資源簡介

解答三角函數問題
閱卷案例 四字解題
(2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面積為3＋，求c． 讀 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面積為3＋，求c
想 余弦定理及其推論 三角形的面積公式
算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面積
思 轉化與化歸 函數與方程
規范解答 滿分心得
[解]　(1)因為 所以在△ABC中，由余弦定理的推論得 cos C＝＝＝，………………………………1分 ………………2分 從而sin C＝，……………………………………………3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，……………………4分 ………………5分 (2)因為B＝，C＝，從而A＝π－＝，…………6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝＝， ……………………………………………………………7分 由正弦定理，得＝＝，……………………8分 從而a＝c＝c，b＝c＝c，……10分 所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，…11分 又△ABC的面積為3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ……………………………………………………………12分 所以c＝2．………………………………………………13分 得步驟分：得分點的步驟有則給分，無則沒分，如第(2)問，只要列出＝＝，即得1分． 得關鍵分：解題過程中的關鍵點，有則給分， 無則沒分， 如第(1)問中說明C∈(0，π)，從而C＝，不說明C∈(0，π)，要扣分；同理，不說明B∈(0，π)，要扣分． 得計算分：計算準確是得滿分的保證． 1．高考閱卷采用踩點計分的方式，盡量“能得盡得”！ 2．體會轉化與化歸及函數與方程思想，總結解三角形的求解策略．
§1　三角函數的概念、圖象和性質及三角恒等變換
【備考指南】　三角函數的概念、圖象和性質及三角恒等變換是高考的三個核心命題點，難度中等或偏下．其中三角函數的誘導公式與和(差)公式是化簡、求值的根本，三角函數的概念是建立三角函數模型的依據，數形結合是研究三角函數性質的重要方法．
基礎考點1　三角函數的概念、誘導公式及三角恒等變換
【典例1】　(1)(2024·九省聯考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，則＝(　　)
A． B．
C．1 D．
(2)(多選)(2023·四省聯考)質點P和Q在以坐標原點O為圓心，半徑為1的⊙O上逆時針作勻速圓周運動，同時出發．P的角速度大小為2 rad/s，起點為⊙O與x軸正半軸的交點；Q的角速度大小為5 rad/s，起點為射線y＝－x與⊙O的交點．則當Q與P重合時，Q的坐標可以為(　　)
A．
B．
C．
D．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三角恒等變換的目的和策略
(1)目的：統一角、統一函數、統一結構．
(2)策略：復角化單角、弦切互化、萬能公式及升降冪公式．
提醒：勻速圓周運動是重要的數學模型之一．
1．(多選)(2024·廣東佛山一模)已知角θ的終邊過點P(3，4)，則(　　)
A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－
C．cos ＝ D．tan ＝
2．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，則α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
3．(2023·全國甲卷)設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，則(　　)
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件　
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件　
C．甲是乙的充要條件　
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
4．(2024·浙江寧波十校聯考)若sin ＝，則cos ＝________．
5．(tan10°－)·＝________．
基礎考點2　三角函數的圖象與解析式
【典例2】　(1)(2022·浙江高考)為了得到函數y＝2sin3x的圖象，只要把函數y＝2sin 圖象上所有的點(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f (x)的兩個交點，若|AB|＝，則f (π)＝________．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
由三角函數的圖象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中參數的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊點定φ：一般代入最高點或最低點，代入中心點時應注意是上升趨勢還是下降趨勢．
1．(多選)已知函數f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分圖象如圖，則(　　)
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的圖象關于點對稱
2．(2024·四川攀枝花三模)將函數y＝sin2x－cos2x的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到的圖象與y＝sin2x的圖象關于原點對稱，則m的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
3．已知函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，將函數f (x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標伸長到原來的2倍，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到y＝g(x)的圖象．若方程g(x)＝m在上有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為________．
能力考點　三角函數的性質及應用
【典例3】　(1)(2024·北京高考)設函數f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值為，則ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2019·全國Ⅰ卷)關于函數f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四個結論：
①f (x)是偶函數；
②f (x)在區間上單調遞增；
③f (x)在區間[－π，π]上有4個零點；
④f (x)的最大值為2．
其中所有正確結論的編號是(　　)
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
(3)(2024·北京高考)在平面直角坐標系Oxy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱．若α∈，則cos β的最大值為________．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
研究函數y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、單調性、零點及對稱性時，可將ωx＋φ看成一個整體，然后對照y＝sin x(或y＝cos x)的圖象求解．
1．(2024·山東濟寧三模)已知函數f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在區間上的值域為，則實數m的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
2．(多選)(2024·廣東汕頭一模)已知函數f (x)＝cos 2x·cos ，則(　　)
A．曲線y＝f (x)的對稱軸為直線x＝kπ－，k∈Z
B．f (x)在區間上單調遞增
C．f (x)的最大值為
D．f (x)在區間上的所有零點之和為8π
3．[高考變式]已知偶函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的圖象關于點中心對稱，且在區間上單調，則ω＝________．
4．(2023·四省聯考)已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)在區間上單調，其中ω為正整數，|φ|<，且f ＝f ．
(1)求y＝f (x)圖象的一條對稱軸；
(2)若f ＝，求φ．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1/1解答三角函數問題
閱卷案例 四字解題
(2024·新高考Ⅰ卷，T15，13分)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sin C＝cos B，a2＋b2－c2＝ab． (1)求B； (2)若△ABC的面積為3＋，求c． 讀 a2＋b2－c2＝ab，sin C＝cos B △ABC的面積為3＋，求c
想 余弦定理及其推論 三角形的面積公式
算 求C，sin C，cos B，B 用c表示三角形的面積
思 轉化與化歸 函數與方程
規范解答 滿分心得
[解]　(1)因為 所以在△ABC中，由余弦定理的推論得 cos C＝＝＝，………………………………1分 ………………2分 從而sin C＝，……………………………………………3分 又sin C＝cos B，所以cos B＝，……………………4分 ………………5分 (2)因為B＝，C＝，從而A＝π－＝，…………6分 所以sin A＝sin ＝sin ＝＝， ……………………………………………………………7分 由正弦定理，得＝＝，……………………8分 從而a＝c＝c，b＝c＝c，……10分 所以S△ABC＝ab sin C＝c×c×＝c2，…11分 又△ABC的面積為3＋，故c2＝3＋，即c2＝8， ……………………………………………………………12分 所以c＝2．………………………………………………13分 得步驟分：得分點的步驟有則給分，無則沒分，如第(2)問，只要列出＝＝，即得1分． 得關鍵分：解題過程中的關鍵點，有則給分， 無則沒分， 如第(1)問中說明C∈(0，π)，從而C＝，不說明C∈(0，π)，要扣分；同理，不說明B∈(0，π)，要扣分． 得計算分：計算準確是得滿分的保證． 1．高考閱卷采用踩點計分的方式，盡量“能得盡得”！ 2．體會轉化與化歸及函數與方程思想，總結解三角形的求解策略．
§1　三角函數的概念、圖象和性質及三角恒等變換
【備考指南】　三角函數的概念、圖象和性質及三角恒等變換是高考的三個核心命題點，難度中等或偏下．其中三角函數的誘導公式與和(差)公式是化簡、求值的根本，三角函數的概念是建立三角函數模型的依據，數形結合是研究三角函數性質的重要方法．
基礎考點1　三角函數的概念、誘導公式及三角恒等變換
【典例1】　(1)(2024·九省聯考)已知θ∈，tan 2θ＝－4tan ，則＝(　　)
A． B．
C．1 D．
(2)(多選)(2023·四省聯考)質點P和Q在以坐標原點O為圓心，半徑為1的⊙O上逆時針作勻速圓周運動，同時出發．P的角速度大小為2 rad/s，起點為⊙O與x軸正半軸的交點；Q的角速度大小為5 rad/s，起點為射線y＝－x與⊙O的交點．則當Q與P重合時，Q的坐標可以為(　　)
A．
B．
C．
D．
(1)A　(2)ABD　[(1)由題意tan 2θ＝－4tan ，
得＝ －4 (tan θ＋1)2＝2tan θ，
則(2tan θ＋1)(tan θ＋2)＝0 tan θ＝－2或tan θ＝－，
因為θ∈，所以tan θ∈(－1，0)，所以tan θ＝－，
所以＝＝＝＝．
故選A．
(2)由題意，點Q的初始位置Q1的坐標為，設點P的初始位置為P1，則∠Q1OP1＝，設t時刻兩點重合，則5t－2t＝＋2kπ，
即t＝π，
此時點Q，
即Q，
當k＝0時，Q，故A正確；
當k＝1時，Q，
即Q，故B正確；
當k＝2時，Q，
即Q，故D正確．
由三角函數的周期性可得，其余各點均與上述三點重合．故選ABD．]
三角恒等變換的目的和策略
(1)目的：統一角、統一函數、統一結構．
(2)策略：復角化單角、弦切互化、萬能公式及升降冪公式．
提醒：勻速圓周運動是重要的數學模型之一．
1．(多選)(2024·廣東佛山一模)已知角θ的終邊過點P(3，4)，則(　　)
A．cos 2θ＝－ B．tan 2θ＝－
C．cos ＝ D．tan ＝
ABD　[因為角θ的終邊過點P(3，4)，
所以cos θ＝＝，sin θ＝＝，tan θ＝，
所以cos 2θ＝2cos2θ－1＝2×－1＝－，
tan2θ＝＝＝－，故A和B正確，
因為2kπ<θ<2kπ＋(k∈Z)，
所以kπ<所以tan>0，但cos >0或cos <0均滿足題意，故C錯誤；
由tan θ＝＝，得2tan2＋3tan －2＝0，解得tan ＝－2(舍去)或tan ＝，故D正確．故選ABD．]
2．(2024·江西九江二模)已知α，β∈，cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，則α＋β＝(　　)
A． B．
C． D．
A　[因為cos (α－β)＝，tan α·tan β＝，
所以解得
所以cos (α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝，
又α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，所以α＋β＝．故選A．]
3．(2023·全國甲卷)設甲：sin2α＋sin2β＝1，乙：sinα＋cos β＝0，則(　　)
A．甲是乙的充分條件但不是必要條件　
B．甲是乙的必要條件但不是充分條件　
C．甲是乙的充要條件　
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
B　[當sin2α＋sin2β＝1時，例如α＝，β＝0，
但sinα＋cos β≠0，
即sin2α＋sin2β＝1推不出sinα＋cos β＝0；
當sin α＋cos β＝0時，sin2α＋sin2β＝(－cosβ)2＋sin2β＝1，
即sinα＋cos β＝0能推出sin2α＋sin2β＝1．
綜上可知，sin2α＋sin2β＝1是sinα＋cos β＝0成立的必要不充分條件．故選B．]
4．(2024·浙江寧波十校聯考)若sin ＝，則cos ＝________．
　[令θ－＝t，則sin t＝，
所以cos ＝cos＝cos (2t＋π)＝－cos 2t＝2sin2t－1＝2×－1＝．]
5．(tan10°－)·＝________．
－2　[(tan 10°－)·＝(tan 10°－tan 60°)·
＝＝＝－＝－2．]
【教師備選資源】
1．(2024·新高考Ⅰ卷)已知cos (α＋β)＝m，tan αtan β＝2，則cos (α－β)＝(　　)
A．－3m　　B．－　　C．　　D．3m
A　[因為cos (α＋β)＝m，
所以cos αcos β－sin αsin β＝m，
而tan αtan β＝2，所以sin αsin β＝2cos αcos β，
故cos αcos β－2cos αcos β＝m，
即cos αcos β＝－m，
從而sin αsin β＝－2m，故cos (α－β)＝－3m．
故選A．]
2．(2023·新高考Ⅰ卷)已知sin (α－β)＝，cos αsin β＝，則cos (2α＋2β)＝(　　)
A．　　B．　　C．－　　D．－
B　[∵sin (α－β)＝，
∴sin αcos β－cos αsin β＝，
∴sin αcos β＝＋cos αsin β＝＝，
∴sin (α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β＝＝，
則cos (2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×＝．故選B．]
基礎考點2　三角函數的圖象與解析式
【典例2】　(1)(2022·浙江高考)為了得到函數y＝2sin3x的圖象，只要把函數y＝2sin 圖象上所有的點(　　)
A．向左平移個單位長度
B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度
D．向右平移個單位長度
(2)(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)，如圖，A，B是直線y＝與曲線y＝f (x)的兩個交點，若|AB|＝，則f (π)＝________．
(1)D　(2)－　[(1)因為y＝2sin ＝2sin ，所以把函數y＝2sin 圖象上所有的點向右平移個單位長度即可得到函數y＝2sin 3x的圖象，故選D．
(2)設A，B，由＝可得x2－x1＝，
由sin x＝可知，x＝＋2kπ或x＝＋2kπ，k∈Z，由題圖可知，
ωx2＋φ－＝＝，即ω(x2－x1)＝，所以ω＝4．
因為f ＝sin ＝0，所以＋φ＝kπ(k∈Z)，即φ＝－＋kπ(k∈Z)．
所以f (x)＝sin ＝sin (k∈Z)，
所以f ＝sin 或f ＝－sin ，
又因為f <0，所以f (x)＝sin ，
所以f ＝sin ＝－．]
由三角函數的圖象求y＝A sin (ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)中參數的方法
(1)最值定A，B：A＝，B＝．
(2)T定ω：由 T＝，可得ω＝．
(3)特殊點定φ：一般代入最高點或最低點，代入中心點時應注意是上升趨勢還是下降趨勢．
1．(多選)已知函數f (x)＝A cos (ωx＋φ)＋b的部分圖象如圖，則(　　)
A．b＝2
B．ω＝4
C．φ＝
D．f (x)的圖象關于點對稱
BD　[由題圖可得解得故A錯誤；
由題圖可知，f (x)的最小正周期T＝＝，所以＝，則ω＝4，B正確；
由題圖可知，直線x＝＝是函數f (x)圖象的一條對稱軸，
所以4×＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ－，k∈Z．
又0<φ<，所以φ＝，C錯誤；
由上述可得f (x)＝2cos ＋1．
令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z．
當k＝0時，f (x)的圖象的一個對稱中心為，D正確．故選BD．]
2．(2024·四川攀枝花三模)將函數y＝sin2x－cos2x的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到的圖象與y＝sin2x的圖象關于原點對稱，則m的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
B　[令f (x)＝sin2x－cos2x，則有f (x)＝－cos2x，
設f (x)的圖象向右平移m(m>0)個單位長度后得到的函數為g(x)，則有g(x)＝－cos [2(x－m)]＝－cos (2x－2m)，
根據已知條件g(x)的圖象與y＝sin 2x的圖象關于原點對稱，則有g(x)＝－sin (－2x)＝sin 2x，
即－cos (2x－2m)＝sin 2x，所以－2m＝＋2kπ(k∈Z)，解得m＝－－kπ(k∈Z)，又因為m>0，所以當k＝－1時，m取最小值為．故選B．]
3．已知函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，將函數f (x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標伸長到原來的2倍，再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到y＝g(x)的圖象．若方程g(x)＝m在上有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍為________．
(－2，－]　[由f (x)的部分圖象，可得A＝1．
由題圖可知點在f (x)的圖象上，則sin ＝1，sin ＝－，
由五點作圖法可得ω×＋φ＝＋2kπ，k∈Z，ω×＋φ＝2π－＋2kπ，k∈Z，又ω＞0，|φ|＜，解得ω＝，φ＝，則f (x)＝sin ．
將函數f (x)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標伸長到原來的2倍，得到y＝2sin 的圖象，
再把得到的圖象向左平移個單位長度，可得到g(x)＝2sin 的圖象．
作出函數g(x)的部分圖象如圖所示，
根據函數g(x)的圖象知：
當－2＜m≤－時，直線y＝m與函數g(x)在上的圖象有兩個交點，
即方程g(x)＝m在上有兩個不相等的實數根．]
【教師備選資源】
1．(2023·全國甲卷)函數y＝f (x)的圖象由函數y＝cos 的圖象向左平移個單位長度得到，則y＝f (x)的圖象與直線y＝x－的交點個數為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．3　　　D．4
C　[將y＝cos 的圖象向左平移個單位長度得到函數y＝cos ＝cos ＝－sin 2x的圖象，所以f (x)＝－sin 2x，而直線y＝x－顯然過與(1，0)兩點，
作出曲線y＝f 與直線y＝x－的部分大致圖象如圖所示．
所以由圖象可知，y＝f 的圖象與直線y＝x－的交點個數為3．]
2．(多選)為了得到函數y＝sin 的圖象，只需將函數y＝sin 的圖象(　　)
A．所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
B．所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度
C．向右平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
D．向左平移個單位長度，再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變
AC　[將y＝sin 圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到y＝sin的圖象，
再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數y＝sin 的圖象，A正確；
將y＝sin 的圖象向右平移個單位長度，得到y＝sin 的圖象，
再把得到的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得到函數y＝sin 的圖象，C正確．故選AC．]
3．數學與音樂有著緊密的關聯，我們平時聽到的樂音一般來說并不是純音，而是由多種波疊加而成的復合音．如圖為某段樂音的圖象，則該段樂音對應的函數解析式可以為(　　)
A．y＝sin x＋sin 2x＋sin 3x
B．y＝sin x－sin 2x－sin 3x
C．y＝sin x＋cos 2x＋cos 3x
D．y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x
A　[對于A，函數y＝f ＝sin x＋sin 2x＋sin 3x，
因為f ＝－sin x－sin 2x－sin 3x＝－f ，
所以函數為奇函數，
又f ＝＝>0，故A符合題意；
對于B，函數y＝f ＝sin x－sin 2x－sin 3x，
因為f ＝－sin x＋sin 2x＋sin 3x＝－f ，
所以函數為奇函數，
又f ＝＝<＝0，故B不符合題意；
對于C，函數y＝f ＝sin x＋cos 2x＋cos 3x，
因為f ＝，故C不符合題意；
對于D，當x＝0時，y＝cos x＋cos 2x＋cos 3x＝，故D不符合題意．故選A．]
4．(2021·全國甲卷)已知函數f (x)＝2cos (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則滿足條件＞0的最小正整數x為________．
2　[由題圖可知，T＝＝(T為f (x)的最小正周期)，得T＝π，所以ω＝2，所以f (x)＝2cos (2x＋φ)．點可看作“五點作圖法”中的第二個點，則2×＋φ＝，得φ＝－，所以f (x)＝2cos ，所以f ＝2cos ＝2cos ＝2cos ＝1，f ＝2cos ＝2cos ＝0，所以＞0，即(f (x)－1)f (x)＞0，可得f (x)＞1或f (x)＜0，所以cos ＞或cos ＜0．當x＝1時，2x－＝2－∈，cos ∈，不符合題意；當x＝2時，2x－＝4－∈，cos ＜0，符合題意．所以滿足題意的最小正整數x為2．]
能力考點　三角函數的性質及應用
【典例3】　(1)(2024·北京高考)設函數f (x)＝sin ωx(ω>0)．已知f (x1)＝－1，f (x2)＝1，且|x1－x2|的最小值為，則ω＝(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
(2)(2019·全國Ⅰ卷)關于函數f (x)＝sin |x|＋|sin x|有下述四個結論：
①f (x)是偶函數；
②f (x)在區間上單調遞增；
③f (x)在區間[－π，π]上有4個零點；
④f (x)的最大值為2．
其中所有正確結論的編號是(　　)
A．①②④ B．②④
C．①④ D．①③
(3)(2024·北京高考)在平面直角坐標系Oxy中，角α與角β均以Ox為始邊，它們的終邊關于原點對稱．若α∈，則cos β的最大值為________．
(1)B　(2)C　(3)－　[(1)因為f (x)＝sin ωx∈[－1，1]，且f (x1)＝－1，f (x2)＝1，|x1－x2|min＝，所以f (x)的最小正周期T＝2×＝π，所以ω＝＝2．
(2)法一：f (－x)＝sin |－x|＋|sin (－x)|＝sin |x|＋|sin x|＝f (x)，∴f (x)為偶函數，故①正確；當＜x＜π時，f (x)＝sin x＋sin x＝2sin x，∴f (x)在區間上單調遞減，故②不正確；f (x)在區間[－π，π]上的圖象如圖所示，由圖可知函數f (x)在區間[－π，π]上只有3個零點，故③不正確；∵y＝sin |x|與y＝|sin x|的最大值都為1且可以同時取到，∴f (x)可以取到最大值2，故④正確．綜上，正確結論的編號是①④．故選C．
法二：畫出函數f (x)＝sin |x|＋|sin x|的圖象，由圖象可得①④正確．故選C．
(3)因為α與β的終邊關于原點對稱，所以β＝2kπ＋π＋α(k∈Z)，所以cos β＝cos (2kπ＋π＋α)＝－cos α．
因為α∈，所以cos α∈，所以cos β∈，所以cos β的最大值為－．]
研究函數y＝A sin (ωx＋φ)(或y＝A cos (ωx＋φ))的值域、單調性、零點及對稱性時，可將ωx＋φ看成一個整體，然后對照y＝sin x(或y＝cos x)的圖象求解．
1．(2024·山東濟寧三模)已知函數f (x)＝(sin x＋cos x)cos x－，若f (x)在區間上的值域為，則實數m的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
D　[依題意，函數f (x)＝sin x cos x＋cos2x－＝sin2x＋cos 2x＝sin ，
當x∈時，2x＋∈，
顯然sin ＝sin ＝－，sin ＝1，
且正弦函數y＝sin x在上單調遞減，
由f (x)在區間上的值域為，
得≤2m＋，解得≤m≤，
所以實數m的取值范圍是．故選D．]
2．(多選)(2024·廣東汕頭一模)已知函數f (x)＝cos 2x·cos ，則(　　)
A．曲線y＝f (x)的對稱軸為直線x＝kπ－，k∈Z
B．f (x)在區間上單調遞增
C．f (x)的最大值為
D．f (x)在區間上的所有零點之和為8π
BC　[由題意可得，f (x)＝cos 2x·cos ＝cos 2x
＝cos22x－sin2x cos 2x－＝cos 4x－sin 4x＝cos ．
對于選項A，令4x＋＝kπ，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
所以曲線y＝f (x)的對稱軸為直線x＝，k∈Z，故A錯誤；
對于選項B，因為x∈，則4x＋∈，
且y＝cos x在內單調遞增，所以f (x)在區間上單調遞增，故B正確；
對于選項C，當4x＋＝2kπ，k∈Z，即x＝，k∈Z時，f (x)取到最大值為，故C正確；
對于選項D，令4x＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，可知f (x)的零點為x＝，k∈Z，
則f (x)在區間上的零點為，…，，共8個，結合A選項可知，這些零點兩兩關于直線x＝對稱，
所以f (x)在區間上的所有零點之和為4×2×π＝π，故D錯誤．故選BC．]
3．[高考變式]已知偶函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的圖象關于點中心對稱，且在區間上單調，則ω＝________．
　[因為f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)為偶函數，所以φ＝kπ＋，k∈Z，
即f (x)＝cos ωx或f (x)＝－cos ωx．
又f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的圖象關于點中心對稱，
所以cos ω＝0，即ω＝kπ＋，k∈Z，
所以ω＝3k＋，k∈Z．
因為當x∈時，函數f (x)單調，所以0≤ωx≤≤π，即0<ω≤4，所以當k＝0時，ω＝符合條件．]
4．(2023·四省聯考)已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)在區間上單調，其中ω為正整數，|φ|<，且f ＝f ．
(1)求y＝f (x)圖象的一條對稱軸；
(2)若f ＝，求φ．
[解]　(1)因為函數f (x)＝sin (ωx＋φ)在區間上單調，所以函數f (x)的最小正周期T≥2×＝．
又因為f ＝f ，且＝＜T，
所以直線x＝，即x＝為y＝f (x)圖象的一條對稱軸．
(2)由(1)知T≥，故ω＝≤3，
由ω∈N*，得ω＝1，2或3．
由x＝為f (x)＝sin (ωx＋φ)的圖象的一條對稱軸，
得ω＋φ＝＋k1π，k1∈Z．
因為f ＝，
所以ω＋φ＝＋2k2π或ω＋φ＝＋2k3π，k2，k3∈Z，
若ω＋φ＝＋2k2π，k2∈Z，則ω＝π，k1，k2∈Z，
即ω＝，k1，k2∈Z，
不存在整數k1，k2，使得ω＝1，2或3．
若ω＋φ＝＋2k3π，k3∈Z，則ω＝－π，k1，k3∈Z，
即ω＝－，k1，k3∈Z，
不存在整數k1，k3，使得ω＝1或3．
當k1＝2k3＋1時，ω＝2．
此時φ＝＋2k3π，k3∈Z，由|φ|<，得φ＝．
【教師備選資源】
1．(2024·安徽合肥三模)“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函數y＝tan (x＋φ)的圖象關于點對稱”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
A　[若函數y＝tan (x＋φ)的圖象關于點對稱，
則＋φ＝，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，
因為是的真子集，
所以“φ＝－＋kπ，k∈Z”是“函數y＝tan (x＋φ)的圖象關于點對稱”的充分不必要條件．故選A．]
2．(多選)(2024·廣東廣州模擬)已知點P是函數f (x)＝sin ＋b(ω>0)的圖象的一個對稱中心，則(　　)
A．f －1是奇函數
B．ω＝－k，k∈N*
C．若f (x)的圖象在區間上有且僅有2條對稱軸，則ω＝2
D．若f (x)在區間上單調遞減，則ω＝2或ω＝
BC　[依題意，點P是函數f (x)＝sin＋b(ω>0)的圖象的一個對稱中心，
所以b＝1，且sin ＝0，ω＋＝kπ，k∈N*，ω＝－k，k∈N*，B選項正確．
則f (x)＝sin ＋1，k∈N*，
所以f －1＝sin ＝sin ，
由于1－2k是奇數，所以f －1＝sin是偶函數，A選項錯誤．
C選項，因為將ω＝－k，k∈N*代入得：
整理得kπ由于f (x)的圖象在區間上有且僅有2條對稱軸，
所以<，
解得對應ω＝－＝2，所以C選項正確．
D選項，f (x)在區間上單調遞減，
因為將ω＝－k，k∈N*代入得：
整理得k＋則k－≤π，解得1≤k≤，而k∈N*，所以k＝1或k＝2，
當k＝1時，＝，符合單調性，
當k＝2時，＝，不符合單調性，所以k＝2舍去，
所以ω＝－×1＝2，所以D選項錯誤．故選BC．]
3．(2023·全國乙卷)已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)在區間單調遞增，直線x＝和x＝為函數y＝f (x)的圖象的兩條相鄰對稱軸，則f ＝(　　)
A．－　　B．－　　C．　　D．
D　[因為f (x)＝sin (ωx＋φ)在區間單調遞增，所以＝＝(T為函數f (x)的最小正周期)，則T＝π，ω＝＝2．
因為直線x＝和x＝為函數y＝f (x)的圖象的兩條相鄰對稱軸，f (x)在區間單調遞增，
所以當x＝時，f 取得最小值，則2×＋φ＝2kπ－，k∈Z，
則φ＝2kπ－，k∈Z，
所以f (x)＝sin ＝sin ，
所以f ＝sin ＝sin
＝sin ＝．故選D．]
4．(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數f (x)＝cos ωx－1(ω>0)在區間[0，2π]有且僅有3個零點，則ω的取值范圍是 ________．
[2，3)　[因為0≤x≤2π，ω＞0，所以0≤ωx≤2ωπ，
令f (x)＝cos ωx－1＝0，則cos ωx＝1在區間[0，2π]有且僅有3個根，
令t＝ωx，則cos t＝1有且僅有3個根，其中t∈[0，2ωπ]，
結合余弦函數y＝cos t的圖象可得4π≤2ωπ<6π，故2≤ω<3．
]
5．(2020·北京高考)若函數f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值為2，則常數φ的一個取值為________．
(答案不唯一，只要符合＋2kπ，k∈Z即可)
[法一：由f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x＝sin x cos φ＋cos x sin φ＋cos x
＝cos φsin x＋(1＋sin φ)cos x＝ (x＋θ)．
∵sin (x＋θ)≤1，
∴當(2+2sin φ)＝2時，f (x)的最大值為2，∴2sin φ＝2，
∴sin φ＝1，∴φ＝＋2kπ，k∈Z，
∴φ的一個取值可為．
法二：∵f (x)＝sin (x＋φ)＋cos x的最大值為2，
又sin (x＋φ)≤1，cos x≤1，
∴當sin (x＋φ)＝cos x＝1時，f (x)取得最大值2．
由誘導公式，得φ＝＋2kπ，k∈Z．
∴φ的一個取值可為．]
專題限時集訓(四)　三角函數的概念、圖象和性質及三角恒等變換
一、單項選擇題
1．(2024·山東濰坊二模)將函數f (x)＝cos x的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得到g(x)的圖象，則g(x)＝(　　)
A．sin 2x B．sin
C．－sin D．cos 2x
B　[將函數f (x)＝cos x的圖象向右平移個單位長度，得y＝cos ＝sin x的圖象，再將所得圖象上的所有點的橫坐標變為原來的2倍，縱坐標不變，得g(x)＝sin ．故選B．]
2．已知函數f (x)＝cos ＋1(ω>0)的最小正周期為π，則f (x)在區間上的最大值為(　　)
A． B．1
C． D．2
C　[由題意T＝＝π，解得ω＝2，
所以f (x)＝cos ＋1，
當x∈時，t＝2x＋∈，
所以f (x)在區間上的最大值為cos＋1＝，當x＝0時取到最大值．
故選C．]
3．(2024·新高考Ⅰ卷)當x∈[0，2π]時，曲線y＝sin x與y＝2sin 的交點個數為(　　)
A．3 B．4
C．6 D．8
C　[因為函數y＝sin x的最小正周期為T＝2π，
函數y＝2sin 的最小正周期為T＝，
所以在x∈[0，2π]上，函數y＝2sin 有三個周期的圖象，
在坐標系中結合五點法畫出兩函數圖象，如圖所示：
由圖可知，兩函數圖象有6個交點．
故選C．]
4．(教材改編)函數f (x)＝－3cos 的單調遞增區間為(　　)
A．，k∈Z
B．，k∈Z
C．，k∈Z
D．，k∈Z
D　[f (x)＝－3cos ，
令2kπ≤2x＋≤2kπ＋π，k∈Z，
所以kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，
故函數f (x)的單調遞增區間為，k∈Z．
故選D．]
5．(2025·河北保定模擬)若tan ＝－3，tan β＝3，則＝(　　)
A．－1 B．
C． D．
B　[由tan ＝－3，得＝－3，
解得tan α＝2，又tan β＝3，
所以＝＝＝＝．
故選B．]
6．已知函數f (x)＝sin (ω>0)，若f (x)在上有兩個零點，則ω的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
A　[因為0≤x≤，所以≤ωx＋ω＋，
因為函數f (x)＝sin (ω>0)在區間上有兩個零點，
所以2π≤ω＋<3π，解得≤ω<4，
即ω的取值范圍是．故選A．]
二、多項選擇題
7．已知θ∈(0，π)，sin θ＋cos θ＝－，則下列結論正確的是(　　)
A．θ∈ B．cos θ＝－
C．tan θ＝－ D．sin θ－cos θ＝
ABD　[由題意cos θ＝－sin θ－，代入sin2θ＋cos2θ＝1，即sin2θ＋
整理得sin2θ＋sinθ－＝0，即＝0，
解得sin θ＝或sin θ＝－．因為θ∈(0，π)，所以sin θ＝，
于是cos θ＝－sin θ－＝－＝－，故B正確．
因為所以θ∈，故A正確；
tan θ＝＝－，故C錯誤；
sin θ－cos θ＝＝，故D正確．
故選ABD．]
8．(2024·湖北武漢模擬)已知f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則(　　)
A．A＝2
B．f (x)的最小正周期為π
C．f (x)在內有3個極值點
D．f (x)在區間上的最大值為
ABD　[對于A，B，根據函數f (x)＝A sin (ωx＋φ)的部分圖象知，A＝2, T＝4×＝π，∴ω＝＝2，故A、B正確；
對于C，由五點法畫圖知，×2＋φ＝＋2kπ，k∈Z，解得φ＝＋2kπ，k∈Z，
由于0<φ<，∴φ＝， ∴f (x)＝2sin ．
令2x＋＝＋kπ，k∈Z，則x＝kπ，k∈Z，
當k＝－2時，x＝－；當k＝－1時，x＝－；
當k＝0時，x＝；當k＝1時，x＝；當k＝2時，x＝．故f (x)在內有2個極值點，分別為x＝，x＝，故C錯誤；
對于D，∵x∈，∴2x＋∈，
故當2x＋＝，此時f (x)取最大值2sin ＝2sin ＝，故D正確．故選ABD．]
三、填空題
9．(2024·江蘇南京一模)已知α，β∈，且sin α－sin β＝－，cos α－cos β＝，則tan α＋tan β＝________．
　[由題可知sin α－sin β＝－cos α＋cos β，
所以sin α＋cos α＝sin β＋cos β，
所以sin ＝sin ，
因為α，β∈，
所以α＋∈，β＋∈，
又α≠β，所以α＋＋β＋＝π，故α＋β＝，
所以sin α－sin β＝sin α－cos α＝－，
兩邊平方后得sin2α－2sinαcos α＋cos2α＝，
故sinαcos α＝，
tan α＋tan β＝tan α＋＝＝＝．]
10．(2024·北京通州二模)已知函數f (x)＝sin (ω>0)．若f (x)的最小正周期為π，將f (x)的圖象向左平移個單位長度，再將所得圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，則g(x)＝________；若f (x)在區間上有3個零點，則ω的一個取值為________．
cos x　6(答案不唯一，符合＜ω≤即可)　[因為f (x)的最小正周期為π，所以T＝＝π，解得ω＝2．
所以f (x)＝sin ，將f (x)的圖象向左平移個單位長度，
可得y＝sin ＝sin ＝cos 2x的圖象，
再把y＝cos 2x圖象上各點的橫坐標變為原來的2倍(縱坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，所以g(x)＝cos x．
因為x∈，所以ωx＋∈，
f (x)在區間上有3個零點，
所以3π<≤4π，解得<ω≤，
則ω的一個取值可以為6．]
四、解答題
11．(2024·浙江臺州一模)已知函數f (x)＝sin ωx＋sin x＋cos x(ω∈R)．
(1)當ω＝0時，求f (x)的最小正周期以及單調遞減區間；
(2)當ω＝2時，求f (x)的值域．
[解]　(1)當ω＝0時，f (x)＝sin x＋cos x
＝sin ，T＝2π，
令＋2kπ≤x＋＋2kπ(k∈Z)，得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，
所以函數f (x)的最小正周期為2π，單調遞減區間為(k∈Z)．
(2)當ω＝2，f (x)＝sin 2x＋sin x＋cos x
＝2sin x cos x＋sin x＋cos x，
設sin x＋cos x＝sin ＝t(－≤t≤)，則sin 2x＝t2－1，
令g(t)＝t2＋t－1，t∈，
又g(t)＝－，
故當t＝時，g(t)取得最大值1＋，
當t＝－時，g(t)取得最小值－，
所以f (x)的值域為．
12．(2024·山東臨沂一模)已知向量a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函數f (x)＝a·b．
(1)若f (x0)＝，且x0∈，求cos 2x0的值；
(2)將f (x)的圖象向右平移個單位長度，再將所得圖象向下平移1個單位長度，最后使所有點的縱坐標變為原來的(橫坐標不變)，得到函數g(x)的圖象，當x∈時，解不等式g(x)≥．
[解]　(1)因為a＝(cos x，2sin x)，b＝(2cos x，cos x)，函數f (x)＝a·b，
所以f (x)＝2cos2x＋2sinx cos x＝cos 2x＋1＋sin 2x＝2＋1＝2sin ＋1，
因為f (x0)＝，所以2sin ＋1＝，所以sin ＝，
又x0∈，所以2x0＋∈，
所以cos ＝－＝－，
所以cos2x0＝cos
＝cos cos ＋sin sin ＝－＝．
(2)將f (x)的圖象向右平移個單位長度，得到y＝2sin ＋1＝2sin ＋1的圖象，再將y＝2sin ＋1的圖象向下平移1個單位長度，得到y＝2sin ，
最后將y＝2sin 圖象的所有點的縱坐標變為原來的(橫坐標不變)，得到y＝sin ，
即g(x)＝sin ，
由g(x)≥，即sin ，
所以＋2kπ≤2x－＋2kπ，k∈Z，
解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
令k＝0可得x∈，令k＝－1可得x∈，又x∈，
所以x∈，
即當x∈時，不等式g(x)≥的解集為．
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