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(共32張PPT)
第7天　小題滿分練(七)
第二階段　重點培優　定時訓練
層級二　定時訓練 突破提能
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．若拋物線y2＝ax的焦點坐標為，則實數a的值為(　　)
A．－2　　　 B．2
C．－4　　　 D．4
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√
D　[由題意拋物線y2＝ax的焦點坐標為，則＝1，解得a＝4．故選D．]
2．設z＝，則＝(　　)
A．1－2i B．1＋2i
C．2－i D．2＋i
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√
B　[由題意可得z＝＝＝＝＝1－2i，
則＝1＋2i．故選B．]
3．已知三個單位向量a，b，c滿足a＝b＋c，則向量b，c的夾角為(　　)
A． B．
C． D．
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√
C　[a2＝b2＋c2＋2b·c，即1＝1＋1＋2b·c，
∴b·c＝－，即1×1×cos 〈b，c〉＝－，則cos 〈b，c〉＝－，
∵〈b，c〉∈，∴b，c的夾角為，故選C．]
4．如圖，一組數據x1，x2，x3，…，x9，x10的平均數為5，方差為，去除x9，x10這兩個數據后，所得數據的平均數為，方差為，則(　　)
A． 　　
B．
C．＝ 　　
D．＝
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√
∵x9，x10是波幅最大的兩個點的值，則去除x9，x10這兩個數據后，整體波動性減小，故．故選D．]
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5．已知m，n，l是空間中三條互不重合的直線，α，β是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是(　　)
A．若m⊥α，m⊥n，則n∥α
B．若m∥n且m⊥α，則n⊥α
C．若m∥α，m⊥n，則n⊥α
D．若α∥β，l α，n β，則l∥n
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√
B　[對于A，若m⊥α，m⊥n，則n∥α或n α，故錯誤；
對于B，若m∥n且m⊥α，則n⊥α，故正確；
對于C，若m∥α，m⊥n，則n α或n∥α或n與α相交，故錯誤；
對于D，若α∥β，l α，n β，則l∥n或l與n異面，故錯誤．
故選B．]
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6．已知角α，β均在內，cos α＝，sin ＝，則角β的值為(　　)
A． B．
C． D．
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√
C　[因為α，β∈，且cos α＝，所以sin α＝＝，
因為sin＝，所以sin α>sin (α＋β)，所以α＋β為鈍角，
所以cos ＝－＝－，
則cosβ＝cos ＝cos cos α＋sinsin α＝
－＝，且β∈，則β＝．故選C．]
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7．已知橢圓C：＝1的兩個焦點分別為F1，F2，P是C上任意一點，則下列說法不正確的是(　　)
A．C的離心率為
B．的最小值為2
C．的最大值為16
D．存在點P，使得∠F1PF2＝65°
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√
D　[橢圓C：＝1的長半軸長a＝4，短半軸長b＝2，半焦距c＝＝2．
對于A，C的離心率e＝＝，A正確；
對于B，由得a－c≤|PF1|≤a＋c，
因此|PF1|min＝a－c＝2，B正確；
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對于C，|PF1|·|PF2|≤＝a2＝16，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝4時取等號，C正確；
對于D，當P不在x軸上時，cos ∠F1PF2＝＝－1
＝－1≥－1＝，當且僅當|PF1|＝|PF2|＝4時取等號，
當P在x軸上時，cos ∠F1PF2＝1，上述不等式成立，因此∠F1PF2最大值為60°，D錯誤．故選D．]
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D　[作出如圖所示正四棱臺，其中OO1為正四棱臺的高，EE1為其斜高，
因為正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側棱長為3，
則B1O1＝，BO＝4，OO1＝＝3，
8．已知一個正四棱臺的上、下底面邊長分別為2，8，側棱長為3，則該正四棱臺內半徑最大的球的表面積為(　　)
A．12π B．27π
C． D．
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√
因為OO1＝3>＝5，故半徑最大的球不與上下底面同時相切，
EE1＝＝6，則sin ∠OEE1＝＝，則∠OEE1＝，
過O，E，E1，O1作正四棱臺的截面，截球得大圓，則該圓與等腰梯形兩腰和下底相切，則∠O2EO＝，
則OO2＝＝<＝，則更確定最大內切球與四側面及下底面相切，
即該正四棱臺內半徑最大的球半徑r＝，
球的表面積為S＝4πr2＝π．故選D．]
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二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．甲、乙、丙、丁四名旅游愛好者計劃2025年暑期在北京、上海、廣州三個城市中隨機選擇一個去旅游，每個城市至少有一人選擇．事件M為“甲選擇北京”，事件N為“乙選擇上海”，則下列結論正確的是(　　)
A．事件M與N互斥 　　 B．P＝P
C．P＝ 　　 D．P＝
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√
√
BC　[對于A，甲選擇北京與乙選擇上海可能會同時發生，即事件M與N會同時發生，不互斥，A錯誤；
對于B，由題意知共有事件個數＝36，事件M與N的個數均為＝12，
故P(M)＝P(N)＝＝，P(MN)＝＝，
則P＝＝，P＝＝，即P＝P，B正確；
對于C，P＝1－P＝1－＝，C正確；
對于D，P＝P(M)＋P(N)－P(MN)＝＝，D錯誤．
故選BC．]
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10．已知函數f ＝2sin ＋3，則下列說法正確的是(　　)
A．f 的值域為
B．f 的對稱中心為，k∈Z
C．f 在上的單調遞增區間為
D．f 在上的極值點個數為1
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√
√
√
ACD　[對于A，因為2sin∈，所以f ＝2sin＋3∈，故A正確；
對于B，f ＝2sin＋3＝3≠0，k∈Z，故B錯誤；
對于C，x∈時，t＝2x－∈，且t關于x單調遞增，
又y＝2sin t＋3在t∈時單調遞增，
令2x1－＝－，2x2－＝，解得x1＝0，x2＝，
所以f 在上的單調遞增區間為，故C正確；
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對于D，x∈時，t＝2x－∈，
y＝2sin t＋3在t∈時，當且僅當t＝2x－＝，即x＝時，函數f 有唯一極值點，故D正確．
故選ACD．]
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11．已知2a＝，log2b＝，則(　　)
A．a＋2a＝b＋2－b 　　 B．a＋b＝2b＋2－a
C． 　 D．
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√
√
AD　[對A，由圖可知，y＝2x與y＝的圖象的交點A，
y＝log2x與y＝的圖象的交點B(b>1)，
根據指數函數與對數函數為一對反函數知A，B關于y＝x對稱，
故a＋2a＝b＋2－b，故A正確；
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對B，由選項A知a＋b＝2－b＋2a，故B錯誤；
對C，由a＝2－b知2b＝，則2b＋1＝＋1，
設f ＝ex－x－1，x∈R，
則f ′＝ex－1，則當x∈時，f ′<0，此時f 單調遞減；
當x∈時，f ′>0，此時f 單調遞增，
則f ≥f ＝0，則ex－x－1≥0恒成立，即x＋1≤ex，當x＝0時取等號．
令x＝，則有，因為≠0，則，即，故C錯誤；
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對D，設h＝ln x＋1－x，x∈，
則h′＝，
則當x∈時，h′(x)>0，此時h(x)單調遞增；
當x∈時，h′(x)<0，此時h(x)單調遞減，
則h≤h＝0，即ln x＋1－x≤0在上恒成立，
即ln x≤x－1在上恒成立，當x＝1時取等號，
令x＝，則ln －1，即ln b≥1－，因為b>1，則ln b>1－，則，
故2a ＝，故D正確．故選AD．]
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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．若f ＝＋ax＋sin 為偶函數，則a＝ _______．
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2　[因為f ＝＋ax＋sin ＝＋ax＋cos x為偶函數，定義域為R，
所以f ＝f ，
即－a＋cos ＝＋a＋cos ，
則πa＝－＝2π，故a＝2，
此時f ＝＋2x＋cos x＝x2＋1＋cos x，
所以f ＝＋1＋cos ＝x2＋1＋cos x＝f ，
又定義域為R，故f 為偶函數，所以a＝2．]
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　[設球O的半徑為R，正四棱錐P-ABCD的高、底面外接圓的半徑分別為h，r．
如圖，球心在正四棱錐內時，由＋O1B2＝OB2，
可得＋r2＝R2，
即h2－2Rh＋r2＝0(*)．
球心在正四棱錐外時，也能得到(*)式．
13．已知正四棱錐P-ABCD的頂點均在球O的表面上．若正四棱錐
P-ABCD的體積為1，則球O體積的最小值為________．
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又正四棱錐的體積為·2r2·h＝1，則r2＝，代入(*)式可得R＝．
通過對關于h的函數R求導，即R′＝，
易得函數R在上單調遞減，在上單調遞增，
則R＝R＝．故球O的體積的最小值為πR3＝π．]
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14．若數集M的非空子集T滿足：至少含有2個元素，且任意兩個元素之差的絕對值大于1，則稱T為數集M的超子集．對于集合An＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥3)，記An的超子集的個數為an，則a5＝_____，an與an－1，an－2的關系為____________________________．
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an＝an－1＋an－2＋n－2
7　an＝an－1＋an－2＋n－2　[由題意知，A3＝，則其超子集只有，所以a3＝1；
A4＝，則其超子集有，所以a4＝3；
A5＝，則其超子集有，所以a5＝7．
由此可以分析，對于An＝{1，2，3，…，n}(n∈N*，n≥3)，An的超子集可以分為兩類：
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第一類是超子集中不含n，這類超子集有an－1個；
第二類是超子集中含n，這類超子集同樣也包含兩類，
一類在中取一個元素，個數為n－2；
另一類在中取兩個或兩個以上元素，任意兩個元素之差的絕對值大于1，個數為an－2，
所以an＝an－1＋an－2＋n－2．]
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THANK YOU

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