資源簡介

(共42張PPT)
第一階段　突破核心　升華思維
專題一　三角函數與解三角形
培優課2　三角函數中ω，φ的范圍問題
三角函數中ω，φ的范圍求解問題是高考的重點和熱點問題之一，主要考查由三角函數的最值(值域)、單調性、零點等求ω，φ的取值范圍，解決這類問題的一般思路是利用“團體”思想，數形結合求解．
類型3　零點與ω，φ的取值范圍
類型1　三角函數的最值(值域)與ω，φ的取值范圍
（一）
類型2　單調性與ω，φ的取值范圍
（二）
（三）
培優專練2　三角函數中ω，φ的范圍問題
（四）
類型1　三角函數的最值(值域)與ω，φ的取值范圍
【典例1】　(1)(2024·浙江溫州一模)若函數f (x)＝2sin (ω>0)，x∈的值域為，則ω的取值范圍是(　　)
A．　　　　 B．
C． D．
(2)(2024·云南楚雄模擬)若函數f (x)＝4sin (4x＋φ)(－π<φ<π)在上的最小值大于－2，則φ的取值范圍是________．
√
(1)D　(2)　[(1)由x∈，得ωx－∈．
顯然當x＝0時，可得2sin ＝－，
由f (x)的值域為，利用三角函數圖象性質可得ω－＋π，解得≤ω≤，即ω的取值范圍是．
故選D．
(2)因為x∈，所以4x＋φ∈，因為－π<φ<π，所以－<＋φ<，
則 解得－<φ<．
故φ的取值范圍是．]
求三角函數的最值(值域)問題，主要是整體代換ωx±φ，利用正、余弦函數的圖象求解，要注意自變量的取值范圍．
[跟進訓練]
1．(1) (2024·湖北武漢模擬)已知函數f (x)＝sin (x＋φ)，0<φ<π，若函數f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，則φ的取值范圍是(　　)
A．
C．
(2)將函數f (x)＝sin (ω>0)的圖象向右平移個周期后所得的圖象在內有5個極值點，則ω的取值范圍是________．
√
(1)D　(2)　[(1)若0≤x＜，則φ≤x＋φ＜＋φ，又因為0<φ<π，函數f (x)在上存在最大值，但不存在最小值，所以當＋φ≥π，即φ≥時，只需滿足＋φ≤，此時≤φ≤；當＋φ<π，即φ<時，函數一定存在最大值，要讓函數無最小值，則－φ<＋φ－，此時，<φ<．綜上，<φ≤，即φ的取值范圍是．故選D．
(2)函數f (x)的最小正周期T＝，
將函數f (x)的圖象向右平移后的解析式為
f ＝sin ＝sin ，
由x∈，可得ωx－∈，
要使得平移后的圖象有5個極值點，則函數圖象有5個最值點，則需<，解得<ω≤．]
類型2　單調性與ω，φ的取值范圍
【典例2】　(1)(2024·河北唐山二模)函數f (x)＝sin(2x－φ)在上單調遞增，則φ的取值范圍為(　　)
A．
C．
(2)(2024·山東威海模擬)已知函數f (x)＝tan (ω>0)在上是增函數，則ω的取值范圍是________．
√
(1)C　(2)　[(1)由x∈，可得2x－φ∈，
又|φ|≤，則－φ≤，且f (x)在上單調遞增，所以解得≤φ≤，
即φ的取值范圍為．故選C．
(2)根據題意，，解得ω≤1，又ω>0，則ω∈(0，1]．
當x∈，ωx－∈，
由題可得－ω－≥－ω－，解得ω≤．
綜上所述，ω的取值范圍是．]
若三角函數在區間[a，b]上單調遞增，則區間[a，b]是該函數單調遞增區間的子集，利用集合的包含關系即可求解．
[跟進訓練]
2．(1)若直線x＝是曲線y＝sin (ω>0)的一條對稱軸，且函數y＝sin 在區間上不單調，則ω的最小值為(　　)
A．9　　　B．7　　　C．11　　　D．3
(2)已知函數f (x)＝sin 2x＋cos 2x的圖象向左平移φ(φ>0)個單位長度后得到函數g(x)，若g(x)在上單調，則φ的最小值為________．
√
(1)C　(2)　[(1)因為直線x＝是曲線y＝sin(ω>0)的一條對稱軸，
則ω－＝kπ＋，k∈Z，
即ω＝4k＋3，k∈Z，由－≤ωx－，得－≤x≤，
則函數y＝sin 在上單調遞增，
而函數y＝sin 在區間上不單調，
則<，解得ω>9，所以ω的最小值為11．
(2)∵函數f (x)＝sin 2x＋cos 2x＝2sin ，
∴函數f (x)的圖象向左平移φ個單位長度后得到g(x)＝2sin ＝2sin ，
當－≤x≤時，2φ－≤2x＋2φ＋≤2φ＋，
又g(x)在上單調，
由正弦函數的單調性可知， (k∈Z)或 (k∈Z)．
要使φ最小，則k取0，
故有或
結合φ>0，解得≤φ≤，綜上，φ的最小值為．]
類型3　零點與ω，φ的取值范圍
【典例3】　(1)(2024·廣東六校聯考)已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)，若任意φ∈R，f (x)在上有零點，則ω的取值范圍為
(　　)
A．(0，＋∞) B．(1，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(3，＋∞)
√
(2)(2024·山西晉城二模)將函數f (x)＝2sin 的圖象向右平移φ(φ＞0)個單位長度，得到函數g(x)的圖象，若函數g(x)在區間(0，φ)上恰有兩個零點，則φ的取值范圍是(　　)
A．
C．
√
(1)C　(2)C　[(1)由x∈，可得ωx＋φ∈，
令t＝ωx＋φ，因為任意φ∈R，f (x)在上有零點，
則sin t＝0在上有解，
又因為sin t＝0在內有解的最短區間長度為b－a＝π，所以＋φ－φ>π，解得ω>2．故選C．
(2)將函數f (x)＝2sin 的圖象向右平移φ個單位長度，得g(x)＝2sin 的圖象，
由0＜x＜φ，得－3φ＜3x＋－3φ＜，
又g(x)在(0，φ)上恰有2個零點，所以－2π≤－3φ＜－π，
解得＜φ≤，即實數φ的取值范圍為．故選C．]
已知函數的零點求ω，φ的取值范圍問題，一是利用三角函數的圖象求解；二是利用解析式，直接求函數的零點即可．
[跟進訓練]
3．(1)(2024·江蘇連云港模擬)設函數f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一個零點，則實數ω的取值范圍是
____________________．
(2)(2024·陜西西安二模)已知函數f (x)＝3cos (ωx＋φ)(ω>0)，若
f ＝3，f ＝0，且f (x)在區間上沒有零點，則ω的一個取值為____________________________________．
(答案不唯一，，2，，6均可)
(1)　(2)(答案不唯一，，2，，6均可)　[(1)因為函數f (x)＝2sin (ω>0)在上至多有一個零點，
所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一個解．
現令方程sin ＝(ω>0)在上至少有兩個解，
所以ωπ－≤ωx－≤2ωπ－，
所以 k∈Z，
解得k∈Z，所以＋k≤ω≤＋2k，k∈Z．
又因為＋k≤＋2k，k∈Z，所以k≥－，k∈Z，
所以k＝0，1，2，…，
所以≤ω≤或ω≥．
所以方程sin ＝(ω>0)在上至多有一個解時， ω∈．
(2)由題意，在f (x)＝3cos(ωx＋φ)(ω>0)中，f ＝3，f ＝0，
所以
所以k1，k2∈Z，
兩式相減得ω＝(k2－2k1)π＋，
所以ω＝(k2－2k1)＋，即ω＝，n∈Z，
因為x∈，ω>0，所以ωx＋φ∈，
令ωx＋φ＝t，t∈，
由題意知y＝3cos t在t∈上無零點，故 ，k∈Z，
所以k∈Z，
即k∈Z，
兩式相加得－ω≥－π，
所以0<ω≤6，
又ω＝，n∈Z，
所以，當n＝0時，ω＝；當n＝1時，ω＝2；當n＝2時，ω＝；當n＝3時，ω＝；當n＝4時，ω＝6，
所以ω的取值有5個，取其中一個填寫即可．]
1．(2024·浙江杭州二模)設甲：“函數f (x)＝2sin ωx在上單調遞增”，乙：“0<ω≤2”，則甲是乙的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件　　　
D．既不充分也不必要條件
2
4
3
題號
1
5
√
6
培優專練2　三角函數中ω，φ的范圍問題
2
4
3
題號
1
5
6
A　[若“函數f (x)＝2sin ωx在單調遞增”，則ω>0，
由－≤ωx≤得－≤x≤，
則解得0<ω≤．
所以甲是乙的充分不必要條件．故選A．]
2
4
3
題號
1
5
6
2．(2024·江蘇淮安模擬)已知函數f (x)＝2cos (ω>0)在上恰有2個零點，則ω的取值范圍為(　　)
A．[18，22)　　　　 B．[22，42)
C．(18，22] D．(22，42]
√
2
4
3
題號
1
5
6
B　[因為x∈，所以ωx＋∈．
令2cos ＝0，則cos ＝．
因為f (x)＝2cos 在上有2個零點，
所以<，解得22≤ω<42．
則ω的取值范圍為[22，42)，故選B．]
2
4
3
題號
1
5
6
3．已知函數f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為π，若f (x)>2對任意的x∈恒成立，則φ的取值范圍是(　　)
A．
C．
√
2
4
3
題號
1
5
6
D　[因為函數f (x)＝2sin (ωx＋φ)＋1，其圖象與直線y＝3相鄰兩個交點的距離為π，所以函數周期T＝π，ω＝2，
由f (x)>2知sin (2x＋φ)>，
又當x∈時，2x＋φ∈，且|φ|≤，
所以解得≤φ≤．故選D．]
2
4
3
題號
1
5
6
4．(多選)(2024·海南三亞一模)已知函數f (x)＝sin(ω>0)，則下列說法正確的是(　　)
A．若ω＝1，則是f (x)的圖象的對稱中心
B．若f (x)≤f 恒成立，則ω的最小值為2
C．若f (x)在上單調遞增，則0<ω≤
D．若f (x)在上恰有2個零點，則≤ω≤
√
√
√
2
4
3
題號
1
5
6
ABC　[選項A，若ω＝1，
則f ＝sin ＝sin π＝0，
由正弦函數的圖象可知是f (x)的圖象的對稱中心，A說法正確；
選項B，若f (x)≤f 恒成立，則ω×＝＋2kπ(k∈Z)，解得ω＝2＋12k(k∈Z)，
又ω>0，所以ω的最小值為2，B說法正確；
2
4
3
題號
1
5
6
選項C，令g(x)＝ωx＋(ω＞0)，顯然g(x)在上單調遞增，且g(0)＝，
若f (x)在上單調遞增，則g＝ω×，解得ω≤，所以0<ω≤，C說法正確；
選項D，當x∈時，ωx＋∈，
若f (x)在上恰有2個零點，則2π≤2ωπ＋<3π，解得≤ω<，D說法錯誤．故選ABC．]
2
4
3
題號
1
5
6
3或4　[由x∈，得ωx＋∈，
畫出函數y＝sin x的圖象，如圖，
由圖可知，<，解得<ω≤．
因為ω∈N，所以ω＝3或ω＝4．]
5．已知函數f (x)＝sin (ω∈N)在上恰有一個最大值和一個最小值，則ω的取值是________．
3或4
2
4
3
題號
1
5
6
6．(2024·福建廈門二模)已知函數f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)在上單調，f ＝f ＝－f ，則ω的可能取值為_________．
　[設f (x)＝sin (ωx＋φ)(ω>0)的周期為T，函數f (x)在上單調，故T＝≥2＝π，所以0<ω≤2．
由f ＝－f 以及函數f (x)在上單調，得f ＝f ＝0，
由f ＝f ＝，T≥π，得＝T或＝－或＝－，
若＝T，則＝，∴ω＝；若＝－，則＝－，所以ω＝；
若＝－，則＝－，所以ω＝．
故ω的可能取值為．]
2
4
3
題號
1
5
6
THANK YOU

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