資源簡介

(共62張PPT)
第一階段　突破核心　升華思維
專題五　解析幾何
培優(yōu)課10　隱圓問題
在題設中沒有明確給出圓的相關信息，而是隱含在題目中，要通過分析、轉(zhuǎn)化、發(fā)現(xiàn)圓(或圓的方程)，從而利用圓的知識來求解，這類問題稱為“隱圓”問題．
類型3　由距離平方和為定值確定隱圓
類型1　利用圓的定義或垂直關系確定隱圓
（一）
類型2　阿波羅尼斯圓
（二）
（三）
類型4　圓冪定理
（四）
培優(yōu)專練10　隱圓問題
（五）
類型1　利用圓的定義或垂直關系確定隱圓
【典例1】　(1)(2024·河北邯鄲二模)由動點P向圓M：(x＋2)2＋(y＋3)2＝1引兩條切線PA，PB，切點分別為A，B，若四邊形APBM為正方形，則動點P的軌跡方程為(　　)
A．(x＋2)2＋(y＋3)2＝4　
B．(x＋2)2＋(y＋3)2＝2
C．(x－2)2＋(y－3)2＝4　
D．(x－2)2＋(y－3)2＝2
√
(2)在平面直角坐標系內(nèi)，點O是坐標原點，動點B，C滿足||＝||＝＝0，A為線段BC中點，P為圓(x－3)2＋(y－4)2＝4上任意一點，則||的取值范圍是(　　)
A．[2，8]　　　　　 B．[3，8]
C．[2，7] D．[3，7]
√
(1)B　(2)A　[(1)因為四邊形APBM為正方形，且|MA|＝|MB|＝1，所以|MP|＝，
故動點P的軌跡是以M為圓心，為半徑的圓，其方程為(x＋2)2＋(y＋3)2＝2．故選B．
(2)由＝0，得⊥，
又||＝||＝，且A為線段BC中點，
則||＝1，所以A為圓O：x2＋y2＝1上任意一點．
設圓(x－3)2＋(y－4)2＝4的圓心為M，則||＝5，
又||＝5＞1＋2，所以圓O與圓M相離，
所以||的幾何意義為圓O與圓M這兩圓上的點之間的距離，
所以||max＝||＋||＋||＝5＋1＋2＝8，
||min＝||－||－||＝5－1－2＝2，
所以||的取值范圍為[2，8]．故選A．]
題目中若已知動點到定點的距離等于定長或者能求出到定點的距離為定值，或者得到動點與兩定點的連線的夾角為直角，則可以得到動點的軌跡為圓．
[跟進訓練]
1．(2024·山東濟南二模)已知圓C：x2＋y2＝1，A，B，若圓C上有且僅有一點P使PA⊥PB，則正實數(shù)a的取值為
(　　)
A．2或4 B．2或3
C．4或5 D．3或5
√
D　[由題意可知，圓C：x2＋y2＝1的圓心為C，半徑r＝1，且a>0，
因為PA⊥PB，可知點P的軌跡為以線段AB的中點M為圓心，半徑R＝a的圓，
又因為點P在圓C：x2＋y2＝1上，
可知圓C與圓M有且僅有一個公共點，則＝r＋R或＝，
即4＝1＋a或4＝，解得a＝3或a＝5．故選D．]
【教師備選資源】
1．已知直線l1：x＋my－3m－1＝0與l2：mx－y－3m＋1＝0相交于點M，線段AB是圓C：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4的一條動弦，且|AB|＝2，則的最小值為(　　)
A．6－4 B．3－
C．5＋ D．－1
√
A　[由圓的方程知：圓心C(－1，－1)，半徑r＝2，
由l1：x＋my－3m－1＝0得(x－1)＋m(y－3)＝0，
∴l(xiāng)1恒過定點E(1，3)．
由l2：mx－y－3m＋1＝0得m(x－3)＋(1－y)＝0，
∴l(xiāng)2恒過定點F(3，1)．
由直線l1，l2的方程可知l1⊥l2，∴ME⊥MF，
即＝0，
設M(x，y)，則＝(1－x，3－y)，＝(3－x，1－y)，
∴＝(1－x)(3－x)＋(3－y)(1－y)＝0，整理可得(x－2)2＋(y－2)2＝2，
即點M的軌跡是以G(2，2)為圓心，為半徑的圓，
又直線l2斜率存在，∴M點軌跡不包含(3，3)，
若點D為弦AB的中點，則＝2，
位置關系如圖，
連接CD，由|AB|＝2，知|CD|＝＝1，
則|MD|min＝|MC|min－|CD|＝|CG|－－1
＝－1＝2－1，
∴＝()·()＝＋()·＝－3≥(2－1)2－3＝6－4(當M在點(1，1)處時取等號)，即的最小值為6－4．故選A．]
2．已知等邊△ABC的邊長為，P為△ABC所在平面內(nèi)的動點，且||＝1，則的取值范圍是(　　)
A．　　　　 B．
C．[1，4] D．[1，7]
√
B　[如圖構建平面直角坐標系，且A，B，C，
所以P(x，y)在以A為圓心，1為半徑的圓上，即軌跡方程為＋y2＝1，而＝＝，故＝x2－x＋y2－y＝＋－，
只需求出定點與圓＋y2＝1上的點的距離的平方的
范圍即可，而圓心A與點的距離d＝＝，故定點與圓上點的距離的范圍為，所以∈．故選B．]
類型2　阿波羅尼斯圓
【典例2】　(2024·廣東茂名一模)動點P與兩個定點O，A滿足＝2，則點P到直線l：mx－y＋4－3m＝0的距離的最大值為____________．
2＋
2＋　[設P(x，y)，則＝2，
整理得x2＋(y＋1)2＝4，
所以P的軌跡是圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，
又直線l：mx－y＋4－3m＝0可化為m(x－3)－(y－4)＝0，易知過定點(3，4)，由32＋(4＋1)2>4，故點(3，4)在圓x2＋(y＋1)2＝4外，則圓心與定點所在的直線與直線l垂直時，圓心與直線l的距離最大，所以點P到直線l的距離的最大值為＋2＝2＋．]
平面內(nèi)到兩個定點A(－a，0)，B(a，0)(a>0)的距離之比為正數(shù)λ(λ≠1)的點的軌跡是以C為圓心，為半徑的圓，這個圓稱作阿波羅尼斯圓．
[跟進訓練]
2．(2024·遼寧沈陽二模)已知A，B＝2，若平面內(nèi)滿足到直線l：3x＋4y＋m＝0的距離為1的點P有且只有3個，則實數(shù)m＝____________．
5或－5
5或－5　[設點P(x，y)，由|PB|＝2|PA|可得，＝2，
兩邊平方整理得x2＋y2＝4，即點P的軌跡是圓，圓心在原點，半徑為2．
若該圓上有且只有3個點到直線l：3x＋4y＋m＝0的距離為1，則圓心到直線的距離d＝＝1，解得m＝±5．]
3．已知圓C：(x－2)2＋y2＝2，直線l：y＝k(x＋2)與x軸交于點A，過l上一點P作圓C的切線，切點為T，若|PA|＝|PT|，則實數(shù)k的取值
范圍是_________________．
　[由題意知A(－2，0)，C(2，0)，
設P(x，y)，
則由|PA|＝|PT|，得|PA|2＝2|PT|2＝2(|PC|2－2)，故(x＋2)2＋y2＝2[(x－2)2＋y2－2]，
化簡得(x－6)2＋y2＝36，
所以滿足|PA|＝|PT|的點P在以(6，0)為圓心，6為半徑的圓上．
由題意知，直線y＝k(x＋2)與圓(x－6)2＋y2＝36有公共點，所以d＝≤6，解得－≤k≤．]
【教師備選資源】
1．(多選)已知動點P到原點O與A(2，0)的距離之比為2，動點P的軌跡記為C，直線l：3x－4y－3＝0，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．C的方程為＋y2＝
B．動點P到直線l的距離的取值范圍為
C．直線l被C截得的弦長為
D．C上存在三個點到直線l的距離為
√
√
AD　[設P(x，y)，因為|PO|＝2|PA|，所以＝2，
所以C的方程為＋y2＝，故A正確；
因為圓心C到直線l：3x－4y－3＝0的距離d＝1＜r＝，
所以直線l與圓C相交，且弦長為2＝，故C錯誤；
動點P到直線l的距離的取值范圍為，故B錯誤，D正確．故選AD．]
2．已知O(0，0)，A(3，0)，直線l上有且只有一個點P滿足|PA|＝2|PO|，寫出滿足條件的其中一條直線l的方程________________．
x＝1(答案不唯一)　[設點P(x，y)，由|PA|＝2|PO|可得＝2，
整理可得(x＋1)2＋y2＝4，
即點P的軌跡為圓，且圓心為C(－1，0)，半徑r＝2，
直線l上有且只有一個點P滿足|PA|＝2|PO|，
所以直線l與圓C相切，所以直線l的方程可為x＝1(答案不唯一)．]
x＝1(答案不唯一)
類型3　由距離平方和為定值確定隱圓
【典例3】　(2024·河南九師聯(lián)盟三模)在平面α內(nèi)，已知線段AB的長為4，點P為平面α內(nèi)一點，且＋＝10，則∠PAB的最大值為(　　)
A． B．
C． D．
√
A　[如圖，以線段AB所在的直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立平面直角坐標系Oxy，
設P，因為＝4，不妨設A，B，
由＋＝10，得＋y2＋＋y2＝10，
化簡得x2＋y2＝1，即點P的軌跡是以O為圓心，1為半徑的圓．當PA與圓O相切時，∠PAB取得最大值，此時OP⊥PA．
因為＝1，＝2，所以sin ∠PAB＝，
且∠PAB為銳角，故∠PAB的最大值為．故選A．]
動點 P 滿足＋|PB|2是定值的軌跡為圓．在解決與圓相關的綜合問題時，要注意利用圓的幾何性質(zhì)或一些簡單的軌跡知識將問題轉(zhuǎn)化為直線與圓或圓與圓的位置關系問題．
[跟進訓練]
4．設A(2，0)，B(0，4)．若對于直線l：x－y＋m＝0上的任意一點P，都有|PA|2＋|PB|2>18，則實數(shù)m的取值范圍為(　　)
A．(1＋2，＋∞)
B．(1－2，1＋2)
C．(－∞，1－2)
D．(－∞，1－2)∪(1＋2，＋∞)
√
D　[設P，∵|PA|2＋|PB|2>18，
∴＋y2＋x2＋>18，整理得＋>4，
則P在以為圓心，2為半徑的圓外，
∵P在直線l上，則直線與圓相離，設圓心到直線的距離為d，∴d＝>2，解得m<1－2或m>1＋2．故選D．]
【教師備選資源】
1．已知點A(－2，0)，B(2，0)，點P滿足|PA|2＋|PB|2＝16，直線l：(m＋1)x－y＋1－3m＝0(m∈R)，當點P到直線l的距離最大時，m的值為(　　)
A． B．
C．－ D．－
√
C　[∵A(－2，0)，B(2，0)，設P(x，y)，
∴|PA|2＋|PB|2＝(x＋2)2＋y2＋(x－2)2＋y2＝2x2＋2y2＋8，
∵|PA|2＋|PB|2＝16，∴2x2＋2y2＋8＝16，化簡得x2＋y2＝4，即點P的軌跡方程為x2＋y2＝4，圓心為(0，0)，半徑為2．
直線l：(m＋1)x－y＋1－3m＝0(m∈R)化簡為m(x－3)＋x－y＋1＝0，
由解得即直線l恒過定點(3，4)，
設定點為M(3，4)，當OM⊥l時，此時點P到直線l的距離最大，∴kOM·kl＝－1，kOM＝＝，kl＝m＋1，∴(m＋1)＝－1，得m＝－．故選C．]
2．已知圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0和兩點A，B，若圓C上總存在點P，使得＋＝，則實數(shù)t的取值范圍是(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
√
C　[由圓C：x2＋y2－6x－8y＋24＝0得＋＝1，又點P在圓C上，所以設P，其中θ∈，
因為＋＝，所以⊥，所以＝0，
又＝＝(3＋cos θ－t，4＋sin θ)，
所以＝－t2＋＝0，整理得
t2＝＋
＝26＋6cos θ＋8sin θ＝26＋10sin ，
因為θ∈，所以－1≤sin ≤1，
所以16≤t2≤36，所以4≤t≤6．故選C．]
類型4　圓冪定理
【典例4】　(2021·新高考Ⅰ卷)在平面直角坐標系Oxy中，已知點F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)，點M滿足|MF1|－|MF2|＝2，記M的軌跡為C．
(1)求C的方程；
(2)設點T在直線x＝上，過T的兩條直線分別交C于A，B兩點和P，Q兩點，且|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，求直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和．
[解]　(1)因為|MF1|－|MF2|＝2＜|F1F2|＝2，
所以點M的軌跡C是以F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點的雙曲線的右支．
設雙曲線的方程為＝1(a＞0，b＞0)，半焦距為c，則2a＝2，c＝，得a＝1，b2＝c2－a2＝16，
所以點M的軌跡C的方程為x2－＝1(x≥1)．
(2)設T，由題意可知直線AB，PQ的斜率均存在且不為0，設直線AB的方程為y－t＝k1(k1≠0)，直線PQ的方程為y－t＝k2(k2≠0)，
由得x2－2k1x－－16＝0．
設A(xA，yA)，B(xB，yB)，易知≠0，Δ＞0，
則xAxB＝，xA＋xB＝，
所以|TA|＝＝，
|TB|＝＝，
則|TA|·|TB|＝＝＝＝．
同理得|TP|·|TQ|＝．
因為|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，所以＝，所以＝，
即＝，
又k1≠k2，所以k1＝－k2，即k1＋k2＝0．
故直線AB的斜率與直線PQ的斜率之和為0．
1．圓冪定理
若|TA|·|TB|＝|TP|·|TQ|，則A，B，P，Q四點共圓，反之亦然．
2．圓錐曲線上四點共圓的充要條件
若兩條直線li：y－y0＝ki(x－x0)(i＝1，2)與二次曲線Γ：ax2＋by2＋cx＋dy＋e＝0(a≠b)有四個交點，則這四個交點共圓的充要條件是k1＋k2＝0．
可推導圓錐曲線上四點共圓的充要條件為圓錐曲線上四個不同的點組成的四邊形對角線的傾斜角互補．
[跟進訓練]
5．設拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，點D(p，0)，過F的直線l交C于A，B兩點．當直線AD垂直于x軸時，|AF|＝6．
(1)求C的方程；
(2)若線段AB的垂直平分線交C于M，N兩點，且∠AMB＋∠ANB＝π，求直線l的方程．
[解]　(1)由題意得|AF|＝p＋＝6，∴p＝4，
∴C的方程為y2＝8x．
(2)由(1)知F，設l的方程為x＝my＋2(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
由得y2－8my－16＝0，
則y1＋y2＝8m，y1y2＝－16，
∴x1＋x2＝my1＋2＋my2＋2＝m(y1＋y2)＋4＝8m2＋4，
∴AB的中點為Q(4m2＋2，4m)，|AB|＝x1＋x2＋4＝8m2＋8，
又直線MN的斜率為－m，
∴直線MN的方程為x＝－y＋4m2＋6，
將上式代入y2＝8x，并整理得
y2＋y－16(2m2＋3)＝0，設M(x3，y3)，N(x4，y4)，
則y3＋y4＝－，y3y4＝－16(2m2＋3)，
則x3＋x4＝－(y3＋y4)＋2(4m2＋6)
＝－＋8m2＋12＝＋8m2＋12，
∴MN的中點為E，|MN|＝|y3－y4|＝．
由MN垂直平分AB，且∠AMB＋∠ANB＝π，
得A，M，B，N在以MN為直徑的圓上，
即E為圓心，|AE|＝|BE|＝|MN|，
從而|AB|2＋|EQ|2＝|MN|2，
即(8m2＋8)2＋＋
＝，解得m＝1或m＝－1，
∴直線l的方程為x－y－2＝0或x＋y－2＝0．
1．設定點M和N，動點為H，若＝2，則動點H的軌跡為
(　　)
A．直線 B．圓
C．橢圓 D．拋物線
題號
1
3
5
2
4
6
7
√
培優(yōu)專練10　隱圓問題
B　[設＝2c，以線段MN的中點O為平面直角坐標系原點，MN所在直線為x軸，
建立如圖所示平面直角坐標系，則M，N，
設H，則＝
＝x2－c2＋y2＝2，
即x2＋y2＝2＋c2，所以H的軌跡是以原點為圓心，
半徑為的圓．故選B．]
題號
1
3
5
2
4
6
7
2．(2024·北京大興三模)已知A(－1，0)，B(1，0)，若點P滿足PA⊥PB，則點P到直線l：m(x－)＋n(y－1)＝0的距離的最大值為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
題號
1
3
5
2
4
6
7
√
C　[由PA⊥PB可得點P的軌跡為以線段AB為直徑的圓，圓心為，半徑為1，
又直線l：m(x－)＋n(y－1)＝0，其過定點，
故距離的最大值為＋1＝3．]
3．若平面內(nèi)兩定點A，B間的距離為2，動點P滿足＝，則＋的最小值為(　　)
A．36－24 B．48－24
C．36 D．24
題號
1
3
5
2
4
6
7
√
A　[以經(jīng)過A，B的直線為x軸，線段AB的垂直平分線為y軸，
建立平面直角坐標系(圖略)，則A，B，
設P，因為＝，所以＝，
兩邊平方并整理，得x2＋y2－6x＋1＝0，即＋y2＝8，
所以點P的軌跡是以為圓心，2為半徑的圓，
則＋＝＋y2＋＋y2＝2＋2，
因為x2＋y2－6x＋1＝0，所以＋＝2＋2＝12x，
由y2＝8－≥0，得3－2≤x≤3＋2，
所以36－24≤12x≤36＋24，
由此可知＋的最小值為36－24．故選A．]
題號
1
3
5
2
4
6
7
4．已知點P(0，4)，圓M：(x－4)2＋y2＝16，過點N(2，0)的直線l與圓M交于A，B兩點，則||的最大值為(　　)
A．8 B．12　　　
C．6　　　 D．9
題號
1
3
5
2
4
6
7
√
B　[由題意知，M(4，0)，圓M的半徑為4，設AB的中點D(x，y)，則ND⊥MD，即＝0，
又＝(x－2，y)，＝(x－4，y)，
所以(x－2)(x－4)＋y2＝0，即點D的軌跡方程為(x－3)2＋y2＝1，設其圓心為E，則E(3，0)，半徑為1，
所以|PD|的最大值為|PE|＋1＝＋1＝6，
因為||＝2||，所以||的最大值為12．故選B．]
題號
1
3
5
2
4
6
7
5．(多選)(2024·廣東深圳模擬)已知M為直線x－y＋5＝0上的一點，動點N與兩個定點O，A的距離之比為2，則(　　)
A．動點N的軌跡方程為＋y2＝4
B．≥2＋
C．的最小值為4
D．∠AON的最大值為
題號
1
3
5
2
4
6
7
√
√
AC　[對于A，設N，由＝2 x2＋y2＝4 ＋y2＝4，故A正確；
對于B，如圖，
M為直線x－y＋5＝0上的點，N為⊙C：＋y2＝4上的點，由點到直線的距離公式得，
C到直線x－y＋5＝0的距離為＝，
所以－2，故B錯誤；
題號
1
3
5
2
4
6
7
對于C，如圖，因為＝，所以＝的最小值為A到直線x－y＋5＝0的距離，由點到直線的距離公式得，＝4，故C正確；
對于D，如圖，過O作圓C的切線，切點為N，此時∠AON最大，因為＝2，＝4，∠ONC＝，所以∠AON＝，故D錯誤．故選AC．]
題號
1
3
5
2
4
6
7
6．(2024·浙江杭州模擬)已知正三角形ABC的邊長為1，P是平面ABC上一點，若PA2＋PB2＋PC2＝5，則PA的最大值為________．
題號
1
3
5
2
4
6
7
　[以BC所在直線為x軸，BC中點為原點，建立平面直角坐標系，
則A，B，
C，設P，
由PA2＋PB2＋PC2＝5，得x2＋＋＋y2＋＋y2＝5，
整理得x2＋y2－y－＝0，即x2＋＝，
因此，點P的軌跡是以M為圓心，半徑r＝的圓，
PA的最大值等于＋r＝＝．]
題號
1
3
5
2
4
6
7
7．(2024·四川雅安模擬)如圖，已知點P是棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD內(nèi)(包含邊界)一個動點，若點P到點A的距離是點P到BB1的距離的兩倍，則點P的軌跡的長度為________．
題號
1
3
5
2
4
6
7
　[在正方體ABCD-A1B1C1D1中，可得BB1⊥平面ABCD，
因為PB 平面ABCD，所以BB1⊥PB，
則點P到BB1的距離等于點P到點B的距離，即＝2，
在底面ABCD中，以A為原點，以AB，AD所在的直線分別為x軸和y軸，
建立平面直角坐標系，如圖所示，
可得A(0，0)，B(2，0)，
題號
1
3
5
2
4
6
7
設P(x，y)，由＝2，可得＝2，
整理得＋y2＝，即點P的軌跡是以M為圓心，半徑為的，
又由＝＝－2＝，可得cos ∠BMF＝＝，
所以∠BMF＝，即所對的圓心角為，
所以點P的軌跡的長度為＝．]
題號
1
3
5
2
4
6
7
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