資源簡介

(共22張PPT)
第一階段　突破核心　升華思維
專題五　解析幾何
培優課12　圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題
在圓錐曲線解答題中，我們通常利用根與系數的關系(韋達定理)x1＋x2，x1·x2整體代入的方法來處理類似，x1y2＋x2y1等對稱結構問題；對于解題中遇到的類似于，λx1＋μx2，這種系數不對稱的結構，發現不能直接應用根與系數的關系，這類問題叫做“非對稱韋達定理問題”，處理這類問題常用兩種方法，一是和積轉換法，二是配湊半代換法．
【典例】　已知點F為橢圓E：＝1的右焦點，A，B分別為其左、右頂點，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點(不與A，B重合)，記直線AM與BN的斜率分別為k1，k2，證明為定值．
[證明]　法一：積化和(變量y)
由題意得，A(－2，0)，B(2，0)．
設l：x＝ty＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則k1＝，k2＝，聯立
消x得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0，則
所以ty1y2＝(y1＋y2)，代入得，＝＝＝＝，為定值，得證．
法二：配湊半代換(變量y)
由題意得，A(－2，0)，B(2，0)．
設l：x＝ty＋1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，
則k1＝， k2＝，聯立
消x得(4＋3t2)y2＋6ty－9＝0，且Δ>0，則
因此＝＝＝＝，得證．
法三：積化和(變量x)
當直線l斜率存在時，不妨設直線l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯立
消y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，且Δ＞0，所以
因此x1x2＝(x1＋x2)－4，所以＝＝＝，為定值．
當直線l斜率不存在時，即l：x＝1，亦可求得＝．綜上，得證．
法四：配湊半代換(變量x)
當直線l斜率存在時，不妨設直線l：y＝k(x－1)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯立
消y得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，且Δ＞0，所以
所以＝，即＝＝＝，為定值．
當直線l的斜率不存在時，即l：x＝1，亦可求得＝．綜上，得證．
在解析幾何中，對于非對稱韋達定理問題，常采用“局部計算，整體約分”方案求解：
(1)方案一　和積轉換——找出韋達定理中的兩根之和與兩根之積的關系；
(2)方案二　配湊半代換——對能代換的部分進行韋達代換，剩下的部分進行配湊．
[跟進訓練]
已知拋物線關于x軸對稱，頂點在坐標原點，焦點為F，點P(1，2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在拋物線上．
(1)寫出該拋物線的方程及其準線方程；
(2)若＝2，求直線AB的斜率．
[解]　(1)由已知條件，可設拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，
因為點P(1，2)在拋物線上，
所以22＝2p×1，解得p＝2．
故拋物線的方程是y2＝4x，其準線方程是x＝－1．
(2)法一：由(1)可知F(1，0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則直線AB的方程可設為x＝ty＋1，
聯立
整理得y2－4ty－4＝0，
所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4．
又＝2，
即(1－x1，－y1)＝2(x2－1，y2)，
可得－y1＝2y2，即＝－2，
則＝－2＝－，
即－2＝－，解得t＝±，故kAB＝＝±2．
法二：A(x1，y1)，B(x2，y2)，F(1，0)，＝(1－x1，－y1)，2＝(2x2－2，2y2)，＝2
∵A，B在拋物線上，
由①②③④聯立可得x2＝，則y2＝±，
由③－④得(y1＋y2)(y1－y2)＝4(x1－x2)，
則kAB＝＝＝＝－＝±2．
1．已知點A，B是橢圓E：＝1的左、右頂點，若直線l：y＝k(x－1)與橢圓E交于M，N兩點，求證：直線AM與直線BN的交點在一條定直線上．
培優專練12　圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題
[證明]　由條件知，A(－2，0)，B(2，0)，設M(x1，y1)，N(x2，y2)，
聯立
化簡得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，
直線AM：y＝(x＋2)，直線BN：y＝(x－2)．
聯立得，x＝．
法一：(配湊半代換)
原式＝＝
＝＝＝4．
故直線AM與直線BN的交點在定直線x＝4上．
法二：(和積轉換)
分離常數得：x1＋x2＝＝2－，x1x2＝＝1－．
則有x1·x2＝(x1＋x2)－4．
代入得x＝＝2×＝4．
故直線AM與直線BN的交點在定直線x＝4上．
2．已知雙曲線C：＝1的離心率為，點在雙曲線C上．過C的左焦點F作直線l交C的左支于A，B兩點．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若M，試問：是否存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上？請說明理由；
(3)點P，直線AP交直線x＝－2于點Q．設直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，求證：k1－k2為定值．
[解]　(1)由題意，雙曲線C：＝1的離心率為，且點在雙曲線C上，
可得解得a2＝8，b2＝8，
所以雙曲線C的方程為＝1．
(2)雙曲線C的左焦點為F，
當直線l的斜率為0時，此時直線為y＝0，與雙曲線C的左支只有一個交點，舍去；
當直線l的斜率不為0時，設l：x＝my－4，
聯立方程組消去x，得y2－8my＋8＝0，易得Δ>0，
由于過點F作直線l交C的左支于A，B兩點，
設A，B，則y1＋y2＝，y1y2＝<0，可得－1因為＝＝，
則＝＋y1y2＝
＝y1y2－2m＋4＝＋4＝－4，
即≠0，可得MA與MB不相互垂直，
所以不存在直線l，使得點M在以AB為直徑的圓上．
(3)證明：由直線AP：y－2＝k1，得Q，
所以k2＝＝，又k1＝kPA＝＝，
所以k1－k2＝＝
＝，
因為k1＝，所以k1my1＝y1－2，且y1＋y2＝my1y2，
所以k1－k2＝＝＝－2，
即k1－k2為定值．
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