資源簡介

培優(yōu)課4　數(shù)列與不等式的綜合問題
數(shù)列與不等式的綜合問題是近幾年高考的熱點，也是高考命題的延伸點，幾乎每年都有所涉及．熟練應用函數(shù)的性質(zhì)，掌握必備的不等式放縮技巧是破解此類問題的重要手段．
類型1　先求和后放縮證明不等式
【典例1】　(2022·新高考Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，是公差為的等差數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)證明：＋…＋<2．
[解]　(1)∵a1＝1，∴S1＝a1＝1，∴＝1，
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴＝1＋(n－1)＝，∴Sn＝，
∴當n≥2時，Sn－1＝，
∴an＝Sn－Sn－1＝，
整理得(n－1)an＝(n＋1)an－1，n≥2，即＝，n≥2，∴an＝a1××…×＝1××…×＝，n≥2，
顯然對于n＝1也成立，
∴{an}的通項公式為an＝．
(2)證明：＝＝2，
∴＋…＋＝2×＝2×＜2．
對于含有數(shù)列和的不等式，若數(shù)列的和易于求出，則一般采用先求和再放縮的策略證明不等式．
[跟進訓練]
1．(2024·浙江杭州二模)已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列滿足b1＝3，令an·bn＝an＋2·bn＋1，求證：
[解]　(1)設等差數(shù)列的首項為a1，公差為d．
由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得
解得a1＝1，d＝2，所以an＝1＋2＝2n－1．
(2)由(1)知，bn＝bn＋1，
即＝＝＝，…，＝＝，
利用累乘法可得，bn＝·…··b1＝·…··3
＝＝，
b1＝3也符合上式，
＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn
＝＝．
【教師備選資源】
已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，公差d＜3，若分別從表中第一、二、三行中各取一個數(shù)，依次作為a3，a4，a5，且a3，a4，a5中任何兩個數(shù)都不在同一列．
第一列 第二列 第三列
第一行 3 5 6
第二行 7 4 8
第三行 11 12 9
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設bn＝，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，求證：Tn＜．
[解]　(1)由題意可知，數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，
又公差d＜3，所以a3＝5，a4＝7，a5＝9，
所以an＝2n－1．
(2)證明：bn＝＝＝，所以Tn＝＋…＋＝1＋＝，所以Tn＜．
類型2　先放縮后求和證明不等式
【典例2】　(2024·河北邢臺二模)已知數(shù)列的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1．
(1)求的通項公式；
(2)求證：＋…＋<2．
[解]　(1)由Sn＝2an－1，
當n＝1時，S1＝2a1－1，則a1＝1≠0，
當n≥2時，Sn－1＝2an－1－1，
兩式相減得Sn－Sn－1＝2an－1－，
即an＝2an－1，
因此數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以an＝2n-1．
(2)證明：由(1)知Sn＝＝2n－1．
當n＝1時，＝1<2；
當n≥2時，2n-1>1，
所以Sn＝2n－1>2n－2n-1＝2n-1>0，
所以＝<，
所以當n≥2時，＋…＋<1＋＋…＋＝＝2<2．
綜上，＋…＋<2．
在解決與數(shù)列的和有關的不等式證明問題時，若數(shù)列不易求和，可根據(jù)數(shù)列的項的結構特征進行放縮，轉(zhuǎn)化為易求和數(shù)列來證明．
常用放縮：
(1)＜＝(n≥2)；
(2)＜＝＝(n≥2)；
(3)＞＝；
(4)2()＝＜＝＜＝2()．
[跟進訓練]
2．在如圖所示的平面四邊形ABCD中，△ABD的面積是△CBD的面積的兩倍，數(shù)列滿足a1＝2，當n≥2時，＝，記bn＝．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：<．
[解]　(1)如圖所示，過A作AM⊥BD，垂足為M，過C作CN⊥BD，垂足為N，連接AC，交BD于點E，
由題意可得：
S△ABD＝2S△CBD，則AM＝2CN，
且△AME∽△CNE，
則＝＝2，
可得＝＝＝＝，
∵B，E，D三點共線，則存在實數(shù)λ，使＝λ＝＝，
可得
則an－2n＝2，n≥2，
整理得＝2，n≥2，
即bn－bn－1＝2，n≥2，
故數(shù)列是以＝1為首項，2為公差的等差數(shù)列，
則bn＝1＋2＝2n－1．
(2)證明：由(1)可得，當n＝1時＝1<；
當n≥2時，可得＝<
＝＝，
則＜1＋＝<．
綜上所述<．
類型3　與數(shù)列有關的不等式恒成立問題
【典例3】　(1)(2024·山東煙臺二模)歐拉函數(shù)φ(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，例如φ＝2．已知bn＝，n∈N*，Tn是數(shù)列的前n項和，若TnA．　　　B．1　　　C．　　　D．2
(2)(2024·湖南新高考聯(lián)盟二模)已知是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：bn＝2log2an＋1，且b1＝1，b4＝7．
①求數(shù)列的通項公式；
②若對任意的n∈N*都有2λan≥bn－2，求實數(shù)λ的取值范圍．
(1)A　[因為3為質(zhì)數(shù)，在不超過3n的正整數(shù)中，所有能被3整除的正整數(shù)的個數(shù)為3n-1，
φ＝3n－3n-1＝2×3n-1(n∈N*)，
所以φ＝3n+1－3n＝2×3n(n∈N*)，則bn＝＝＝，
所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1＋bn＝＋…＋，
Tn＝＋…＋，
兩式相減可得Tn＝＋…＋＝
＝＝，
所以Tn＝<，
因為bn＝>0，所以Tn在n∈N*上單調(diào)遞增，
所以Tn所以M的最小值為．故選A．]
(2)[解]　①因為bn＝2log2an＋1，b1＝1，b4＝7，
所以b1＝1＝2log2a1＋1，則a1＝1，
b4＝7＝2log2a4＋1，則a4＝8，
因為是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以q3＝＝8，即q＝2，
所以an＝2n-1，則bn＝2log2an＋1＝2＋1＝2n－1．
②因為2λan≥bn－2恒成立，所以λ≥＝恒成立，
設f (n)＝(n∈N*)，則f －f ＝＝，
當n≤2時，f (n＋1)－f (n)>0，
則f (3)>f (2)>f (1)；
當n≥3時，f (n＋1)－f (n)<0，
則f (3)>f (4)>f (5)>…．
所以f (n)max＝f (3)＝，則λ≥．
所以實數(shù)λ的取值范圍是．
解決與數(shù)列有關的不等式恒成立問題的關鍵是通過數(shù)列的單調(diào)性確定數(shù)列的最值，進而求解．
[跟進訓練]
3．(2024·江蘇蘇州二模)已知數(shù)列的前n項和為Sn，2an＋1＝3Sn，若tSn<2n對任意的n∈N*恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為(　　)
A．(－4，2)
B．[
C．
(]
B　[由2an＋1＝3Sn，得an＝，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，則＝Sn－Sn－1，
整理得Sn＝－2Sn－1＋1，
即Sn－＝－2，
而3S1＝2a1＋1＝2S1＋1，解得S1＝1，
于是S1－＝≠0，數(shù)列是首項為，公比為－2的等比數(shù)列，
因此Sn－＝·(－2)n-1，即Sn＝，
由tSn<2n，得·t<2n，
當n為奇數(shù)時，·t<2n，即t<＝3－，顯然為遞增數(shù)列，
當n＝1時，＝2，于是t<2，
當n為偶數(shù)時，·t<2n，即t>＝－3＋，顯然恒有－3＋<－3，于是t≥－3，
所以實數(shù)t的取值范圍為[．
故選B．]
4．(2021·浙江高考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn．若Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
[解]　(1)因為4Sn＋1＝3Sn－9，
所以當n≥2時，4Sn＝3Sn－1－9，
兩式相減可得4an＋1＝3an，即＝．
當n＝1時，4S2＝4＝－－9，
解得a2＝－，所以＝．
所以數(shù)列{an}是首項為－，公比為的等比數(shù)列，
所以an＝－＝－．
(2)因為3bn＋(n－4)an＝0，
所以bn＝(n－4)×．
所以Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－4)×，①
Tn＝－3×－2×－1×＋0×＋…＋(n－5)×＋(n－4)×，②
①－②，得Tn＝－3×＋＋…＋－(n－4)×＝－－(n－4)×＝－n×，
所以Tn＝－4n×．
因為Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，
所以－4n×≤λ(n－4)×恒成立，
即－3n≤λ(n－4)恒成立，
當n<4時，λ≤＝－3－，此時λ≤1；
當n＝4時，－12≤0恒成立；
當n>4時，λ≥＝－3－，此時λ≥－3．
所以λ的取值范圍是[－3，1]．
培優(yōu)專練4　數(shù)列與不等式的綜合問題
1．(2024·江蘇連云港模擬)已知數(shù)列滿足＋…＋＝n．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若bn＝，數(shù)列的前n項和為Sn，證明：Sn<．
[解]　(1)∵＋…＋＝n，①
當n＝1時，＝1，故a1＝1，
n≥2時，＋…＋＝n－1，②
①－②得＝1 an＝2n－1(n≥2)，而a1＝1也滿足上式，
∴an＝2n－1．
(2)由(1)知bn＝＝，
∴Sn＝
＝<．
2．(2024·湖南長沙二模)記Sn為數(shù)列的前n項和，已知na1＋a2＋…＋an＝2Sn－1．
(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)求最小的正整數(shù)m，使得m≥＋…＋對一切n∈N*都成立．
[解]　(1)證明：由題知na1＋a2＋…＋an＝2Sn－1，
用n＋1替換上式的n，得a1＋na2＋…＋an＋1＝2Sn＋1－1．
兩式作差，a1＋a2＋…＋an＋an＋1＝Sn＋1＝2Sn＋1－2Sn，即Sn＋1＝2Sn．
而由1×a1＝2S1－1，可得S1＝1≠0．
從而是首項為1，公比為2的等比數(shù)列．
(2)由(1)得Sn＝2n-1，當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n-2，a1＝1不滿足上式．
所以an＝
設Tn＝＋…＋，則T1＝1，
當n≥2時，Tn＝1＋2×20＋…＋n×22-n，
故Tn＝＋2×2-1＋…＋n×21-n，
兩式作差，得Tn＝－n×21-n＝－n×21-n．
整理可得Tn＝7－×22-n．
故Tn<7，又T5＝>6，因此滿足條件的最小正整數(shù)m為7．
3．(2024·廣東茂名一模)設Sn為數(shù)列的前n項和，已知是首項為，公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)令bn＝，Tn為數(shù)列的前n項積，證明：
[解]　(1)由是首項為，公差為的等差數(shù)列，
故＝＝，
即Sn＝n＝，
當n≥2時，Sn－1＝，
故Sn－Sn－1＝an＝＝＝n2，
當n＝1時，a1＝S1＝＝1，符合上式，故an＝n2．
(2)由an＝n2，Sn＝，
故bn＝＝＝，
則Tn＝b1b2·…·bn＝·…·
＝＝，
由≥3×2＝6，
故Tn≤＝6n-1，
4．(2024·黑龍江哈爾濱三模)已知數(shù)列的前n項和為Sn，且Sn＝3an－2n．
(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)設bn＝an＋λ·2n－，若是遞增數(shù)列，求實數(shù)λ的取值范圍．
[解]　(1)證明：由Sn＝3an－2n知a1＝S1＝3a1－2，得a1＝1．
由已知有an＋1＝Sn＋1－Sn＝＝3an＋1－3an－2n，
故an＋1＝an＋2n-1，得an＋1－2n+1＝an＋2n-1－2n+1＝an－3·2n-1＝．
而a1－21＝1－2＝－1≠0，故數(shù)列是首項為－1，公比為的等比數(shù)列．
(2)根據(jù)(1)的結論有an－2n＝－，
即an＝2n－．
所以bn＝an＋λ·2n－＝·2n－．
若{bn}是遞增數(shù)列，則bn＋1>bn恒成立，即·2n+1－>·2n－(λ＋2)·．
所以2·2n－>·2n－，化簡得到3·4n>·3n，即3(1＋λ)＞(λ＋2)．
①當λ＋2＜0，即λ＜－2時，＜，因為＞0，且n→＋∞時，→0，故≤0，所以－2＜λ≤－1(舍去)．
②當λ＋2＝0，即λ＝－2時，－3＞0，矛盾，故λ＝－2舍去．
③當λ＋2＞0，即λ＞－2時，＞，因為＝，故＞，所以λ＞－，滿足λ＞－2．
綜上可得，λ的取值范圍為．
11/11培優(yōu)課4　數(shù)列與不等式的綜合問題
數(shù)列與不等式的綜合問題是近幾年高考的熱點，也是高考命題的延伸點，幾乎每年都有所涉及．熟練應用函數(shù)的性質(zhì)，掌握必備的不等式放縮技巧是破解此類問題的重要手段．
類型1　先求和后放縮證明不等式
【典例1】　(2022·新高考Ⅰ卷)記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，已知a1＝1，是公差為的等差數(shù)列．
(1)求{an}的通項公式；
(2)證明：＋…＋<2．
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對于含有數(shù)列和的不等式，若數(shù)列的和易于求出，則一般采用先求和再放縮的策略證明不等式．
[跟進訓練]
1．(2024·浙江杭州二模)已知等差數(shù)列的前n項和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)數(shù)列滿足b1＝3，令an·bn＝an＋2·bn＋1，求證：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型2　先放縮后求和證明不等式
【典例2】　(2024·河北邢臺二模)已知數(shù)列的前n項和為Sn，且Sn＝2an－1．
(1)求的通項公式；
(2)求證：＋…＋<2．
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在解決與數(shù)列的和有關的不等式證明問題時，若數(shù)列不易求和，可根據(jù)數(shù)列的項的結構特征進行放縮，轉(zhuǎn)化為易求和數(shù)列來證明．
常用放縮：
(1)＜＝(n≥2)；
(2)＜＝＝(n≥2)；
(3)＞＝；
(4)2()＝＜＝＜＝2()．
[跟進訓練]
2．在如圖所示的平面四邊形ABCD中，△ABD的面積是△CBD的面積的兩倍，數(shù)列滿足a1＝2，當n≥2時，＝，記bn＝．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)求證：<．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
類型3　與數(shù)列有關的不等式恒成立問題
【典例3】　(1)(2024·山東煙臺二模)歐拉函數(shù)φ(n∈N*)的函數(shù)值等于所有不超過正整數(shù)n，且與n互質(zhì)的正整數(shù)的個數(shù)，例如φ＝2．已知bn＝，n∈N*，Tn是數(shù)列的前n項和，若TnA．　　　B．1　　　C．　　　D．2
(2)(2024·湖南新高考聯(lián)盟二模)已知是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列滿足：bn＝2log2an＋1，且b1＝1，b4＝7．
①求數(shù)列的通項公式；
②若對任意的n∈N*都有2λan≥bn－2，求實數(shù)λ的取值范圍．
[聽課記錄] 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
解決與數(shù)列有關的不等式恒成立問題的關鍵是通過數(shù)列的單調(diào)性確定數(shù)列的最值，進而求解．
[跟進訓練]
3．(2024·江蘇蘇州二模)已知數(shù)列的前n項和為Sn，2an＋1＝3Sn，若tSn<2n對任意的n∈N*恒成立，則實數(shù)t的取值范圍為(　　)
A．(－4，2)
B．[
C．
(]
4．(2021·浙江高考)已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－，且4Sn＋1＝3Sn－9(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項和為Tn．若Tn≤λbn對任意n∈N*恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
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