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(共22張PPT)
第二階段　重點培優(yōu)　定時訓(xùn)練
層級二　定時訓(xùn)練 突破提能
第11天　大題搶分練(一)
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題號
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解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
1．(13分)已知函數(shù)f (x)＝sin x＋2cos2．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，f (A)＝f (B)，且a≠b．
(1)求C的大小；
(2)若c＝5，且△ABC的面積為2，求△ABC的周長．
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題號
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[解]　(1)由函數(shù)f (x)＝sinx＋2cos2＝sinx＋cos x＋1＝2sin ＋1，
f (A)＝f (B)，可得sin ＝sin ．
在△ABC中，因為A，B∈(0，π)，
所以A＋∈，B＋∈，
又因為a≠b，所以A≠B，
所以A＋＋B＋＝π，解得A＋B＝．
因為A＋B＋C＝π，所以C＝．
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題號
1
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(2)由(1)知C＝，因為△ABC的面積為S△ABC＝ab sin C＝2，所以ab＝8，
在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2ab cos C，即25＝a2＋b2－2ab cos ，
整理得a2＋b2－ab＝25，
所以(a＋b)2－3ab＝25，
即(a＋b)2＝25＋3ab＝49，所以a＋b＝7，
所以△ABC的周長為a＋b＋c＝12．
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題號
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2．(15分)某校高三年級1 000名學(xué)生的高考適應(yīng)性演練數(shù)學(xué)成績頻率分布直方圖如圖所示，其中成績分組區(qū)間是．
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題號
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(1)求圖中a的值，并根據(jù)頻率分布直方圖，估計這1 000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)；
(2)從這次數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生中采用比例分配的分層隨機(jī)抽樣的方法抽取9人，再從這9人中隨機(jī)抽取3人，該3人中成績在區(qū)間的人數(shù)記為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
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題號
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[解]　(1)由頻率分布直方圖可得(0.002 5＋0.007 5＋0.015×2＋2a)×20＝1，解得a＝0.005．
前四個矩形的面積之和為(0.002 5＋0.007 5＋2×0.015)×20＝0.8，
前五個矩形的面積之和為0.8＋0.005×20＝0.9，
設(shè)這1 000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為m，
則0.8＋×0.005＝0.85，解得m＝120，
因此，這1 000名學(xué)生的這次考試數(shù)學(xué)成績的第85百分位數(shù)為120．
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題號
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(2)數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)之比為0.007 5∶0.015＝1∶2，
所以所抽取的9人中，數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為9×＝3，
數(shù)學(xué)成績位于的學(xué)生人數(shù)為9×＝6．
由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為0，1，2，3，
則P＝＝，P＝＝，
P＝＝，P＝＝，
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題號
1
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所以隨機(jī)變量X的分布列如表所示：
所以E＝0×＋1×＋2×＋3×＝2．
X 0 1 2 3
P
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題號
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3．(15分)已知橢圓C：＝1的右焦點為F，點A，B，P在橢圓C上．
(1)若線段AB的中點為(1，－1)，求直線AB的方程；
(2)若F恰好是△ABP的重心，且|AF|，|PF|，|BF|成等差數(shù)列，求點P的坐標(biāo)．
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題號
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[解]　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2．
由得＝，
即＝－．
∴kAB＝＝－＝．
∴直線AB的方程為y＋1＝(x－1)，即3x－4y－7＝0．
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題號
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(2)由橢圓方程知F(1，0)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x3，y3)．
∵F恰好是△ABP的重心，
∴＝1，即x1＋x2＋x3＝3．
∴|AF|＝＝＝
＝2－．
同理可得|BF|＝2－，|PF|＝2－．
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題號
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又|AF|，|PF|，|BF|成等差數(shù)列，
∴2|PF|＝|AF|＋|BF|＝4－＝4－x3．
整理得x1＋x2＝2x3．
∴x1＋x2＋x3＝3x3＝3，解得x3＝1．
將x3＝1代入橢圓的方程得＝＝，解得y3＝±．
∴P點坐標(biāo)為或．
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題號
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4．(17分)如圖所示的空間幾何體是以直線AD為軸的圓柱與以四邊形ABCD為軸截面的半圓柱拼接而成，其中AD為半圓柱的母線，點G為弧CD的中點，C，G，D，E四點共面．
(1)求證：平面BDF⊥平面BCG；
(2)當(dāng)AB＝4，平面BDF與平面ABG夾角的
余弦值為時，求點E到直線BG的距離．
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題號
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[解]　(1)證明：過G作GH∥BC交弧AB于H，連接AH，BH，如圖所示，
則H為弧AB的中點，則GH∥BC且GH＝BC，
所以四邊形HBCG為平行四邊形，所以HB∥CG．
由題意可知，AF⊥AB，Rt△ABF為等腰直角三角形，則∠ABF＝．
因為H為弧AB的中點，所以AH⊥BH，AH＝BH，
則Rt△ABH為等腰直角三角形，則∠ABH＝，
所以∠FBH＝∠ABF＋∠ABH＝，則FB⊥BH，
因為HB∥GC，則FB⊥CG，又BC⊥BF，
BC，CG 平面BCG，BC∩CG＝C，
所以BF⊥平面BCG，因為BF 平面BDF，
所以平面BDF⊥平面BCG．
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題號
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(2)由題意知，AF，AB，AD兩兩垂直，所以以A為坐標(biāo)原點，AF，AB，AD所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示．
設(shè)AD＝a，又AB＝4，
則A，F(xiàn)，B，
D，G，
所以＝＝
＝＝＝．
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題號
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設(shè)平面BDF的法向量為n1＝，
則即令y1＝1，則n1＝
為平面BDF的一個法向量，
設(shè)平面ABG的法向量為n2＝，
則即令x2＝1，
則n2＝為平面ABG的一個法向量，
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題號
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設(shè)平面BDF與平面ABG的夾角為θ，
則cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝＝＝，解得a＝4(負(fù)值舍去)，
所以G，B，E，
則＝＝，
點E到直線BG的距離d＝＝．
所以點E到直線BG的距離為．
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題號
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5．(17分)已知函數(shù)f (x)＝4(x－1)－2x ln x．
(1)若函數(shù)g(x)＝f (x)－m存在零點，求實數(shù)m的取值范圍；
(2)求證：當(dāng)n∈N*且n≥2時，＋…＋＜．
[解]　(1)函數(shù)g(x)＝f (x)－m存在零點，即函數(shù)f (x)的圖象與直線y＝m有交點．
由題意得函數(shù)f (x)＝4(x－1)－2x ln x的定義域為(0，＋∞)，f ′(x)＝4－2(1＋ln x)＝－2ln x＋2．
令－2ln x＋2＝0，解得x＝e．
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題號
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當(dāng)x∈(0，e)時，f ′(x)＞0，f (x)在(0，e)上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(e，＋∞)時，f ′(x)＜0，f (x)在(e，＋∞)上單調(diào)遞減．
所以f (x)的最大值為f (e)＝4(e－1)－2eln e＝2e－4，且f (e2)＝－4＜0．
即當(dāng)x→＋∞時，f (x)→－∞，
故m≤2e－4．
所以實數(shù)m的取值范圍是(－∞，2e－4]．
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題號
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(2)證明：由于f (1)＝0，由(1)知f (x)在(0，e)上單調(diào)遞增，
故當(dāng)0＜x≤1時，f (x)≤f (1)＝0，即f (x)＝4x－4－2x ln x≤0，得2x－x ln x≤2．
令x＝(n∈N*)，則ln ≤2，所以ln n≤2，
所以ln n≤n2－1，所以≤n－1，當(dāng)且僅當(dāng)n＝1時等號成立．
因為n∈N*，所以當(dāng)n≥2時，＋…＋＜1＋2＋3＋…＋(n－1)＝．
THANK YOU

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