資源簡(jiǎn)介

第一階段　突破核心　升華思維
專(zhuān)題一　三角函數(shù)與解三角形
培優(yōu)課1　平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題
平面向量中的最值與范圍是高考的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，主要考查向量的模、數(shù)量積、夾角及向量的系數(shù)等的最值、范圍．解決這類(lèi)問(wèn)題的常用思路有兩種：一是建立求解目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系，通過(guò)函數(shù)的值域解決問(wèn)題；二是借助平面向量“數(shù)”與“形”的雙重身份，數(shù)形結(jié)合解決，轉(zhuǎn)化中注意極化恒等式的應(yīng)用．
類(lèi)型3　求向量數(shù)量積的最值(范圍)
類(lèi)型1　向量系數(shù)的最值、范圍
（一）
類(lèi)型2　求向量模、夾角的最值(范圍)
（二）
（三）
培優(yōu)專(zhuān)練1　平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題
（四）
類(lèi)型1　向量系數(shù)的最值、范圍
【典例1】　(1)(2024·河北滄州模擬)如圖，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，G是AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)G作直線分別交AB，AC于點(diǎn)M，N，且????????＝x????????，????????＝y(tǒng)????????，則1????+1????的最小值為(　　)
A．1　　　B．2　　　C．4　　　D．2
(2)設(shè)非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|＝2，且不
等式|2a＋b|≥|a＋λb|對(duì)任意的θ恒成立，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為(　　)
A．[－1，3] B．[－1，5]
C．[－7，3] D．[5，7]
?
√
√
(1)A　(2)A　[(1)因?yàn)镚是AD的中點(diǎn)，且????????＝x????????，????????＝y(tǒng)????????，
所以????????＝12×12(????????+????????)＝14(x????????＋y????????)．
因?yàn)镸，G，N三點(diǎn)共線，所以14(x＋y)＝1，
所以1????+1????＝14(x＋y)·1????+1????＝142+????????+????????≥142+2????????·????????＝1，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝2時(shí)，等號(hào)成立．故選A．
?
(2)∵非零向量a，b的夾角為θ，若|a|＝2|b|＝2，
∴|a|＝2，|b|＝1，
a·b＝2×1×cos θ＝2cos θ，
∵不等式|2a＋b|≥|a＋λb|對(duì)任意的θ恒成立，
∴(2a＋b)2≥(a＋λb)2，
∴4a2＋4a·b＋b2≥a2＋2λa·b＋λ2b2，
整理可得13－λ2＋(8－4λ)cos θ≥0恒成立，
∵cos θ∈[－1，1]，
∴13?????2+8?4????≥0，13?????2?8+4????≥0，解得－1≤λ≤3．]
?
利用共線向量定理及推論
(1)a∥b?a＝λb(b≠0)．
(2)????????＝λ????????＋μ????????(λ，μ為實(shí)數(shù))，則A，B，C三點(diǎn)共線?λ＋μ＝1．
?
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
1．(1)(2024·廣東深圳一模)設(shè)點(diǎn)A(－2，0)，B?12，0，C(0，1)，若動(dòng)點(diǎn)P滿足|????????|＝2|????????|，且????????＝λ????????＋μ????????，則λ＋2μ的最大值為_(kāi)_______．
(2)如圖，點(diǎn)C在半徑為1，圓心角為2π3的扇形OAB的????????上運(yùn)動(dòng)．已知????????＝x????????＋y????????，則當(dāng)∠AOC＝π6時(shí)，x＋y＝_______；
x＋y的最大值為_(kāi)_______．
?
22+43
?
3
?
2
(1)22+43　(2)3　2　[(1)設(shè)P(x，y)，則????????＝(－2－x，－y)，????????＝?12?????，?????，
由|????????|＝2|????????|，得?2?????2+?????2＝2?12?????2+?????2，
整理，得x2＋y2＝1，
又????????＝(x＋2，y)，????????＝32，0，????????＝(2，1)，
代入????????＝λ????????＋μ????????，得????+2=32????+2????，????=????，?????????????????????
有x＋y＋2＝32λ＋3μ＝32(λ＋2μ)，所以λ＋2μ＝23(x＋y＋2)，
?
由1＝x2＋y2≥2xy，得xy≤12，
所以(x＋y)2＝x2＋2xy＋y2≤1＋1＝2，
得x＋y≤2，
當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝22時(shí)等號(hào)成立，
所以λ＋2μ＝23(x＋y＋2)≤23(2＋2)＝22+43．
即λ＋2μ的最大值為22+43．
?
(2)以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA所在直線為x軸，過(guò)點(diǎn)O作OA的垂線所在直線為y軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
則A(1，0)，B?12，32，????????＝(1，0)，????????＝?12，32，
當(dāng)∠AOC＝π6時(shí)，C32，12，
則????????＝32，12，由????????＝x????????＋y????????，
得32，12＝x(1，0)＋y?12，32，
?
即32=?????12????，12=32????，???????解得????=233，????=33，?
故x＋y＝3．
設(shè)∠AOC＝α0≤????≤2π3，
則????????＝(cos α，sin α)，
由????????＝x????????＋y????????，
得(cos α，sin α)＝x(1，0)＋y?12，32，
?
即cos????=?????12????，sin????=32????，??????解得????=cos????+33sin????，????=233sin????，?????????????
故x＋y＝cos α＋3sin α＝2sin ????+π6，
由于0≤α≤2π3，故當(dāng)α＝π3時(shí)，2sin ????+π6取最大值為2，即x＋y的最大值為2．
?
類(lèi)型2　求向量模、夾角的最值(范圍)
【典例2】　(1)已知e為單位向量，向量a滿足(a－e)·(a－5e)＝0，則|a＋e|的最大值為(　　)
A．4　　　B．5　　　C．6　　　D．7
(2)(2024·河北石家莊二模)在平行四邊形ABCD中，????????????????+3????????????????＝????????????????????，λ∈[7，3]，則cos ∠BAD的取值范圍是(　　)
A．?12，?16　　　　　　　　B．?12，13
C．?23，13　　　　　　　　　D．?23，?16
?
√
√
(1)C　(2)A　[(1)可設(shè)e＝(1，0)，a＝(x，y)，
則(a－e)·(a－5e)＝(x－1，y)·(x－5，y)
＝x2－6x＋5＋y2＝0，
即(x－3)2＋y2＝4，
則1≤x≤5，－2≤y≤2，
|a＋e|＝????+12+????2＝8?????4，
當(dāng)x＝5時(shí)，8?????4取得最大值6，
即|a＋e|的最大值為6．
?
(2)設(shè)與????????同方向的單位向量????????????????＝????1，與????????同方向的單位向量????????????????＝????2，與????????同方向的單位向量????????????????＝????3，由題意，得????1＋3e2＝λe3，
所以(????1＋3e2)2＝????2????32，即????12+6????1·????2+9????22＝????2????32，
所以1＋6×1×1×cos ∠BAD＋9＝λ2，
所以cos ∠BAD＝????2?106，
因?yàn)棣恕蔥7，3]，所以λ2∈[7，9]，
所以????2?106∈?12，?16，即cos ∠BAD∈?12，?16．故選A．]
?
1．求模的范圍或最值的常見(jiàn)方法
(1)通過(guò)|a|2＝a2轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問(wèn)題；
(2)數(shù)形結(jié)合；
(3)坐標(biāo)法．
2．求向量夾角的取值范圍、最值，往往要將夾角與其某個(gè)三角函數(shù)值用某個(gè)變量表示，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，要注意變量之間的關(guān)系．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
2．(1)(2024·河北保定期末)若|a|＝2，|a－b|＝1，則|b|的最大值為
(　　)
A．3 B．5
C．32 D．25
(2)若平面向量a，b，c滿足|c|＝2，a·c＝2，b·c＝6，a·b＝2，則a，b夾角的取值范圍是________．
?
π3，π2
?
√
(1)A　(2)π3，π2　[(1)法一：設(shè)a與a－b的夾角為θ．因?yàn)閨b|＝|(a－b)－a|，
得|b|2＝|(a－b)－a|2＝(a－b)2－2(a－b)·a＋a2＝|a－b|2－2|a－b|·|a|cos θ＋|a|2
＝1－4cos θ＋4＝5－4cos θ，
當(dāng)cos θ＝－1時(shí)，|b|2有最大值9，|b|的最大值為3．故選A．
法二：因?yàn)閨a|＝2，如圖設(shè)a＝????????，b＝????????，
由|a－b|＝1知點(diǎn)B在以A為圓心1為半徑的圓上，
當(dāng)點(diǎn)B與O，A在一條直線，位于圖中B′位置時(shí)，
|b|的最大值為3．故選A．
?
(2)設(shè)c＝(2，0)，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，
a與b的夾角為θ，
則a·c＝2x1＝2?x1＝1，
b·c＝2x2＝6?x2＝3，
∴a＝(1，y1)，b＝(3，y2)，
a·b＝3＋y1y2＝2?y1y2＝－1?y2＝－1????1，
?
∴cos θ＝????·????????????＝21+????12·9+1????12＝210+9????12+1????12≤210+29????12·1????12＝12，
當(dāng)且僅當(dāng)y1＝±33時(shí)，等號(hào)成立，
顯然cos θ＞0，即0＜cos θ≤12，
∵0≤θ≤π，∴π3≤θ＜π2，
因此，a，b夾角的取值范圍是π3，π2．]
?
類(lèi)型3　求向量數(shù)量積的最值(范圍)
【典例3】　(1)(2024·寧夏一模)窗花是貼在窗戶上的剪紙，是中國(guó)古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，圖1是一個(gè)正八邊形窗花隔斷，圖2是從窗花圖中抽象出的幾何圖形的示意圖．如圖2，若正八邊形ABCDEFGH的邊長(zhǎng)為2，P是正八邊形ABCDEFGH八條邊上的動(dòng)點(diǎn)，則????????·????????的最小值為(　　)
A．2 B．0
C．－22 D．－42
?
√
(2)(2024·遼寧撫順三模)太極圖被稱為“中華第一圖”，其形狀如陰陽(yáng)兩魚(yú)互抱在一起，因而又被稱為“陰陽(yáng)魚(yú)太極圖”．如圖所示的圖形是由半徑為2的大圓O和兩個(gè)對(duì)稱的半圓弧組成的，線段MN過(guò)點(diǎn)O且兩端點(diǎn)M，N分別在兩個(gè)半圓弧上，P是大圓上一動(dòng)點(diǎn)，則????????·????????的最小值為_(kāi)_______．
?
0
(1)C　(2)0　[(1)法一：(坐標(biāo)法)設(shè)〈????????，????????〉＝θ，
當(dāng)P與A重合時(shí)，????????·????????＝0；
當(dāng)P在線段AB(除A)、線段BC、線段CD、線段DE、線段EF(除F)點(diǎn)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，
0≤θ<π2，cos θ>0，所以????????·????????＝|????????|·|????????|·cos θ>0，
當(dāng)P與F重合時(shí)，θ＝π2，所以????????·????????＝|????????|·|????????|·cos θ＝0．
?
以A為原點(diǎn)，AB所在直線，AF所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，根據(jù)正八邊形的性質(zhì)可知AF＝2＋2×sinπ4×2＝2＋22，則F(0，2＋22)，G(－2，2＋2)，H(－2，2)，B(2，0)，
直線GF的方程為y＝x＋2＋22，直線GH的方程為
x＝－2，直線AH的方程為y＝－x，
當(dāng)P在線段GF(除F)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P(x，x＋2＋22)(－2≤x<0)，
所以????????·????????＝(x，x＋2＋22)·(2，0)＝2x∈[－22，0)，
?
當(dāng)P在線段GH上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P(－2，t)(2≤t≤2＋2)，
所以????????·????????＝(－2，t)·(2，0)＝－22，
當(dāng)P在線段AH(除A)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)P(x，－x)(－2≤x<0)，
所以????????·????????＝(x，－x)·(2，0)＝2x∈[－22，0)．
綜上所述，????????·????????的最小值為－22．故選C．
?
法二：(數(shù)量積的幾何意義)設(shè)〈????????，????????〉＝θ，
則????????·????????＝|????????|·|????????|cos θ，結(jié)合數(shù)量積的幾何意義可知，當(dāng)點(diǎn)P在GH上運(yùn)動(dòng)時(shí)， |????????|cos θ最小，所以????????·????????的最小值為2×2×?22＝－22．
(2)連接PO，可得????????·????????＝(????????+????????)·(?????????????????)
＝????????2－????????2＝4－????????2，
顯然當(dāng)????????2最大，即|????????|取得最大值2時(shí)，????????·????????取得最小值0．]
?
向量數(shù)量積最值(范圍)問(wèn)題的解題策略
(1)形化：利用平面向量的幾何意義將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何中的最值或范圍問(wèn)題，然后根據(jù)平面圖形的特征直接進(jìn)行判斷．
(2)數(shù)化：利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為代數(shù)中的函數(shù)最值與值域、不等式的解集或方程有解等問(wèn)題，然后利用函數(shù)、不等式或方程的有關(guān)知識(shí)來(lái)解決．
(3)轉(zhuǎn)化：利用向量的極化恒等式可以對(duì)數(shù)量積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了向量的幾何屬性，特別適合于以三角形為載體，含有線段中點(diǎn)的向量問(wèn)題．
[跟進(jìn)訓(xùn)練]
3．(1)(2024·北京朝陽(yáng)一模)在△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝23，點(diǎn)P在線段BC上．當(dāng)????????·????????取得最小值時(shí)，PA＝(　　)
A．32　　　B．72　　　C．34　　　D．74
(2)如圖所示，△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，點(diǎn)P為
AC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，長(zhǎng)度為6的線段EF的中點(diǎn)為B，
則????????·????????的取值范圍是_____________．
?
√
[39，55]
(1)B　(2)[39，55]　[(1)如圖，以BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
由AB＝AC＝2，BC＝23，則OA＝22?32＝1，
所以A(0，1)，B(－3，0)，C(3，0)，
設(shè)P(x，0)，－3≤x≤3，則????????＝(－x，1)，????????＝(－3－x，0)，
則????????·????????＝－x·(－3－x)＝x2＋3x＝????+322－34，
當(dāng)x＝－32時(shí)，????????·????????取得最小值，此時(shí)????????＝32，1，
PA＝322+1＝72．故選B．
?
(2)由向量極化恒等式知
????????·????????＝(????????+????????)·(?????????????????)＝|????????|2－|????????|2＝|????????|2－9．
又△ABC是邊長(zhǎng)為8的等邊三角形，
所以當(dāng)點(diǎn)P位于點(diǎn)A或點(diǎn)C時(shí)，|????????|取最大值8．
當(dāng)點(diǎn)P位于AC的中點(diǎn)時(shí)，|????????|取最小值，
即|????????|min＝8sin π3＝43，
所以|????????|的取值范圍為[43，8]，
所以????????·????????的取值范圍為[39，55]．]
?
1．(2024·湖北黃岡二模)已知e為單位向量，向量a滿足a·e＝3，|λe－a|＝1，則|a|的最大值為(　　)
A．9　　　B．3　　　C．10　　　D．10
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
√
培優(yōu)專(zhuān)練1　平面向量數(shù)量積的最值與范圍問(wèn)題
C　[根據(jù)條件得(a－λe)2＝|a|2＋λ2－2a·eλ＝λ2－6λ＋|a|2＝1，
得到|a|2＝－(λ2－6λ－1)＝－(λ－3)2＋10≤10，
所以|a|≤10，即|a|的最大值為10．故選C．]
?
2．設(shè)向量????????＝(1，－2)，????????＝(a，－1)，????????＝(－b，0)，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a>0，b>0，若A，B，C三點(diǎn)共線，則1????+2????的最小值為
(　　)
A．4 B．6
C．8 D．9
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
√
C　[由題意得，????????＝?????????????????＝(a－1，1)，
????????＝?????????????????＝(－b－1，2)，
∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴????????＝λ????????且λ∈R，
則?????1=?????????+1，1=2????，??????????????????????? 可得2a＋b＝1，
∴1????+2????＝1????+2????(2a＋b)＝4＋????????+4????????≥4＋2????????·4????????＝8，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a＝12時(shí)，等號(hào)成立，
∴1????+2????的最小值為8．故選C．]
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
3．(2024·湖北武漢四調(diào))點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的正六邊形ABCDEF邊上的動(dòng)點(diǎn)，則????????·????????的最大值為(　　)
A．2 B．114
C．3 D．134
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
√
C　[如圖，分別取AB，DE的中點(diǎn)Q，R，連接PQ，QR，
則由題知，QA＝12，BD2＝DC2＋BC2－2DC×BC×cos ∠BCD＝1＋1－2×1×1×cos 120°＝3，即BD＝3，
所以QD＝????????2+????????2＝14+3＝134＝132，
由圖可知當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D或E時(shí)PQ最大，
所以????????·????????＝(????????+????????)·(????????+????????)＝(????????+????????)·(?????????????????)
＝????????2－????????2＝????????2－14≤????????2－14＝3，
所以????????·????????的最大值為3．故選C．]
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
4．已知單位向量a，b，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，|xa＋b|≥32恒成立，則向量a，b的夾角的取值范圍為(　　)
A．π4，3π4　　　　　　　　　?B．π3，2π3
C．π4，π2　　　　　　???　　　D．π3，π2
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
√
B　[a，b是單位向量，由|xa＋b|≥32得
(xa＋b)2≥34?x2＋2(a·b)x＋14≥0，
依題意，不等式x2＋2(a·b)x＋14≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則Δ＝4(a·b)2－1≤0，解得－12≤a·b≤12，
而cos 〈a，b〉＝????·????????????＝a·b，則－12≤cos 〈a，b〉≤12，
又0≤〈a，b〉≤π，函數(shù)y＝cos x在[0，π]上單調(diào)遞減，因此π3≤〈a，b〉≤2π3，
所以向量a，b的夾角的取值范圍為π3，2π3．故選B．]
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
5．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形ABC的外接圓為圓O，P為圓O上任一點(diǎn)．若????????＝x????????＋y????????，則2x＋2y的最大值為(　　)
A．83
B．2　　　
C．43　　　
D．1
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
√
A　[法一：(坐標(biāo)法)以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)O平行于AB的直線為x軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，
由已知可得A?1，?33，B1，?33，C0，233，
點(diǎn)P在以點(diǎn)O為圓心，233為半徑的圓上，
所以可設(shè)P233cos????，233sin????，0≤θ＜2π，
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
則????????＝233cos????+1，233sin????+33，????????＝(2，0)，????????＝(1，3)，由????????＝x????????＋y????????，可得2x＋y＝233cos θ＋1，3y＝233sin θ＋33，
∴2x＋2y＝233cos θ＋1＋23sin θ＋13＝43sin ????+π3+43，∵0≤θ＜2π，∴π3≤θ＋π3＜7π3，
∴當(dāng)θ＝π6時(shí)，2x＋2y的最大值為83．故選A．
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
法二：(等和線法)如圖，作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，
設(shè)????????＝λ????????＋μ????????，則λ＋μ＝1．
因?yàn)锽C∥EF，所以設(shè)????????????????＝????????????????＝k，則k∈0，43，
所以????????＝k????????，????????＝k????????，????????＝λ????????＋μ????????
＝λk????????＋μk????????，所以x＝λk，y＝μk，
所以2x＋2y＝2(λ＋μ)k＝2k∈0，83．故選A．]
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
6．(多選)(2024·山東濰坊二模)已知向量a，b，c為平面向量，|a|＝1，|b|＝2，a·b＝0，|c－a|＝12，則下列說(shuō)法中正確的是(　　)
A．1≤|c|≤32
B．(c－a)·(c－b)的最大值為1+254
C．－1≤b·c≤1
D．若c＝λa＋μb，則λ＋μ的最小值為1－54
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
√
√
√
BCD　[對(duì)于A，設(shè)a＝(1，0)，b＝(0，2)，c＝(x，y)，根據(jù)|c－a|＝12有?????12+????2＝12，
即(x－1)2＋y2＝14，是圓心為(1，0)，半徑為12的圓，又|c|＝????2+????2的幾何意義為原點(diǎn)到圓(x－1)2＋y2＝14上點(diǎn)(x，y)的距離，則12≤|c|≤32，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，(c－a)·(c－b)＝(x－1)x＋y(y－2)＝x2－x＋y2－2y＝?????122＋(y－1)2－54，則轉(zhuǎn)化為求圓(x－1)2＋y2＝14上的點(diǎn)到12，1的距離最大值，
為1?122+12+122－54＝52+122－54＝1+254，故B正確；
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
對(duì)于C，b·c＝2y，因?yàn)椋?2≤y≤12，故－1≤b·c≤1，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)?x－1)2＋y2＝14，故x＝cos????2＋1，y＝sin????2，
又因?yàn)閏＝λa＋μb，故λ＝x，μ＝????2，
λ＋μ＝cos????2＋1＋sin????4＝54255cos????+55sin????＋1
＝54sin (θ＋φ)＋1(其中tan φ＝2)，
故當(dāng)sin (θ＋φ)＝－1時(shí)，λ＋μ取最小值1－54，故D正確．故選BCD．]
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
7．(2024·湖南長(zhǎng)沙模擬)已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且PC＝1，則????????·????????的取值范圍為_(kāi)____________________________．
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
[3－23，3＋23]
?
[3－23，3＋23]　[由已知，點(diǎn)P的軌跡是以C為圓心，1為半徑的圓．取線段AB的中點(diǎn)M，
則????????·????????＝(????????+????????)·(????????+????????)＝?????????12????????·????????+12????????＝|????????|2－14|????????|2＝|????????|2－1，
又因?yàn)閨PM|∈[|CM|－1，|CM|＋1]，|CM|＝3，
所以|PM|∈[3－1，3＋1]，
則????????·????????∈[3－23，3＋23]．
?
題號(hào)
1
3
5
2
4
6
7
THANK YOU

展開(kāi)更多......

收起↑