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(共58張PPT)
第一階段　突破核心　升華思維
專題五　解析幾何
培優(yōu)課11　圓錐曲線中的雙切線問(wèn)題——同構(gòu)法
我們把過(guò)一點(diǎn)作圓錐曲線的兩條切線的問(wèn)題叫做圓錐曲線的雙切線問(wèn)題，這類問(wèn)題由于涉及雙切線、雙切點(diǎn)、雙斜率，在引參、設(shè)點(diǎn)、設(shè)直線方程和求解過(guò)程中，處理方法特殊技巧性強(qiáng)，對(duì)運(yùn)算能力和方程思想的理解要求較高，是圓錐曲線的一個(gè)難點(diǎn)和熱點(diǎn)問(wèn)題．
類型1　彭賽列閉合定理的應(yīng)用
（一）
類型2　阿基米德三角形的應(yīng)用
（二）
培優(yōu)專練11　圓錐曲線中的雙切線問(wèn)題——同構(gòu)法
（三）
類型1　彭賽列閉合定理的應(yīng)用
【典例1】　(2021·全國(guó)甲卷)拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，直線l：x＝1交C于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ．已知點(diǎn)M(2，0)，且⊙M與l相切．
(1)求C，⊙M的方程；
(2)設(shè)A1，A2，A3是C上的三個(gè)點(diǎn)，直線A1A2，A1A3均與⊙M相切．判斷直線A2A3與⊙M的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．
[解]　(1)依題意，設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)，P(1，y0)，Q(1，－y0)，
因?yàn)镺P⊥OQ，所以＝＝1－2p＝0，所以2p＝1，
所以拋物線C的方程為y2＝x．
因?yàn)镸(2，0)，⊙M與x＝1相切，所以半徑為1，
所以⊙M的方程為(x－2)2＋y2＝1．
(2)法一(方程根的角度)：
設(shè)A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，A3(x3，y3)．
若A1A2斜率不存在，則A1A2方程為x＝1或x＝3，
若A1A2方程為x＝1，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)A1(1，1)，
則過(guò)A1與⊙M相切的另一條直線方程為y＝1，
此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在A3，不合題意；
若A1A2方程為x＝3，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)
A1(3，)，A2(3，－)，
則過(guò)A1與⊙M相切的直線A1A3的方程為y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此時(shí)直線A1A3，A2A3關(guān)于x軸對(duì)稱，
所以直線A2A3與⊙M相切．
若直線A1A2，A1A3，A2A3斜率均存在，
則＝＝＝，
所以直線A1A2的方程為y－y1＝(x－x1)，
整理得x－(y1＋y2)y＋y1y2＝0，
同理直線A1A3的方程為x－(y1＋y3)y＋y1y3＝0，
直線A2A3的方程為x－(y2＋y3)y＋y2y3＝0，
因?yàn)锳1A2與⊙M相切，所以＝1，
整理得＝0，①
A1A3與⊙M相切，同理＝0．②
所以y2，y3為方程＝0的兩根，③
y2＋y3＝，y2·y3＝，
M到直線A2A3的距離為
＝＝＝＝1，
所以直線A2A3與⊙M相切．
綜上所述，若直線A1A2，A1A3與⊙M相切，則直線A2A3與⊙M相切．
法二(直線(點(diǎn))的角度)：
設(shè)＝＝＝x3．
當(dāng)x1＝x2時(shí)，則A1A2方程為x＝1或x＝3，
若A1A2方程為x＝1，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)A1(1，1)，
則過(guò)A1與⊙M相切的另一條直線方程為y＝1，
此時(shí)該直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，即不存在A3，不合題意；
若A1A2方程為x＝3，根據(jù)對(duì)稱性不妨設(shè)
A1(3，)，A2(3，－)，則過(guò)A1與⊙M相切的直線A1A3的方程為y－＝(x－3)，
又＝＝＝＝，所以y3＝0，x3＝0，A3(0，0)，此時(shí)直線A1A3，A2A3關(guān)于x軸對(duì)稱，所以直線A2A3與⊙M相切．
當(dāng)x1≠x2時(shí)，直線A1A2的方程為y－y1＝·(x－x1)，即y＝．
由直線A1A2與⊙M相切得＝1，
化簡(jiǎn)得2y1y2＋(x1－1)x2－x1＋3＝0，
同理，由直線A1A3與⊙M相切得
2y1y3＋(x1－1)x3－x1＋3＝0．
因?yàn)榉匠?y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0同時(shí)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2，A3，所以A2A3的直線方程為2y1y＋(x1－1)x－x1＋3＝0，
點(diǎn)M到直線A2A3的距離為＝＝1．
所以直線A2A3與⊙M相切．
綜上所述，若直線A1A2，A1A3與⊙M相切，則直線A2A3與⊙M相切．
1．雙切線問(wèn)題同構(gòu)轉(zhuǎn)化后的表達(dá)式多角度進(jìn)行抽象：(1)從方程(根)的角度；(2)從直線(點(diǎn))的角度．
2．雙切線問(wèn)題的求解思路
已知曲線外一點(diǎn)A1(x0，y0)，向二次曲線C引兩條切線A1A2，A1A3，切點(diǎn)分別為A2，A3．設(shè)A2(x1，y1)，A3(x2，y2)，
第1步：分別寫出切線A1A2，A1A3的方程(注意斜率)；
第2步：聯(lián)立A1A2，A1A3與曲線C的方程，利用相切條件，得到代數(shù)關(guān)系式①，②，從而以A1的橫或縱坐標(biāo)為參數(shù)，進(jìn)一步構(gòu)造點(diǎn)A2，A3的橫或縱坐標(biāo)滿足的同構(gòu)方程③；
第3步：利用方程③中根與系數(shù)的關(guān)系判斷，A2A3與曲線的位置關(guān)系，或完成其他問(wèn)題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(2024·山東德州模擬)如圖所示，已知橢圓C：＝1與直線l：＝1．點(diǎn)P在直線l上，由點(diǎn)P引橢圓C的兩條切線PA，PB，A，B為切點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)若點(diǎn)P為直線l與y軸的交點(diǎn)，求△PAB的面積S；
(2)若OD⊥AB，D為垂足，求證：存在定點(diǎn)Q，使得為定值．
[解]　(1)由題意知P，過(guò)點(diǎn)P與橢圓相切的直線斜率存在，
設(shè)切線方程為y＝kx＋3，
聯(lián)立
可得x2＋12kx＋12＝0，(*)
所以Δ＝144k2－48＝48＝0，解得k＝±1，即切線方程為y＝±x＋3．
所以PA⊥PB，
將k＝1代入方程(*)可得x2＋4x＋4＝0，可得x＝－2，此時(shí)y＝1，
不妨設(shè)點(diǎn)A，同理可得點(diǎn)B，則＝＝＝2，
因此，△PAB的面積S＝＝4．
(2)證明：設(shè)A，B，
因?yàn)闄E圓＝1在其上一點(diǎn)M處的切線方程為＝1．
則切線PA的方程為＝1，切線PB的方程為＝1．
設(shè)P，則
所以，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足方程＝1，即mx＋2ny－6＝0，
所以直線AB的方程為mx＋2ny－6＝0．
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線＝1上，所以m＋2n＝6，則2n＝6－m，
所以直線AB的方程可表示為mx＋y－6＝0，即m＋6＝0．
令可得故直線AB過(guò)定點(diǎn)T．
因?yàn)镺D⊥AB，D，T在直線AB上，OD⊥DT，
故點(diǎn)D在以O(shè)T為直徑的圓上，
當(dāng)點(diǎn)Q為線段OT的中點(diǎn)時(shí)，＝|OT|＝，
此時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為．
故存在定點(diǎn)Q，使得為定值．
【教師備選資源】
已知橢圓E：＝1(a＞b＞0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，)，且離心率為．F為橢圓E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為直線l：x＝3上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作橢圓E的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，連接AB，AF，BF．
(1)求證：直線AB過(guò)定點(diǎn)M，并求出定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
(2)記△AFM，△BFM的面積分別為S1和S2，當(dāng)|S1－S2|取最大值時(shí)，求直線AB的方程．
參考結(jié)論：點(diǎn)Q(x0，y0)為橢圓＝1上一點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)Q的橢圓的切線方程為＝1．
[解]　(1)證明：由題意可得b＝＝，又因?yàn)閍2＝b2＋c2，所以a2＝6，b2＝2，橢圓E的方程為＝1．
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(3，y0)，
由參考結(jié)論知過(guò)點(diǎn)P在A處的橢圓E的切線方程為＝1，同理，過(guò)點(diǎn)P在B處的橢圓E的切線方程為＝1．
因?yàn)辄c(diǎn)P在直線PA，PB上，
所以
所以直線AB的方程為＝1，則直線AB過(guò)定點(diǎn)M(2，0)．
(2)設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋2，
當(dāng)t＝0時(shí)，x＝2，此時(shí)|S1－S2|＝0，當(dāng)t≠0時(shí)，
聯(lián)立方程得(t2＋3)y2＋4ty－2＝0，Δ＝16t2＋8(t2＋3)＞0，
故y1＋y2＝－，y1y2＝－，
|S1－S2|＝2||y1|－|y2||＝2|y1＋y2|＝＝＝，
當(dāng)且僅當(dāng)|t|＝，即t＝±時(shí)取等號(hào)，
此時(shí)直線AB的方程為x＝±y＋2．
類型2　阿基米德三角形的應(yīng)用
【典例2】　(2021·全國(guó)乙卷)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，且F與圓M：x2＋(y＋4)2＝1上點(diǎn)的距離的最小值為4．
(1)求p的值；
(2)若點(diǎn)P在M上，PA，PB是C的兩條切線，A，B是切點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．
[解]　(1)由題意知M(0，－4)，F(xiàn)，圓M的半徑r＝1，所以|MF|－r＝4，即＋4－1＝4，解得p＝2．
(2)由(1)知，拋物線方程為x2＝4y，
由題意可知直線AB的斜率存在，設(shè)，，直線AB的方程為y＝kx＋b，
聯(lián)立消去y得x2－4kx－4b＝0，
則Δ＝16k2＋16b>0，　(※)
x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
所以|AB|＝|x1－x2|＝
＝4．
因?yàn)閤2＝4y，即y＝，所以y′＝，則拋物線在點(diǎn)A處的切線斜率為，在點(diǎn)A處的切線方程為＝(x－x1)，即y＝．
同理得拋物線在點(diǎn)B處的切線方程為y＝，
聯(lián)立則
即P(2k，－b)．因?yàn)辄c(diǎn)P在圓M上，
所以4k2＋(4－b)2＝1，　①
且－1≤2k≤1，－1≤4－b≤1，
所以－≤k≤，3≤b≤5，滿足(※)式．
設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則d＝，
所以S△PAB＝|AB|·d＝4．
由①得，k2＝＝，
令t＝k2＋b，則t＝，且3≤b≤5．
因?yàn)閠＝在[3，5]上單調(diào)遞增，所以當(dāng)b＝5時(shí)，t取得最大值，tmax＝5，此時(shí)k＝0，所以△PAB面積的最大值為20．
對(duì)于拋物線C：y2＝2px(p＞0)，設(shè)P(x0，y0)(在拋物線C外)，PA，PB是C的兩條切線，A(x1，y1)，B(x2，y2)是切點(diǎn)，則阿基米德三角形PAB的面積為S△PAB＝＝．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(多選)設(shè)拋物線C：y＝x2的焦點(diǎn)為F，過(guò)拋物線C上不同的兩點(diǎn)A，B分別作C的切線，兩條切線的交點(diǎn)為P，AB的中點(diǎn)為Q，則
(　　)
A．PQ⊥x軸 B．PF⊥AB
C．∠PFA＝∠PFB D．|AF|＋|BF|＝2|PF|
√
√
AC　[對(duì)于A選項(xiàng)：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，Q，y＝x2，y′＝2x，
過(guò)點(diǎn)A的切線為：y－y1＝2x1(x－x1)，①
過(guò)點(diǎn)B的切線為：y－y2＝2x2(x－x2)，②
①－②得y1－y2＝2x1x－2x2x，
化簡(jiǎn)可得＝2x(x1－x2)，
x0＝，PQ⊥x軸，A選項(xiàng)正確；
設(shè)A(0，0)，B(1，1)，F(xiàn)，
過(guò)A點(diǎn)的切線為y＝0，過(guò)B點(diǎn)的切線為y－1＝2(x－1)，交點(diǎn)為P，
所以kPF＝－，kAB＝1，kPF·kAB≠－1，所以PF不垂直于AB，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
由B可知，|AF|＋|BF|＝＝，2|PF|＝2＝，
所以|AF|＋|BF|≠2|PF|，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；
作拋物線準(zhǔn)線的垂線AA′，BB′，連接A′P，B′P，PF，AF，BF，
F，A′，kPA＝y(tǒng)′|x＝，
則kFA′＝－，kPA＝2x1，
顯然kFA′·kPA＝－1，所以FA′⊥PA．
又由拋物線定義，得|AA′|＝|AF|，故知PA是線段FA′的中垂線，得到|PA′|＝|PF|，則∠PA′A＝∠PFA，
同理可證|PB′|＝|PF|，∠PB′B＝∠PFB，
所以|PA′|＝|PB′|＝|PF|，即∠PA′B′＝∠PB′A′，
所以∠PA′A＝∠PA′B′＋90°＝∠PB′A′＋90°＝∠PB′B，
即∠PFA＝∠PFB，C選項(xiàng)正確．故選AC．]
3．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)P(2，0)作直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)．
(1)若l的傾斜角為，求△FAB的面積；
(2)過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線C的兩條切線l1，l2，且直線l1與直線l2相交于點(diǎn)M，問(wèn)：點(diǎn)M是否在某定直線上？若在，求該定直線的方程，若不在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解]　(1)∵l的傾斜角為，∴k＝tan ＝1，
∵直線l過(guò)點(diǎn)P(2，0)，∴直線l的方程為y＝x－2，即x＝y(tǒng)＋2，
聯(lián)立直線l與拋物線方程化簡(jiǎn)可得y2－4y－8＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則Δ＝16＋4×8＝48>0，
∴＝＝＝4，
又∵點(diǎn)F(1，0)到直線l的距離是d＝＝，
∴S△FAB＝·d＝×4＝2．
(2)設(shè)l的方程為x＝my＋2，
聯(lián)立直線l與拋物線方程化簡(jiǎn)可得y2－4my－8＝0，
則Δ＝16m2＋32>0，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－8，
∴x1x2＝＝4，
不妨設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)在x軸上方，點(diǎn)B(x2，y2)在x軸下方，
當(dāng)y≥0時(shí)，y＝2，求導(dǎo)可得y′＝，∴＝，
∴拋物線C上過(guò)點(diǎn)A的切線l1的方程為y－y1＝(x－x1)，即y＝x－＋y1①，
當(dāng)y<0時(shí)，y＝－2，求導(dǎo)可得y′＝－，
∴＝－，
∴拋物線C上過(guò)點(diǎn)B的切線l2的方程為y－y2＝－(x－x2)，即y＝－x＋＋y2②，
聯(lián)立①②可得，x＝＋y2－y1，
∵y2＝－2，y1＝2，
∴x＝－2－2，
∵x1x2＝4，∴x＝－，
又∵≠0，∴x＝－2，即M的橫坐標(biāo)恒為－2，
∴點(diǎn)M在定直線x＝－2上．
【教師備選資源】
已知拋物線H：x2＝2py(p為常數(shù)，p＞0)．
(1)若直線l：y＝kx－2pk＋2p與H只有一個(gè)公共點(diǎn)，求k；
(2)貝塞爾曲線是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)和相關(guān)領(lǐng)域中重要的參數(shù)曲線．法國(guó)數(shù)學(xué)家卡斯特里奧對(duì)貝塞爾曲線進(jìn)行了圖形化應(yīng)用的測(cè)試，提出了德卡斯特里奧算法：已知三個(gè)定點(diǎn)，根據(jù)對(duì)應(yīng)的比例，使用遞推畫法，可以畫出拋物線；反之，已知拋物線上三點(diǎn)的切線，也有相應(yīng)成比例的結(jié)論．如圖，A，B，C是H上不同的三點(diǎn)，過(guò)三點(diǎn)的三條切線分別兩兩交于
點(diǎn)D，E，F(xiàn)，證明：＝＝．
[解]　(1)將y＝kx－2pk＋2p代入x2＝2py，
化簡(jiǎn)得x2－2pkx＋4p2(k－1)＝0，(*)
方程(*)的判別式Δ＝4p2k2－4(4p2k－4p2)＝0，
化簡(jiǎn)得k2－4k＋4＝0，即k＝2．
(2)證明：設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，C(xC，yC)，D(xD，yD)，E(xE，yE)，F(xiàn)(xF，yF)，
設(shè)拋物線x2＝2py在A點(diǎn)處的切線方程為y－yA＝kA(x－xA)，
由消去y并化簡(jiǎn)得
x2－2pkAx＋2pkAxA－2pyA＝0，
Δ＝－4(2pkAxA－2pyA)＝－8pkAxA＋8pyA＝0，
－2xAkA＋2yA＝0，
＝＝0，
解得kA＝，故切線方程為
y－yA＝(x－xA)＝，py－pyA＝，
＝＝，
即2py＝，
同理可求得拋物線x2＝2py上過(guò)點(diǎn)B，C的切線方程分別為：
2py＝，2py＝，
由過(guò)A，B，C的切線方程兩兩聯(lián)立，可以求得交點(diǎn)D，E，F(xiàn)的橫坐標(biāo)分別為：
xD＝，xE＝，xF＝，
注意到結(jié)論中線段長(zhǎng)度的比例可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比例，得＝＝＝，命題得證．
1．(2024·云南師大附中模擬)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的離心率為，上、下頂點(diǎn)與其中一個(gè)焦點(diǎn)圍成的三角形的面積為，過(guò)點(diǎn)P作橢圓C的兩條切線，切點(diǎn)為A，B．
(1)求橢圓C的方程；
(2)求直線AB的方程；
(3)過(guò)點(diǎn)P作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，交直線AB于點(diǎn)Q，求的值．
培優(yōu)專練11　圓錐曲線中的雙切線問(wèn)題——同構(gòu)法
[解]　(1)由題意可知，＝，①
又·2b·c＝，所以bc＝，②
由①②及a2＝b2＋c2，可得a＝2，b＝，
所以橢圓C的方程為＝1．
(2)先證：過(guò)橢圓＝1上一點(diǎn)A的切線方程為＝1，
證明如下：當(dāng)過(guò)橢圓上一點(diǎn)A的切線斜率存在時(shí)，
設(shè)切線方程為y＝kx＋m，
聯(lián)立 可得x2＋8kmx＋4m2－12＝0，
因?yàn)橹本€與橢圓相切，
所以Δ＝－4＝0，
化簡(jiǎn)可得4k2－m2＋3＝0，
所以x1＝＝，代入y＝kx＋m可得，
y1＝kx1＋m＝k·＋m＝，
于是k＝－＝－·m＝－＝－，
故切線方程為y－y1＝－，即 ＝，
又＝12，故切線PA的方程為＝1，
當(dāng)過(guò)橢圓上一點(diǎn)A的切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x＝±2，滿足題意．
所以過(guò)橢圓＝1上一點(diǎn)A的切線方程為＝1，
故切線PA的方程為＝1，
同理，切線PB的方程為＝1，又因?yàn)榍芯€過(guò)點(diǎn)P，
所以＝1，＝1，所以x1＋y1＝－1，x2＋y2＝
－1，故直線AB的方程為x＋y＋1＝0．
(3)由題意可知直線l的斜率存在，且k>0，設(shè)直線l的方程為y＝k－3，
聯(lián)立橢圓C的方程＝1，
得x2＋x＋64k2－96k＋24＝0，Δ＞0，令M，N，
所以x3＋x4＝－，x3·x4＝．
令Q，解方程組 得x0＝．
又＝＝
＝＝＝2，
所以＝2．
2．(2024·江蘇泰州模擬)已知拋物線E：x2＝2y，焦點(diǎn)為F，過(guò)F作y軸的垂線l0，點(diǎn)P在x軸下方，過(guò)點(diǎn)P作拋物線E的兩條切線l1，l2，l1，l2分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，l1，l2分別交l0于C，D兩點(diǎn)．
(1)若l1，l2與拋物線E相切于C，D兩點(diǎn)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(2)證明：△PAB的外接圓過(guò)定點(diǎn)；
(3)求△PCD面積S的最小值．
[解]　(1)∵l1，l2與拋物線E相切于C，D兩點(diǎn)，
設(shè)C在左側(cè)，則C，D，
由x2＝2y得y＝x2，所以y′＝x，
所以l1的斜率為－1，l2的斜率為1，
此時(shí)l1的方程為y－＝－，即x＋y＋＝0．
l2的方程為y－＝x－1，即x－y－＝0，聯(lián)立 得P．
(2)設(shè)過(guò)P的兩條切線分別與拋物線切于，
由(1)知直線PQ的斜率為x1，所以直線PQ的方程為＝x1，即y＝，
直線PR的斜率為x2，直線PR的方程為＝x2，即y＝，
所以P且A，B，
設(shè)△PAB外接圓的圓心為M，則M在AB的垂直平分線上，而AB的中點(diǎn)為，所以m＝，
設(shè)△PAB外接圓方程為＋＝＋n2，又外接圓過(guò)P，所以＋＝＋n2，
所以－nx1x2＝0，所以n＝，
所以＋＝＋，
整理得x2－x＋y2－y＋＝0，
所以x2＋y2－x＋＝0，
令
即所以△PAB的外接圓過(guò)定點(diǎn)．
(3)CD：y＝，所以C，D，
所以＝
＝＝，
P到CD的距離為d＝，
所以S△PCD＝，
設(shè)x1x2＝－t2，t>0，＝r，由＝＋4x1x2＝r2－4t2≥0，
r≥2t，當(dāng)且僅當(dāng)x1＋x2＝0時(shí)等號(hào)成立．
所以S△PCD＝＝，
令f ＝，f ′＝＝，
f 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以f ≥f ＝，所以△PCD面積S的最小值為．
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