資源簡介

培優課11　圓錐曲線中的雙切線問題——同構法
我們把過一點作圓錐曲線的兩條切線的問題叫做圓錐曲線的雙切線問題，這類問題由于涉及雙切線、雙切點、雙斜率，在引參、設點、設直線方程和求解過程中，處理方法特殊技巧性強，對運算能力和方程思想的理解要求較高，是圓錐曲線的一個難點和熱點問題．
類型1　彭賽列閉合定理的應用
【典例1】　(2021·全國甲卷)拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ．已知點M(2，0)，且⊙M與l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關系，并說明理由．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．雙切線問題同構轉化后的表達式多角度進行抽象：(1)從方程(根)的角度；(2)從直線(點)的角度．
2．雙切線問題的求解思路
已知曲線外一點A1(x0，y0)，向二次曲線C引兩條切線A1A2，A1A3，切點分別為A2，A3．設A2(x1，y1)，A3(x2，y2)，
第1步：分別寫出切線A1A2，A1A3的方程(注意斜率)；
第2步：聯立A1A2，A1A3與曲線C的方程，利用相切條件，得到代數關系式①，②，從而以A1的橫或縱坐標為參數，進一步構造點A2，A3的橫或縱坐標滿足的同構方程③；
第3步：利用方程③中根與系數的關系判斷，A2A3與曲線的位置關系，或完成其他問題．
[跟進訓練]
1．(2024·山東德州模擬)如圖所示，已知橢圓C：＝1與直線l：＝1．點P在直線l上，由點P引橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，O是坐標原點．
(1)若點P為直線l與y軸的交點，求△PAB的面積S；
(2)若OD⊥AB，D為垂足，求證：存在定點Q，使得為定值．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　阿基米德三角形的應用
【典例2】　(2021·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點的距離的最小值為4．
(1)求p的值；
(2)若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
對于拋物線C：y2＝2px(p＞0)，設P(x0，y0)(在拋物線C外)，PA，PB是C的兩條切線，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切點，則阿基米德三角形PAB的面積為S△PAB＝＝．
[跟進訓練]
2．(多選)設拋物線C：y＝x2的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則(　　)
A．PQ⊥x軸 B．PF⊥AB
C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|＋|BF|＝2|PF|
3．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點P(2，0)作直線l交拋物線于A，B兩點．
(1)若l的傾斜角為，求△FAB的面積；
(2)過點A，B分別作拋物線C的兩條切線l1，l2，且直線l1與直線l2相交于點M，問：點M是否在某定直線上？若在，求該定直線的方程，若不在，請說明理由．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1/1培優課11　圓錐曲線中的雙切線問題——同構法
我們把過一點作圓錐曲線的兩條切線的問題叫做圓錐曲線的雙切線問題，這類問題由于涉及雙切線、雙切點、雙斜率，在引參、設點、設直線方程和求解過程中，處理方法特殊技巧性強，對運算能力和方程思想的理解要求較高，是圓錐曲線的一個難點和熱點問題．
類型1　彭賽列閉合定理的應用
【典例1】　(2021·全國甲卷)拋物線C的頂點為坐標原點O，焦點在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點，且OP⊥OQ．已知點M(2，0)，且⊙M與l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)設A1，A2，A3是C上的三個點，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關系，并說明理由．
[解]　(1)依題意，設拋物線C：y2＝2px(p＞0)，P(1，y0)，Q(1，－y0)，
因為OP⊥OQ，所以＝＝1－2p＝0，所以2p＝1，
所以拋物線C的方程為y2＝x．
因為M(2，0)，⊙M與x＝1相切，所以半徑為1，
所以⊙M的方程為(x－2)2＋y2＝1．
(2)法一(方程根的角度)：
設A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
若A1A2斜率不存在，則A1A2方程為x＝1或x＝3，
若A1A2方程為x＝1，根據對稱性不妨設A1(1，1)，
則過A1與⊙M相切的另一條直線方程為y＝1，
此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在A3，不合題意；
若A1A2方程為x＝3，根據對稱性不妨設
A1(3，)，A2(3，－)，
則過A1與⊙M相切的直線A1A3的方程為y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此時直線A1A3，A2A3關于x軸對稱，
所以直線A2A3與⊙M相切．
若直線A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在，
則＝＝＝，
所以直線A1A2的方程為y－y1＝(x－x1)，
整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理直線A1A3的方程為x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
直線A2A3的方程為x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
因為A1A2與⊙M相切，所以＝1，
整理得＝0，①
A1A3與⊙M相切，同理＝0．②
所以y2，y3為方程＝0的兩根，③
y2＋y3＝，y2·y3＝，
M到直線A2A3的距離為
＝＝＝＝1，
所以直線A2A3與⊙M相切．
綜上所述，若直線A1A2，A1A3與⊙M相切，則直線A2A3與⊙M相切．
法二(直線(點)的角度)：
設＝＝＝x3．
當x1＝x2時，則A1A2方程為x＝1或x＝3，
若A1A2方程為x＝1，根據對稱性不妨設A1(1，1)，
則過A1與⊙M相切的另一條直線方程為y＝1，
此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在A3，不合題意；
若A1A2方程為x＝3，根據對稱性不妨設
A1(3，)，A2(3，－)，則過A1與⊙M相切的直線A1A3的方程為y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此時直線A1A3，A2A3關于x軸對稱，所以直線A2A3與⊙M相切．
當x1≠x2時，直線A1A2的方程為y－y1＝·(x－x1)，即y＝．
由直線A1A2與⊙M相切得＝1，
化簡得2y1y2＋(x1－1)x2－x1＋3＝0，
同理，由直線A1A3與⊙M相切得
2y1y3＋(x1－1)x3－x1＋3＝0．
因為方程2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0同時經過點A2，A3，所以A2A3的直線方程為2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0，
點M到直線A2A3的距離為＝＝1．
所以直線A2A3與⊙M相切．
綜上所述，若直線A1A2，A1A3與⊙M相切，則直線A2A3與⊙M相切．
1．雙切線問題同構轉化后的表達式多角度進行抽象：(1)從方程(根)的角度；(2)從直線(點)的角度．
2．雙切線問題的求解思路
已知曲線外一點A1(x0，y0)，向二次曲線C引兩條切線A1A2，A1A3，切點分別為A2，A3．設A2(x1，y1)，A3(x2，y2)，
第1步：分別寫出切線A1A2，A1A3的方程(注意斜率)；
第2步：聯立A1A2，A1A3與曲線C的方程，利用相切條件，得到代數關系式①，②，從而以A1的橫或縱坐標為參數，進一步構造點A2，A3的橫或縱坐標滿足的同構方程③；
第3步：利用方程③中根與系數的關系判斷，A2A3與曲線的位置關系，或完成其他問題．
[跟進訓練]
1．(2024·山東德州模擬)如圖所示，已知橢圓C：＝1與直線l：＝1．點P在直線l上，由點P引橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點，O是坐標原點．
(1)若點P為直線l與y軸的交點，求△PAB的面積S；
(2)若OD⊥AB，D為垂足，求證：存在定點Q，使得為定值．
[解]　(1)由題意知P，過點P與橢圓相切的直線斜率存在，
設切線方程為y＝kx＋3，
聯立
可得x2＋12kx＋12＝0，(*)
所以Δ＝144k2－48＝48＝0，解得k＝±1，即切線方程為y＝±x＋3．
所以PA⊥PB，
將k＝1代入方程(*)可得x2＋4x＋4＝0，可得x＝－2，此時y＝1，
不妨設點A，同理可得點B，則＝＝＝2，
因此，△PAB的面積S＝＝4．
(2)證明：設A，B，
因為橢圓＝1在其上一點M處的切線方程為＝1．
則切線PA的方程為＝1，切線PB的方程為＝1．
設P，則
所以，點A，B的坐標滿足方程＝1，即mx＋2ny－6＝0，
所以直線AB的方程為mx＋2ny－6＝0．
因為點P在直線＝1上，所以m＋2n＝6，則2n＝6－m，
所以直線AB的方程可表示為mx＋y－6＝0，即m＋6＝0．
令可得故直線AB過定點T．
因為OD⊥AB，D，T在直線AB上，OD⊥DT，
故點D在以OT為直徑的圓上，
當點Q為線段OT的中點時，＝|OT|＝，
此時點Q的坐標為．
故存在定點Q，使得為定值．
【教師備選資源】
已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)經過點(0，)，且離心率為．F為橢圓E的左焦點，點P為直線l：x＝3上的一點，過點P作橢圓E的兩條切線，切點分別為A，B，連接AB，AF，BF．
(1)求證：直線AB過定點M，并求出定點M的坐標；
(2)記△AFM，△BFM的面積分別為S1和S2，當|S1－S2|取最大值時，求直線AB的方程．
參考結論：點Q(x0，y0)為橢圓＝1上一點，則過點Q的橢圓的切線方程為＝1．
[解]　(1)證明：由題意可得b＝＝，又因為a2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，橢圓E的方程為＝1．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，
由參考結論知過點P在A處的橢圓E的切線方程為＝1，同理，過點P在B處的橢圓E的切線方程為＝1．
因為點P在直線PA，PB上，
所以
所以直線AB的方程為＝1，則直線AB過定點M(2，0)．
(2)設直線AB的方程為x＝ty＋2，
當t＝0時，x＝2，此時|S1－S2|＝0，當t≠0時，
聯立方程得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)＞0，
故y1＋y2＝－，y1y2＝－，
|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝＝＝，
當且僅當|t|＝，即t＝±時取等號，
此時直線AB的方程為x＝±y＋2．
類型2　阿基米德三角形的應用
【典例2】　(2021·全國乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點的距離的最小值為4．
(1)求p的值；
(2)若點P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點，求△PAB面積的最大值．
[解]　(1)由題意知M(0，－4)，F，圓M的半徑r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，拋物線方程為x2＝4y，
由題意可知直線AB的斜率存在，設，，直線AB的方程為y＝kx＋b，
聯立消去y得x2－4kx－4b＝0，
則Δ＝16k2＋16b>0，　(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝
＝4．
因為x2＝4y，即y＝，所以y′＝，則拋物線在點A處的切線斜率為，在點A處的切線方程為＝(x－x1)，即y＝．
同理得拋物線在點B處的切線方程為y＝，
聯立則
即P(2k，－b)．因為點P在圓M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1，?、?br/>且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，
所以－≤k≤，3≤b≤5，滿足(※)式．
設點P到直線AB的距離為d，則d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，則t＝，且3≤b≤5．
因為t＝在[3，5]上單調遞增，所以當b＝5時，t取得最大值，tmax＝5，此時k＝0，所以△PAB面積的最大值為20．
對于拋物線C：y2＝2px(p＞0)，設P(x0，y0)(在拋物線C外)，PA，PB是C的兩條切線，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切點，則阿基米德三角形PAB的面積為S△PAB＝＝．
[跟進訓練]
2．(多選)設拋物線C：y＝x2的焦點為F，過拋物線C上不同的兩點A，B分別作C的切線，兩條切線的交點為P，AB的中點為Q，則(　　)
A．PQ⊥x軸 B．PF⊥AB
C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|＋|BF|＝2|PF|
AC　[對于A選項：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，Q，y＝x2，y′＝2x，
過點A的切線為：y－y1＝2x1(x－x1)，①
過點B的切線為：y－y2＝2x2(x－x2)，②
①－②得y1－y2＝2x1x－2x2x，
化簡可得＝2x(x1－x2)，
x0＝，PQ⊥x軸，A選項正確；
設A(0，0)，B(1，1)，F，
過A點的切線為y＝0，過B點的切線為y－1＝2(x－1)，交點為P，
所以kPF＝－，kAB＝1，kPF·kAB≠－1，所以PF不垂直于AB，B選項錯誤；
由B可知，|AF|＋|BF|＝＝，2|PF|＝2＝，
所以|AF|＋|BF|≠2|PF|，D選項錯誤；
作拋物線準線的垂線AA′，BB′，連接A′P，B′P，PF，AF，BF，
F，A′，kPA＝y′|x＝，
則kFA′＝－，kPA＝2x1，
顯然kFA′·kPA＝－1，所以FA′⊥PA．
又由拋物線定義，得|AA′|＝|AF|，故知PA是線段FA′的中垂線，得到|PA′|＝|PF|，則∠PA′A＝∠PFA，
同理可證|PB′|＝|PF|，∠PB′B＝∠PFB，
所以|PA′|＝|PB′|＝|PF|，即∠PA′B′＝∠PB′A′，
所以∠PA′A＝∠PA′B′＋90°＝∠PB′A′＋90°＝∠PB′B，
即∠PFA＝∠PFB，C選項正確．故選AC．]
3．已知拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過點P(2，0)作直線l交拋物線于A，B兩點．
(1)若l的傾斜角為，求△FAB的面積；
(2)過點A，B分別作拋物線C的兩條切線l1，l2，且直線l1與直線l2相交于點M，問：點M是否在某定直線上？若在，求該定直線的方程，若不在，請說明理由．
[解]　(1)∵l的傾斜角為，∴k＝tan ＝1，
∵直線l過點P(2，0)，∴直線l的方程為y＝x－2，即x＝y＋2，
聯立直線l與拋物線方程化簡可得y2－4y－8＝0，
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則Δ＝16＋4×8＝48>0，
∴＝＝＝4，
又∵點F(1，0)到直線l的距離是d＝＝，
∴S△FAB＝·d＝×4＝2．
(2)設l的方程為x＝my＋2，
聯立直線l與拋物線方程化簡可得y2－4my－8＝0，
則Δ＝16m2＋32>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
∴x1x2＝＝4，
不妨設點A(x1，y1)在x軸上方，點B(x2，y2)在x軸下方，
當y≥0時，y＝2，求導可得y′＝，∴＝，
∴拋物線C上過點A的切線l1的方程為y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1①，
當y<0時，y＝－2，求導可得y′＝－，
∴＝－，
∴拋物線C上過點B的切線l2的方程為y－y2＝－(x－x2)，即y＝－x＋＋y2②，
聯立①②可得，x＝＋y2－y1，
∵y2＝－2，y1＝2，
∴x＝－2－2，
∵x1x2＝4，∴x＝－，
又∵≠0，∴x＝－2，即M的橫坐標恒為－2，
∴點M在定直線x＝－2上．
【教師備選資源】
已知拋物線H：x2＝2py(p為常數，p＞0)．
(1)若直線l：y＝kx－2pk＋2p與H只有一個公共點，求k；
(2)貝塞爾曲線是計算機圖形學和相關領域中重要的參數曲線．法國數學家卡斯特里奧對貝塞爾曲線進行了圖形化應用的測試，提出了德卡斯特里奧算法：已知三個定點，根據對應的比例，使用遞推畫法，可以畫出拋物線；反之，已知拋物線上三點的切線，也有相應成比例的結論．如圖，A，B，C是H上不同的三點，過三點的三條切線分別兩兩交于點D，E，F，證明：＝＝．
[解]　(1)將y＝kx－2pk＋2p代入x2＝2py，
化簡得x2－2pkx＋4p2(k－1)＝0，(*)
方程(*)的判別式Δ＝4p2k2－4(4p2k－4p2)＝0，
化簡得k2－4k＋4＝0，即k＝2．
(2)證明：設A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xF，yF)，
設拋物線x2＝2py在A點處的切線方程為y－yA＝kA(x－xA)，
由消去y并化簡得
x2－2pkAx＋2pkAxA－2pyA＝0，
Δ＝－4(2pkAxA－2pyA)＝－8pkAxA＋8pyA＝0，
－2xAkA＋2yA＝0，
＝＝0，
解得kA＝，故切線方程為
y－yA＝(x－xA)＝，py－pyA＝，
＝＝，
即2py＝，
同理可求得拋物線x2＝2py上過點B，C的切線方程分別為：
2py＝，2py＝，
由過A，B，C的切線方程兩兩聯立，可以求得交點D，E，F的橫坐標分別為：
xD＝，xE＝，xF＝，
注意到結論中線段長度的比例可以轉化為點的橫坐標的比例，得＝＝＝，命題得證．
培優專練11　圓錐曲線中的雙切線問題——同構法
1．(2024·云南師大附中模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，上、下頂點與其中一個焦點圍成的三角形的面積為，過點P作橢圓C的兩條切線，切點為A，B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求直線AB的方程；
(3)過點P作直線l交橢圓C于M，N兩點，交直線AB于點Q，求的值．
[解]　(1)由題意可知，＝，①
又·2b·c＝，所以bc＝，②
由①②及a2＝b2＋c2，可得a＝2，b＝，
所以橢圓C的方程為＝1．
(2)先證：過橢圓＝1上一點A的切線方程為＝1，
證明如下：當過橢圓上一點A的切線斜率存在時，
設切線方程為y＝kx＋m，
聯立 可得x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
因為直線與橢圓相切，
所以Δ＝－4＝0，
化簡可得4k2－m2＋3＝0，
所以x1＝＝，代入y＝kx＋m可得，
y1＝kx1＋m＝k·＋m＝，
于是k＝－＝－·m＝－＝－，
故切線方程為y－y1＝－，即 ＝，
又＝12，故切線PA的方程為＝1，
當過橢圓上一點A的切線斜率不存在時，切線方程為x＝±2，滿足題意．
所以過橢圓＝1上一點A的切線方程為＝1，
故切線PA的方程為＝1，
同理，切線PB的方程為＝1，又因為切線過點P，
所以＝1，＝1，所以x1＋y1＝－1，x2＋y2＝－1，故直線AB的方程為x＋y＋1＝0．
(3)由題意可知直線l的斜率存在，且k>0，設直線l的方程為y＝k－3，
聯立橢圓C的方程＝1，
得x2＋x＋64k2－96k＋24＝0，Δ＞0，令M，N，
所以x3＋x4＝－，x3·x4＝．
令Q，解方程組 得x0＝．
又＝＝
＝＝＝2，
所以＝2．
2．(2024·江蘇泰州模擬)已知拋物線E：x2＝2y，焦點為F，過F作y軸的垂線l0，點P在x軸下方，過點P作拋物線E的兩條切線l1，l2，l1，l2分別交x軸于A，B兩點，l1，l2分別交l0于C，D兩點．
(1)若l1，l2與拋物線E相切于C，D兩點，求點P的坐標；
(2)證明：△PAB的外接圓過定點；
(3)求△PCD面積S的最小值．
[解]　(1)∵l1，l2與拋物線E相切于C，D兩點，
設C在左側，則C，D，
由x2＝2y得y＝x2，所以y′＝x，
所以l1的斜率為－1，l2的斜率為1，
此時l1的方程為y－＝－，即x＋y＋＝0．
l2的方程為y－＝x－1，即x－y－＝0，聯立 得P．
(2)設過P的兩條切線分別與拋物線切于，
由(1)知直線PQ的斜率為x1，所以直線PQ的方程為＝x1，即y＝，
直線PR的斜率為x2，直線PR的方程為＝x2，即y＝，
所以P且A，B，
設△PAB外接圓的圓心為M，則M在AB的垂直平分線上，而AB的中點為，所以m＝，
設△PAB外接圓方程為＋＝＋n2，又外接圓過P，所以＋＝＋n2，
所以－nx1x2＝0，所以n＝，
所以＋＝＋，
整理得x2－x＋y2－y＋＝0，
所以x2＋y2－x＋＝0，
令
即所以△PAB的外接圓過定點．
(3)CD：y＝，所以C，D，
所以＝
＝＝，
P到CD的距離為d＝，
所以S△PCD＝，
設x1x2＝－t2，t>0，＝r，由＝＋4x1x2＝r2－4t2≥0，
r≥2t，當且僅當x1＋x2＝0時等號成立．
所以S△PCD＝＝，
令f ＝，f ′＝＝，
f 在上單調遞減，在上單調遞增，
所以f ≥f ＝，所以△PCD面積S的最小值為．
1/1

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