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(共32張PPT)
第3天　小題滿分練(三)
第二階段　重點培優　定時訓練
層級二　定時訓練 突破提能
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合M＝，N＝，則(　　)
A．M N　　　　　　　 B．N M
C．M＝N D．M∩N＝
題號
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√
A　[M＝{x|x＝k＋，k∈∈Z}，
N＝＝，
因為2k＋1，k∈Z表示所有的奇數，而k＋2，k∈Z 表示所有的整數，則M N．
故選A．]
題號
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2．已知角α的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，終邊經過點P，則cos ＝(　　)
A．0　　　 B．
C．　　　 D．
題號
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√
B　[由題意可得P，則tan α＝＝，所以α＝＋2kπ，k∈Z，
所以cos ＝cos ＝cos ＝．
故選B．]
題號
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3．等比數列{an}的前n項和為Sn，若Sn＝t·2n-1－1，則t＝(　　)
A．2 B．－2
C．1 D．－1
題號
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√
A　[設等比數列的公比為q，當q＝1時，Sn＝na1，不合題意；
當q≠1時，等比數列前n項和公式Sn＝＝－·qn＋，
依題意Sn＝t·2n-1－1＝t·2n－1 t＋＝0，t＝2．
故選A．]
4．一組數據按從小到大的順序排列為1，4，m，12，14，21，若該組數據的中位數是極差的，則該組數據的第45百分位數是(　　)
A．4 B．6
C．8 D．12
題號
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√
D　[由已知可得極差是21－1＝20，而中位數是極差的，即中位數是12，
根據六個數的中位數是＝12，解得m＝12，
又6×0.45＝2.7，所以第45百分位數是12．故選D．]
5．已知△ABC是邊長為1的正三角形，＝，P是BN上一點且＝m，則＝(　　)
A． B．
C． D．1
題號
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√
A　[∵＝，∴＝，且＝m＝m，
而P，B，N三點共線，
∴m＋＝1，即m＝，
∴＝，
∴＝＝×cos 60°＝．故選A．]
題號
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6．已知復數z滿足＝1，且＝，則z2＝(　　)
A．1 B．－1
C．i D．－i
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√
D　[設z＝a＋bi(a，b∈R)，則由＝1，得a2＋b2＝1，
由＝，得＝，即＝，
所以(a－1)2＋b2＝a2＋(b＋1)2，化簡整理得a＋b＝0，得a＝－b，
所以a2＋b2＋2ab＝0，得2ab＝－1，
所以z2＝(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2＝－i．
故選D．]
題號
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7．已知雙曲線C：＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線右支上運動(不與頂點重合)，設PF1與雙曲線的左支交于點Q，△PQF2的內切圓與QF2相切于點M．若＝4，則雙曲線C的離心率為(　　)
A． B．
C．2 D．
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√
A　[設PF1，PF2分別與內切圓相切于點A，B，
則由雙曲線的定義可得
即
根據內切圓的性質可得＝＝＝，
故兩式相加化簡可得2＝4a，即＝2a＝4，故a＝2．故雙曲線的離心率為＝．故選A．]
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8．已知a，b∈R，定義：min＝設f ＝min，x∈R．若函數y＝f ＋ax有兩個零點，則實數a的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
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√
A　[令函數g(x)＝2x－a－(－x＋6－a)＝2x＋x－6，顯然函數g(x)在R上單調遞增，
而g(2)＝0，則當x<2時，2x－a<－x＋6－a，當x≥2時，2x－a≥－x＋6－a，
于是函數f (x)＝則f (x)＋ax＝
令函數h(x)＝由f (x)＋ax＝0，得h(x)＝－a(x－1)，
因此函數y＝f (x)＋ax的零點，即函數y＝h(x)的圖象與直線y＝－a(x－1)交點的橫坐標，
題號
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當x<2，恒有h(x)>0，在同一坐標系內作出直線y＝－a(x－1)與函數y＝h(x)的圖象，如圖，
觀察圖象知，當－a≥0，即a≤0時，直線y＝－a(x－1)與函數y＝h(x)的圖象只有一個交點，
如圖，直線y＝4過點，它與y＝2x的圖象交于兩點，當x<2時，2x>4，
題號
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當－a≤－1，即a≥1時，直線y＝－a(x－1)與函數y＝h(x)的圖象只有一個交點，
當－1<－a<0，即0所以函數y＝f ＋ax有兩個零點，實數a的取值范圍是．
故選A．]
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二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知是等差數列，Sn是其前n項和，則下列命題為真命題的是(　　)
A．若a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，則a1＋a2＝5
B．若a2＋a13＝4，則S14＝28
C．若S15<0，則S7>S8
D．若和都為遞增數列，則an>0
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√
√
BC　[對于A，由a3＋a4＝9，a7＋a8＝18，
可得＝8d＝9，所以d＝，
又由a1＋a2＝－4d＝9－4×＝，所以A錯誤；
對于B，S14＝＝＝28，所以B正確；
對于C，因為S15＝＝15a8<0，所以a8<0，
又因為S8－S7＝a8<0，則S7>S8，
所以C正確；
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對于D，由為遞增數列，可得公差d>0，
由為遞增數列，可得an＋2an＋1－anan＋1＝an＋1·2d>0，
所以對任意的n≥2，an>0，但a1的正負不確定，所以D錯誤．
故選BC．]
題號
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10．存在函數f 滿足：對于任意的x∈R，都有(　　)
A．f ＝cos 2x
B．f ＝sin x
C．f ＝
D．f ＝
題號
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√
√
AC　[對于A，因為f (sin x)＝cos 2x＝1－2sin2x，
令t＝sinx，所以f (t)＝1－2t2，－1≤t≤1，故A正確；
對于B，f (cos 2x)＝sin x，取x＝和x＝－得，f (0)＝，f (0)＝
－，故B錯誤；
對于C，令t＝x2＋2x，所以|x＋1|＝＝，即f (t)＝(t≥－1)符合題意，故C正確；
對于D，取x＝1，f (2)＝2；取x＝－1，f (2)＝0，故D錯誤．
故選AC．]
題號
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11．如圖，棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1的內切球為球O，E，F分別是棱AD，BB1的中點，G在棱AB上移動，則下列說法正確的是(　　)
A．對于任意點G，OD∥平面EFG
B．直線EF被球O截得的弦長為
C．過直線EF的平面截球O所得的所有截面圓中，
半徑最小的圓的面積為
D．當G為AB的中點時，過E，F，G的平面截該正
方體所得截面的面積為2
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√
√
BC　[對于A，因為G在棱AB上移動，當G與A重合時，平面EFG即平面EFA，
因為D在直線AE上，所以D∈平面EFA，所以OD與平面EFG相交，A說法錯誤；
對于B，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，
題號
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則由題意可得O，E，F，D，
則＝＝
＝＝，
設直線OE與直線EF的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝，
所以sin θ＝＝，
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連接OE，過O作直線EF的垂線，垂足為M，
則在Rt△OEM中，由＝sinθ，解得OM＝，
設直線EF被球O截得弦長為l，則l＝2＝2＝，B說法正確；
對于C，過直線EF的平面截球O所得的所有截面圓半徑最小時，OM垂直于過EF的平面，
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此時圓的半徑r＝＝，圓的面積為S＝π·＝，C說法正確；
對于D，當G為AB中點時，過E，F，G的平面截該正方體所得截面為正六邊形EGFHNP，∠EAG＝90°，
在Rt△EAG中，AG＝AE＝1，所以EG＝＝，
所以截面面積S1＝6××sin 60°＝3，D說法錯誤．
故選BC．]
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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知△ABC內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2a sin B，
bc＝4，則△ABC的面積為________．
題號
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1　[因為b＝2a sin B，由正弦定理可得
sin B＝2sin A sin B，又sin B≠0，
所以sin A＝，則S△ABC＝bc sin A＝×4×＝1．]
1
13．已知隨機事件A，B，若P＝，P＝，P＝，則P＝ ________．
題號
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　[由題意可得，P＝＝，且P＝，則P＝，
又P＝，則P＝1－P＝，且P＝，
故P＝＝＝．]
14．已知函數f ＝e2x-1－e1-2x＋sin ＋1，則不等式f ＋
f ≥2的解集為 ______________．
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　[由已知得，f ＝e1-2x－e2x-1＋sin ＋1＝e1-2x－e2x-1－sin ＋1，
所以f ＋f (1－x)＝2，即f (1－x)＝2－f ，
則不等式f ＋f ≥2等價于f ≥2－f ＝
f (x－1)，
再由f ′＝2e2x-1＋2e1-2x＋cos ≥4
cos ＝4＋cos >0，
可得f 在R上單調遞增，所以2x＋1≥x－1，解得x≥－2．]
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THANK YOU

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