資源簡介

(共73張PPT)
第一階段　突破核心　升華思維
專題一　三角函數與解三角形
培優課3　與解三角形有關的最值、范圍問題
在解三角形中，求解某個量(式子)的取值范圍、最值是高考命題的熱點，解決此類問題的常用的方法主要有函數的性質(如有界性、單調性)、基本不等式、數形結合等．
類型3　求面積的最值(范圍)問題
類型1　求角(函數值)的最值(范圍)問題
（一）
類型2　求邊(周長)的最值(范圍)問題
（二）
（三）
培優專練3　與解三角形有關的最值、范圍問題
（四）
類型1　求角(函數值)的最值(范圍)問題
【典例1】　(1)(2024·福建廈門三模)記銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若2cos C＝，則B的取值范圍是________．
(2)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B．求：
①角C的大小；
②sin A＋sin B＋sin C的取值范圍．
(1)　[因為2cos C＝，
所以2ab cos C＝3b2－a2，
由余弦定理可得2ab cos C＝a2＋b2－c2，
可得b2＝a2－c2，在銳角△ABC中，由余弦定理的推論可得
cos B＝＝＝＝，
因為即即2a2>c2，
所以<，所以cos B＝<＝，所以B∈．]
(2)[解]　①因為cos 2A＋cos 2B－cos 2C＝1－2sin A sin B，
所以1－2sin2A＋1－2sin2B－＝1－2sinA sin B，
整理得sin2A＋sin2B－sin2C＝sinA sin B，
由正弦定理得a2＋b2－c2＝ab，
由余弦定理的推論得cos C＝＝，
因為C∈，所以C＝．
②sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin
＝sin A＋sin cos A－cos sin A＋
＝sin A＋cos A＋＝sin ．
在△ABC中，因為C＝，所以0所以所以所以sin A＋sin B＋sin C的取值范圍為．
三角形中的最值與范圍問題的兩種解決方法
(1)基本不等式法：將所求表達式轉化為邊的形式，利用基本不等式求得最大值或最小值；
(2)函數性質法：將所求表達式轉化為某一個角的函數，結合函數的性質確定所求表達式的范圍．
提醒：注意在銳角△ABC中隱含著：①A＋B＞；
②若A＝，則＜B＜＜C＜．
[跟進訓練]
1．(2024·四川南充二模)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊．已知a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，則sin A的最大值為________．
　[因為a＝2，2sin B＋2sin C＝3sin A，
所以由正弦定理可得b＋c＝3．
由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，
得22＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A，
整理得cos A＝－1．
因為bc≤＝，當且僅當b＝c＝時，等號成立，
所以cos A≥，又sin2A＝1－cos2A，所以sin2A≤，即sinA≤．]
2．(2024·山西太原模擬)鈍角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a cos B＝c sin A，則sin A＋sin B的最大值是________．
　[因為a cos B＝c sin A，由正弦定理得sin A cos B＝sin C sin A，
又因為A∈(0，π)，可得sin A≠0，
所以sin C＝cos B，則C＝－B或C＝＋B．
當C＝－B時，可得A＝，與△ABC是鈍角三角形矛盾，所以C＝＋B，
由得A＝－2B>0，可得0＝sin (B＋C)＋sin B＝cos 2B＋sin B＝－2sin2B＋sinB＋1
＝－2＋，
所以當sin B＝時，sin A＋sin B的最大值為．]
【教師備選資源】
在△ABC中，sin B·sin C·cos A＋2sin A·sin C·cos B＝
3sin A·sin B·cos C，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．
(1)求的值；
(2)求cos C的最小值．
[解]　(1)由已知條件及正弦定理可得，
bc·cos A＋2ac·cos B＝3ab·cos C，
由余弦定理的推論得，
bc·＋2ac·＝3ab·，
化簡得＋a2＋c2－b2＝，
從而得3c2－a2－2b2＝0，即a2＋2b2＝3c2，
∴＝＝3．
(2)由余弦定理的推論得，
cos C＝＝
＝＝＝．
∵在△ABC中a，b均大于0，
∴cos C＝≥2＝，
當且僅當＝，即b2＝2a2時取等號，∴cos C的最小值為．
類型2　求邊(周長)的最值(范圍)問題
【典例2】　(2022·新高考Ⅰ卷)記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知＝．
(1)若C＝，求B；(2)求的最小值．
[解]　(1)因為＝＝＝，即sin B＝cos A cos B－sin A sin B＝cos (A＋B)＝－cos C＝，
而0＜B＜，所以B＝．
(2)由(1)知，sin B＝－cos C＞0，所以＜C＜π，0＜B＜，
而sin B＝－cos C＝sin ，
所以C＝＋B，即有A＝－2B．
所以＝＝
＝＝4cos2B＋－5≥2－5＝4 －5，
當且僅當cos2B＝時取等號，所以的最小值為4－5．
求邊(周長)的最值(范圍)問題一般通過正弦、余弦定理將邊轉化為角的三角函數值，再結合角的范圍求解，有時也可將角轉化為邊，利用基本不等式或函數最值求解．
[跟進訓練]
3．(2024·海南海口一模)在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝3，A＝60°，則b的取值范圍是(　　)
A．(0，6)　　　　　 B．(0，2)
C．(，2) D．(，6)
√
C　[由正弦定理得b＝＝＝2sin B，
又△ABC為銳角三角形，C＝180°－A－B＝120°－B，
所以0°解得30°所以b＝2sin B∈(，2)．
故選C．]
4．(2024·江蘇鹽城模擬)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且△ABC的面積為．
(1)求C；(2)求△ABC周長的最小值．
[解]　(1)由(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，
得a2＋b2＋2ab－c2＝3ab，即a2＋b2－c2＝ab，
則cos C＝＝，由C∈(0，π)，得C＝．
(2)S△ABC＝ab sin C＝ab＝，得ab＝3，
由余弦定理，有c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab，得c＝，
△ABC周長l＝a＋b＋≥2＝2＝3，
當且僅當a＝b＝時取等號，所以△ABC周長的最小值為3．
【教師備選資源】
1．(2022·全國甲卷)已知△ABC中，點D在邊BC上，∠ADB＝120°，AD＝2，CD＝2BD．當取得最小值時，BD＝________．
－1
－1　[設CD＝2BD＝2m>0，
則在△ABD中，AB2＝BD2＋AD2－2BD·AD cos ∠ADB＝m2＋4＋2m，
在△ACD中，AC2＝CD2＋AD2－2CD·AD cos ∠ADC＝4m2＋4－4m，
所以＝＝＝4－
≥4－＝4－2，
當且僅當m＋1＝，即m＝－1時，等號成立，
所以當取最小值時，BD＝m＝－1．]
2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若cos B＝b cos C，且b＝，則△ABC周長的取值范圍為________________．
(2，3]　[因為cos B＝b cos C，由正弦定理可得cos B＝sin B cos C，
所以2sin A cos B＝sin B cos C＋cos B sin C
＝sin ＝sin A，
(2，3]
因為A，B∈，則sin A>0，所以cos B＝，故B＝，由余弦定理可得
3＝b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝－3ac≥－＝，
所以≤12，即a＋c≤2，
當且僅當a＝c＝時，等號成立．
又a＋c>b＝，故2故△ABC周長的取值范圍為(2，3]．]
3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a cos C－asin C＝b．
(1)求角A的大小；
(2)若a＝2，求BC邊上的中線AD長度的最小值．
[解]　(1)因為acos C－asin C＝b，
所以sin Acos C－sin Asin C＝sin B．
因為A＋B＋C＝π，
所以sin A cos C－sin A sin C＝sin (A＋C)＝(sin A cos C＋cos A sin C)，
所以－sin A sin C＝cos A sin C，
因為sin C>0，所以tan A＝－．
因為A∈(0，π)，所以A＝．
(2)在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos ，
所以4＝b2＋c2＋bc，①
即4－bc＝b2＋c2≥2bc，
解得bc≤．
因為AD為BC邊上的中線，所以＝)，
所以||2＝＝)2＝(c2＋b2－bc)，②
由①得b2＋c2＝4－bc，③
代入②得||2＝1－bc≥1－＝，
所以AD≥，AD長度的最小值為．
類型3　求面積的最值(范圍)問題
【典例3】　(1)在△ABC中，A＝，BC邊上的中線AD＝，則△ABC面積的最大值為(　　)
A．2　　　B．　　　C．　　　D．
(2)(2024·山東濟南二模)如圖，在平面四邊形ABCD中，BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°．
①若θ＝120°，AD＝3，求∠ADC的大小；
②若CD＝，求四邊形ABCD面積的最大值．
√
(1)B　[AD為中線，則2＝，
兩邊平方得4＝＋2，
所以4×()2＝b2＋c2＋2bc·cos ，
所以12＝b2＋c2＋bc≥3bc，所以bc≤4，
當且僅當b＝c時取等號，
則S△ABC＝bc sin A＝bc≤．故選B．]
(2)[解]　①在△ABC中，AB＝BC＝，θ＝120°，所以∠BCA＝30°，
由AC2＝()2＋()2－2×＝6，得AC＝．
又BC⊥CD，所以∠ACD＝60°，
在△ADC中，由正弦定理可得＝，
得sin ∠ADC＝，
因為AC②連接BD(圖略)．在Rt△BCD中，BC＝，CD＝，所以BD＝2，∠CBD＝60°．
所以，四邊形ABCD的面積S＝S△BCD＋S△ABD＝×2sin ∠ABD＝＋2sin ∠ABD，
因為∠ABD＝∠ABC－∠CBD＝θ－60°，120°≤θ＜180°，所以60°≤∠ABD＜120°，
所以當∠ABD＝90°，即θ＝150°時，Smax＝＋2，
即四邊形ABCD面積的最大值為＋2．
求三角形面積的最值(范圍)的兩種思路
(1)將三角形面積表示為邊或角的函數，再根據條件求范圍．
(2)若已知三角形的一個內角(不妨設為A)及其對邊，則可根據余弦定理，利用基本不等式求bc的最值從而求出三角形面積的最值．
[跟進訓練]
5．(2024·山東煙臺二模)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，(a2＋b2－c2)＝ab sin C，且c＝1，則△ABC面積的最大值為________．
　[因為(a2＋b2－c2)＝ab sin C，
所以由余弦定理得2ab cos C＝a2＋b2－c2，
得2ab cos C＝ab sin C，所以sin C＝2cos C．
又sin2C＋cos2C＝1，C∈(0，π)，則sinC＝，cos C＝，
由余弦定理以及重要不等式得：
1＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－≥2ab－＝，
即ab≤，當且僅當a＝b＝時等號成立，
所以S△ABC＝ab sin C＝ab≤，
即△ABC面積的最大值為．]
6．(2024·安徽江南十校三模)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2b＋c－2a cos C＝0．
(1)求角A；
(2)射線AB繞A點旋轉90°交線段BC于點E，且AE＝1，求△ABC的面積的最小值．
[解]　(1)∵2b＋c＝2a cos C，
由正弦定理得2sin B＋sin C＝2sin A cos C，
則2sin(A＋C)＋sin C＝2sin A cos C，
即2sin A cos C＋2cos A sin C＋sin C＝2sin A cos C，
則2cos A sin C＋sin C＝0．
∵sin C>0且A∈(0，π)，∴cos A＝－，∴A＝．
(2)如圖，由∠BAC＝和AB⊥AE，可知∠CAE＝＝．
因為S△ABC＝S△AEB＋S△AEC，
所以bc sin ∠BAC＝c·AE·sin ∠BAE＋b·AE·sin ∠CAE，
又因為AE＝1，所以bc sin ＝c sin ＋b sin ，即bc＝c＋b．
又bc＝c＋b≥2＝，
當且僅當c＝b時，等號成立，
所以bc≥，所以S△ABC＝bc sin ∠BAC≥＝，
所以△ABC的面積的最小值為．
【教師備選資源】
已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2c sin ．
(1)求C；
(2)若c＝1，D為△ABC的外接圓上的點，＝，求四邊形ABCD面積的最大值．
[解]　(1)因為b＝2c sin ，
在△ABC中，由正弦定理得，sin B＝2sin C sin ．
又因為sin B＝sin ＝sin ，
所以sin ＝2sin C sin ，
展開得sin A cos C＋cos A sin C＝2sin C，
即sin A cos C－sin C sin A＝0，因為A∈(0，π)，所以sin A≠0，
故cos C＝sin C，即tan C＝．又因為C∈，所以C＝．
(2)法一：如圖1，設△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為R，因為＝，所以＝0，即＝0，所以DA⊥BA，
故BD是⊙O的直徑，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2．
在△ABD中，AD＝＝．
設四邊形ABCD的面積為S，BC＝x，CD＝y，則x2＋y2＝4，
所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋BC·CD
＝xy≤＝＋1，
當且僅當x＝y＝時，等號成立．
所以四邊形ABCD面積的最大值為＋1．
法二：如圖1，設△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為R，在上的投影為λ||，所以＝λ．
又＝＝，所以λ＝1，
所以在上的投影為||，所以DA⊥BA．
故BD是⊙O的直徑，所以BC⊥CD．
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，所以BD＝2，
在△ABD中，AD＝＝．
設四邊形ABCD的面積為S，∠CBD＝θ，θ∈，
則CB＝2cos θ，CD＝2sin θ，
所以S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD＋CB·CD＝＋sin 2θ，
當2θ＝時，S最大，所以四邊形ABCD面積的最大值為＋1．
法三：設△ABC的外接圓的圓心為O，半徑為R，
在△ABC中，c＝1，2R＝＝＝2，
故△ABC外接圓⊙O的半徑R＝1．
即OA＝OB＝AB＝1，所以∠AOB＝．
如圖2，以△ABC外接圓的圓心為原點，
OB所在直線為x軸，建立平面直角坐標系Oxy，
則A，B(1，0)．
因為C，D為單位圓上的點，設C(cos α，sin α)，D(cos β，sin β)，
其中α∈，β∈．
所以＝＝(cos β－1，sin β)，
代入＝，即＝1，
可得－cos β＋sin β＝1，即sin ＝．
由β∈可知β－∈，
所以解得β－＝或β－＝，即β＝或β＝π．
當β＝時，A，D重合，舍去；當β＝π時，BD是⊙O的直徑．
設四邊形ABCD的面積為S，
則S＝S△ABD＋S△CBD＝BD·BD·＝，
由α∈知≤1，所以當α＝時，
即C的坐標為時，S最大，
所以四邊形ABCD面積的最大值為＋1．
1．在△ABC中，AC＝2，BC＝4，則B的最大值為(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
培優專練3　與解三角形有關的最值、范圍問題
A　[設AB＝x，x>0，由余弦定理的推論可得
cos B＝＝＝≥2＝，當且僅當x＝2時，等號成立．因為02．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a sin ＝
b sin A，b＝1，則△ABC面積的最大值為(　　)
A．
C．
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
B　[由正弦定理得sin A sin ＝sin B sin A，
∴sin A sin ＝sin A cos ＝2sin cos sin A，
∵A∈(0，π)，∈，∴sin A≠0，cos ≠0，
∴sin ＝，∴＝，解得B＝．
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac＝1，
∵a2＋c2≥2ac(當且僅當a＝c時取等號)，
∴1≥2ac－ac＝ac，∴(S△ABC)max＝×1×＝．故選B．]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
3．(2024·江蘇連云港模擬)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a＝1，b cos A＝1＋cos B，則邊b的取值范圍為(　　)
A．(0，1) B．(1，2)
C．(0，2) D．(2，3)
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
B　[由a＝1，b cos A＝1＋cos B，得b cos A＝a＋a cos B，
由正弦定理可得sin B cos A＝sin A＋sin A cos B，即sin B cos A－sin A cos B
＝sin A，
所以sin (B－A)＝sin A，所以B－A＝A或B－A＋A＝π(舍去)，所以B＝2A，
由正弦定理得，b＝＝＝2cos A，
而0題號
1
3
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2
4
6
8
7
9
10
4．(2024·黑龍江哈爾濱三模)已知△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且a＝，BC邊上的中線AD長為1，則bc的最大值為
(　　)
A．
C．D．2
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
A　[由題意得∠ADB＋∠ADC＝π，
所以cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，又a＝，且D是BC的中點，所以DB＝DC＝，
在△ABD中，cos ∠ADB＝＝，在△ADC中，cos ∠ADC＝＝，
所以cos ∠ADC＋cos ∠ADB＝＝0，
即b2＋c2＝，得2bc≤b2＋c2＝ bc≤，當且僅當b＝c＝時取等號．故選A．]
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
5．(多選)(2024·貴州黔南二模)已知銳角三角形ABC的三個內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，且△ABC的面積為(a2＋c2－b2)，則下列說法中正確的是(　　)
A．B＝
B．A的取值范圍為
C．若b＝，則△ABC的外接圓的半徑為2
D．若a＝，則△ABC的面積的取值范圍為
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
√
√
ABD　[對于A，由題意可得ac sin B＝(a2＋c2－b2)，由余弦定理可得a2＋c2－b2＝2ac cos B，
即有ac sin B＝×2ac cos B＝ac cos B，
即sin B＝cos B，
故tan B＝，由B∈，得B＝，故A正確；
對于B，由A∈，C＝π－A－B＝π－A∈，解得A∈，故B正確；
題號
1
3
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2
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6
8
7
9
10
對于C，由正弦定理可得2R＝＝＝2，即R＝1，故C錯誤；
對于D，若a＝，則S＝ac sin B＝c×＝，
由正弦定理可得＝，即c＝·sin C＝，
即S＝＝＝＝＝，
由A∈，則tan A∈，
故S∈，故D正確．故選ABD．]
題號
1
3
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2
4
6
8
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9
10
6．(多選)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，S為△ABC的面積，且a＝2，＝2S，則下列說法中正確的是
(　　)
A．A＝
B．若b＝2，則△ABC只有一解
C．若△ABC為銳角三角形，則b的取值范圍是(2，4]
D．若D為BC邊的中點，則AD的最大值為2＋
題號
1
3
5
2
4
6
8
7
9
10
√
√
√
ABD　[對于A，因為＝2S，所以bc cos A＝2bc sin A，則tan A＝，
因為A∈(0，π)，所以A＝，故A正確；
對于B，因為b＝2＝a，則B＝A＝，C＝，故△ABC只有一解，故B正確；
題號
1
3
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10
對于C，若△ABC為銳角三角形，則B∈，C∈，
則則即sin B∈，由正弦定理可知b＝＝4sin B∈(2，4)，故C錯誤；
對于D，若D為BC邊的中點，則＝)，所以＝＋2)＝(b2＋c2＋bc)，
題號
1
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10
由余弦定理知a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc＝4，得b2＋c2＝bc＋4，
又b2＋c2＝bc＋4≥2bc，所以bc≤＝4＋8，當且僅當b＝c＝時取等號，
所以＝(b2＋c2＋bc)＝(4＋2bc)≤＝7＋4，
即AD≤＝2＋，故D正確．故選ABD．]
題號
1
3
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2
4
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10
　[依題意，CD＝BD＝2，AD＝4，如圖．
在△ABD中，由余弦定理得，
AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD cos ∠ADB
＝20－16cos ∠ADB，
7．已知在△ABC中，AD為BC邊上的中線，且BD＝2，AD＝4，則cos ∠BAC的最小值為________．
題號
1
3
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2
4
6
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10
在△ACD中，由余弦定理得，
AC 2＝AD2＋CD2－2AD·CD cos ∠ADC
＝20－16cos ∠ADC，
而∠ADB＋∠ADC＝π，即cos ∠ADB＋cos ∠ADC＝0，兩式相加得AB2＋
AC 2＝40，
于是2AB·AC≤AB2＋AC 2＝40，當且僅當AB＝AC＝2時取等號．
在△ABC中，
cos ∠BAC＝＝＝，所以cos ∠BAC的最小值為．]
題號
1
3
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2
4
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10
8．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________．
題號
1
3
5
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4
6
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9　[因為∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，
所以∠ABD＝∠CBD＝60°，
由三角形的面積公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，
化簡得ac＝a＋c，
又a>0，c>0，所以＝1，
則4a＋c＝(4a＋c)＝5＋≥5＋2＝9，
當且僅當c＝2a＝3時取等號，
故4a＋c的最小值為9．]
題號
1
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7
9
10
9．(2024·遼寧沈陽一模)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，滿足b(b＋a)＝c2．
(1)求證：C＝2B；
(2)若△ABC為銳角三角形，求2sin C＋cos B－sin B的最大值．
題號
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[解]　(1)證明：因為b(b＋a)＝c2，即c2＝b2＋ab，由余弦定理c2＝b2＋a2－2ab cos C，
得ab＝a2－2ab cos C，即b＝a－2b cos C，
所以sin B＝sin A－2sin B cos C，
又sin A＝sin (π－B－C)＝sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C，
所以sin B＝sin B cos C＋cos B sin C－2sin B cos C＝cos B sin C－
sin B cos C＝sin (C－B)，
又B，C∈(0，π)，所以B＝C－B或B＋C－B＝π(舍)，所以C＝2B，命題得證．
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(2)由(1)知C＝2B，所以2sin C＋cos B－sin B＝2sin 2B＋cos B－sin B，
令t＝cos B－sin B＝sin ，
又因為△ABC為銳角三角形，所以
得到題號
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又sin ＝sin ＝sin cos －cos sin ＝，
所以t∈，
又sin 2B＝1－(cos B－sin B)2＝1－t2，
所以2sin C＋cos B－sin B＝2(1－t2)＋t＝－2t2＋t＋2＝－2＋，所以當t＝時，2sin C＋cos B－sin B取到最大值為．
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10．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB＝AD＝20，∠BAD＝，∠BCD＝．
(1)若∠ABC＝，求BC的長；
(2)求四邊形ABCD周長的最大值．
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[解]　(1)連接BD．
因為AB＝AD＝20，∠BAD＝，
故△ABD為等邊三角形，所以BD＝20，
所以∠CBD＝∠ABC－∠ABD＝＝，
則∠BDC＝π－∠BCD－∠CBD＝，
由正弦定理得＝，
所以BC＝＝．
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(2)在△BCD中，由余弦定理可得400＝BD2＝BC2＋CD2－2BC·CD cos ＝BC2＋CD2＋BC·CD＝(BC＋CD)2－BC·CD≥(BC＋CD)2－＝，
所以BC＋CD≤，當且僅當BC＝CD＝時，等號成立．
因此，四邊形ABCD周長的最大值為40＋．
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