用的基礎.
1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，則點A到直線BC的距離為(　　)
A. B.1 C. D.2
2.若三棱錐P－ABC的三條側棱兩兩垂直，且滿足PA＝PB＝PC＝1，則點P到平面ABC的距離是(　　)
A. B. C. D.
3.已知棱長為1的正方體 ABCD－A1B1C1D1，則平面 AB1C 與平面 A1C1D 之間的距離為(　　)
A. B. C. D.
4.在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線A1C1到平面ACD1的距離為　　　　.
答案精析
問題1　如圖，設=a，則向量在直線l上的投影向量=(a·u)u.||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得點P到直線l的距離為PQ==.
知識梳理
典例　解　方法一　連接AO1，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，
O1(0，0，2)，
C(0，3，0)，
∴=(-2，0，2)，
=(-2，3，0)，
∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4，
取a==(-2，0，2)，
u==，
∴a·u=，
∴O1到直線AC的距離
d==.
方法二　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，
O1(0，0，2)，
C(0，3，0)，
過O1作O1D⊥AC于點D，
設D(x，y，0)，則=(x，y，-2)，
=(x-2，y，0).
∵=(-2，3，0)，
⊥，∥，
∴解得
∴D，
∴||=
=.
即O1到直線AC的距離為.
延伸探究1　解　建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(2，0，0)，
C(0，3，0)，
M(1，0，2)，N，
∴=(-2，3，0)，
==，
∴∥，又MN與AC不重合，
∴MN∥AC，故點M到直線AC的距離即所求距離.直線AC的單位方向向量u==，=(1，0，-2)，
∴點M到直線AC的距離
d===，
所以直線MN與AC的距離為.
問題2　過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，向量在向量n上的投影向量為，借助數量積運算可知||=，向量的長度與P到平面α的距離相等，故點P到平面α的距離為PQ=.
延伸探究2　解　建立如圖所示的空間直角坐標系，
則O(0，0，0)，
O1(0，0，2)，
E，F(1，3，0)，
∴=，
=，
設平面O1EF的法向量為n=(x，y，z)，
則即
取y=2，則x=3，z=，
∴n=，又=(0，0，2)，
∴點O到平面O1EF的距離為
=
=.
延伸探究3　解　建立如圖所示的空間直角坐標系，
易知MN∥AC，
AC∥EF，
∴MN∥EF，
又MN 平面O1EF，EF 平面O1EF，
∴MN∥平面O1EF，
∴點M到平面O1EF的距離即所求距離.
由延伸探究2知，平面O1EF的一個法向量為n=，
=(-1，0，0)，
∴點M到平面O1EF的距離為
=
=，故直線MN到平面O1EF的距離為.
延伸探究4　解　建立如圖所示的空間直角坐標系，
則M(1，0，2)，N，
B(2，3，0)，∴=，
=(-1，-3，2)，
設平面BMN的法向量為m=(a，b，c)，
則即
取b=2，則a=3，c=，
∴m==n，
∴平面BMN∥平面O1EF，
∴點M到平面O1EF的距離與兩平面的距離相等，由延伸探究3知，所求距離為.
隨堂演練
1.A　[ ∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，
C(0，2，0)， =(1，0，0)，
=(-1，2，-2)，
∴點A到直線BC的距離為
d=
==.]
2.D　[以P為坐標原點，分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則P(0，0，0)，
A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1).
可以求得平面ABC的一個法向量為n=(1，1，1)，
則點P到平面ABC的距離為
d==.]
3.B　[建立如圖所示的空間直角坐標系，則 A1(1，0，0)，C1(0，1，0)，
D(0，0，1)，
A(1，0，1)，
所以 =
(1，0，-1)，
=(0，1，-1)，=(-1，0，0)，
設平面 A1C1D 的一個法向量為
m=(x，y，1)，
則 即
解得故m=(1，1，1)，
顯然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d===.]
4.
解析　以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，
所以=(-1，1，0)，
=(-1，0，1)，=(0，0，1)，
設n=(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則令x=1，則n=(1，1，1).
直線A1C1到平面ACD1的距離即點A1到平面ACD1的距離，故
d===.(共89張PPT)
第1課時
距離問題
第一章　1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
<<<
1.能用向量方法解決點到直線、點到平面、互相平行的直線、互相平行的平面間的距離問題.(重點)
2.通過空間中距離問題的求解，體會向量方法在研究幾何問題中的作用.
學習目標
立交橋是伴隨著高速公路應運而生的.城市的立交橋不僅大大方便了交通，而且成為城市建設的美麗風景.在設計過程中，工程師需要計算出上、下縱橫高速公路之間的距離、立交橋上的高速公路與地面之間的距離，工程師是如何計算出來的？
導 語
一、點到直線的距離
二、點、直線、平面到平面的距離
課時對點練
隨堂演練
內容索引
點到直線的距離
一
已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點.請找出向量在直線l上的投影向量其模為多少？如何利用這些條件求點P到直線l的距離？
問題1
提示　如圖，設=a，則向量在直線l上的投影向量=(a·u)u. ||=|(a·u)u|=|a·u|，在Rt△APQ中，由勾股定理，得點P到直線l的距離為
PQ==.
點到直線的距離
已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設=a，則向量在直線l上的投影向量=(a·u)u.在Rt△APQ中，由勾股定理，得PQ==______________.
在長方體OABC-O1A1B1C1中，OA=2，AB=3，AA1=2，求O1到直線AC的距離.
典例
方法一　連接AO1，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，
∴=(-2，0，2)=(-2，3，0)，
∴·=(-2，0，2)·(-2，3，0)=4，
取a==(-2，0，2)，u==
∴a·u=
∴O1到直線AC的距離d==.
解
方法二　建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2，0，0)，O1(0，0，2)，C(0，3，0)，過O1作O1D⊥AC于點D，
設D(x，y，0)，則=(x，y，-2)=(x-2，y，0).
∵=(-2，3，0)⊥∥
∴
∴D∴||==.
即O1到直線AC的距離為.
解
在典例的條件下，M，N分別是O1A1，O1C1的中點，證明：MN∥AC，并求直線MN與AC的距離.
延伸探究 1
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(2，0，0)，C(0，3，0)，
M(1，0，2)，N
∴=(-2，3，0)==
∴∥
又MN與AC不重合，
∴MN∥AC，故點M到直線AC的距離即所求距離.
解
直線AC的單位方向向量u===(1，0，-2)，
∴點M到直線AC的距離
d===
所以直線MN與AC的距離為.
解
(1)用向量法求點到直線的距離的一般步驟
①求直線的單位方向向量u.
②計算所求點與直線上某一點所構成的向量a.
③利用公式d=.
(2)如果求空間中兩條平行直線l，m間的距離，可在其中一條直線(如l)上任取一點P，將兩條平行直線的距離轉化為點P到另一條直線m的距離求解.
反
思
感
悟
二
點、直線、平面到平面的距離
已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.如何利用向量與n求點P到平面α的距離？
問題2
提示　過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，向量在向量n上的投影向量為借助數量積運算可知||=向量的長度與P到平面α的距離相等，故點P到平面α的距離為PQ=.
點到平面的距離
已知平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l，交平面α于點Q，則點P到平面α的距離PQ=.
實質上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是在直線l上的投影向量的長度.
注 意 點
<<<
在典例的條件下，E，F分別為AB，BC的中點.求點O到平面O1EF的距離.
延伸探究 2
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則O(0，0，0)，O1(0，0，2)，
EF(1，3，0)，
∴==
設平面O1EF的法向量為n=(x，y，z)，
則
解
取y=2，則x=3，z=∴n=
又=(0，0，2)，
∴點O到平面O1EF的距離為==.
解
　(課本例6)　如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段A1B1的中點，F為線段AB的中點.
(1)求點B到直線AC1的距離；
延伸探究 3
以D1為原點，D1A1，D1C1，D1D所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(1，0，1)，B(1，1，1)，C(0，1，1)，C1(0，1，0)，EF
所以=(0，1，0)=(-1，1，-1)，
=
=
==.
解
取a==(0，1，0)，u==(-1，1，-1)，
則a2=1，a·u=.
所以，點B到直線AC1的距離為
==.
解
(2)求直線FC到平面AEC1的距離.
因為==所以FC∥EC1，所以FC∥平面AEC1.
所以點F到平面AEC1的距離即為直線FC到平面AEC1的距離.
設平面AEC1的法向量為n=(x，y，z)，
則
所以
取z=1，則x=1，y=2.
解
所以，n=(1，2，1)是平面AEC1的一個法向量.
又因為=
所以點F到平面AEC1的距離為
==.
即直線FC到平面AEC1的距離為.
解
在典例及延伸探究1，2的條件下，證明：MN∥平面O1EF，并求直線MN到平面O1EF的距離.
延伸探究 3
建立如圖所示的空間直角坐標系，
易知MN∥AC，AC∥EF，
∴MN∥EF，
又MN 平面O1EF，EF 平面O1EF，
∴MN∥平面O1EF，
∴點M到平面O1EF的距離即所求距離.
由延伸探究2知，平面O1EF的一個法向量為n=
=(-1，0，0)，
解
∴點M到平面O1EF的距離為
==
故直線MN到平面O1EF的距離為.
解
在典例及延伸探究1，2的條件下，證明平面BMN∥平面O1EF，并求兩平面的距離.
延伸探究 4
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則M(1，0，2)，N
B(2，3，0)，
∴==(-1，-3，2)，
設平面BMN的法向量為m=(a，b，c)，
則
取b=2，則a=3，c=
解
∴m==n，
∴平面BMN∥平面O1EF，
∴點M到平面O1EF的距離與兩平面的距離相等，
由延伸探究3知，所求距離為.
解
(1)用向量法求點面距離的步驟
①建系：建立恰當的空間直角坐標系.
②求點坐標：寫出(求出)相關點的坐標.
③求向量：求出相關向量的坐標(α內兩不共線向量，平面α的法向量n).
④求距離d=.
反
思
感
悟
(2)如果直線l∥平面α，求直線l到平面α的距離，可在直線l上任取一點P，則點P到平面α的距離等于直線l到平面α的距離.
(3)如果兩個平面α，β互相平行，求這兩個平行平面的距離，可在其中一個平面α內任取一點P，則點P到平面β的距離等于這兩個平行平面的距離.
反
思
感
悟
1.知識清單：
(1)點到直線的距離.
(2)點到平面的距離與直線到平面的距離和兩個平行平面的距離的轉化.
2.方法歸納：數形結合、轉化法.
3.常見誤區：對距離公式理解不到位，在使用時生硬套用.對公式推導過程的理解是應用的基礎.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.已知A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，則點A到直線BC的距離為
A. B.1 C. D.2
√
∵A(0，0，2)，B(1，0，2)，C(0，2，0)，
=(1，0，0)=(-1，2，-2)，
∴點A到直線BC的距離為d===.
解析
1
2
3
4
2.若三棱錐P-ABC的三條側棱兩兩垂直，且滿足PA=PB=PC=1，則點P到平面ABC的距離是
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
以P為坐標原點，分別以PA，PB，PC所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則P(0，0，0)，A(1，0，0)，
B(0，1，0)，C(0，0，1).
可以求得平面ABC的一個法向量為n=(1，1，1)，
則點P到平面ABC的距離為d==.
解析
1
2
3
4
3.已知棱長為1的正方體 ABCD-A1B1C1D1，則平面 AB1C 與平面 A1C1D 之間的距離為
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
建立如圖所示的空間直角坐標系，則A1(1，0，0)，
C1(0，1，0)，D(0，0，1)，A(1，0，1)，
所以 =(1，0，-1)，
=(0，1，-1)，
=(-1，0，0)，
設平面 A1C1D 的一個法向量為m=(x，y，1)，
解析
1
2
3
4
則
解得
故m=(1，1，1)，
顯然平面AB1C∥平面A1C1D，
所以平面AB1C與平面A1C1D之間的距離d===.
解析
1
2
3
4
4.在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，直線A1C1到平面ACD1的距離
為　　　.
1
2
3
4
以D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(1，0，0)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)，
A1(1，0，1)，
解析
所以=(-1，1，0)=(-1，0，1)=(0，0，1)，
設n=(x，y，z)是平面ACD1的一個法向量，則
1
2
3
4
令x=1，則n=(1，1，1).
直線A1C1到平面ACD1的距離即點A1到平面ACD1的距離，故d===.
解析
課時對點練
四
題號 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 D B AD D C C A
題號 11 12 答案
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(1)建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，
M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
直線AC1的一個單位方向向量為
u=，=(2，0，1)，
故點M到直線AC1的距離d==.
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)設平面MA1C1的法向量為n=(x，y，z)，
則即
取x=1，得z=2，
故n=(1，0，2)為平面MA1C1的一個法向量，
因為N(1，1，0)，所以=(-1，1，-1)，
故N到平面MA1C1的距離d=.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B1(1，1，1)，E，F，
C1(0，1，1)，A(1，0，0).
(1)因為，，
所以∥，即AE∥FC1，
所以點F到直線AE的距離即為直線FC1到直線AE的距離.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
取u=，
又.
所以，·u=，
所以直線FC1到直線AE的距離為.
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)因為AE∥FC1，
所以FC1∥平面AB1E，
所以直線FC1到平面AB1E的距離等于C1到平面AB1E的距離.
=(1，0，0)，=(0，1，1)，
設平面AB1E的法向量為n=(x，y，z)，
則即
8.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
取z=2，可得n=(1，-2，2)，
所以C1到平面AB1E的距離為，
所以直線FC1到平面AB1E的距離為.
基礎鞏固
1.在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=a，AA1=2a，則點D1到直線AC的距離為
A.a B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
方法一　連接BD，AC交于點O(圖略)，
則D1O==為所求.
方法二　如圖建立空間直角坐標系，易得C(a，a，0)，D1(0，a，2a)，
取a==(-a，0，2a)，
u==，
則點D1到直線AC的距離為
==.
解析
2.兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n=(-1，0，1)，則兩平面間的距離是
A. B.
C. D.3
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
∵兩平行平面α，β分別經過坐標原點O和點A(2，1，1)，=(2，1，1)，且兩平面的一個法向量n=(-1，0，1)，
∴兩平面間的距離d===.
解析
3.(多選)已知平面α的一個法向量為n=(-1，-2，2)，點A(x2，2x+1，2)為平面α內一點，若點P(0，1，2)到平面α的距離為4，則x的值為
A.2 B.1
C.-3 D.-6
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
因為=(0，1，2)-(x2，2x+1，2)=(-x2，-2x，0)，n=(-1，-2，2)，所以
·n=x2+4x，|n|==3，所以點P到平面α的距離為d==
=4，解得x=2或x=-6.
解析
4.如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱AB，BC的中點，則點C1到平面B1EF的距離等于
A. B.
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以D1為坐標原點，分別以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B1(2，2，0)，C1(0，2，0)，E(2，1，2)，
F(1，2，2).=(0，-1，2)，=(-1，0，2)，
設平面B1EF的法向量為n=(x，y，z)，
則
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
令z=1，得n=(2，2，1).
又∵=(-2，0，0)，
∴點C1到平面B1EF的距離
d===.
解析
5.如圖，已知在長方體ABCD-A1B1C1D1中，A1A=5，AB=12，則直線B1C1到平面A1BCD1的距離是
A.5 B.8
C. D.
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以D為坐標原點，的方向分別為x，y，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C(0，12，0)，D1(0，0，5).
設B(x，12，0)，B1(x，12，5)(x>0).
設平面A1BCD1的法向量為n=(a，b，c)，
由n⊥，n⊥，
得n·=(a，b，c)·(-x，0，0)=-ax=0，n·=(a，b，c)·(0，-12，5)=
-12b+5c=0，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
所以a=0，b=c，所以可取n=(0，5，12).
又=(0，0，-5)，所以點B1到平面A1BCD1的距離為=.因為B1C1∥平面A1BCD1，
所以B1C1到平面A1BCD1的距離為.
解析
6.如圖，P為矩形ABCD所在平面外一點，PA⊥平面ABCD，若已知AB=3，
AD=4，PA=1，則P到BD的距離為　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖，分別以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，
則P(0，0，1)，B(3，0，0)，D(0，4，0)，
所以=(3，0，-1)，=(-3，4，0)，
取a==(3，0，-1)，u==，
則a2=10，a·u=-，
所以點P到BD的距離為==.
解析
7.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC=90°，M為BB1的中點，N為BC的中點.
(1)求點M到直線AC1的距離；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，
M(2，0，1)，C1(0，2，2)，
直線AC1的一個單位方向向量為u=，
=(2，0，1)，
故點M到直線AC1的距離
d===.
解
(2)求點N到平面MA1C1的距離.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
設平面MA1C1的法向量為n=(x，y，z)，
則
取x=1，得z=2，
故n=(1，0，2)為平面MA1C1的一個法向量，
因為N(1，1，0)，
所以=(-1，1，-1)，
故N到平面MA1C1的距離d===.
解
8.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為線段DD1的中點，F為線段BB1的中點.
(1)求直線FC1到直線AE的距離；
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則B1(1，1，1)，E，F，C1(0，1，1)，A(1，0，0).
因為=，
=，
所以∥，即AE∥FC1，
所以點F到直線AE的距離即為直線FC1到直線AE的距離.
取u==，
解
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又=.所以=·u=，
所以直線FC1到直線AE的距離為
=.
解
(2)求直線FC1到平面AB1E的距離.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為AE∥FC1，所以FC1∥平面AB1E，
所以直線FC1到平面AB1E的距離等于C1到平面AB1E的距離.
=(1，0，0)，=(0，1，1)，設平面AB1E的法向量為n=(x，y，z)，則即取z=2，可得n=(1，-2，2)，
所以C1到平面AB1E的距離為=，
所以直線FC1到平面AB1E的距離為.
解
9.如圖，ABCD-EFGH是棱長為1的正方體，若P在正方體內部且滿足=++，則P到AB的距離為
A. B.
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
綜合運用
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖，分別以AB，AD，AE所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，可作為x，y，z軸方向上的單位向量，
因為=++，
所以==(1，0，0)，=，
所以P點到AB的距離d== =.
解析
10.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別為BB1，CC1的中點，G為線段DD1上的點，且DG=DD1，過E，F，G的平面交AA1于點H，則直線A1D1到平面EFGH的距離為
A. B.
C. D.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
√
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以點D為坐標原點，直線DA，DC，DD1分別為x軸、y軸、z軸建立空間
直角坐標系，如圖所示.則E，
F，G，
D1(0，0，1)，A1(1，0，1)，
∴=(-1，0，0)，=，
=(-1，0，0)，則=，∴∥.
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又∵EF 平面EFGH，A1D1 平面EFGH，
∴A1D1∥平面EFGH.
∴A1D1到平面EFGH的距離，即為點D1到平面EFGH的距離.
設平面EFGH的法向量為n=(x，y，z)，
則
令z=6，則y=-1，∴n=(0，-1，6)，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
又∵=，
∴點D1到平面EFGH的距離d==，
∴直線A1D1到平面EFGH的距離為.
解析
11.在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的三棱錐稱為“鱉臑”，如圖.已知在鱉臑P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB
=BC=2，M為PC的中點，則點P到平面MAB的距離為　　　.
能力提升
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
以B為坐標原點，BA，BC所在直線分別為x軸、y軸建立空間直角坐標系，
如圖，則B(0，0，0)，A(2，0，0)，P(2，0，2)，C(0，2，0)，由M為PC的中點可得M(1，1，1).
=(1，1，1)，
=(2，0，0)，=(2，0，2).
設n=(x，y，z)為平面MAB的法向量，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
則
令z=-1，可得n=(0，1，-1)，點P到平面MAB的
距離為d==.
解析
12.如圖，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，則線段AB1上的動
點P到直線BC1的距離的最小值為　　.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
如圖，在平面ABC內過點A作Ay⊥AB，
顯然射線AB，Ay，AA1兩兩垂直，
以點A為原點，射線AB，Ay，AA1所在直線分別為
x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖，
因為正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長均為1，
則A(0，0，0)，B(1，0，0)，B1(1，0，1)，C1，
所以=(1，0，1)，=，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因為動點P在線段AB1上，
則令=t=(t，0，t)，0≤t≤1，
即有點P(t，0，t)，所以=(t-1，0，t)，
則||2=(t-1)2+t2=2t2-2t+1，
從而=(t+1)，
解析
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
因此點P到直線BC1的距離d=
=
= =≥，
當且僅當t=時取等號，
所以線段AB1上的動點P到直線BC1的距離的最小值為.
解析
第一章　1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
<<<

展開更多......

收起↑