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(共33張PPT)
第4天　小題滿分練(四)
第二階段　重點培優　定時訓練
層級二　定時訓練 突破提能
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合A＝，則A∩B＝
(　　)
A．　　 　　 B．
C． D．
題號
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√
B　[依題意，B＝{x|2x<4}＝{x|x<2}，而A＝，所以A∩B＝．故選B．]
2．設向量a＝，若a∥b，則實數k的值為(　　)
A．－2　　　 B．－1
C．2　　　 D．1
題號
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√
D　[因為a∥b，故k2－2＝0，解得k＝1．
故選D．]
3．已知點A為拋物線x2＝2py上一點，且點A到拋物線的焦點F的距離為3，則p＝(　　)
A． B．1
C．2 D．4
題號
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√
C　[因為拋物線方程為x2＝2py，
則其焦點在y軸正半軸上，焦點坐標為，
由于點A為拋物線x2＝2py上一點，且點A到拋物線的焦點F的距離為3，
所以點A到拋物線的焦點F的距離為＝3，解得p＝2．
故選C．]
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4．在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的(　　)
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
題號
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√
B　[若sin A＝cos B，則A＋B＝或A－B＝，即C＝或A－B＝，
所以在△ABC中，“sin A＝cos B”不是“C＝”的充分條件．
若C＝，則A＋B＝，則sin A＝sin ＝cos B，
所以在△ABC中，“sin A＝cos B”是“C＝”的必要不充分條件．
故選B．]
題號
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5．過點E向圓M：＝2作兩條切線，切點分別為A，B，若∠AEB＝，則(　　)
A．a＝2或a＝－1 　 B．a＝－2或a＝1
C．a＝－3或a＝1 　　 D．a＝3或a＝－1
題號
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√
D [圓M：＝2的圓心M(1，1)，半徑r＝，連接AM，ME，
依題意，AM⊥AE，∠AEM＝∠AEB＝，
則|EM|＝2|AM|＝2，于是
，整理得a2－2a－3＝0，所以a＝3或a＝－1．
故選D．]
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6．若函數f (x)＝1＋lg x的值域為(　　)
A． B．
C． D．
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√
上單調遞增，f (x)∈[0，3]，
令t＝[f (x)]2－f (x2)＝[f (x)]2－1－2lg x＝[f (x)]2－2f (x)＋1＝[f (x)－1]2∈[0，4]，
而函數y＝2t在[0，4]上單調遞增，則1≤2t≤16，
所以函數F(x)＝．故選D．]
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7．隨著我國鐵路的發展，列車的正點率有了顯著的提高．據統計，途經某車站的只有和諧號和復興號列車，且和諧號列車的列次為復興號列車的列次的2倍，和諧號的正點率為0.98，復興號的正點率為0.99，今有一列車未正點到達該站，則該列車為和諧號的概率為
(　　)
A．0.2 B．0.5
C．0.6 D．0.8
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√
D　[令事件A：經過的列車為和諧號；事件B：經過的列車為復興號；事件C：列車未正點到達，
則P(A)＝，P(B)＝＝0.02＝＝0.01＝，
于是P(C)＝P(A)P(C|A)＋P(B)P(C|B)＝，
所以該列車為和諧號的概率為P＝0.8．故選D．]
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8．已知正三棱臺的上、下底面邊長分別為2，體積為42，則該正三棱臺的外接球表面積為(　　)
A．20π 　　 B．π
C．80π 　　 D．π
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√
C　[令給定的正三棱臺為正三棱臺ABC-A1B1C1，
A1B1＝2，
令△A1B1C1，△ABC的中心分別為O1，O2，
而2＝3，
S△ABC＝2＝12，
則V＝·O1O2＝42，解得O1O2＝6．
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△A1B1C1的外接圓半徑r1＝2＝2，△ABC的外接圓半徑r＝4，
顯然正三棱臺的外接球球心O在直線O1O2上，設外接球半徑為R，OO1＝x，則|OO2|＝|6－x|，
因此R2＝x2＋22＝(6－x)2＋42，解得x＝4，R2＝20，
所以該正三棱臺的外接球表面積S＝4πR2＝80π．
故選C．]
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二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知復數z1，z2，z3滿足＋i，若z1在復平面內對應的點在第四象限，則以下結論正確的為(　　)
A． 　　 B．2z1＋z2∈R
C．z1z2＝2＋2i 　　 D．i
題號
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√
√
BC　[設復數z1，z2，z3在復平面內對應的點分別為Z1，Z2，Z3，O為坐標原點，
則復數z1，z2，z3在復平面內對應的向量為，且＝2，，
所以四邊形OZ1Z3Z2為菱形，且∠Z1OZ3＝，
又OZ3與x軸正半軸所成的角為，
所以OZ1與x軸正半軸所成的角為，所以Z1與Z3關于x軸對稱，
所以z1＝－i，則z2＝2i，所以2z1＋z2＝2∈R，故B正確；
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因為z1－z2＝－i－2i＝－3i，所以，故A錯誤；
z1z2＝2ii，故C正確；
i，故D錯誤．故選BC．]
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10．已知函數g(x)＝sin (ωx＋φ)(0<ω<4，0<φ<π)為偶函數，將g(x)的圖象向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標變為原來的(縱坐標不變)，得到函數f (x)的圖象，若f (x)的圖象過點，則(　　)
A．函數f (x)的最小正周期為1
B．函數f (x)圖象的一條對稱軸為直線x＝
C．函數f (x)在上單調遞減
D．函數f (x)在(0，π)上恰有5個零點
題號
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√
√
AC　[由函數g(x)為偶函數，得φ＝＋kπ，k∈Z，而0<φ<π，則φ＝，
因此f (x)＝sin ＝cos ，f (0)＝cos ，
由0<ω<4，得0<<，于是，解得ω＝π，則f (x)＝cos ．
對于A，函數f (x)的最小正周期為T＝＝1，A正確；
對于B，f ＝cos ≠±1，函數f (x)圖象不關于直線x＝對稱，B錯誤；
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對于C，當1因此函數f (x)在上單調遞減，C正確；
對于D，由f (x)＝0，得2πx＋＝kπ＋，k∈Z，解得x＝，k∈Z，
由0<<π，k∈Z，解得k∈{0，1，2，3，4，5}，因此函數f (x)在(0，π)上恰有6個零點，D錯誤．故選AC．]
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11．已知函數f 若a>b>0，且ab≥1，則下列關系式一定成立的為(　　)
A．f
B．f
C．f
D．f 題號
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√
√
√
ACD　[對于A，若a>b>0，且ab≥1，
則(i)當a＞1>b>0時，有ab＞1，
則f (ab)＝ln ab＝b ln a，bf (a)＝b ln a，所以f (ab)＝bf (a)．
(ⅱ)當a＞b≥1時，ab＞1，f (ab)＝ln ab＝b ln a，bf (a)＝b ln a，
所以f (ab)＝bf (a)，故A正確；
對于B，舉反例：當a＝e，b＝時，
則f (ab)＝f (1)＝0，f (a)＋f (b)＝f ＝1＋0＝1，
此時f (ab)≠f (a)＋f (b)，故B不正確；
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對于C，若a>b>0，且ab≥1，則有：
(ⅰ)當a＞1>b>0時，有>1，
則f (a)－f (b)＝ln a－0＝ln a，f ＝ln ＝ln a－ln b，且ln b<0，
所以f ＞f (a)－f (b)．
(ⅱ)當a>b≥1時，有＞1，則f (a)－f (b)＝ln a－ln b＝ln ，則f ＝f (a)－f (b)．
綜上所述：f ≥f (a)－f (b)，故C正確；
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對于D，若x1≤x2，則f (x1)≤f (x2)．若a>b>0，且ab≥1，分類討論．
(ⅰ)當a＞1>b>0時，有a＋b>1，
從而f (a＋b)＝ln (a＋b)則f (a＋b)＜f (a)＋f (b)＋ln 2．
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(ⅱ)當a>b≥1時，則f (a＋b)＝ln (a＋b)，f (a)＋f (b)＋ln 2＝ln a＋
ln b＋ln 2＝ln (2ab)，
因為2ab－(a＋b)＝ab－a＋ab－b＝a(b－1)＋b(a－1)＞0，
則2ab＞a＋b，從而f (a＋b)＜f (a)＋f (b)＋ln 2．
綜上所述：f (a＋b)＜f (a)＋f (b)＋ln 2，故D正確．故選ACD．]
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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知變量x與y的10對觀測數據為(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)，
則變量x的平均值＝________；x10＝________．
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＝10，
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13．已知α，β∈，sin (2α＋β)＝2sin β，tan α＝，則tan (α＋β)＝ ________．
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2　[由sin (2α＋β)＝2sin β，得sin [(α＋β)＋α]＝2sin[(α＋β)－α]，
即sin (α＋β)cos α＋cos (α＋β)sin α＝2sin (α＋β)cos α－2cos (α＋β)sin α，
2
整理得sin (α＋β)cos α＝3cos (α＋β)sin α，由α，β∈，得α＋β∈，
則cos α>0，sin (α＋β)>0，cos (α＋β)≠0，于是，又tan α＝，
所以tan (α＋β)＝3tan α＝2．]
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14．已知各項均為正數的數列的前n項和為Sn，a1＝1，a3＝2，且anan＋2＝an＋1an＋3，則S16的最小值為____________．
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12＋8　[由anan＋2＝an＋1an＋3，得an＋1an＋3＝an＋2an＋4，則an＋4＝an，
即數列是以4為周期的周期數列，而a1＝1，a3＝2，則a2a4＝a1a3＝2，
因此S16＝4(a1＋a2＋a3＋a4)＝12＋4(a2＋a4)≥12＋8，
當且僅當a2＝a4＝時取等號，
所以S16的最小值為12＋8．]
12＋8
THANK YOU

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