資源簡介

解答解析幾何問題
閱卷案例 四字解題
(2024·新高考Ⅰ卷T16，15分)已知A(0，3)和P為橢圓C：＝1(a>b>0)上兩點． (1)求C的離心率； (2)若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程． 讀 A和P為橢圓上兩點，求離心率 △ABP的面積為9，求l的方程
想 離心率的計算方法 面積公式，方程的求法
算 a，b，求離心率 S△ABP＝|AP|·d
思 方程思想 轉化與化歸
規范解答 滿分心得
[解]　(1) ………………1分 解得…………………………………………………2分 所以e＝＝＝．…………………………………3分 (2)由(1)知C：＝1．由kAP＝＝－，則直線AP的方程為y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，…………………………………4分 |AP|＝＝，………………………………5分 設點B到直線AP的距離為d，則d＝＝，……………6分 將直線AP沿著與AP垂直的方向平移個單位，此時該平行線與橢圓的交點即為點B， …………………………………………………………7分 則＝，解得D＝6或D＝－18. ………………………8分 當D＝6時，聯立解得或 即B點的坐標為(0，－3)或，……………………10分 當交點為B(0，－3)時，此時kl＝，直線l的方程為y＝x－3，即3x－2y－6＝0，…………………………………………………11分 當交點為B時，此時kl＝，直線l的方程為y＝x，即x－2y＝0. ………………………………………………………12分 當D＝－18時，聯立得2y2－27y＋117＝0，……………………………………………………………13分 Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此時該直線與橢圓無交點． …………………………………………………………………14分 綜上，直線l的方程為3x－2y－6＝0或x－2y＝0. ………15分 得步驟分：得分點的步驟有則給分，無則沒分，如第(1)問只要列出a，b的方程組就得1分． 得關鍵分：第(2)問準確轉化S△ABP＝9是后面運算的關鍵；第(2)問中正確求出|AP|及d是求B的坐標的關鍵． 得計算分：能準確地求出點B的坐標是得滿分的保障． “學會拆解、分步得分”，同時加強日常規范運算是攻克圓錐曲線問題的重要保障．
§1　直線與圓
【備考指南】　直線與圓主要考查與圓有關的最值、切線、弦長等問題．備考時要立足直線與圓方程的求法，融合圓的幾何性質，提升轉化與化歸及數形結合的解題能力．
基礎考點1　直線的方程及應用
【典例1】　(1)(多選)(2024·浙江舟山模擬)已知直線l1：4x－3y＋3＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m＝0(m∈R)，則(　　)
A．直線l2過定點(1，2)
B．當m＝2時，l1∥l2
C．當m＝－1時，l1⊥l2
D．當l1∥l2時，l1，l2之間的距離為
(2)(2020·全國Ⅲ卷)點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為(　　)
A．1 B．
C． D．2
(3)已知△ABC的頂點A(4，3)，AC邊上的中線所在直線的方程為4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分線所在直線的方程為x＋2y－5＝0，則AC邊所在直線的方程為________．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
(1)判斷兩直線的位置關系時要學會轉化，即把兩直線的平行、垂直關系，轉化為兩直線方程系數的關系，再進行判斷．
(2)解決點到直線的距離、兩平行線間的距離問題的關鍵是將直線方程化為一般式再求解．
(3)解決最值問題，常需借助圖形進行分析，如求曲線上任意一點到已知直線的最小距離．
1．已知直線l的一個方向向量為p＝，則直線l的傾斜角為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
2．(2024·山東濰坊模擬)如圖，在平面直角坐標系Oxy中，已知A，B，從點P射出的光線經直線AB反射到y軸上，再經y軸反射后又回到點P，則光線所經過的路程為________．
3．已知直線l1：kx－y＝0過定點A，直線l2：x＋ky－＋2k＝0過定點B，l1與l2的交點為C，則|AC|＋|BC|的最大值為________．
基礎考點2　圓的方程及應用
【典例2】　(1)(2022·全國乙卷)過四點(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點的一個圓的方程為________．
(2)(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．
(3)(2023·全國乙卷)已知實數x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　　B．4　　　C．1＋3　　　D．7
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．求圓的方程的兩種方法
(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程．
(2)代數法：即待定系數法，先設出圓的方程，再由條件求得各系數．
2．與圓有關的最值問題常用代數(Δ)法、幾何法、三角換元法求解．
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲線C：x2＋y2＝16(y>0)，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點M的軌跡方程為(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
2．[高考變式]已知實數x，y滿足曲線C的方程x2＋y2－2x－2＝0，則下列選項錯誤的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．的最小值是2
D．過點作曲線C的切線，則切線方程為x－y＋2＝0
3．(2024·湖南益陽模擬)在平面直角坐標系中，已知點F1，F2，若P為平面上的一個動點且＝，則點P運動所形成的曲線的方程為________．
基礎考點3　直線與圓及圓與圓的位置關系
【典例3】　(1)(2024·廣東廣州二模)若直線ax＋by＝1與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓(x－a)2＋(y－b)2＝與圓O(　　)
A．外切　　　　 B．相交
C．內切 D．沒有公共點
(2)(2020·全國Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)設點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關于y＝a對稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍是________．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
直線與圓及圓與圓問題的求解思路
(1)位置關系問題：主要利用幾何法求解．
(2)弦長問題：依據弦長的一半、弦心距、半徑之間的關系求解．
(3)切線長問題：先求出圓心到圓外一點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．
提醒：在處理該類問題時應樹立作圖意識．
1．(2024·山東濟南模擬)圓C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圓C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切線方程是(　　)
A．y＝－x＋1　 B．y＝－x＋1或y＝x＋5
C．y＝－x＋5 D．y＝x＋1或y＝2x＋5
2．[高考變式]在平面直角坐標系Oxy中，已知圓C：＋＝a2，A，若圓C上存在點P，使得＝2，則正數a的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
3．(多選)(2024·福建南平二模)已知圓C：＋＝25，直線l：x＋y－7m－4＝0，則(　　)
A．直線l過定點
B．圓C被x軸截得的弦長為4
C．當m＝－2時，圓C上恰有2個點到直線l的距離等于4
D．直線l被圓C截得的弦長最短時，l的方程為2x－y－5＝0
1/1解答解析幾何問題
閱卷案例 四字解題
(2024·新高考Ⅰ卷T16，15分)已知A(0，3)和P為橢圓C：＝1(a>b>0)上兩點． (1)求C的離心率； (2)若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程． 讀 A和P為橢圓上兩點，求離心率 △ABP的面積為9，求l的方程
想 離心率的計算方法 面積公式，方程的求法
算 a，b，求離心率 S△ABP＝|AP|·d
思 方程思想 轉化與化歸
規范解答 滿分心得
[解]　(1) ………………1分 解得…………………………………………………2分 所以e＝＝＝．…………………………………3分 (2)由(1)知C：＝1．由kAP＝＝－，則直線AP的方程為y＝－x＋3，即x＋2y－6＝0，…………………………………4分 |AP|＝＝，………………………………5分 設點B到直線AP的距離為d，則d＝＝，……………6分 將直線AP沿著與AP垂直的方向平移個單位，此時該平行線與橢圓的交點即為點B， …………………………………………………………7分 則＝，解得D＝6或D＝－18. ………………………8分 當D＝6時，聯立解得或 即B點的坐標為(0，－3)或，……………………10分 當交點為B(0，－3)時，此時kl＝，直線l的方程為y＝x－3，即3x－2y－6＝0，…………………………………………………11分 當交點為B時，此時kl＝，直線l的方程為y＝x，即x－2y＝0. ………………………………………………………12分 當D＝－18時，聯立得2y2－27y＋117＝0，……………………………………………………………13分 Δ＝272－4×2×117＝－207<0，此時該直線與橢圓無交點． …………………………………………………………………14分 綜上，直線l的方程為3x－2y－6＝0或x－2y＝0. ………15分 得步驟分：得分點的步驟有則給分，無則沒分，如第(1)問只要列出a，b的方程組就得1分． 得關鍵分：第(2)問準確轉化S△ABP＝9是后面運算的關鍵；第(2)問中正確求出|AP|及d是求B的坐標的關鍵． 得計算分：能準確地求出點B的坐標是得滿分的保障． “學會拆解、分步得分”，同時加強日常規范運算是攻克圓錐曲線問題的重要保障．
§1　直線與圓
【備考指南】　直線與圓主要考查與圓有關的最值、切線、弦長等問題．備考時要立足直線與圓方程的求法，融合圓的幾何性質，提升轉化與化歸及數形結合的解題能力．
基礎考點1　直線的方程及應用
【典例1】　(1)(多選)(2024·浙江舟山模擬)已知直線l1：4x－3y＋3＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋m＝0(m∈R)，則(　　)
A．直線l2過定點(1，2)
B．當m＝2時，l1∥l2
C．當m＝－1時，l1⊥l2
D．當l1∥l2時，l1，l2之間的距離為
(2)(2020·全國Ⅲ卷)點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)距離的最大值為(　　)
A．1 B．
C． D．2
(3)已知△ABC的頂點A(4，3)，AC邊上的中線所在直線的方程為4x＋13y－10＝0，∠ABC的平分線所在直線的方程為x＋2y－5＝0，則AC邊所在直線的方程為________．
(1)ABD　(2)B　(3)x－8y＋20＝0　[(1)由l2：mx＋2x－my－y＋m＝m(x－y＋1)＋2x－y＝0，
令可得
所以l2過定點(1，2)，A正確；
當m＝2時，l2：4x－3y＋2＝0，
而l1：4x－3y＋3＝0，即l1∥l2，B正確；
當m＝－1時，l2：x－1＝0，而l1：4x－3y＋3＝0，顯然兩直線不垂直，C錯誤；
由l1∥l2，則－3(m＋2)＝－4(m＋1)，可得m＝2，由B項分析知，l1，l2之間的距離為＝，D正確．故選ABD．
(2)法一：由點到直線的距離公式知點(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離d＝＝＝＝．當k＝0時，d＝1；當k≠0時，d＝＝，要使d最大，需k＞0且k＋最小，∴當k＝1時，dmax＝．故選B．
法二：記點A(0，－1)，直線y＝k(x＋1)恒過點B(－1，0)，當AB垂直于直線y＝k(x＋1)時，點A(0，－1)到直線y＝k(x＋1)的距離最大，且最大值為|AB|＝．故選B．
(3)由解得
所以點B的坐標為(9，－2)．
設點A(4，3)關于直線x＋2y－5＝0的對稱點為A′(x0，y0)，
則解得所以點A′的坐標為(2，－1)．
因為點A′(2，－1)在直線BC上，
所以直線BC的方程為y－(－1)＝(x－2)，
即x＋7y＋5＝0．
設點C的坐標為(x1，y1)，
則AC的中點坐標為．
所以由點C在直線BC上，AC邊上的中線所在直線的方程為4x＋13y－10＝0，
所以解得所以點C的坐標為(－12，1)，
所以kAC＝＝，所以AC邊所在直線的方程為y－3＝(x－4)，即x－8y＋20＝0．]
(1)判斷兩直線的位置關系時要學會轉化，即把兩直線的平行、垂直關系，轉化為兩直線方程系數的關系，再進行判斷．
(2)解決點到直線的距離、兩平行線間的距離問題的關鍵是將直線方程化為一般式再求解．
(3)解決最值問題，常需借助圖形進行分析，如求曲線上任意一點到已知直線的最小距離．
1．已知直線l的一個方向向量為p＝，則直線l的傾斜角為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
A　[由題意可得，直線l的斜率k＝＝＝tan ，即直線l的傾斜角為．故選A．]
2．(2024·山東濰坊模擬)如圖，在平面直角坐標系Oxy中，已知A，B，從點P射出的光線經直線AB反射到y軸上，再經y軸反射后又回到點P，則光線所經過的路程為________．
2　[設點P關于y軸的對稱點P1，點P關于直線AB的對稱點P2，如圖所示，
因為A，B，
所以直線AB的方程為x＋y－3＝0，
所以解得
所以P2(3，2)，所以光線經過的路程為|PM|＋|MN|＋|PN|＝|P2M|＋|MN|＋|P1N|＝|P1P2|＝＝2．]
3．已知直線l1：kx－y＝0過定點A，直線l2：x＋ky－＋2k＝0過定點B，l1與l2的交點為C，則|AC|＋|BC|的最大值為________．
2　[直線l1：kx－y＝0過定點A(0，0)，
直線l2：x＋ky－＋2k＝0，即x－＋k(2＋y)＝0，則可得x＝，y＝－2，故過定點B(，－2)．直線l1：kx－y＝0與直線l2：x＋ky－＋2k＝0中，∵k×1＋(－1)×k＝0，∴l1⊥l2．
∵l1與l2的交點為C，
∴|CA|2＋|CB|2＝|AB|2＝2＋4＝6，
∴＝≤(|CA|2＋|CB|2)＝3，
∴，
∴|CA|＋|CB|≤2，當且僅當|CA|＝|CB|時，|CA|＋|CB|的最大值為2．]
【教師備選資源】
1．已知直線l1：y＝ax＋3與l2關于直線y＝x對稱，l2與l3：x＋2y－1＝0平行，則a＝(　　)
A．－ B．
C．－2 D．2
C　[直線l1關于直線y＝x對稱的直線，即交換x，y的位置所得，l2：x＝ay＋3，又l2，l3相互平行，l3：x＋2y－1＝0的斜率為－，故a＝－2．故選C．]
2．已知實數a＞0，b＜0，則的取值范圍是(　　)
A．[－2，－1)　　　　 B．(－2，－1)
C．(－2，－1] D．[－2，－1]
A　[可看作點A(1，－)到直線l：ax＋by＝0的距離．因為a＞0，b＜0，所以d＝，且直線l的斜率k＝－＞0．
如圖．
當直線l的斜率不存在時，d＝＝1，所以當k＞0時，d＞1，
當OA⊥l時，dmax＝|OA|＝＝2，
所以1＜d≤2，即1＜≤2．
因為＝－，所以－2≤＜－1．故選A．]
3．已知A，B，C，一束光線從點F發出，經直線AC反射后，再經直線BC上點D反射，最后反射光線經過點E，則點D的坐標為(　　)
A．　　　　　 B．
C． D．
C　[根據入射光線與反射光線的關系，分別作出F，E關于直線AC，BC的對稱點G，H，
連接GH，交BC于點D，則D點即為所求，如圖．
因為AC所在直線的方程為y＝x＋3，F(－1，0)，
設G(x，y)，
則
解得x＝－3，y＝2，即G(－3，2)，
由BC所在直線的方程為y＝－x＋3，E(1，0)，同理可得H(3，2)，所以直線GH的方程為y＝2，由解得D(1，2)，故選C．]
4．直線l1：y＝2x和l2：y＝kx＋1與x軸圍成的三角形是等腰三角形，寫出滿足條件的k的兩個可能取值：________和________．
－2　－(答案不唯一)　[令直線l1，l2的傾斜角分別為α，θ，則tan α＝2，tan θ＝k，
當圍成的等腰三角形底邊在x軸上時，θ＝π－α，k＝tan (π－α)＝－tan α＝－2；
當圍成的等腰三角形底邊在直線l2上時，α＝2θ或α＝2θ－π，tan α＝tan 2θ＝＝＝2，整理得k2＋k－1＝0，解得k＝；
當圍成的等腰三角形底邊在直線l1上時，θ＝2α，k＝tanθ＝tan 2α＝＝＝－．所以k的可能取值為－2，，－．]
基礎考點2　圓的方程及應用
【典例2】　(1)(2022·全國乙卷)過四點(0，0)，(4，0)，(－1，1)，(4，2)中的三點的一個圓的方程為________．
(2)(2022·全國甲卷)設點M在直線2x＋y－1＝0上，點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，則⊙M的方程為________．
(3)(2023·全國乙卷)已知實數x，y滿足x2＋y2－4x－2y－4＝0，則x－y的最大值是(　　)
A．1＋　　　B．4　　　C．1＋3　　　D．7
(1)＋＝13或＋＝5或＋＝或＋＝(從這四個方程中任選一個作答即可)　(2)(x－1)2＋(y＋1)2＝5　(3)C
[(1)依題意設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，若過三點，
則解得 易得D2＋E2－4F＞0，
所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－4x－6y＝0，即＋＝13；
若過三點，
則解得
易得D2＋E2－4F＞0，
所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－4x－2y＝0，即＋＝5；
若過三點，
則解得
易得D2＋E2－4F＞0，
所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－x－y＝0，即＋＝；
若過三點，
則解得易得D2＋E2－4F＞0，
所以過這三點的圓的方程為x2＋y2－x－2y－＝0，即＋＝．
(2)∵點M在直線2x＋y－1＝0上，
∴設點M(a，1－2a)．
又∵點(3，0)和(0，1)均在⊙M上，
∴點M到兩點的距離相等且為半徑R，
∴＝＝R，
即a2－6a＋9＋4a2－4a＋1＝5a2，解得a＝1，
∴M(1，－1)，R＝，
∴⊙M的方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝5．
(3)法一：令x－y＝k，則x＝k＋y，
代入原式化簡得2y2＋y＋k2－4k－4＝0，
因為存在實數y，所以Δ≥0，即(2k－6)2－4×2(k2－4k－4)≥0，
化簡得k2－2k－17≤0，解得1－3≤k≤1＋3，
故x－y的最大值是3＋1．故選C．
法二：x2＋y2－4x－2y－4＝0，
整理得＋＝9，
令x＝3cos θ＋2，y＝3sin θ＋1，其中θ∈，
則x－y＝3cos θ－3sin θ＋1＝3cos ＋1．
因為θ∈，所以θ＋∈，則θ＋＝2π，即θ＝時，x－y取得最大值3＋1．故選C．
法三：由x2＋y2－4x－2y－4＝0可得(x－2)2＋(y－1)2＝9，設x－y＝k，則圓心到直線x－y＝k的距離d＝≤3，解得1－3≤k≤1＋3．故選C．]
1．求圓的方程的兩種方法
(1)幾何法：通過研究圓的性質、直線與圓、圓與圓的位置關系，進而求得圓的基本量和方程．
(2)代數法：即待定系數法，先設出圓的方程，再由條件求得各系數．
2．與圓有關的最值問題常用代數(Δ)法、幾何法、三角換元法求解．
1．(2024·新高考Ⅱ卷)已知曲線C：x2＋y2＝16(y>0)，從C上任意一點P向x軸作垂線段PP′，P′為垂足，則線段PP′的中點M的軌跡方程為(　　)
A．＝1(y>0) B．＝1(y>0)
C．＝1(y>0) D．＝1(y>0)
A　[設點M(x0，y0)，則P(x0，2y0)，
又P在曲線C上，
所以＝16(y0>0)，即＝1(y0>0)，
即點M的軌跡方程為＝1(y>0)．故選A．]
2．[高考變式]已知實數x，y滿足曲線C的方程x2＋y2－2x－2＝0，則下列選項錯誤的是(　　)
A．x2＋y2的最大值是4＋2
B．的最大值是2＋
C．的最小值是2
D．過點作曲線C的切線，則切線方程為x－y＋2＝0
C　[曲線C的方程x2＋y2－2x－2＝0可化為＋y2＝3，它表示圓心為，半徑為的圓．
對選項A，x2＋y2表示圓C上的點到定點O的距離的平方，故它的最大值為()2＝(＋1)2＝4＋2，A正確；
對選項B，表示圓上的點與點P的連線的斜率k，由圓心到直線y＋1＝k(x＋1)的距離d1＝，
可得2－≤k≤2＋，B正確；
對選項C，表示圓上任意一點到直線x－y＋3＝0的距離的倍，
圓心(1，0)到直線的距離d2＝＝2，
所以其最小值為＝4－，故C錯誤；
對選項D，過點作曲線C的切線，則其斜率存在，故可設切線方程為y＝mx＋，
由＝，解得m＝，
故切線方程為x－y＋2＝0，故D正確．
故選C．]
3．(2024·湖南益陽模擬)在平面直角坐標系中，已知點F1，F2，若P為平面上的一個動點且＝，則點P運動所形成的曲線的方程為________．
(x－3)2＋y2＝8　[設P(x，y)，則由＝可得＝，化簡得(x－3)2＋y2＝8．]
【教師備選資源】
1．(多選)已知實數x，y滿足方程x2＋y2－4x－2y＋4＝0，則下列說法正確的是(　　)
A．的最大值為
B．的最小值為0
C．x2＋y2的最大值為＋1
D．x＋y的最大值為3＋
ABD　[由x2＋y2－4x－2y＋4＝0，得(x－2)2＋(y－1)2＝1．
對于ABD，令y＝kx，x＋y＝a，則兩條直線都與圓有公共點，必有≤1，≤1，解得3－≤a≤3＋，0≤k≤，故x＋y的最大值為3＋＝k的最大值為，最小值為0，故A，B，D正確．
對于C，原點到圓心的距離d＝，則圓上的點到原點的距離的范圍為[－1，＋1]，所以x2＋y2≤6＋2，故x2＋y2的最大值為6＋2，故C錯誤．故選ABD．]
2．德國數學家米勒曾提出過如下的“最大視角定理”(也稱“米勒定理”)：若點A，B是∠MON的邊OM上的兩個定點，C是邊ON上的一個動點，當且僅當△ABC的外接圓與邊ON相切于點C時，∠ACB最大．在平面直角坐標系中，已知點D(2，0)，E(4，0)，點F是y軸負半軸上的一個動點，當∠DFE最大時，△DEF的外接圓的方程是(　　)
A．(x－3)2＋(y＋2)2＝9
B．(x－3)2＋(y－2)2＝9
C．(x＋2)2＋(y－3)2＝8
D．(x－2)2＋(y－3)2＝8
A　[由米勒定理知當∠DFE最大時，△DEF的外接圓與y軸負半軸相切，此時圓心位于第四象限．
因為點D(2，0)，E(4，0)，
所以圓心在直線x＝3上，
又圓與y軸負半軸相切，
所以圓的半徑為3．
設圓心為P(3，b)，b＜0，
則|PD|＝＝3，
解得b＝±2，
又b＜0，所以b＝－2，
所以△DEF的外接圓的方程是(x－3)2＋(y＋2)2＝9，
故選A．]
3．(2024·東北三省三校二模)曲線x2＋y2＝|x|＋|y|圍成的圖形的面積是________．
2＋π　[將－x或－y代入方程，方程不發生改變，故曲線x2＋y2＝|x|＋|y|關于x軸，y軸對稱，
因此只需求出曲線在第一象限的面積即可．
當x≥0，y≥0時，曲線方程為＋＝，表示的圖形占整個圖形的，而＋＝圍成的圖形為一個腰長為1的等腰直角三角形和半徑為的一個半圓，
所以S＝4＝2＋π，
故圍成的圖形的面積為2＋π．]
4．在某數學活動課上，數學老師把一塊三邊長分別為6，8，10的三角板ABC放在平面直角坐標系中，則△ABC外接圓的方程可以為________．(寫出其中一個符合條件的即可)
x2＋y2＝25(答案不唯一)　[邊長分別為6，8，10的△ABC為直角三角形，且外接圓的半徑為5，若將斜邊的中點與坐標原點重合，則圓心為(0，0)，所以其外接圓的方程可以為x2＋y2＝25；
若將直角頂點與坐標原點重合，邊長為6的直角邊落在x軸的正半軸，則圓心為(3，±4)，
所以其外接圓的方程可以為(x－3)2＋(y±4)2＝25；
若將直角頂點與坐標原點重合，邊長為6的直角邊落在x軸的負半軸，則圓心為(－3，±4)，
所以其外接圓的方程可以為(x＋3)2＋(y±4)2＝25；
若將直角頂點與坐標原點重合，邊長為8的直角邊落在x軸的正半軸，則圓心為(4，±3)，
所以其外接圓的方程可以為(x－4)2＋(y±3)2＝25；
若將直角頂點與坐標原點重合，邊長為8的直角邊落在x軸的負半軸，則圓心為(－4，±3)，
所以其外接圓的方程可以為(x＋4)2＋(y±3)2＝25．
(或者其他符合條件的圓的方程)．]
基礎考點3　直線與圓及圓與圓的位置關系
【典例3】　(1)(2024·廣東廣州二模)若直線ax＋by＝1與圓O：x2＋y2＝1相切，則圓(x－a)2＋(y－b)2＝與圓O(　　)
A．外切　　　　 B．相交
C．內切 D．沒有公共點
(2)(2020·全國Ⅰ卷)已知⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0，直線l：2x＋y＋2＝0，P為l上的動點．過點P作⊙M的切線PA，PB，切點為A，B，當|PM|·|AB|最小時，直線AB的方程為(　　)
A．2x－y－1＝0 B．2x＋y－1＝0
C．2x－y＋1＝0 D．2x＋y＋1＝0
(3)(2022·新高考Ⅱ卷)設點A(－2，3)，B(0，a)，若直線AB關于y＝a對稱的直線與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，則a的取值范圍是________．
(1)B　(2)D　(3)　[(1)直線ax＋by＝1與圓O：x2＋y2＝1相切，
則圓心O到直線ax＋by＝1的距離等于圓O的半徑1，即d＝＝1，得a2＋b2＝1．
圓(x－a)2＋(y－b)2＝的圓心坐標為，半徑為，其圓心在圓O上，所以兩圓相交．故選B．
(2)法一：由⊙M：x2＋y2－2x－2y－2＝0　①，
得⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心M(1，1)．如圖，連接AM，BM，易知四邊形PAMB的面積為|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四邊形PAMB的面積最小，即只需△PAM的面積最小．因為|AM|＝2，所以只需|PA|最小．又|PA|＝＝，所以只需直線l上的動點P到M的距離最小，其最小值為＝，此時PM⊥l，易求出直線PM的方程為x－2y＋1＝0．
由得所以P(－1，0)．易知P，A，M，B四點共圓，所以以PM為直徑的圓的方程為x2＋＝，即x2＋y2－y－1＝0②，由①②得直線AB的方程為2x＋y＋1＝0．故選D．
法二：因為⊙M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，所以圓心M(1，1)．
連接AM，BM(圖略)，易知四邊形PAMB的面積為|PM|·|AB|，欲使|PM|·|AB|最小，只需四邊形PAMB的面積最小，即只需△PAM的面積最小．因為|AM|＝2，所以只需|PA|最小．
又|PA|＝＝，所以只需|PM|最小，此時PM⊥l．因為PM⊥AB，所以l∥AB，所以kAB＝－2，排除A，C．
易求出直線PM的方程為x－2y＋1＝0，由得所以P(－1，0)．因為點M到直線x＝－1的距離為2，所以直線x＝－1過點P且與⊙M相切，所以A(－1，1)．因為點A(－1，1)在直線AB上，故排除B．故選D．
(3)法一：由題意知點A(－2，3)關于直線y＝a的對稱點為A′(－2，2a－3)，
所以kA′B＝，
所以直線A′B的方程為y＝x＋a，
即(3－a)x－2y＋2a＝0．
由題意知直線A′B與圓(x＋3)2＋(y＋2)2＝1有公共點，
易知圓心坐標為(－3，－2)，半徑為1，
所以≤1，
整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以實數a的取值范圍是．
法二：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1關于y軸對稱的圓的方程為(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由題意知該對稱圓與直線AB有公共點．直線AB的方程為y＝x＋a，
即(a－3)x－2y＋2a＝0，
又對稱圓的圓心坐標為(3，－2)，半徑為1，
所以≤1，
整理得6a2－11a＋3≤0，解得≤a≤，所以實數a的取值范圍是．
法三：易知(x＋3)2＋(y＋2)2＝1關于y軸對稱的圓的方程為(x－3)2＋(y＋2)2＝1，
由題意知該對稱圓與直線AB有公共點．
設直線AB的方程為y－3＝k(x＋2)，
即kx－y＋3＋2k＝0，
因為對稱圓的圓心坐標為(3，－2)，半徑為1，
所以≤1，解得－≤k≤－，
又k＝，所以－≤－，
解得≤a≤，
所以實數a的取值范圍是．]
直線與圓及圓與圓問題的求解思路
(1)位置關系問題：主要利用幾何法求解．
(2)弦長問題：依據弦長的一半、弦心距、半徑之間的關系求解．
(3)切線長問題：先求出圓心到圓外一點的距離，再結合半徑利用勾股定理計算．
提醒：在處理該類問題時應樹立作圖意識．
1．(2024·山東濟南模擬)圓C1：x2＋y2＋8x－2y＋9＝0和圓C2：x2＋y2＋6x－4y＋11＝0的公切線方程是(　　)
A．y＝－x＋1　 B．y＝－x＋1或y＝x＋5
C．y＝－x＋5 D．y＝x＋1或y＝2x＋5
A　[圓C1：(x＋4)2＋(y－1)2＝8，圓心C1(－4，1)，半徑r1＝2， 圓C2：(x＋3)2＋(y－2)2＝2，圓心C2(－3，2)，半徑r2＝，因為＝＝r1－r2，所以兩圓內切，公切線只有一條．
因為圓心連線與切線相互垂直＝1，
所以切線斜率為－1，
由方程組解得
故圓C1與圓C2的切點坐標為(－2，3)，
故公切線方程為y－3＝－(x＋2)，即y＝－x＋1．故選A．]
2．[高考變式]在平面直角坐標系Oxy中，已知圓C：＋＝a2，A，若圓C上存在點P，使得＝2，則正數a的取值范圍為(　　)
A． B．
C． D．
D　[設P(x，y)，則由＝2，得到＝2，
整理得(x－1)2＋y2＝4，又點P在圓C上，
所以(x－1)2＋y2＝4與圓C有交點，
又(x－1)2＋y2＝4的圓心為(1，0)，半徑為r＝2，圓C的圓心為(a，a)，半徑為R＝a，
所以≤2＋a，解得1≤a≤3＋2，故選D．]
3．(多選)(2024·福建南平二模)已知圓C：＋＝25，直線l：x＋y－7m－4＝0，則(　　)
A．直線l過定點
B．圓C被x軸截得的弦長為4
C．當m＝－2時，圓C上恰有2個點到直線l的距離等于4
D．直線l被圓C截得的弦長最短時，l的方程為2x－y－5＝0
ACD　[對于A，直線l的方程變形為：m＋x＋y－4＝0，
令解得
所以直線l恒過定點，故A正確；
對于B，圓C的圓心C，半徑r＝5，
C到x軸的距離為2，所以圓C被x軸截得的弦長為2＝2，故B錯誤；
對于C，當m＝－2時，直線l：3x＋y－10＝0，
此時圓心C到直線l的距離d＝＝，而r－d＝5－<4，
所以當m＝－2時，圓C上恰有2個點到直線l的距離等于4，故C正確；
對于D，設直線l恒過的定點為P(3，1)，當PC⊥l時，弦長最短，此時kl＝－＝－＝2，
所以l的方程為y－1＝2，化簡為2x－y－5＝0，故D正確．故選ACD．]
【教師備選資源】
1．過直線y＝x上一點M作圓C：＋y2＝1的兩條切線，切點分別為P，Q．若直線PQ過點，則直線PQ的方程為(　　)
A．5x－y－2＝0 B．x－5y＋14＝0
C．5x＋y－8＝0 D．x＋5y－16＝0
C　[圓C：＋y2＝1的圓心為C，
設M，則以MC為直徑的圓的方程為
＋＝[(t－2)2＋(t－0)2]，
與圓C的方程＋y2＝1兩式相減可得直線PQ的方程為
x＋ty－2t＋3＝0．
因為直線PQ過點，
所以t－2＋3t－2t＋3＝0，解得t＝－，
所以直線PQ的方程為－x－y＋1＋3＝0，即5x＋y－8＝0．
故選C．]
2．已知P(3，4－2)，過點P作圓C：(x－a)2＋(y－a－1)2＝1(a為參數，且a∈R)的兩條切線分別切圓C于點A，B，則sin ∠APB的最大值為(　　)
A．1　　　　　　　　 B．
C． D．
C　[圓心C(a，a＋1)，半徑為1，圓心C在直線y＝x＋1上運動，
設∠APC＝θ，則∠APB＝2θ，由圓的幾何性質可知tan θ＝＝，
所以sin ∠APB＝sin 2θ＝＝＝，
當直線PC與直線y＝x＋1垂直時，|PC|取得最小值，
則|PA|＝取得最小值，
且|PC|min＝＝2，
則|PA|min＝＝，則|PA|≥，
由對勾函數的單調性可知，函數y＝x＋在[，＋∞)上單調遞增，且y＝x＋＞0，
故函數f (x)＝在[，＋∞)上單調遞減，
故當|PA|＝時，sin ∠APB取得最大值．
故選C．]
3．(2023·新高考Ⅱ卷)已知直線x－my＋1＝0與⊙C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點，寫出滿足“△ABC面積為”的m的一個值：__________．
2　[設直線x－my＋1＝0為直線l，由條件知⊙C的圓心C(1，0)，半徑R＝2，點C到直線l的距離d＝，|AB|＝2＝2＝．由S△ABC＝，得＝，整理得2m2－5|m|＋2＝0，解得m＝±2或m＝±．
故答案可以為2．]
4．(2022·新高考Ⅰ卷)寫出與圓x2＋y2＝1和(x－3)2＋(y－4)2＝16都相切的一條直線的方程________．
y＝－x＋或y＝x－或x＝－1(只需從這三條公切線中任選一條作答即可)　[圓x2＋y2＝1的圓心為O(0，0)，半徑為1，圓(x－3)2＋(y－4)2＝16的圓心O1為(3, 4)，半徑為4，
兩圓圓心距為＝5，等于兩圓半徑之和，故兩圓外切，如圖．
當切線為l時，因為＝，所以kl＝－，設切線l的方程為y＝－x＋t(t＞0)，O到l的距離d＝＝1，解得t＝，所以l的方程為y＝－x＋．
當切線為m時，設切線m的方程為kx＋y＋p＝0，
其中p＞0，k＜0，由題意得解得所以m的方程為y＝x－．
當切線為n時，易知切線方程為x＝－1．]
專題限時集訓(十二)　直線與圓
一、單項選擇題
1．(2024·遼寧大連一模)過點和，且圓心在x軸上的圓的方程為(　　)
A．x2＋y2＝4 B．＋y2＝8
C．＋y2＝5 D．＋y2＝10
D　[令該圓圓心為，半徑為r，則該圓的方程為＋y2＝r2，
則有解得
故該圓的方程為＋y2＝10．故選D．]
2．(2024·山東大聯考)已知圓M：x2＋y2＋2ay＝0的圓心到直線3x＋2y＝2的距離是，則圓M與圓N：＋＝1的位置關系是(　　)
A．外離 B．相交
C．內切 D．內含
D　[圓M：x2＋y2＋2ay＝0化為標準方程為x2＋＝a2，所以圓心M，半徑為a．
由點到直線的距離公式得＝＝，且a>0，所以a＝．
又圓N的圓心N，半徑為1，
所以＝＝＝．
由<，可得兩圓內含．故選D．]
3．(2024·全國甲卷)已知b是a，c的等差中項，直線ax＋by＋c＝0與圓x2＋y2＋4y－1＝0交于A，B兩點，則|AB|的最小值為(　　)
A．1 B．2
C．4 D．2
C　[因為a，b，c成等差數列，所以2b＝a＋c，c＝2b－a，代入直線方程ax＋by＋c＝0得
ax＋by＋2b－a＝0，即a(x－1)＋b(y＋2)＝0，令得
故直線恒過點(1，－2)，
設P(1，－2)．
圓化為標準方程得x2＋(y＋2)2＝5，
設圓心為C，畫出直線與圓，由圖可知，當PC⊥AB時，|AB|最小，
|PC|＝1，|AC|＝，此時|AB|＝2|AP|＝2＝2＝4．
故選C．]
4．(2024·浙江嘉興二模)已知圓C：(x－5)2＋(y＋2)2＝r2(r>0)，A，B，若圓C上存在點P，使得PA⊥PB，則r的取值范圍為(　　)
A．
C．
B　[如圖，由PA⊥PB可知點P的軌跡是以AB為直徑的圓，設為圓M．
因為A，B，所以圓M的方程為(x＋3)2＋(y－4)2＝25．
依題意知圓M與圓C至少有一個公共點．
因為C(5，－2)，M(－3，4)，所以|CM|＝＝10．
由≤5＋r，解得5≤r≤15．
故選B．]
5．(2023·新高考Ⅰ卷)過點(0，－2)與圓x2＋y2－4x－1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sin α＝(　　)
A．1　　　B．　　　C．　　　D．
B　[圓x2＋y2－4x－1＝0可化為(x－2)2＋y2＝5，設圓心為C，半徑為r，則C(2，0)，r＝．
設P(0，－2)，切線為PA，PB，則|PC|＝＝2，
在△PAC中，sin ＝＝，所以cos ＝＝，
所以sin α＝2sin cos ＝2×＝．
故選B．]
二、多項選擇題
6．已知點A(－1，0)，B(1，0)，點P為圓C：x2＋y2－6x－8y＋17＝0上的動點，則(　　)
A．△PAB面積的最小值為8－4
B．|AP|的最小值為2
C．∠PAB的最大值為
D．的最大值為8＋4
BCD　[x2＋y2－6x－8y＋17＝0 (x－3)2＋(y－4)2＝8，圓C是以C(3，4)為圓心，2為半徑的圓．
對于A，當動點P移動到圓C的最低點M時，△PAB的面積最小，yM＝4－2，
Smin＝·|AB|·yM＝×2×(4－2)＝4－2，故選項A錯誤；
對于B，連接AC交圓于R點，當點P移動到R點時，|AP|取得最小值，為|AC|－|RC|＝－2＝2，故選項B正確；
對于C，當AP移動到與圓C相切時，∠PAB取得最大值，設切點為Q，
sin ∠CAQ＝＝＝，∴∠CAQ＝，
tan ∠CAN＝＝＝1，∴∠CAN＝，
∴∠PAB＝∠CAQ＋∠CAN＝，故選項C正確；
對于D，＝||·||·cos ∠PAB，當點P移動到S點時，||·cos ∠PAB取得最大值，即在上的投影向量的長度，可知為在上的投影向量，所以()max＝＝2×(1＋3＋2)＝8＋4，故選項D正確．故選BCD．]
三、填空題
7．(2024·浙江杭州二模)寫出與圓x2＋y2＝1相切且方向向量為的一條直線的方程：________．
y＝x＋2或y＝x－2(寫出一個即可)　[因為切線的方向向量為，
所以切線的斜率為，
故可設切線方程為y＝x＋b．
因為直線y＝x＋b與圓x2＋y2＝1相切，
又圓x2＋y2＝1的圓心坐標為，半徑為1，
圓心到直線y＝x＋b的距離為＝，
所以＝1，所以b＝2或b＝－2，
所以與圓x2＋y2＝1相切且方向向量為的直線方程為y＝x＋2或y＝x－2．]
8．(2024·廣東佛山二模)在平面直角坐標系中，已知A，B，C，則△ABC的外接圓的標準方程為________．
＋＝2　[依題意，設△ABC的外接圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，
則解得
所以所求圓的一般方程為x2＋y2－4x－2y＋3＝0，
則其標準方程為＋＝2．]
9．(教材改編)已知A，B，C，若在圓x2＋y2＝r2(r>0)上存在點P滿足＋＋＝13，則實數r的取值范圍是________．
　[設P，將坐標代入式子＋＋＝13，可得x2＋y2－4x－4y＋7＝0，
即＋＝1，則點P的軌跡是以為圓心，1為半徑的圓．
依題意，兩圓有公共點，則≤2≤r＋1，解得2－1≤r≤2＋1．]
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