資源簡介

第2課時　夾角問題
學習目標　1.會用向量法求線線、線面、面面夾角.2.能正確區分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關系.
一、兩異面直線所成的角
問題1　兩條異面直線所成的角與其方向向量的夾角有什么關系？
知識梳理
若異面直線 l1，l2 所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ＝|cos〈u，v〉|＝　　　　　　?。健　　　　　　　?
例1　如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，點E，F分別是棱AB，BB1的中點，試求直線EF和BC1所成角的大小.
反思感悟　求異面直線所成角的步驟
(1)確定兩條異面直線的方向向量.
(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值.
(3)得出兩條異面直線所成的角.
跟蹤訓練1　如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N所成角的余弦值為(　　)
A. B. C. D.
二、直線與平面所成的角
問題2　直線方向向量和平面法向量的夾角與直線和平面所成的角有什么關系？
知識梳理
設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sin θ＝　　　　　　　＝　　　　　　　?。健　　　　　　　?
例2　如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA＝AC＝AB，N為AB上一點，AB＝4AN，M，S分別為PB，BC的中點.
(1)證明：CM⊥SN；
(2)求SN與平面CMN所成角的大小.
反思感悟　利用平面的法向量求直線與平面所成角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標系.
(2)求直線的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)設線面角為θ，則sin θ＝ .
跟蹤訓練2　如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°，E，F分別為C1C，BC的中點.求A1B與平面AEF所成角的正弦值.
三、兩個平面的夾角
問題3　兩個平面的夾角與兩平面的法向量的夾角有何關系？
知識梳理
1.兩個平面的夾角的概念：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.
2.求夾角的方法：
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，設平面α與平面β的夾角為θ，則cos θ＝|cos〈n1，n2〉|＝　　　　　　　?。健　　　　　　　?
例3　如圖，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD＝O，A1C1∩B1D1＝O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.
(1)證明：O1O⊥平面ABCD；
(2)若∠CBA＝60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值.
反思感悟　求兩平面夾角的兩種方法
(1)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉或π－〈n1，n2〉.
(2)定義法：在兩個平面內分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也可轉化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.
跟蹤訓練3　如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AD＝AB＝2，·＝0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC＝2，求平面APB與平面EPB夾角的大小.
1.知識清單：
(1)兩異面直線所成的角.
(2)直線與平面所成的角.
(3)平面與平面的夾角.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍.
1.若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為，則l1與l2所成的角為(　　)
A. B.
C.或 D.以上均不對
2.已知兩平面的法向量分別為m＝(0，，0)，n＝(，，2)，則兩平面所成的二面角為(　　)
A.60° B.30°或150°
C.60°或120° D.90°
3.在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為(　　)
A. B.
C. D.
4. 如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上，＝(0，0，2)，平面ABC的一個法向量為n＝(2，1，2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，則cos θ＝　　　　.
答案精析
問題1　兩條異面直線所成的角與其方向向量的夾角相等或互補.
知識梳理
　
例1　解　分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，如圖.
設AB=1，則
B(0，0，0)，
E，F，C1(0，1，1)，
所以=，
=(0，1，1).
于是|cos〈，〉|===，所以直線EF和BC1所成角的大小為60°.
跟蹤訓練1　A　[建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則B1(2，2，2)，
M(1，1，0)，
D1(0，0，2)，N(1，0，0)，
∴=(-1，-1，-2)，
=(1，0，-2)，
∴|cos〈，〉|==.]
問題2　通過作圖可以看出，直線方向向量和平面法向量的夾角與直線和平面所成的角有時候互余，有時候向量夾角比線面角大.
知識梳理
|cos〈u，n〉|　　
例2　(1)證明　設PA=1，以A為原點，，，分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖).則P(0，0，1)，C(0，1，0)，B(2，0，0)，
又AN=AB，M，S分別為PB，BC的中點，∴N，M，
S，=，
=，
∴·=·=0，
∴⊥，因此CM⊥SN.
(2)解　由(1)知，=，
=，
=，
設a=(x，y，z)為平面CMN的法向量，∴·a=0，·a=0.
則∴
取y=1，得a=(2，1，-2).
設SN與平面CMN所成的角為θ，
∵sin θ=|cos〈a，〉|==.
∴SN與平面CMN所成的角為.
跟蹤訓練2　解　以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，E(0，2，1)，F(1，1，0)，
所以=(2，0，-2)，
=(0，2，1)，=(1，1，0).
設平面AEF的法向量為n=(a，b，c)，
由得
令a=1，可得n=(1，-1，2).
設A1B與平面AEF所成角為θ，
所以sin θ=|cos〈n，〉|
==，即A1B與平面AEF所成角的正弦值為.
問題3　兩平面的夾角是兩平面的法向量的夾角或其補角.
知識梳理
2.　
例3　(1)證明　因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，
所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因為AC∩BD=O，
AC，BD 平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
(2)解　因為四棱柱的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1兩兩垂直.
如圖，以O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.
設棱長為2，因為∠CBA=60°，
所以OB=，OC=1，
所以O(0，0，0)，B1(，0，2)，
C1(0，1，2)，
平面OB1D的一個法向量為
n=(0，1，0)，
設平面C1OB1的法向量為
m=(x，y，z)，
由m⊥，m⊥，
得x+2z=0，y+2z=0，
取z=-，則x=2，y=2，
所以m=(2，2，-)，
所以|cos〈m，n〉|==
=.
所以平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值為.
跟蹤訓練3　解　由PD⊥平面ABCD，AD，DC 平面ABCD，可得PD⊥DA，
PD⊥DC，
由·=0得AB⊥AD，由底面ABCD是平行四邊形得AB∥DC，則AD⊥DC，以D為坐標原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖.
因為AD=AB=2，PD=2EC=2，所以A(2，0，0)，B(2，2，0)，P(0，0，2)，
又因為EC∥PD，所以E(0，2，1)，
所以=(2，2，-2)，=(0，2，0)，=(-2，0，1).
設平面APB的法向量為m=(x，y，z)，
由
取z=1，得m=(1，0，1).
設平面EPB的法向量為n=(a，b，c)，
由
取c=2，得n=(1，1，2).
則|cos〈m，n〉|===，
故平面APB與平面EPB夾角的大小為.
隨堂演練
1.A　[l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，且異面直線所成角的范圍為，故選A.]
2.C　[cos〈m，n〉===，所以〈m，n〉=60°，
因為二面角與二面角的兩個半平面的法向量夾角相等或者互補，所以兩平面所成的二面角為60°或120°.]
3.C　[設該正方體的棱長為1，
建立空間直角坐標系如圖所示.
則D(0，0，0)，
B(1，1，0)，
B1(1，1，1)，
=(0，0，1)，
平面ACD1的一個法向量為
=(1，1，1).
設BB1與平面ACD1所成的角為θ，則sin θ=|cos〈，〉|
===.]
4.
解析　cos θ===.(共100張PPT)
第2課時
夾角問題
第一章　1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
<<<
1.會用向量法求線線、線面、面面夾角.(重點)
2.能正確區分向量夾角與所求線線角、線面角、面面角的關系.
學習目標
在必修課程中，我們學習過異面直線所成的角，直線與平面相交所成的角，以及兩個平面相交所成的二面角.這些角能否借助直線的方向向量、平面的法向量來求解呢？今天我們就來研究這個問題.
導 語
一、兩異面直線所成的角
二、直線與平面所成的角
課時對點練
隨堂演練
內容索引
三、兩個平面的夾角
兩異面直線所成的角
一
提示　兩條異面直線所成的角與其方向向量的夾角相等或互補.
兩條異面直線所成的角與其方向向量的夾角有什么關系？
問題1
若異面直線 l1，l2 所成的角為θ，其方向向量分別是u，v，則cos θ=
|cos〈u，v〉|= = .
兩異面直線所成角的范圍是兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補的關系.
注 意 點
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(課本例7)　如圖，在棱長為1的正四面體(四個面都是正三角形) ABCD中，M，N分別為BC，AD的中點，求直線AM和CN夾角的余弦值.
例 1
如題圖，以{
=-=-=+).
設向量的夾角為θ，
則直線AM和CN夾角的余弦值等于|cos θ|.
·=+)·=-·+·-·=-+-=.
解
又△ABC和△ACD均為等邊三角形，
所以||=||=.
所以cos θ===.
所以直線AM和CN夾角的余弦值為.
解
　如圖所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E，F分別是棱AB，BB1的中點，試求直線EF和BC1所成角的大小.
例 1
分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，
如圖.
設AB=1，則B(0，0，0)，E
FC1(0，1，1)，
所以==(0，1，1).
于是|cos〈 〉|===
所以直線EF和BC1所成角的大小為60°.
解
求異面直線所成角的步驟
(1)確定兩條異面直線的方向向量.
(2)確定兩個向量夾角的余弦值的絕對值.
(3)得出兩條異面直線所成的角.
反
思
感
悟
　如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，已知M，N分別是BD和AD的中點，則B1M與D1N所成角的余弦值為
A. B.
C. D.
跟蹤訓練 1
√
建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體的棱長為2，則B1(2，2，2)，M(1，1，0)，D1(0，0，2)，N(1，0，0)，
∴=(-1，-1，-2)，
=(1，0，-2)，
∴|cos〈〉|==.
解析
二
直線與平面所成的角
提示　通過作圖可以看出，直線方向向量和平面法向量的夾角與直線和平面所成的角有時候互余，有時候向量夾角比線面角大.
直線方向向量和平面法向量的夾角與直線和平面所成的角有什么關系？
問題2
設直線AB與平面α所成的角為θ，直線AB的方向向量為u，平面α的法向
量為n，則sin θ= = = .
|cos〈u，n〉|
(1)直線與平面所成的角，可以轉化為直線的方向向量與平面的法向量的夾角.
(2)線面角的范圍為.
(3)把斜線的方向向量與平面法向量的夾角記作α，當α為銳角時，直線和平面所成的角為-α；當α為鈍角時，直線和平面所成的角為α-.
注 意 點
<<<
如圖所示，在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=AC =AB，N為AB上一點，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點.
(1)證明：CM⊥SN；
例 2
設PA=1，以A為原點分別為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標系(如圖).
則P(0，0，1)，
C(0，1，0)，B(2，0，0)，
又AN=AB，M，S分別為PB，BC的中點，
∴NMS
證明
==
∴·=·=0，
∴⊥因此CM⊥SN.
證明
(2)求SN與平面CMN所成角的大小.
由(1)知=
==
設a=(x，y，z)為平面CMN的法向量，
∴·a=0·a=0.
則∴
取y=1，得a=(2，1，-2).
解
設SN與平面CMN所成的角為θ，
∵sin θ=|cos〈a〉|==.
∴SN與平面CMN所成的角為.
解
利用平面的法向量求直線與平面所成角的基本步驟
(1)建立空間直角坐標系.
(2)求直線的方向向量u.
(3)求平面的法向量n.
(4)設線面角為θ，則sin θ= .
反
思
感
悟
　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=AC=AA1=2，∠BAC= 90°，E，F分別為C1C，BC的中點.求A1B與平面AEF所成角的正弦值.
跟蹤訓練 2
以A為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，
E(0，2，1)，F(1，1，0)，
所以=(2，0，-2)=(0，2，1)，=(1，1，0).
設平面AEF的法向量為n=(a，b，c)，
由
解
令a=1，可得n=(1，-1，2).
設A1B與平面AEF所成角為θ，
所以sin θ=|cos〈n〉|==
即A1B與平面AEF所成角的正弦值為.
解
兩個平面的夾角
三
提示　兩平面的夾角是兩平面的法向量的夾角或其補角.
兩個平面的夾角與兩平面的法向量的夾角有何關系？
問題3
1.兩個平面的夾角的概念：平面α與平面β相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90°的二面角稱為平面α與平面β的夾角.
2.求夾角的方法：
若平面α，β的法向量分別是n1和n2，設平面α與平面β的夾角為θ，則
cos θ=|cos〈n1，n2〉|=________=_______.
(1)兩平面的夾角是兩平面的法向量的夾角或其補角.
(2)二面角與兩平面的夾角是兩個不同的概念，注意兩者范圍的不同.
注 意 點
<<<
　(課本例8)　如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=CB=2，AA1=3，∠ACB=90°，P為BC的中點，點Q，R分別在棱AA1，BB1上，A1Q=2AQ，BR=2RB1.求平面PQR與平面A1B1C1夾角的余弦值.
例 3
以C1為原點，C1A1，C1B1，C1C所在直線為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.設平面A1B1C1的法向量為n1，平面PQR的法向量為n2，則平面PQR與平面A1B1C1的夾角就是n1與n2的夾角或其補角.
解
因為C1C⊥平面A1B1C1，所以平面A1B1C1的一個法向量為n1=(0，0，1).
根據所建立的空間直角坐標系，可知P(0，1，3)，Q(2，0，2)，R(0，2，1).
所以=(2，-1，-1)=(0，1，-2).
設n2=(x，y，z)，則
所以
取n2=(3，4，2)，則cos〈n1，n2〉===.
設平面PQR與平面A1B1C1的夾角為θ，
則cos θ=|cos〈n1，n2〉|=.
即平面PQR與平面A1B1C1的夾角的余弦值為.
解
(課本例10)　如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB交PB于點F.
(1)求證：PA∥平面EDB；
例 3
以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設DC=1.
證明
連接AC，交BD于點G，連接EG.
依題意得A(1，0，0)，P(0，0，1)，E.
因為底面ABCD是正方形，
所以點G是它的中心，故點G的坐標為
且=(1，0，-1)=.
所以=2即PA∥EG.
而EG 平面EDB，且PA 平面EDB，因此PA∥平面EDB.
證明
(2)求證：PB⊥平面EFD；
依題意得B(1，1，0)=(1，1，-1).
又=
故·=0+-=0.
所以PB⊥DE.
由已知EF⊥PB，且EF∩DE=E，
所以PB⊥平面EFD.
證明
(3)求平面CPB與平面PBD的夾角的大小.
已知PB⊥EF，由(2)可知PB⊥DF，
故∠EFD是平面CPB與平面PBD的夾角.
設點F的坐標為(x，y，z)，
則=(x，y，z-1).
因為=k
所以(x，y，z-1)=k(1，1，-1)=(k，k，-k)，即x=k，y=k，z=1-k.
由(2)可知·=0，
則(1，1，-1)·(k，k，1-k)=k+k-1+k=3k-1=0.
解
所以k=點F的坐標為.
又點E的坐標為
所以=.
所以cos∠EFD===.
所以∠EFD=60°，即平面CPB與平面PBD的夾角大小為60°.
解
　 如圖，四棱柱ABCD-A1B1C1D1的所有棱長都相等，AC∩BD=O，A1C1∩B1D1=O1，四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形.
(1)證明：O1O⊥平面ABCD；
例 3
因為四邊形ACC1A1和四邊形BDD1B1均為矩形，
所以CC1⊥AC，DD1⊥BD，
又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD，
因為AC∩BD=O，AC，BD 平面ABCD，
所以O1O⊥平面ABCD.
證明
(2)若∠CBA=60°，求平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值.
因為四棱柱的所有棱長都相等，所以四邊形ABCD為菱形，AC⊥BD，又O1O⊥平面ABCD，所以OB，OC，OO1兩兩垂直.
如圖，以O為原點，OB，OC，OO1所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.
設棱長為2，因為∠CBA=60°，
所以OB=OC=1，
所以O(0，0，0)，B1(0，2)，C1(0，1，2)，
平面OB1D的一個法向量為n=(0，1，0)，
解
設平面C1OB1的法向量為m=(x，y，z)，
由m⊥m⊥
得x+2z=0，y+2z=0，
取z=-則x=2，y=2
所以m=(2，2-)，
所以|cos〈m，n〉|===.
所以平面C1OB1與平面OB1D夾角的余弦值為.
解
求兩平面夾角的兩種方法
(1)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2或π-〈n1，n2.
(2)定義法：在兩個平面內分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角.也可轉化為求與兩平面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同.
反
思
感
悟
　　　　　如圖，多面體ABCDPE的底面ABCD是平行四邊形，AD＝AB＝2，·＝0，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝2EC＝2，求平面APB與平面EPB夾角的大小.
跟蹤訓練 3
由PD⊥平面ABCD，AD，DC 平面ABCD，可得PD⊥DA，PD⊥DC，由·＝0得AB⊥AD，由底面ABCD是平行四邊形得AB // DC，則AD⊥DC，以D為坐標原點，DA，DC，DP所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖.
因為AD＝AB＝2，PD＝2EC＝2，所以A(2，0，0)，
B(2，2，0)，P(0，0，2)，
又因為EC//PD，所以E(0，2，1)，
所以＝(2，2，－2)，＝(0，2，0)，＝(－2，0，1).
解
設平面APB的法向量為m＝(x，y，z)，
由取z＝1，得m＝(1，0，1).
設平面EPB的法向量為n＝(a，b，c)，
由取c＝2，得n＝(1，1，2).
則|cos〈m，n〉|＝，
故平面APB與平面EPB夾角的大小為.
解
1.知識清單：
(1)兩異面直線所成的角.
(2)直線與平面所成的角.
(3)平面與平面的夾角.
2.方法歸納：轉化與化歸.
3.常見誤區：混淆兩個向量的夾角和空間角的關系，不能正確理解空間角的概念、把握空間角的范圍.
隨堂演練
三
1
2
3
4
1.若異面直線l1的方向向量與l2的方向向量的夾角為則l1與l2所成的角為
A. B.
C.或 D.以上均不對
√
l1與l2所成的角與其方向向量的夾角相等或互補，且異面直線所成角的范圍為故選A.
解析
2.已知兩平面的法向量分別為m=(00)，n=(2)，則兩平面所成的二面角為
A.60° B.30°或150°
C.60°或120° D.90°
√
cos〈m，n〉===
所以〈m，n〉=60°，
因為二面角與二面角的兩個半平面的法向量夾角相等或者互補，
所以兩平面所成的二面角為60°或120°.
解析
1
2
3
4
1
2
3
4
3.在正方體ABCD-A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的正弦值為
A. B. C. D.
√
1
2
3
4
設該正方體的棱長為1，
建立空間直角坐標系如圖所示.
則D(0，0，0)，B(1，1，0)，
B1(1，1，1)=(0，0，1)，
平面ACD1的一個法向量為=(1，1，1).
設BB1與平面ACD1所成的角為θ，
則sin θ=|cos〈|===.
解析
1
2
3
4
4.如圖所示，點A，B，C分別在空間直角坐標系Oxyz的三條坐標軸上=(0，0，2)，平面ABC的一個法向量為n=(2，1，2)，平面ABC與平面ABO的夾角為θ，
則cos θ=　　　.
cos θ===.
解析
課時對點練
四
題號 1 2 3 4 5 6 9 10
答案 C B D BCD B A
題號 11 12 答案 ACD
對一對
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.
答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
取BD的中點O，連接OA，OC.
由題意知OA，OC，BD兩兩垂直.
以O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，
則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，
C(0，，0)，A(0，0，1)，
∴=(-1，0，1)，=(-1，-，0)，∴|cos〈，〉|=.
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為.
8.
答案
1
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4
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6
7
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9
10
11
12
(1)在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，若E為棱A1B1的中點，
則E(2，1，2)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，
A1(2，0，2)，C1(0，2，2).
所以=(-2，2，0)，=(0，-2，2)，
=(1，-1，2).
8.
答案
1
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11
12
設平面A1BC1的法向量為n=(x，y，z)，
則即
令x=1，則n=(1，1，1).
設EF與平面A1BC1所成角為α，
則有sin α=|cos〈n，〉|=.
故直線EF與平面A1BC1所成角的正弦值為.
8.
答案
1
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12
(2)設直線EF與A1C1所成角為θ，E(2，m，2)(0則=(1，m-2，2).
所以cos θ=|cos〈，〉|=
=·
=·.
8.
答案
1
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12
因為0，m+-4>，即<1-<1，
于是有<<1，
所以<·<，
即故直線EF與A1C1所成角的余弦值的取值范圍為.
基礎鞏固
1.設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉
=，則l與α所成的角為
A. B.
C. D.
√
由已知得線面角的范圍是.
∵〈a，n〉=，∴l與法向量所在直線所成的角為，
∴l與α所成的角為.
解析
答案
1
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12
2.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2AA1=2BC=2，E是CD的中點，則異面直線EB1與D1C所成角的余弦值為
A. B.
C. D.
√
答案
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答案
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12
建立如圖所示的空間直角坐標系，則E(0，1，0)，C(0，2，0)，
B1(1，2，1)，D1(0，0，1)，
∴=(1，1，1)，=(0，2，-1)，
設異面直線EB1與D1C所成的角為θ，
則cos θ=
==.
解析
3.如圖所示，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為
A. B.
C. D.
√
答案
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答案
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11
12
如圖所示，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，C1(0，2，1)，
∴=(-2，0，1).
連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一個法向量為=(-2，2，0).
∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為
|cos〈〉|===.
解析
4.(多選)直線l的方向向量為a，兩個平面α，β的法向量分別為n，m，則下列命題為真命題的是
A.若a⊥n，則直線l∥平面α
B.若a∥n，則直線l⊥平面α
C.若cos〈a，n〉=，則直線l與平面α所成角的大小為
D.若cos〈m，n〉=，則平面α，β夾角的大小為
√
答案
1
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11
12
√
√
答案
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11
12
對于A，若a⊥n，則直線l∥平面α或在平面α內，故選項A不正確；
對于B，若a∥n，則a也是平面α的一個法向量，所以直線l⊥平面α，故選項B正確；
對于C，直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面法向量夾角的余弦值的絕對值，所以若cos〈a，n〉=，則直線l與平面α所成角的大小為，故選項C正確；
對于D，若cos〈m，n〉=，則平面α，β夾角的大小為，故選項D正確.
解析
5.已知正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA=AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
答案
1
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答案
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12
如圖所示，建立空間直角坐標系，設PA=AB=1，
則A(0，0，0)，D(0，1，0)，P(0，0，1).
于是=(0，1，0)，取PD的中點E，
則E，∴=，
易知是平面PAB的法向量，是平面PCD的法向量，
∴|cos〈〉|=，
∴平面PAB與平面PCD的夾角為45°.
解析
6.在空間中，已知平面α過A(3，0，0)和B(0，4，0)及z軸上一點P(0，0，a)
(a>0)，如果平面α與平面Oxy的夾角為45°，則a=　　.
答案
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答案
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12
平面Oxy的一個法向量為n=(0，0，1).
設平面α的法向量為u=(x，y，z)，
又=(-3，4，0)，=(-3，0，a)，
則
即3x=4y=az，
取z=1，則u=.
解析
答案
1
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11
12
而|cos〈n，u〉|==，
又∵a>0，∴a=.
解析
7.如圖所示，在四面體ABCD中，CA=CB=CD=BD=2，AB=AD=.求異面直線AB與CD所成角的余弦值.
答案
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答案
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12
取BD的中點O，連接OA，OC.
由題意知OA，OC，BD兩兩垂直.
以O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，
則B(1，0，0)，D(-1，0，0)，C(0，，0)，
A(0，0，1)，
∴=(-1，0，1)，=(-1，-，0)，
∴|cos〈〉|==.
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為.
解
8.如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點(不含端點)，F為棱BC的中點.
(1)若E為棱A1B1的中點，求直線EF與平面A1BC1所成角的正弦值；
答案
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答案
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12
在正方體ABCD-A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，若E為棱A1B1的中點，
則E(2，1，2)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，
A1(2，0，2)，C1(0，2，2).
所以=(-2，2，0)，=(0，-2，2)，
=(1，-1，2).
解
答案
1
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11
12
設平面A1BC1的法向量為n=(x，y，z)，
則
令x=1，則n=(1，1，1).
設EF與平面A1BC1所成角為α，
則有sin α=|cos〈n，〉|===.
故直線EF與平面A1BC1所成角的正弦值為.
解
(2)求直線EF與A1C1所成角的余弦值的取值范圍.
答案
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答案
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11
12
設直線EF與A1C1所成角為θ，
E(2，m，2)(0所以cos θ=|cos〈〉|=
==·
=·.
因為0，m+-4>，
解
答案
1
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11
12
即<1-<1，
于是有<<1，
所以<·<，
即故直線EF與A1C1所成角的余弦值的取值范圍為.
解
9.在如圖所示的空間直角坐標系Axyz中，P(x，y，z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1內一動點，A1A=AB=2，直線PA和底面ABC所成的角為，則點P的坐標滿足
A.x2+y2= B.x2+y2=2
C.x2+y2=3 D.x2+y2=4
答案
1
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12
√
綜合運用
答案
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11
12
由正三棱柱ABC-A1B1C1，且A1A=AB=2，根據坐標系可得A(0，0，0)，A1(0，0，2)，又P(x，y，z)是正三棱柱ABC-A1B1C1的底面A1B1C1內一動點，則z=2，所以=(-x，-y，-z)，又AA1⊥平面ABC，所以=(0，0，2)是平面ABC的一個法向量，因為直線PA和底面ABC所成的角為，
所以|cos〈〉|====，整理得z2=3x2+3y2，又z=2，所以x2+y2=.
解析
10.如圖，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF將正方形折成一個二面
角后，AE∶ED∶AD=1∶1∶，則AF與CE所成角的余弦值為　　.
答案
1
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12
答案
1
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11
12
因為AE∶ED∶AD=1∶1∶，所以AE⊥ED，
即AE，DE，EF兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設AB=EF=CD=2，
則E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，
所以=(-1，2，0)，=(0，2，1)，
所以|cos〈〉|===，
所以AF與CE所成角的余弦值為.
解析
11.(多選)已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，高為h，記異面直線A1C與BC1所成的角為θ，則
A.若a=h，則cos θ=
B.若cos θ=，則a=h
C.若a=h，則θ=90°
D.若θ=60°，則h=a
√
答案
1
2
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5
6
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9
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11
12
√
√
能力提升
答案
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11
12
如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，E，連接OE，OB，
則OE⊥平面ABC，OB⊥AC，
以O為坐標原點，OB，OC，OE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.
對于A，當a=h時，A1，C，
B，C1，
解析
答案
1
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11
12
則=(0，a，-a)，=，
則cos〈〉===-，
由于異面直線A1C與BC1所成的角θ∈，
故cos θ=，A正確；
對于B，A1，C，B，C1，
則=(0，a，-h)，=，由于cos θ=，
解析
答案
1
2
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4
5
6
7
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9
10
11
12
則|cos〈〉|===，
解得a=h或a=h，B錯誤；
對于C，當a=h時，A1，
C，B，C1，
則=(0，h，-h)，=，
則·=h2-h2=0，故⊥，則θ=90°，C正確；
解析
答案
1
2
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4
5
6
7
8
9
10
11
12
對于D，若θ=60°，則cos θ=，
則A1，C，B，C1，
則=(0，a，-h)，=，
則|cos〈〉|
===，
解得h=a或h=0(舍)，D正確.
解析
12.已知在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點E，F分別是棱BB1，DD1上的動點，且BE=D1F=λ.設EF與AB所成的角為α，EF與
BC所成的角為β，則α+β的最小值為　　.
答案
1
2
3
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11
12
答案
1
2
3
4
5
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9
10
11
12
以點D為坐標原點，
以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，
則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，E(1，1，λ)，F(0，0，1-λ)，
則=(-1，-1，1-2λ)，=(0，1，0)，=(-1，0，0)，
所以cos α==，cos β==，所以α=β.
又因為當λ=，
所以αmin=βmin=，所以(α+β)min=.
解析
第一章　1.4.2　用空間向量研究距離、夾角問題
<<<作業12　夾角問題
分值：80分
單選題每小題5分，共25分；多選題每小題6分，共12分
1.設直線l與平面α相交，且l的方向向量為a，α的法向量為n，若〈a，n〉＝，則l與α所成的角為
A. B. C. D.
2.已知長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2AA1＝2BC＝2，E是CD的中點，則異面直線EB1與D1C所成角的余弦值為
A. B. C. D.
3. 如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為
A. B. C. D.
4.(多選)直線l的方向向量為a，兩個平面α，β的法向量分別為n，m，則下列命題為真命題的是
A.若a⊥n，則直線l∥平面α
B.若a∥n，則直線l⊥平面α
C.若cos〈a，n〉＝，則直線l與平面α所成角的大小為
D.若cos〈m，n〉＝，則平面α，β夾角的大小為
5.已知正方形ABCD所在平面外一點P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則平面PAB與平面PCD的夾角為
A.30° B.45° C.60° D.90°
6.在空間中，已知平面α過A(3，0，0)和B(0，4，0)及z軸上一點P(0，0，a)(a>0)，如果平面α與平面Oxy的夾角為45°，則a＝　　　　　.
7.(13分)如圖所示，在四面體ABCD中，CA＝CB＝CD＝BD＝2，AB＝AD＝.求異面直線AB與CD所成角的余弦值.
8.(15分)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱A1B1上一點(不含端點)，F為棱BC的中點.
(1)若E為棱A1B1的中點，求直線EF與平面A1BC1所成角的正弦值；(7分)
(2)求直線EF與A1C1所成角的余弦值的取值范圍.(8分)
9. 在如圖所示的空間直角坐標系Axyz中，P(x，y，z)是正三棱柱ABC－A1B1C1的底面A1B1C1內一動點，A1A＝AB＝2，直線PA和底面ABC所成的角為，則點P的坐標滿足
A.x2＋y2＝ B.x2＋y2＝2
C.x2＋y2＝3 D.x2＋y2＝4
10.如圖，在正方形ABCD中，EF∥AB，若沿EF將正方形折成一個二面角后，AE∶ED∶AD＝1∶1∶，則AF與CE所成角的余弦值為　　　　　.
11.(多選)已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面邊長為a，高為h，記異面直線A1C與BC1所成的角為θ，則
A.若a＝h，則cos θ＝
B.若cos θ＝，則a＝h
C.若a＝h，則θ＝90°
D.若θ＝60°，則h＝a
12.已知在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，點E，F分別是棱BB1，DD1上的動點，且BE＝D1F＝λ.設EF與AB所成的角為α，EF與BC所成的角為β，則α＋β的最小值為　　　　.
答案精析
1.C　[由已知得線面角的范圍是.
∵〈a，n〉＝，
∴l與法向量所在直線所成的角為，
∴l與α所成的角為.]
2.B　[建立如圖所示的空間直角坐標系，則E(0，1，0)，C(0，2，0)，B1(1，2，1)，D1(0，0，1)，
∴＝(1，1，1)，
＝(0，2，－1)，
設異面直線EB1與D1C所成的角為θ，
則cos θ＝
＝.]
3.D　[如圖所示，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，
A(2，0，0)，
B(2，2，0)，
C(0，2，0)，C1(0，2，1)，
∴＝(－2，0，1).
連接AC，易證AC⊥平面BB1D1D，
∴平面BB1D1D的一個法向量為
＝(－2，2，0).
∴BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為
|cos〈〉|＝.]
4.BCD　[對于A，若a⊥n，則直線l∥平面α或在平面α內，故選項A不正確；
對于B，若a∥n，則a也是平面α的一個法向量，所以直線l⊥平面α，故選項B正確；
對于C，直線與平面所成角的正弦值等于直線與平面法向量夾角的余弦值的絕對值，所以若cos〈a，n〉＝，則直線l與平面α所成角的大小為，故選項C正確；
對于D，若cos〈m，n〉＝，則平面α，β夾角的大小為，故選項D正確.]
5.B　[如圖所示，建立空間直角坐標系，設
PA＝AB＝1，
則A(0，0，0)，
D(0，1，0)，P(0，0，1).
于是＝(0，1，0)，取PD的中點E，則E，
∴，
易知是平面PAB的法向量，
是平面PCD的法向量，
∴|cos〈〉|＝，
∴平面PAB與平面PCD的夾角為45°.]
6.
解析　平面Oxy的一個法向量為
n＝(0，0，1).
設平面α的法向量為u＝(x，y，z)，
又＝(－3，4，0)，
＝(－3，0，a)，
則即
即3x＝4y＝az，
取z＝1，則u＝.
而|cos〈n，u〉|＝，
又∵a>0，∴a＝.
7.解　取BD的中點O，連接OA，OC.
由題意知OA，OC，BD兩兩垂直.
以O為坐標原點建立空間直角坐標系，如圖所示，
則B(1，0，0)，D(－1，0，0)，
C(0，，0)，A(0，0，1)，
∴＝(－1，0，1)，
＝(－1，－，0)，
∴|cos〈〉|＝.
∴異面直線AB與CD所成角的余弦值為.
8.解　(1)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，以DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2，若E為棱A1B1的中點，
則E(2，1，2)，F(1，2，0)，B(2，2，0)，
A1(2，0，2)，C1(0，2，2).
所以＝(－2，2，0)，
＝(0，－2，2)，＝(1，－1，2).
設平面A1BC1的法向量為
n＝(x，y，z)，
則即
令x＝1，則n＝(1，1，1).
設EF與平面A1BC1所成角為α，
則有sin α＝|cos〈n，〉|
＝.
故直線EF與平面A1BC1所成角的正弦值為.
(2)設直線EF與A1C1所成角為θ，
E(2，m，2)(0則＝(1，m－2，2).
所以cos θ＝|cos〈〉|＝
＝·
＝·.
因為0所以m＋>，m＋－4>，
即<1－<1，
于是有<<1，
所以<·<，
即故直線EF與A1C1所成角的余弦值的取值范圍為.
9.A　[由正三棱柱ABC－A1B1C1，且A1A＝AB＝2，根據坐標系可得A(0，0，0)，A1(0，0，2)，又P(x，y，z)是正三棱柱ABC－A1B1C1的底面A1B1C1內一動點，則z＝2，所以＝(－x，－y，－z)，又AA1⊥平面ABC，所以＝(0，0，2)是平面ABC的一個法向量，因為直線PA和底面ABC所成的角為，
所以|cos〈〉|＝
＝，
整理得z2＝3x2＋3y2，
又z＝2，所以x2＋y2＝.]
10.
解析　因為AE∶ED∶AD＝1∶1∶，所以AE⊥ED，
即AE，DE，EF兩兩垂直，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
設AB＝EF＝CD＝2，
則E(0，0，0)，A(1，0，0)，F(0，2，0)，C(0，2，1)，
所以＝(－1，2，0)，＝(0，2，1)，
所以|cos〈〉|＝，
所以AF與CE所成角的余弦值為.
11.ACD　[如圖，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，設AC，A1C1的中點分別為O，E，連接OE，OB，
則OE⊥平面ABC，OB⊥AC，
以O為坐標原點，OB，OC，OE所在直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系.
對于A，當a＝h時，A1，C，B，C1，
則＝(0，a，－a)，
，
則cos〈〉＝＝－，
由于異面直線A1C與BC1所成的角θ∈，
故cos θ＝，A正確；
對于B，A1，
C，B，
C1，
則＝(0，a，－h)，
，
由于cos θ＝，
則|cos〈〉|＝
＝，
解得a＝h或a＝h，B錯誤；
對于C，當a＝h時，
A1，C，
B，C1，
則＝(0，h，－h)，
，
則·＝h2－h2＝0，
故⊥，則θ＝90°，C正確；
對于D，若θ＝60°，則cos θ＝，
則A1，C，
B，C1，
則＝(0，a，－h)，
，
則|cos〈〉|＝
＝，
解得h＝a或h＝0(舍)，D正確.]
12.
解析　以點D為坐標原點，
以DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系(圖略)，
則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，
E(1，1，λ)，F(0，0，1－λ)，
則＝(－1，－1，1－2λ)，
＝(0，1，0)，＝(－1，0，0)，
所以cos α＝，
cos β＝，
所以α＝β.
又因為當λ＝時，取得最大值，
所以αmin＝βmin＝，
所以(α＋β)min＝.

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