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(共22張PPT)
第二階段　重點培優　定時訓練
層級二　定時訓練 突破提能
第12天　大題搶分練(二)
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題號
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解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
1．(13分)已知曲線f ＝在點處的切線與直線x＋4y＋2 024＝0垂直．
(1)求a的值；
(2)求f 的單調區間和極值．
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題號
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[解]　(1)因為f ＝，所以f ′＝＝，
則f ′＝1－a．因為曲線f ＝在點處的切線與直線x＋4y＋2 024＝0垂直，
故＝－1，解得a＝－3．
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題號
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(2)因為f ＝，所以f ′＝＝，
令f ′＝0，解得x＝3或x＝－1，令f ′<0，得x>3或x<－1，令f ′>0，得－1列表如下：
x －1 3
f ′ － 0 ＋ 0 －
f ↘ 極小值 ↗ 極大值 ↘
故f 的單調遞減區間為和，單調遞增區間為，
f 的極大值為f ＝，極小值為f ＝－2e2．
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題號
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2．(15分)已知數列{an}的首項為1，Sn為數列{an}的前n項和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q＞0，n∈N*．
(1)若a2，a3，a2＋a3成等差數列，求數列{an}的通項公式；
(2)設雙曲線＝1的離心率為en，且e2＝2，求．
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題號
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[解]　(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，兩式相減，得an＋2＝qan＋1，n≥1．
又由S2＝qS1＋1，得a2＝qa1，故an＋1＝qan對所有n≥1都成立．
所以數列{an}是首項為1，公比為q的等比數列．
從而an＝qn-1．
由a2，a3，a2＋a3成等差數列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2．
所以an＝2n-1(n∈N*)．
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題號
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(2)由(1)可知，an＝qn-1．
所以雙曲線 ＝ 1的離心率en＝＝．
由e2＝＝2，解得q＝．
所以＝(1＋1)＋(1＋q2)＋…＋[1＋q2(n-1)]
＝n＋[1＋q2＋…＋q2(n-1)]＝n＋，＝n＋(3n－1)．
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題號
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3．(15分)在△ABC中，a，b，c分別為內角A，B，C的對邊，
2sin ＝．
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC是銳角三角形，c＝4，求△ABC面積的取值范圍．
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題號
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[解]　(1)由正弦定理及題意得2sin ＝，
即sin A(sin B＋cos B)＝sin B＋sin C，
又sin C＝sin (A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，
所以sin A(sin B＋cos B)＝sin B＋sin A cos B＋cos A sin B，
即sin A sin B＝sin B＋cos A sin B．
又00，所以sin A＝1＋cos A．
即sin A－cos A＝2sin ＝1，
即sin ＝．又02
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題號
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(2)由題意得S△ABC＝bc sin A＝b，
由正弦定理得b＝＝＝＝＋2，
又 △ABC為銳角三角形，
所以0<－C<，0故，所以2所以△ABC面積的取值范圍是．
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題號
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4．(17分)如圖，已知長方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，M為DC的中點．將△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
(1)求證：AD⊥BM；
(2)若＝λ(0<λ<1)，當二面角E-AM-D的大小為時，求λ的值．
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題號
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[解]　(1)證明：取AM的中點O，AB的中點N，連接OD，ON．
因為M為CD的中點，且CD＝AB＝2，所以DM＝1，
又DA＝1，O為AM的中點，所以OD⊥AM．
因為平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM＝AM，OD 平面ADM，所以OD⊥平面ABCM．
又AM＝BM＝，AB＝2，所以AM⊥BM．
因為O為AM的中點，N為AB的中點，
所以ON∥BM，所以ON⊥AM．所以ON，OA，OD兩兩垂直．
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題號
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以O為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
根據已知條件，得A，B，M，D，
由于＝
＝，
則＝0，故AD⊥BM．
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題號
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(2)因為＝λ，則＝λ，
所以點E的坐標為(其中λ∈)．
易得平面ADM的一個法向量為n1＝，
設平面AME的法向量為n2＝，
＝＝，
則即
取y＝λ－1，則n2＝，
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題號
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由于二面角E-AM-D的大小為，
則cos ＝＝＝＝，
由于λ∈，故解得λ＝2－3．
故λ的值為2－3．
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題號
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5．(17分)某市開展“安全隨我行”活動，交警部門在某個交通路口增設電子抓拍眼，并記錄了某月該路口連續10日騎電動摩托車未佩戴頭盔的人數y與天數x的情況，對統計得到的樣本數據(xi，yi)(i＝1，2，…，10)作了初步處理，得到下面的散點圖及一些統計量的值．
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題號
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(1)依據散點圖推斷，y＝bx＋a與y＝ebx＋a哪一個更適合作為未佩戴頭盔人數y與天數x的回歸方程類型？(給出判斷即可，不必說明理由)
(2)依據(1)的結果和上表中的數據求出y關于x的回歸方程．
(3)為了解佩戴頭盔情況與性別的關聯性，交警對該路口騎電動摩托車市民進行調查，得到如下列聯表：
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題號
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單位：人
性別 佩戴頭盔 合計
不佩戴 佩戴
女性 8 12 20
男性 14 6 20
合計 22 18 40
參考公式： ，＝－，χ2＝，其中n＝a＋b＋c＋d．
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題號
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依據α＝0.10的獨立性檢驗，能否認為市民騎電動摩托車佩戴頭盔與性別有關聯？
α 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
xα 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
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[解]　(1)依據散點圖可以判斷，y＝ebx＋a更適合作為未佩戴頭盔人數y與天數x的回歸方程類型．
(2)由Yi＝ln yi，得Y＝ln ebx＋a＝bx＋a，

＝＝－＝－0.3，
＝＝1.9－×5.5＝3.55，
所以Y＝－0.3x＋3.55，即y＝e-0.3x+3.55．
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題號
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(3)零假設H0：市民佩戴頭盔與性別無關聯．
根據列聯表中的數據，經計算得到：
χ2＝≈3.636>2.706＝x0.10，
根據小概率值α＝0.10的獨立性檢驗，我們推斷H0不成立，即認為市民佩戴頭盔與性別有關聯，此推斷犯錯誤的概率不超過0.10．
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