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(共29張PPT)
第8天　小題滿分練(八)
第二階段　重點培優　定時訓練
層級二　定時訓練 突破提能
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知復數z＝表示z的共軛復數，則＝(　　)
A．　　　 B．
C．　　　 D．
題號
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√
C　[z＝＝＝＝－i，因此＝－i，
所以||＝＝．故選C．]
題號
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2．將函數f (x)＝sin (ω>0)的圖象向右平移個單位長度后與函數g(x)＝cos ωx的圖象重合，則ω的最小值為(　　)
A．7 B．5
C．9 D．11
題號
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√
D　[y＝f ＝sin ＝sin ，
cos ωx＝sin ，
由題可知，－ω＋＝2kπ＋，k∈Z，解得ω＝－12k－1，k∈Z，
又ω>0，∴當k＝－1時，ω取得最小值11．故選D．]
題號
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3．已知等差數列的前n項和為Sn，公差為d，且是遞增數列．若a5＝5，則d的取值范圍是(　　)
A． B．
C． D．
題號
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√
A　[因為為等差數列，且a5＝5，所以an＝5＋d，
又數列為遞增數列，所以從第2項開始，各項均為正數．
由a2＝5＋d>0，得d<．
因為an>0恒成立，所以數列為常數數列或遞增數列，所以d≥0．
綜上，d∈．故選A．]
題號
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4．已知函數f (x)＝logax(a>0，且a≠1)與g(x)的圖象關于直線y＝x對稱，且g(－1)＝，則函數y＝loga的單調遞減區間是(　　)
A．(－∞，1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，0) D．(2，＋∞)
題號
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√
C　[因為函數f (x)＝logax(a>0，且a≠1)與g(x)的圖象關于直線y＝x對稱，
所以g(x)＝ax(a>0，a≠1)，
因為g(－1)＝，所以＝a-1，解得a＝3．
所以y＝loga＝log3，
由x2－2x>0，可得y＝log3的定義域為，
令t＝x2－2x，則t＝x2－2x在上單調遞減，
而y＝log3t在定義域單調遞增，
由復合函數的單調性可知，y＝log3在上單調遞減．
故選C．]
題號
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5．為了解高中學生每天的體育活動時間，某市教育部門隨機抽取
1 000名高中學生進行調查，把每天進行體育活動的時間按照時長(單位：min)分成6組：，然后對統計數據進行整理，得到如圖所示的頻率分布直方圖，則可估計這1 000名學生每天體育活動時間的第25百分位數為(　　)
A．47.5 B．45.5
C．43.5 D．42.5
題號
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√
A　[第25百分位數設為x，而0.1<0.25<0.1＋0.2，則所求百分位數在第二組，
則可列方程0.1＋0.02(x－40)＝0.25，解得x＝47.5．
故選A．]
題號
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6．在三棱錐P-ABC中，PA＝PB，CP＝4，BA＝BC＝2，∠ABC＝，則三棱錐P-ABC的體積的最大值為(　　)
A．1 B．2
C．6 D．12
題號
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√
B　[如圖，因為BA＝BC＝2，∠ABC＝，
由余弦定理得，AC2＝4＋4－2×2×2×cos ＝12，
所以AC＝2，設△ABC外接圓的圓心為D，
則半徑CD＝＝＝2，
如圖，當點P在三棱錐P-ABC的外接球的頂端時，且PD⊥平面ABC，
點P到平面ABC的距離PD最大，
又CP＝4，所以PD＝＝2，
S△ABC＝×2×2×sin ＝，
所以三棱錐P-ABC的體積的最大值為S△ABC·PD＝×2＝2．故選B．]
題號
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7．已知a＝ln ，b＝cos ，c＝，則a，b，c的大小關系為(　　)
A．a>b>c B．b>c>a
C．c>b>a D．c>a>b
題號
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√
B　[由ln ≤x，當x＝0時等號成立，知acos ＝>，∴c8．橢圓＝1的離心率記為e1，雙曲線＝1的離心率記為e2，若＝2，則雙曲線的漸近線方程為(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±2x
題號
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√
A　[由題意知雙曲線的漸近線方程為y＝±x，
記橢圓和雙曲線的半焦距分別為c1，c2，因為＝2，
則－4×＝＝－4×＝＋1－4＝2，
令＝k，則＋1－4(1－k)＝2，
解得k＝，k＝1(舍去)，故＝，所以雙曲線的漸近線方程為y＝±x．
故選A．]
題號
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二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．甲在一次面試中，7位考官給他的打分分別為61，83，84，87，90，91，92，則下列說法正確的有(　　)
A．去掉一個最低分和一個最高分后，分數的平均數會變小
B．去掉一個最低分和一個最高分后，分數的方差會變小
C．這7個分數的平均數小于中位數
D．這7個分數的第70百分位數為87
題號
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√
√
BC　[對于A，7個數的平均數是＝84，
去掉最高分和最低分后的平均數是＝87，平均數變大，故A錯誤；
對于B，去掉最高分和最低分，波動變小了，所以方差會變小，故B正確；
對于C，這7個數的中位數是87，84<87，故C正確；
對于D，7×70%＝4.9，所以這7個數的第70百分位數是第5個數字90，故D錯誤．故選BC．]
題號
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10．已知函數f ＝，則(　　)
A．當x<0時，f >0
B．f 在上單調遞增
C．f 的極大值為1
D．f 的極大值為
題號
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√
√
AC　[對于A，當x<0時，ex>0，2x－1<0，x－1<0，所以f ＝>0，所以A正確；對于BCD，由f ＝，得f ′＝，
由f ′>0，得x<0或x>，由f ′<0，得0所以f 在上單調遞增，在上單調遞減，
所以f 的極大值為f ＝1，極小值為f ＝＝，
所以BD錯誤，C正確．故選AC．]
題號
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11．如圖，已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為2，E，F，G分別為AD，AB，B1C1的中點，以下說法正確的是(　　)
A．三棱錐C1-EFG的體積為
B．A1C⊥平面EFG
C．BC1∥平面EFG
D．二面角G-EF-C的余弦值為
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√
√
√
ABC　[如圖，分別以DA，DC，DD1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(2，0，0)，C(0，2，0)，D1(0，0，2)，B(2，2，0)，C1(0，2，2)，B1(2，2，2)，A1(2，0，2)，
因為E，F，G分別為AD，AB，B1C1的中點，
則E(1，0，0)，F(2，1，0)，G(1，2，2)，
＝(1，1，0)，＝(0，2，2)，＝(－2，0，2)，
易知＝－2，所以共面，
又BC1 平面EFG，所以BC1∥平面EFG，C正確；
題號
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VC1－EFG＝VB－EFG＝VG－BEF＝S△BEF·BB1＝×1×1×2＝，A正確；
＝(－2，2，－2)，＝－2＋2＋0＝0，同理＝0，所以是平面EFG的一個法向量，即A1C⊥平面EFG，B正確；
平面CEF的一個法向量是n＝(0，0，1)，
cos 〈，n〉＝＝＝－，因此二面角G-EF-C的余弦值為，D錯誤．故選ABC．]
題號
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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知集合A＝，B＝，若1∈A∩B，則A∪B的子集的個數為________．
題號
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8　[由1∈A∩B可知，1∈B，可得1－3＋m＝0，解得m＝2，
所以B＝＝{x|(x－1)(x－2)＝0}，即B＝{1，2}．
A＝＝{x∈N|3-1<3x+1<33}＝{x∈N|－2所以A∪B＝，則A∪B的子集的個數為23＝8．]
8
13．在△ABC中，角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，D是AB的三等分點(靠近點A)且CD＝1，sin A＝，則a＋2b的最大值為________ ．
題號
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2　[由(a－b)sin A＝(c＋b)(sin C－sin B)及正弦定理得(a－b)a＝(c＋b)(c－b)，
整理得a2＋b2－c2＝ab＝2ab cos C，
所以cos C＝．因為02
因為點D是邊AB靠近點A的三等分點，
則＝＝＝＝，
即＝，
兩邊同時平方得＝＋＋，
即1＝b2＋a2＋ab cos ∠ACB，
整理得a2＋4b2＋2ab＝9，即(a＋2b)2＝9＋a×2b≤＋9，
解得a＋2b≤2，當且僅當a＝2b＝時取等號，
所以a＋2b的最大值是2．]
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14．已知F1，F2分別為橢圓C：＝1的左、右焦點，過點P的直線l交橢圓C于A，B兩點，若＝2＝3，則橢圓C的離心率為________．
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　[由＝2，得A為線段PB的中點，且點P在橢圓外，所以3c>a，
則e>，又P，所以F2為線段PF1的中點，所以AF2∥BF1，
設＝m，則＝2m，
又＝3，所以＝3m，
由橢圓的定義可知，2a＝＝2m＋3m＝5m，得m＝a．
如圖，延長BF1交橢圓C于點Q，連接QF2，則由橢圓的對稱性可知，
＝＝m，又2a＝，故＝4m，由余弦定理的推論可得cos ∠QBF2＝＝＝，
在△BF1F2中，＝2c，由余弦定理可得4c2＝4m2＋9m2－2×2m×3m×＝m2，
即c2＝m2＝a2＝a2，
所以橢圓C的離心率為e＝＝＝>．]
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THANK YOU

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