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(共19張PPT)
第二階段　重點(diǎn)培優(yōu)　定時(shí)訓(xùn)練
層級二　定時(shí)訓(xùn)練 突破提能
第14天　大題搶分練(四)
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題號
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解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
1．(13分)隨著互聯(lián)網(wǎng)的普及、大數(shù)據(jù)的驅(qū)動(dòng)，線上線下相結(jié)合的新零售時(shí)代已全面開啟，新零售背景下，即時(shí)配送行業(yè)穩(wěn)定快速增長．某即時(shí)配送公司為更好地了解客戶需求，優(yōu)化自身服務(wù)，提高客戶滿意度，在其A，B兩個(gè)分公司的客戶中各隨機(jī)抽取10位客戶進(jìn)行了滿意度評分調(diào)查(滿分100分)，評分結(jié)果如下：
分公司A：66，80，72，79，80，78，87，86，91，91．
分公司B：62，77，82，70，73，86，85，94，92，89．
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題號
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(1)求抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)；
(2)規(guī)定評分在75分以下的為不滿意，從上述不滿意的客戶中隨機(jī)抽取3人繼續(xù)溝通不滿意的原因及改進(jìn)建議，設(shè)被抽到的3人中分公司B的客戶人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
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[解]　(1)將抽取的這20位客戶的評分從小到大排列為：62，66，70，72，73，77，78，79，80，80，82，85，86，86，87，89，91，91，92，94．
因?yàn)?0×25%＝5，所以抽取的這20位客戶評分的第一四分位數(shù)為＝75．
(2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分；
分公司B中75分以下的有62分，70分，73分，
所以上述不滿意的客戶共5人，其中分公司A中2人，分公司B中3人．
所以X的所有可能取值為1，2，3．
P＝＝；P＝＝；P＝＝，
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題號
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所以X的分布列為
E＝1×＋2×＋3×＝．
X 1 2 3
P
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題號
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2．(15分)已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．分別以a，b，c為邊長的正三角形的面積依次為S1，S2，S3，且S1－S2－S3＝bc．
(1)求角A的大小；
(2)若＝4，∠CAD＝，求sin ∠ACB．
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[解]　(1)分別以a，b，c為邊長的正三角形的面積依次為S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，
則S1－S2－S3＝a2－b2－c2＝bc，可得a2－b2－c2＝bc，
由余弦定理的推論得cos A＝＝－，
因?yàn)锳∈(0，π)，所以A＝．
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題號
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(2)設(shè)∠ACB＝α(其中α為銳角)，
在△ABD和△ACD中，由正弦定理可得＝且＝，
于是＝，
又因?yàn)椋?，sin ＝sin ，所以＝＝4，
化簡得cos α＝sin α，①
根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，可得cos2α＋sin2α＝1，②
又sinα>0，③
聯(lián)立①②③，解得sin α＝，即sin ∠ACB＝．
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題號
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3．(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為等邊三角形，PD⊥AB，AD∥BC，AD＝4，AB＝BC＝2，M為PA的中點(diǎn)．
(1)證明：DM⊥平面PAB；
(2)求直線PB與平面MCD所成角的正弦值．
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題號
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[解]　(1)證明：取AD的中點(diǎn)為O，連接PO．因?yàn)椤鱌AD為等邊三角形，故PO⊥AD，
由題意知平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
PO 平面PAD，故PO⊥平面ABCD，又AB 平面ABCD，故PO⊥AB，
又PD⊥AB，PO∩PD＝P，PO，PD 平面PAD，
故AB⊥平面PAD，因?yàn)镈M 平面PAD，故AB⊥DM．
又M為PA的中點(diǎn)，△PAD為等邊三角形，則DM⊥PA，
AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以DM⊥平面PAB．
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題號
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(2)由(1)知AB⊥平面PAD，AD 平面PAD，故AB⊥AD，
連接CO，AO＝AD＝2，則AO∥BC，AO＝BC，
即四邊形AOCB為平行四邊形，故OC∥AB，所以O(shè)C⊥AD，
故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OC，OD，OP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
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題號
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則P(0，0，2)，B(2，－2，0)，M(0，－1，)，C(2，0，0)，D(0，2，0)，
＝(2，－2，－2)，＝(2，1，－)，＝(0，3，－)．
設(shè)平面MCD的法向量為n＝(x，y，z)，
則即令y＝1，
則n＝(1，1，)為平面MCD的一個(gè)法向量．
設(shè)直線PB與平面MCD所成角為θ，θ∈，
則sin θ＝＝＝＝．
所以直線PB與平面MCD所成角的正弦值為．
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題號
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4．(17分)已知函數(shù)f ＝ex．
(1)求函數(shù)f 的單調(diào)區(qū)間和極值；
(2)討論關(guān)于x的方程f ＝a的解的個(gè)數(shù)．
[解]　(1)函數(shù)的定義域?yàn)镽，f ′＝ex．
令f ′＝0，解得x＝1．
當(dāng)x<1時(shí)，f ′<0，f 在(－∞，1)上單調(diào)遞減；
當(dāng)x>1時(shí)，f ′>0，f 在(1，＋∞)上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)x＝1時(shí)，f 有極小值，且極小值為f ＝－e．
綜上所述，函數(shù)f 的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)，單調(diào)遞減區(qū)間為；f 有極小值，極小值為－e，無極大值．
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題號
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(2)令f ＝0，解得x＝2．
當(dāng)x<2時(shí)，f <0；當(dāng)x>2時(shí)，f >0．
當(dāng)x→－∞時(shí)，f ＝(x－2)ex→0，當(dāng)x→＋∞時(shí)，f →＋∞，由(1)可得當(dāng)x＝1時(shí)，f 有最小值f ＝－e．
結(jié)合(1)中分析可得，f 的大致圖象如圖所示，
方程f ＝a的解的個(gè)數(shù)為函數(shù)y＝f (x)的圖象與直線y＝a的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．
由圖可得，當(dāng)a<－e時(shí)，方程f ＝a無解；
當(dāng)a＝－e或a≥0時(shí)，方程f ＝a有一個(gè)解；
當(dāng)－e2
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題號
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5．(17分)已知雙曲線C：－y2＝1的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，過點(diǎn)P的直線l與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)．
(1)若直線l的斜率k存在，求k的取值范圍；
(2)記直線A1M，A2N的斜率分別為k1，k2，求的值；
(3)設(shè)G為直線A1M與直線A2N的交點(diǎn)，△GMN，△GA1A2的面積分別為S1，S2，求的最小值．
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[解]　(1)設(shè)M，N，直線l的方程為x＝my＋4，且m≠0，
聯(lián)立方程整理得y2＋8my＋12＝0，
因?yàn)橹本€l與雙曲線的右支交于M，N兩點(diǎn)，可得
解得－2又由直線l的斜率為k＝，可得k的取值范圍是．
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(2)由雙曲線C：－y2＝1，可得A1，A2，
由(1)可得y1＋y2＝－，y1y2＝，
則2my1y2＝－3．
所以＝＝＝＝＝＝＝－．
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題號
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(3)由(2)可知k2＝－3k1，
所以直線A1M與直線A2N的方程分別為y＝k1和y＝－3k1，
聯(lián)立兩直線方程可得交點(diǎn)G的橫坐標(biāo)為xG＝1，
于是＝＝
＝＝＝
＝＝－1＋≥－1＋＝3，
故的最小值為3，當(dāng)且僅當(dāng)m＝0時(shí)取等號．
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