資源簡介

一、空間向量的概念及運算
1.空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法則和平行四邊形法則，減法的幾何意義，數乘運算與向量共線的判斷、數量積運算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標表示是向量運算的基礎.
2.向量的運算過程較為繁雜，要注意培養學生的數學運算能力.
例1　(1)(多選)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項中，正確的是(　　)
A.+++=0
B.+--=0
C.-+-=0
D.·=·
(2)已知空間向量a=(2，4，-2)，b=(-1，0，2)，c=(x，2，-1).若b⊥c，則cos〈a，c〉=　　　　　.
反思感悟　(1)向量的線性運算，實質上是在正確進行數乘運算的基礎上，運用平行四邊形法則或三角形法則進行向量求和或差運算，其關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中.
(2)涉及空間向量的數量積的應用時，主要用到以下三個重要公式：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，cos〈a，b〉=|a|2=a2.
跟蹤訓練1　(1)在空間直角坐標系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，點P在z軸上，且滿足||=||，則P點坐標為(　　)
A.(3，0，0)
B.(0，3，0)
C.(0，0，3)
D.(0，0，-3)
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求與夾角的余弦值.
二、利用空間向量證明位置關系
1.用空間向量判斷空間中位置關系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉化為線線關系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明.
2.將立體幾何的線面關系轉化為向量間的關系，可以培養學生的邏輯思維能力和數學運算能力.
例2　在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA=AD=CD=2AB=2，M為PC的中點.
(1)求證：BM∥平面PAD；
(2)平面PAD內是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由.
反思感悟　利用空間向量證明或求解立體幾何問題時，首先要選擇基底或建立空間直角坐標系轉化為其坐標運算，再借助于向量的有關性質求解(證).
跟蹤訓練2　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(1)求證：AC⊥BC1；
(2)在棱AB上是否存在點E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由.
三、利用空間向量計算距離
1.空間距離的計算思路
(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量=a，則向量在直線l上的投影向量為=(a·u)u，則點P到直線l的距離為 (如圖).
(2)設平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為 (如圖).
2.通過利用向量計算空間的距離，可以培養學生的邏輯思維能力和數學運算能力.
例3　在三棱錐B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC=CD=AD=AB=1，且∠BAD=30°，求點D到平面ABC的距離.
反思感悟　利用向量法求點面距，只需求出平面的一個法向量和該點與平面內任一點連線表示的向量，代入公式求解即可.
跟蹤訓練3　已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為　　　　　.
四、利用空間向量求空間角
1.空間向量與空間角的關系
(1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cos θ=|cos〈m1，m2〉|.
(2)設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成的角θ滿足sin θ=|cos〈m，n〉|.
(3)設n1，n2分別是兩個平面α，β的法向量，則兩平面α，β的夾角θ滿足cos θ=|cos〈n1，n2〉|.
2.通過利用向量計算空間角，可以培養學生的邏輯思維能力和數學運算能力.
例4　在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，CD=AD=AB=1，∠PAD=45°，E是PA的中點，點G在線段AB上，且滿足CG⊥BD.
(1)求證：DE∥平面PBC；
(2)求平面GPC與平面PBC夾角的余弦值；
(3)在線段PA上是否存在點H，使得GH與平面GPC所成角的正弦值是若存在，求出AH的長；若不存在，請說明理由.
反思感悟　(1)在建立空間直角坐標系的過程中，一定要依據題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標系，這樣才會容易求得解題時需要的坐標.
(2)應用空間向量求空間中的角時，往往要轉化成元素的特征向量的夾角問題，并要注意特征向量的夾角與所求夾角的關系.
跟蹤訓練4　如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=點E，F分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.試用向量方法解決下列問題：
(1)求異面直線AF和BE所成角的大小；
(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值.
答案精析
例1　(1)CD　[因為-+-=+=0，
所以C正確；
又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，SA=SB=SC=SD=2，
所以·=2×2×cos∠ASB，·=2×2×cos∠CSD，
而∠ASB=∠CSD，
于是·=·，
因此D正確，其余兩項都不正確.]
(2)
解析　因為b⊥c，
則b·c=-x+0-2=0，
解得x=-2，所以c=(-2，2，-1)，
故cos〈a，c〉==
=.
跟蹤訓練1　(1)C
(2)解　記=a，=b，=c，
則|a|=|b|=|c|=1，
〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，
∴a·b=b·c=c·a=.
=b+c-a，=a+b，
∴||=，||=，
·=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1，
∴cos〈〉=
=.
例2　(1)證明　以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，C(2，2，0)，M(1，1，1)，
∵=(0，1，1)，
平面PAD的一個法向量為
n=(1，0，0)，
∴·n=0，即⊥n，
又BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
(2)解　由(1)知，=(-1，2，0)，=(1，0，-2)，
假設平面PAD內存在一點N，使MN⊥平面PBD.設N(0，y，z)，則
=(-1，y-1，z-1)，
∵MN⊥BD，MN⊥PB，
∴
即
∴∴N，
∴在平面PAD內存在一點
N，
使MN⊥平面PBD.
跟蹤訓練2　(1)證明　在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，因為AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，
B(0，4，0)，B1(0，4，4).
因為=(-3，0，0)，
=(0，-4，4)，
所以·=0，所以⊥，
即AC⊥BC1.
(2)解　假設在AB上存在點E，使得AC1∥平面CEB1，
設=t=(-3t，4t，0)，
其中0≤t≤1.
則E(3-3t，4t，0)，=(3-3t，4t-4，-4)，
=(0，-4，-4)，
=(-3，0，4)，
又因為=m+n成立，
所以m(3-3t)=-3，
m(4t-4)-4n=0，-4m-4n=4，
解得t=.
所以在AB上存在點E，使得AC1∥平面CEB1，
這時點E為AB的中點.
例3　解　如圖所示，以AD的中點O為原點，分別以OD，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標系，
則A，B，
C，D，
∴ =，
=，
=，
設n=(x，y，z)為平面ABC的法向量，
則
∴y=-x，z=-x，
可取n=(-，1，3)，
代入d= ，
得d==，
即點D到平面ABC的距離是.
跟蹤訓練3　
例4　(1)證明　∵PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，
∴DA，DC，DP兩兩垂直.
如圖，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.
∵CD=AD=AB=1，
∠PAD=45°，易知∠PDA=90°，
于是PD=DA=1，
又E是PA的中點，故D(0，0，0)，
A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(0，1，0)，
P(0，0，1)，E，
∴=(-1，-1，0)，
=(0，-1，1)，
設平面PBC的法向量為
m=(x，y，z)，
則即
令y=1，則x=-1，z=1，
∴m=(-1，1，1)，
又=，
∴m·=-1×+0+1×=0，
∴m⊥，又DE 平面PBC，
∴DE∥平面PBC.
(2)解　設點G的坐標為
(1，t，0)，0≤t≤2，
則=(1，t-1，0)，
由(1)知=(1，2，0)，
由CG⊥BD得
·=1+2(t-1)=0 t=，
∴G=，
設平面GPC的法向量為
n=(a，b，c)，
由得
令a=1，則n=(1，2，2)，
則|cos〈n，m〉|===，
∴平面GPC與平面PBC夾角的余弦值為.
(3)解　假設在線段PA上存在點H，使得GH與平面GPC所成角的正弦值為.=(-1，0，1)，
設=λ=(-λ，0，λ)，
λ∈[0，1]，=，
∴=+=，
∴cos〈，n〉==，
∵GH與平面GPC所成角的正弦值為，∴=，
整理得20λ2+8λ-1=0，
解得λ=或λ=-(舍去)，
∴=，||=，
∴存在滿足條件的點H，
且AH=.
跟蹤訓練4　解　(1)由題意得
A(2，0，0)，F，
B(2，2，0)，E(1，1，)，C(0，2，0).
∴=，
=(-1，-1，)，
∴·=1-2+1=0.
∴異面直線AF和BE所成角的大小為90°.
(2)設平面BEC的法向量為
n=(x，y，z)，
由(1)知=(-2，0，0)，
=(-1，-1，)，
則
∴x=0，取z=1，則y=，
∴平面BEC的一個法向量為
n=(0，，1).
設直線AF和平面BEC所成的角為θ，
則sin θ=|cos〈，n〉|===.
即直線AF和平面BEC所成角的正弦值為.(共51張PPT)
章末復習課
第一章　空間向量與立體幾何
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知識網絡
一、空間向量的概念及運算
二、利用空間向量證明位置關系
三、利用空間向量計算距離
內容索引
四、利用空間向量求空間角
空間向量的概念及運算
一
1.空間向量可以看作是平面向量的推廣，有許多概念和運算與平面向量是相同的，如模、零向量、單位向量、相等向量、相反向量等概念，加法的三角形法則和平行四邊形法則，減法的幾何意義，數乘運算與向量共線的判斷、數量積運算、夾角公式、求模公式等等；向量的基底表示和坐標表示是向量運算的基礎.
2.向量的運算過程較為繁雜，要注意培養學生的數學運算能力.
　(1)(多選)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是邊長為1的正方形，S到A，B，C，D的距離都等于2.下列選項中，正確的是
A.+++=0
B.+--=0
C.-+-=0
D.·=·
√
例 1
√
因為-+-=+=0，所以C正確；
又因為底面ABCD是邊長為1的正方形，
SA=SB=SC=SD=2，
所以·=2×2×cos∠ASB·
=2×2×cos∠CSD，
而∠ASB=∠CSD，于是·=·
因此D正確，其余兩項都不正確.
解析
(2)已知空間向量a=(2，4，-2)，b=(-1，0，2)，c=(x，2，-1).若b⊥c，則
cos〈a，c〉=　　　.
因為b⊥c，
則b·c=-x+0-2=0，
解得x=-2，所以c=(-2，2，-1)，
故cos〈a，c〉===.
解析
(1)向量的線性運算，實質上是在正確進行數乘運算的基礎上，運用平行四邊形法則或三角形法則進行向量求和或差運算，其關鍵是將相應的向量放到同一個三角形或平行四邊形中.
(2)涉及空間向量的數量積的應用時，主要用到以下三個重
要公式：a·b=|a||b|cos〈a，b〉，cos〈a，b〉=|a|2=a2.
反
思
感
悟
　(1)在空間直角坐標系中，已知A(1，-2，1)，B(2，2，2)，點P在z軸上，且滿足||=||，則P點坐標為
A.(3，0，0) B.(0，3，0)
C.(0，0，3) D.(0，0，-3)
跟蹤訓練 1
√
設P(0，0，z)，
則有
=解得z=3.
解析
(2)如圖所示，在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱的長度都為1，且兩兩夾角為60°.求與夾角的余弦值.
記=a=b=c，則|a|=|b|=|c|=1，
〈a，b〉=〈b，c〉=〈c，a〉=60°，
∴a·b=b·c=c·a=.
=b+c-a=a+b，
∴||=||=
·=(b+c-a)·(a+b)=b2-a2+a·c+b·c=1，
∴cos〈〉==.
解
二
利用空間向量證明位置關系
1.用空間向量判斷空間中位置關系的類型有：線線平行、線線垂直、線面平行、線面垂直、面面平行、面面垂直；判斷證明的基本思想是轉化為線線關系或者利用平面的法向量，利用向量的共線和垂直進行證明.
2.將立體幾何的線面關系轉化為向量間的關系，可以培養學生的邏輯思維能力和數學運算能力.
在四棱錐P-ABCD中，AB⊥AD，CD⊥AD，PA⊥底面ABCD，PA= AD=CD=2AB=2，M為PC的中點.
(1)求證：BM∥平面PAD；
例 2
以A為原點，以AB，AD，AP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則B(1，0，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，
C(2，2，0)，M(1，1，1)，
∵=(0，1，1)，
平面PAD的一個法向量為n=(1，0，0)，
∴·n=0，即⊥n，
又BM 平面PAD，
∴BM∥平面PAD.
證明
(2)平面PAD內是否存在一點N，使MN⊥平面PBD？若存在，確定N的位置；若不存在，說明理由.
由(1)知=(-1，2，0)=(1，0，-2)，
假設平面PAD內存在一點N，使MN⊥平面PBD.
設N(0，y，z)，則=(-1，y-1，z-1)，
∵MN⊥BD，MN⊥PB，
∴∴∴N
∴在平面PAD內存在一點N
使MN⊥平面PBD.
解
利用空間向量證明或求解立體幾何問題時，首先要選擇基底或建立空間直角坐標系轉化為其坐標運算，再借助于向量的有關性質求解(證).
反
思
感
悟
　在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4.
(1)求證：AC⊥BC1；
跟蹤訓練 2
在直三棱柱ABC-A1B1C1 中，因為AC=3，BC=4，AB=5，所以AC，BC，CC1兩兩垂直，以C為坐標原點，直線CA，CB，CC1分別為x軸、y軸、
z軸建立如圖所示的空間直角坐標系.
則C(0，0，0)，A(3，0，0)，C1(0，0，4)，
B(0，4，0)，B1(0，4，4).
因為=(-3，0，0)=(0，-4，4)，
所以·=0，所以⊥
即AC⊥BC1.
證明
(2)在棱AB上是否存在點E，使得AC1∥平面CEB1？若存在，確定點E的位置；若不存在，說明理由.
假設在AB上存在點E，使得AC1∥平面CEB1，
設=t=(-3t，4t，0)，其中0≤t≤1.
則E(3-3t，4t，0)=(3-3t，4t-4，-4)，
=(0，-4，-4)=(-3，0，4)，
又因為=m+n成立，
所以m(3-3t)=-3，m(4t-4)-4n=0，-4m-4n=4，解得t=.
所以在AB上存在點E，使得AC1∥平面CEB1，
這時點E為AB的中點.
解
利用空間向量計算距離
三
1.空間距離的計算思路
(1)點P到直線l的距離：已知直線l的單位方向向量為u，A是直線l上的定點，P是直線l外一點，設向量=a，則向量在直線l上的投影向量為=(a·u)u，則點P到直線l的距離為 (如圖).
(2)設平面α的法向量為n，A是平面α內的定點，P是平面α外一點，則點P到平面α的距離為 (如圖).
2.通過利用向量計算空間的距離，可以培養學生的邏輯思維能力和數學運算能力.
在三棱錐B-ACD中，平面ABD⊥平面ACD，若棱長AC=CD=AD= AB=1，且∠BAD=30°，求點D到平面ABC的距離.
例 3
如圖所示，以AD的中點O為原點，分別以OD，OC所在直線為x軸、y軸，過O作OM⊥平面ACD交AB于M，以直線OM為z軸建立空間直角坐標系，
則AB
CD
∴ = =
=
解
設n=(x，y，z)為平面ABC的法向量，
則
∴y=-x，z=-x，可取n=(-1，3)，
代入d= ，得d==
即點D到平面ABC的距離是.
解
利用向量法求點面距，只需求出平面的一個法向量和該點與平面內任一點連線表示的向量，代入公式求解即可.
反
思
感
悟
已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為4，M，N，E，F分別為
A1D1，A1B1，C1D1，B1C1的中點，則平面AMN與平面EFBD的距離為　　.
跟蹤訓練 3
如圖所示，建立空間直角坐標系Dxyz，
則A(4，0，0)，M(2，0，4)，B(4，4，0)，
N(4，2，4)，
∴=(2，2，0)=(-2，0，4)，
易知平面AMN∥平面EFBD，
故平面AMN與平面EFBD的距離就是點B到平面AMN的距離.
設n=(x，y，z)是平面AMN的法向量，
則
解析
解得
取z=1，則x=2，y=-2，
得n=(2，-2，1)是平面AMN的一個法向量.
∵=(0，4，0)，
∴平面AMN與平面EFBD的距離d==.
解析
利用空間向量求空間角
四
1.空間向量與空間角的關系
(1)設異面直線l1，l2的方向向量分別為m1，m2，則l1與l2所成的角θ滿足cos θ=|cos〈m1，m2〉|.
(2)設直線l的方向向量和平面α的法向量分別為m，n，則直線l與平面α所成的角θ滿足sin θ=|cos〈m，n〉|.
(3)設n1，n2分別是兩個平面α，β的法向量，則兩平面α，β的夾角θ滿足cos θ=|cos〈n1，n2〉|.
2.通過利用向量計算空間角，可以培養學生的邏輯思維能力和數學運算能力.
　在四棱錐P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥ DC，AB⊥AD，CD=AD=AB=1，∠PAD=45°，E是PA的中點，點G在線段AB上，且滿足CG⊥BD.
(1)求證：DE∥平面PBC；
例 4
∵PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，
∴DA，DC，DP兩兩垂直.
如圖，以D為原點，DA，DC，DP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系.
∵CD=AD=AB=1，
∠PAD=45°，易知∠PDA=90°，
于是PD=DA=1，
又E是PA的中點，故D(0，0，0)，A(1，0，0)，
B(1，2，0)，C(0，1，0)，P(0，0，1)，E
證明
∴=(-1，-1，0)=(0，-1，1)，
設平面PBC的法向量為m=(x，y，z)，
則
令y=1，則x=-1，z=1，
∴m=(-1，1，1)，又=
∴m·=-1×+0+1×=0，
∴m⊥又DE 平面PBC，∴DE∥平面PBC.
證明
(2)求平面GPC與平面PBC夾角的余弦值；
設點G的坐標為(1，t，0)，0≤t≤2，
則=(1，t-1，0)，由(1)知=(1，2，0)，
由CG⊥BD得·=1+2(t-1)=0 t=
∴G=
設平面GPC的法向量為n=(a，b，c)，
由
解
令a=1，則n=(1，2，2)，
則|cos〈n，m〉|===
∴平面GPC與平面PBC夾角的余弦值為.
解
(3)在線段PA上是否存在點H，使得GH與平面GPC所成角的正弦值是若存在，求出AH的長；若不存在，請說明理由.
假設在線段PA上存在點H，使得GH與平面GPC所成角的正弦值為.
=(-1，0，1)，設=λ=(-λ，0，λ)，
λ∈[0，1]=
∴=+=
∴cos〈n〉==
∵GH與平面GPC所成角的正弦值為∴=
解
整理得20λ2+8λ-1=0，
解得λ=或λ=-(舍去)，
∴=||=
∴存在滿足條件的點H，且AH=.
解
(1)在建立空間直角坐標系的過程中，一定要依據題目所給幾何圖形的特征，建立合理的空間直角坐標系，這樣才會容易求得解題時需要的坐標.
(2)應用空間向量求空間中的角時，往往要轉化成元素的特征向量的夾角問題，并要注意特征向量的夾角與所求夾角的關系.
反
思
感
悟
如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=點E，F分別是平面A1B1C1D1，平面BCC1B1的中心.以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系.
試用向量方法解決下列問題：
(1)求異面直線AF和BE所成角的大小；
跟蹤訓練 4
由題意得A(2，0，0)，F
B(2，2，0)，E(1，1)，C(0，2，0).
∴==(-1，-1)，
∴·=1-2+1=0.
∴異面直線AF和BE所成角的大小為90°.
解
(2)求直線AF和平面BEC所成角的正弦值.
設平面BEC的法向量為n=(x，y，z)，
由(1)知=(-2，0，0)=(-1，-1)，
則
∴x=0，取z=1，則y=
∴平面BEC的一個法向量為n=(01).
解
設直線AF和平面BEC所成的角為θ，
則sin θ=|cos〈n〉|===.
即直線AF和平面BEC所成角的正弦值為.
解
第一章　空間向量與立體幾何
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