資源簡介

培優(yōu)課10　隱圓問題
在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而利用圓的知識(shí)來求解，這類問題稱為“隱圓”問題．
類型1　利用圓的定義或垂直關(guān)系確定隱圓
【典例1】　(1)(2024·河北邯鄲二模)由動(dòng)點(diǎn)P向圓M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，若四邊形APBM為正方形，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4　
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4　
D．(x－2)2＋(y－3)2＝2
(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B，C滿足||＝||＝＝0，A為線段BC中點(diǎn)，P為圓(x－3)2＋(y－4)2＝4上任意一點(diǎn)，則||的取值范圍是(　　)
A．[2，8]　　　　　 B．[3，8]
C．[2，7] D．[3，7]
(1)B　(2)A　[(1)因?yàn)樗倪呅蜛PBM為正方形，且|MA|＝|MB|＝1，所以|MP|＝，
故動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，為半徑的圓，其方程為(x＋2)2＋(y＋3)2＝2．故選B．
(2)由＝0，得⊥，
又||＝||＝，且A為線段BC中點(diǎn)，
則||＝1，
所以A為圓O：x2＋y2＝1上任意一點(diǎn)．
設(shè)圓(x－3)2＋(y－4)2＝4的圓心為M，則||＝5，
又||＝5＞1＋2，所以圓O與圓M相離，
所以||的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點(diǎn)之間的距離，
所以||max＝||＋||＋||＝5＋1＋2＝8，
||min＝||－||－||＝5－1－2＝2，
所以||的取值范圍為[2，8]．
故選A．
]
題目中若已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長或者能求出到定點(diǎn)的距離為定值，或者得到動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的連線的夾角為直角，則可以得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(2024·山東濟(jì)南二模)已知圓C：x2＋y2＝1，A，B，若圓C上有且僅有一點(diǎn)P使PA⊥PB，則正實(shí)數(shù)a的取值為(　　)
A．2或4 B．2或3
C．4或5 D．3或5
D　[由題意可知，圓C：x2＋y2＝1的圓心為C，半徑r＝1，且a>0，
因?yàn)镻A⊥PB，可知點(diǎn)P的軌跡為以線段AB的中點(diǎn)M為圓心，半徑R＝a的圓，
又因?yàn)辄c(diǎn)P在圓C：x2＋y2＝1上，
可知圓C與圓M有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則＝r＋R或＝，
即4＝1＋a或4＝，解得a＝3或a＝5．故選D．]
【教師備選資源】
1．已知直線l1：x＋my－3m－1＝0與l2：mx－y－3m＋1＝0相交于點(diǎn)M，線段AB是圓C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一條動(dòng)弦，且|AB|＝2，則的最小值為(　　)
A．6－4 B．3－
C．5＋ D．－1
A　[由圓的方程知：圓心C(－1，－1)，半徑r＝2，
由l1：x＋my－3m－1＝0得(x－1)＋m(y－3)＝0，
∴l(xiāng)1恒過定點(diǎn)E(1，3)．
由l2：mx－y－3m＋1＝0得m(x－3)＋(1－y)＝0，
∴l(xiāng)2恒過定點(diǎn)F(3，1)．
由直線l1，l2的方程可知l1⊥l2，∴ME⊥MF，
即＝0，
設(shè)M(x，y)，則＝(1－x，3－y)，＝(3－x，1－y)，
∴＝(1－x)(3－x)＋(3－y)(1－y)＝0，整理可得(x－2)2＋(y－2)2＝2，
即點(diǎn)M的軌跡是以G(2，2)為圓心，為半徑的圓，
又直線l2斜率存在，∴M點(diǎn)軌跡不包含(3，3)，
若點(diǎn)D為弦AB的中點(diǎn)，則＝2，位置關(guān)系如圖，
連接CD，由|AB|＝2，知|CD|＝＝1，
則|MD|min＝|MC|min－|CD|＝|CG|－－1
＝－1＝2－1，
∴＝()·()＝＋()·＝－3≥(2－1)2－3＝6－4(當(dāng)M在點(diǎn)(1，1)處時(shí)取等號(hào))，即的最小值為6－4．故選A．]
2．已知等邊△ABC的邊長為，P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且||＝1，則的取值范圍是(　　)
A．　　　　 B．
C．[1，4] D．[1，7]
B　[如圖構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，且A，B，C，
所以P(x，y)在以A為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為＋y2＝1，而＝＝，故＝x2－x＋y2－y＝＋－，
只需求出定點(diǎn)與圓＋y2＝1上的點(diǎn)的距離的平方的范圍即可，而圓心A與點(diǎn)的距離d＝＝，故定點(diǎn)與圓上點(diǎn)的距離的范圍為，所以∈．故選B．]
類型2　阿波羅尼斯圓
【典例2】　(2024·廣東茂名一模)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O，A滿足＝2，則點(diǎn)P到直線l：mx－y＋4－3m＝0的距離的最大值為________．
2＋　[設(shè)P(x，y)，則＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，
所以P的軌跡是圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，
又直線l：mx－y＋4－3m＝0可化為m(x－3)－(y－4)＝0，易知過定點(diǎn)(3，4)，由32＋(4＋1)2>4，故點(diǎn)(3，4)在圓x2＋(y＋1)2＝4外，則圓心與定點(diǎn)所在的直線與直線l垂直時(shí)，圓心與直線l的距離最大，所以點(diǎn)P到直線l的距離的最大值為＋2＝2＋．]
平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱作阿波羅尼斯圓．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(2024·遼寧沈陽二模)已知A，B＝2，若平面內(nèi)滿足到直線l：3x＋4y＋m＝0的距離為1的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則實(shí)數(shù)m＝________．
5或－5　[設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由|PB|＝2|PA|可得，＝2，
兩邊平方整理得x2＋y2＝4，即點(diǎn)P的軌跡是圓，圓心在原點(diǎn)，半徑為2．
若該圓上有且只有3個(gè)點(diǎn)到直線l：3x＋4y＋m＝0的距離為1，則圓心到直線的距離d＝＝1，解得m＝±5．]
3．已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點(diǎn)A，過l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T，若|PA|＝|PT|，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
　[由題意知A(－2，0)，C(2，0)，
設(shè)P(x，y)，
則由|PA|＝|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，
化簡得(x－6)2＋y2＝36，
所以滿足|PA|＝|PT|的點(diǎn)P在以(6，0)為圓心，6為半徑的圓上．
由題意知，直線y＝k(x＋2)與圓(x－6)2＋y2＝36有公共點(diǎn)，所以d＝≤6，解得－≤k≤．]
【教師備選資源】
1．(多選)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到原點(diǎn)O與A(2，0)的距離之比為2，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡記為C，直線l：3x－4y－3＝0，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．C的方程為＋y2＝
B．動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍為
C．直線l被C截得的弦長為
D．C上存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離為
AD　[設(shè)P(x，y)，因?yàn)閨PO|＝2|PA|，所以＝2，
所以C的方程為＋y2＝，故A正確；
因?yàn)閳A心C到直線l：3x－4y－3＝0的距離d＝1＜r＝，
所以直線l與圓C相交，且弦長為2＝，故C錯(cuò)誤；
動(dòng)點(diǎn)P到直線l的距離的取值范圍為，故B錯(cuò)誤，D正確．故選AD．]
2．已知O(0，0)，A(3，0)，直線l上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PO|，寫出滿足條件的其中一條直線l的方程________．
x＝1(答案不唯一)　[設(shè)點(diǎn)P(x，y)，由|PA|＝2|PO|可得＝2，
整理可得(x＋1)2＋y2＝4，
即點(diǎn)P的軌跡為圓，且圓心為C(－1，0)，半徑r＝2，
直線l上有且只有一個(gè)點(diǎn)P滿足|PA|＝2|PO|，
所以直線l與圓C相切，所以直線l的方程可為x＝1(答案不唯一)．]
類型3　由距離平方和為定值確定隱圓
【典例3】　(2024·河南九師聯(lián)盟三模)在平面α內(nèi)，已知線段AB的長為4，點(diǎn)P為平面α內(nèi)一點(diǎn)，且＋＝10，則∠PAB的最大值為(　　)
A． B．
C． D．
A　[如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系Oxy，
設(shè)P，因?yàn)椋?，不妨設(shè)A，B，
由＋＝10，得＋y2＋＋y2＝10，
化簡得x2＋y2＝1，即點(diǎn)P的軌跡是以O(shè)為圓心，1為半徑的圓．當(dāng)PA與圓O相切時(shí)，∠PAB取得最大值，此時(shí)OP⊥PA．
因?yàn)椋?，＝2，所以sin ∠PAB＝，且∠PAB為銳角，故∠PAB的最大值為．故選A．]
動(dòng)點(diǎn) P 滿足＋|PB|2是定值的軌跡為圓．在解決與圓相關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意利用圓的幾何性質(zhì)或一些簡單的軌跡知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓或圓與圓的位置關(guān)系問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．設(shè)A(2，0)，B(0，4)．若對(duì)于直線l：x－y＋m＝0上的任意一點(diǎn)P，都有|PA|2＋|PB|2>18，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A．(1＋2，＋∞)
B．(1－2，1＋2)
C．(－∞，1－2)
D．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)
D　[設(shè)P，∵|PA|2＋|PB|2>18，
∴＋y2＋x2＋>18，整理得＋>4，
則P在以為圓心，2為半徑的圓外，
∵P在直線l上，則直線與圓相離，設(shè)圓心到直線的距離為d，∴d＝>2，解得m<1－2或m>1＋2．
故選D．]
【教師備選資源】
1．已知點(diǎn)A(－2，0)，B(2，0)，點(diǎn)P滿足|PA|2＋|PB|2＝16，直線l：(m＋1)x－y＋1－3m＝0(m∈R)，當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，m的值為(　　)
A． B．
C．－ D．－
C　[∵A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)P(x，y)，
∴|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2＋8，
∵|PA|2＋|PB|2＝16，∴2x2＋2y2＋8＝16，化簡得x2＋y2＝4，即點(diǎn)P的軌跡方程為x2＋y2＝4，圓心為(0，0)，半徑為2．
直線l：(m＋1)x－y＋1－3m＝0(m∈R)化簡為m(x－3)＋x－y＋1＝0，
由解得即直線l恒過定點(diǎn)(3，4)，
設(shè)定點(diǎn)為M(3，4)，當(dāng)OM⊥l時(shí)，此時(shí)點(diǎn)P到直線l的距離最大，∴kOM·kl＝－1，kOM＝＝，kl＝m＋1，∴(m＋1)＝－1，得m＝－．故選C．]
2．已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0和兩點(diǎn)A，B，若圓C上總存在點(diǎn)P，使得＋＝，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
C　[由圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0得＋＝1，又點(diǎn)P在圓C上，所以設(shè)P，其中θ∈，
因?yàn)椋剑浴停裕?，
又＝＝(3＋cos θ－t，4＋sin θ)，
所以＝－t2＋＝0，整理得
t2＝＋
＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin ，
因?yàn)棣取剩裕?≤sin ≤1，
所以16≤t2≤36，所以4≤t≤6．故選C．]
類型4　圓冪定理
【典例4】　(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|－|MF2|＝2，記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x＝上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．
[解]　(1)因?yàn)閨MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以點(diǎn)M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的雙曲線的右支．
設(shè)雙曲線的方程為＝1(a＞0，b＞0)，半焦距為c，則2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以點(diǎn)M的軌跡C的方程為x2－＝1(x≥1)．
(2)設(shè)T，由題意可知直線AB，PQ的斜率均存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y－t＝k1(k1≠0)，直線PQ的方程為y－t＝k2(k2≠0)，
由得x2－2k1x－－16＝0．
設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知≠0，Δ＞0，
則xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
則|TA|·|TB|＝＝
＝＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因?yàn)閨TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以＝，
即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0．
1．圓冪定理
若|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，則A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，反之亦然．
2．圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件
若兩條直線li：y－y0＝ki(x－x0)(i＝1，2)與二次曲線Γ：ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是k1＋k2＝0．
可推導(dǎo)圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件為圓錐曲線上四個(gè)不同的點(diǎn)組成的四邊形對(duì)角線的傾斜角互補(bǔ)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
5．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p，0)，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線AD垂直于x軸時(shí)，|AF|＝6．
(1)求C的方程；
(2)若線段AB的垂直平分線交C于M，N兩點(diǎn)，且∠AMB＋∠ANB＝π，求直線l的方程．
[解]　(1)由題意得|AF|＝p＋＝6，∴p＝4，
∴C的方程為y2＝8x．
(2)由(1)知F，設(shè)l的方程為x＝my＋2(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－8my－16＝0，
則y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
∴x1＋x2＝my1＋2＋my2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝8m2＋4，
∴AB的中點(diǎn)為Q(4m2＋2，4m)，|AB|＝x1＋x2＋4＝8m2＋8，
又直線MN的斜率為－m，
∴直線MN的方程為x＝－y＋4m2＋6，
將上式代入y2＝8x，并整理得
y2＋y－16(2m2＋3)＝0，設(shè)M(x3，y3)，N(x4，y4)，
則y3＋y4＝－，y3y4＝－16(2m2＋3)，
則x3＋x4＝－(y3＋y4)＋2(4m2＋6)
＝－＋8m2＋12＝＋8m2＋12，
∴MN的中點(diǎn)為E，|MN|＝|y3－y4|＝．
由MN垂直平分AB，且∠AMB＋∠ANB＝π，
得A，M，B，N在以MN為直徑的圓上，
即E為圓心，|AE|＝|BE|＝|MN|，
從而|AB|2＋|EQ|2＝|MN|2，
即(8m2＋8)2＋＋
＝，
解得m＝1或m＝－1，
∴直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y－2＝0．
培優(yōu)專練10　隱圓問題
1．設(shè)定點(diǎn)M和N，動(dòng)點(diǎn)為H，若＝2，則動(dòng)點(diǎn)H的軌跡為(　　)
A．直線 B．圓
C．橢圓 D．拋物線
B　[設(shè)＝2c，以線段MN的中點(diǎn)O為平面直角坐標(biāo)系原點(diǎn)，MN所在直線為x軸，
建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系，則M，N，
設(shè)H，則＝＝x2－c2＋y2＝2，
即x2＋y2＝2＋c2，所以H的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的圓．
故選B．]
2．(2024·北京大興三模)已知A(－1，0)，B(1，0)，若點(diǎn)P滿足PA⊥PB，則點(diǎn)P到直線l：m(x－)＋n(y－1)＝0的距離的最大值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
C　[由PA⊥PB可得點(diǎn)P的軌跡為以線段AB為直徑的圓，圓心為，半徑為1，
又直線l：m(x－)＋n(y－1)＝0，其過定點(diǎn)，
故距離的最大值為＋1＝3．]
3．若平面內(nèi)兩定點(diǎn)A，B間的距離為2，動(dòng)點(diǎn)P滿足＝，則＋的最小值為(　　)
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
A　[以經(jīng)過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則A，B，
設(shè)P，因?yàn)椋剑裕剑?br/>兩邊平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即＋y2＝8，
所以點(diǎn)P的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
則＋＝＋y2＋＋y2＝2＋2，
因?yàn)閤2＋y2－6x＋1＝0，所以＋＝2＋2＝12x，
由y2＝8－≥0，得3－2≤x≤3＋2，
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知＋的最小值為36－24．
故選A．]
4．已知點(diǎn)P(0，4)，圓M：(x－4)2＋y2＝16，過點(diǎn)N(2，0)的直線l與圓M交于A，B兩點(diǎn)，則||的最大值為(　　)
A．8 B．12　　　
C．6　　　 D．9
B　[由題意知，M(4，0)，圓M的半徑為4，設(shè)AB的中點(diǎn)D(x，y)，則ND⊥MD，即＝0，
又＝(x－2，y)，＝(x－4，y)，
所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即點(diǎn)D的軌跡方程為(x－3)2＋y2＝1，設(shè)其圓心為E，則E(3，0)，半徑為1，
所以|PD|的最大值為|PE|＋1＝＋1＝6，
因?yàn)閨|＝2||，所以||的最大值為12．故選B．]
5．(多選)(2024·廣東深圳模擬)已知M為直線x－y＋5＝0上的一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)N與兩個(gè)定點(diǎn)O，A的距離之比為2，則(　　)
A．動(dòng)點(diǎn)N的軌跡方程為＋y2＝4
B．≥2＋
C．的最小值為4
D．∠AON的最大值為
AC　[對(duì)于A，設(shè)N，由＝2 x2＋y2＝4 ＋y2＝4，故A正確；
對(duì)于B，如圖，
M為直線x－y＋5＝0上的點(diǎn)，N為⊙C：＋y2＝4上的點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式得，
C到直線x－y＋5＝0的距離為＝，所以－2，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖，
因?yàn)椋剑裕降淖钚≈禐锳到直線x－y＋5＝0的距離，由點(diǎn)到直線的距離公式得，＝4，故C正確；
對(duì)于D，如圖，
過O作圓C的切線，切點(diǎn)為N，此時(shí)∠AON最大，因?yàn)椋?，＝4，∠ONC＝，所以∠AON＝，故D錯(cuò)誤．故選AC．]
6．(2024·浙江杭州模擬)已知正三角形ABC的邊長為1，P是平面ABC上一點(diǎn)，若PA2＋PB2＋PC2＝5，則PA的最大值為________．
　[以BC所在直線為x軸，BC中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，
則A，B，C，設(shè)P，
由PA2＋PB2＋PC2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，半徑r＝的圓，
PA的最大值等于＋r＝＝．]
7．(2024·四川雅安模擬)如圖，已知點(diǎn)P是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內(nèi)(包含邊界)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到BB1的距離的兩倍，則點(diǎn)P的軌跡的長度為________．
　[在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可得BB1⊥平面ABCD，
因?yàn)镻B 平面ABCD，所以BB1⊥PB，
則點(diǎn)P到BB1的距離等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離，即＝2，
在底面ABCD中，以A為原點(diǎn)，以AB，AD所在的直線分別為x軸和y軸，
建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得A(0，0)，B(2，0)，
設(shè)P(x，y)，由＝2，可得＝2，
整理得＋y2＝，即點(diǎn)P的軌跡是以M為圓心，半徑為的，
又由＝＝－2＝，
可得cos ∠BMF＝＝，
所以∠BMF＝，即所對(duì)的圓心角為，
所以點(diǎn)P的軌跡的長度為＝．]
7/15培優(yōu)課10　隱圓問題
在題設(shè)中沒有明確給出圓的相關(guān)信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而利用圓的知識(shí)來求解，這類問題稱為“隱圓”問題．
類型1　利用圓的定義或垂直關(guān)系確定隱圓
【典例1】　(1)(2024·河北邯鄲二模)由動(dòng)點(diǎn)P向圓M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)分別為A，B，若四邊形APBM為正方形，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4　
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4　
D．(x－2)2＋(y－3)2＝2
(2)在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)B，C滿足||＝||＝＝0，A為線段BC中點(diǎn)，P為圓(x－3)2＋(y－4)2＝4上任意一點(diǎn)，則||的取值范圍是(　　)
A．[2，8]　　　　　 B．[3，8]
C．[2，7] D．[3，7]
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
題目中若已知?jiǎng)狱c(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于定長或者能求出到定點(diǎn)的距離為定值，或者得到動(dòng)點(diǎn)與兩定點(diǎn)的連線的夾角為直角，則可以得到動(dòng)點(diǎn)的軌跡為圓．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(2024·山東濟(jì)南二模)已知圓C：x2＋y2＝1，A，B，若圓C上有且僅有一點(diǎn)P使PA⊥PB，則正實(shí)數(shù)a的取值為(　　)
A．2或4 B．2或3
C．4或5 D．3或5
類型2　阿波羅尼斯圓
【典例2】　(2024·廣東茂名一模)動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)O，A滿足＝2，則點(diǎn)P到直線l：mx－y＋4－3m＝0的距離的最大值為________．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，這個(gè)圓稱作阿波羅尼斯圓．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(2024·遼寧沈陽二模)已知A，B＝2，若平面內(nèi)滿足到直線l：3x＋4y＋m＝0的距離為1的點(diǎn)P有且只有3個(gè)，則實(shí)數(shù)m＝________．
3．已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點(diǎn)A，過l上一點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為T，若|PA|＝|PT|，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
類型3　由距離平方和為定值確定隱圓
【典例3】　(2024·河南九師聯(lián)盟三模)在平面α內(nèi)，已知線段AB的長為4，點(diǎn)P為平面α內(nèi)一點(diǎn)，且＋＝10，則∠PAB的最大值為(　　)
A． B．
C． D．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
動(dòng)點(diǎn) P 滿足＋|PB|2是定值的軌跡為圓．在解決與圓相關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意利用圓的幾何性質(zhì)或一些簡單的軌跡知識(shí)將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓或圓與圓的位置關(guān)系問題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
4．設(shè)A(2，0)，B(0，4)．若對(duì)于直線l：x－y＋m＝0上的任意一點(diǎn)P，都有|PA|2＋|PB|2>18，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A．(1＋2，＋∞)
B．(1－2，1＋2)
C．(－∞，1－2)
D．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)
類型4　圓冪定理
【典例4】　(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標(biāo)系Oxy中，已知點(diǎn)F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，點(diǎn)M滿足|MF1|－|MF2|＝2，記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)T在直線x＝上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點(diǎn)和P，Q兩點(diǎn)，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．圓冪定理
若|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，則A，B，P，Q四點(diǎn)共圓，反之亦然．
2．圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件
若兩條直線li：y－y0＝ki(x－x0)(i＝1，2)與二次曲線Γ：ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四個(gè)交點(diǎn)，則這四個(gè)交點(diǎn)共圓的充要條件是k1＋k2＝0．
可推導(dǎo)圓錐曲線上四點(diǎn)共圓的充要條件為圓錐曲線上四個(gè)不同的點(diǎn)組成的四邊形對(duì)角線的傾斜角互補(bǔ)．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
5．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)D(p，0)，過F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)．當(dāng)直線AD垂直于x軸時(shí)，|AF|＝6．
(1)求C的方程；
(2)若線段AB的垂直平分線交C于M，N兩點(diǎn)，且∠AMB＋∠ANB＝π，求直線l的方程．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3/4

展開更多......

收起↑