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(共19張PPT)
第二階段　重點(diǎn)培優(yōu)　定時(shí)訓(xùn)練
層級(jí)二　定時(shí)訓(xùn)練 突破提能
第13天　大題搶分練(三)
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題號(hào)
1
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解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
1．(13分)已知a1＝，an∈，tan an＋1＝(n∈N*)．
(1)求tan a1，tan a2，tan a3；
(2)證明：是等差數(shù)列，并求出tan2an；
(3)設(shè)bn＝，求的前n項(xiàng)和Sn．
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題號(hào)
1
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[解]　(1)a1＝，tan a1＝1，cos a1＝，tan a2＝，cos a2＝，tan a3＝．
(2)證明：tan2an＋1＝＝＝tan2an＋1，故是以1為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列，故tan2an＝n．
(3)因?yàn)閎n＝＝＝，所以Sn＝－1．
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題號(hào)
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2．(15分)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，記△ABC的面積為S，已知＝2S．
(1)求角A的大??；
(2)若a＝2，求b2＋c2的最大值．
[解]　(1)因?yàn)椋?S，所以bc cos A＝bc sin A，
可得tan A＝，因?yàn)?2
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題號(hào)
1
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(2)由余弦定理可知a2＝b2＋c2－2bc cos ，即12＝b2＋c2－bc，
因?yàn)閎2＋c2≥2bc，所以bc≤，
所以bc＝b2＋c2－12≤，可得b2＋c2≤24，
當(dāng)且僅當(dāng)b＝c＝2時(shí)，等號(hào)成立，所以b2＋c2的最大值為24．
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題號(hào)
1
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3．(15分)如圖，四棱臺(tái)ABCD-A1B1C1D1的底面為菱形，AB＝4，DD1＝3，∠BAD＝60°，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，D1E⊥BC，D1E＝．
(1)證明：DD1⊥平面ABCD；
(2)若A1D1＝2，求平面A1C1E與平面
ABCD夾角的余弦值．
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題號(hào)
1
5
[解]　(1)證明：連接DE，DB．
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∠BAD＝60°，
所以△BDC是邊長(zhǎng)為4的正三角形，
因?yàn)镋為BC的中點(diǎn)，所以DE⊥BC，DE＝2，
又因?yàn)镈1E⊥BC，D1E∩DE＝E，D1E，DE 平面D1DE，
所以BC⊥平面D1DE，又DD1 平面D1DE，所以BC⊥DD1．
又D1E＝，DD1＝3，DE＝2，
所以＋DE2＝D1E2，所以DD1⊥DE．
又因?yàn)镈E∩BC＝E，DE，BC 平面ABCD，
所以DD1⊥平面ABCD．
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題號(hào)
1
5
(2)因?yàn)橹本€DA，DE，DD1兩兩垂直，以D為原點(diǎn)，DA，DE，DD1所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則D，A，E，C(－2，2，0)，A1(2，0，3)，
所以＝＝＝(2，－2，3)．
設(shè)平面A1C1E的法向量為n＝，
則
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題號(hào)
1
5
令x＝3，得y＝3，z＝4，所以n＝為平面A1C1E的一個(gè)法向量，
由題意知，m＝是平面ABCD的一個(gè)法向量，
設(shè)平面A1C1E與平面ABCD的夾角為θ，
則cos θ＝＝＝，
所以平面A1C1E與平面ABCD夾角的余弦值為．
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題號(hào)
1
5
4．(17分)甲同學(xué)參加學(xué)校的答題闖關(guān)游戲，游戲共分為兩輪，第一輪為初試，共有5道題，已知這5道題甲同學(xué)只能答對(duì)其中3道，從這5道題中隨機(jī)抽取3道題供參賽者作答，答對(duì)其中兩題及以上即視為通過初試；第二輪為復(fù)試，共有2道題，甲同學(xué)答對(duì)其中每道題的概率均為，兩輪中每道題答對(duì)得6分，答錯(cuò)得0分，兩輪總得分不低于24分即可晉級(jí)決賽．
(1)求甲通過初試的概率；
(2)求甲晉級(jí)決賽的概率，并在甲晉級(jí)決賽的情況下，記隨機(jī)變量X為甲的兩輪總得分，求X的數(shù)學(xué)期望．
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題號(hào)
1
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[解]　(1)甲要通過初試，則需要答對(duì)2道或3道題，
所以甲通過初試的概率為＝．
(2)①若甲初試答對(duì)2道題，則甲晉級(jí)決賽，復(fù)試需要答對(duì)2題，
此時(shí)甲晉級(jí)決賽的概率為＝．
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題號(hào)
1
5
②若甲初試答對(duì)3道題，則甲晉級(jí)決賽，復(fù)試需要答對(duì)1題或2題，
當(dāng)復(fù)試答對(duì)1題時(shí)，甲晉級(jí)決賽的概率為＝，
當(dāng)復(fù)試答對(duì)2題時(shí)，甲晉級(jí)決賽的概率為＝，
綜上所述，甲晉級(jí)決賽的概率為＝．
在甲晉級(jí)決賽的情況下，隨機(jī)變量X可取24，30，
P＝＝，P＝＝，
所以E＝24×＋30×＝．
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題號(hào)
1
5
5．(17分)已知拋物線C：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線交于位于y軸兩側(cè)的A，B兩點(diǎn)，當(dāng)|AF|＝4時(shí)，以AF為直徑的圓與x軸相切于點(diǎn)D(，0)．
(1)求C的方程；
(2)若p＜3，過A，B兩點(diǎn)作C的切線m，n相交于點(diǎn)P，直線m，n與直線y＝分別相交于點(diǎn)M，N，求△PMN面積的最小值．
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題號(hào)
1
5
[解]　(1)設(shè)焦點(diǎn)F，A，不妨設(shè)A在y軸右側(cè)，
以AF為直徑的圓的圓心為E，
因?yàn)閳AE與x軸相切于點(diǎn)D，
所以x3＝＝，y3＝，
所以|ED|＝＝2，
解得x1＝2，y1＝3，p＝2，或x1＝2，y1＝1，p＝6，
所以C的方程為x2＝4y或x2＝12y．
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題號(hào)
1
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(2)設(shè)B，因?yàn)橹本€l與拋物線交于位于y軸兩側(cè)的A，B兩點(diǎn)，所以設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，b＞0，
由 得x2－4kx－4b＝0，Δ＞0，
所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4b，
則＝4．
由x2＝4y得y＝，所以y′＝x，
則直線m的方程為y－y1＝x1，
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題號(hào)
1
5
整理得y＝①，
同理，直線n的方程為y＝②．
聯(lián)立①②得xP＝，yP＝，
令y＝1，得M，N，
所以＝．
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題號(hào)
1
5
因?yàn)辄c(diǎn)P到直線MN的距離為d＝1－，
所以S△PMN＝＝
＝≥2＋b．
設(shè)t＝，t∈(0，＋∞)，則令f (t)＝t3＋2t＋，
則f ′(t)＝3t2－＋2，令f ′(t)＝0，可得t＝，
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題號(hào)
1
5
所以當(dāng)0＜t<時(shí)，f ′(t)<0，f (t)單調(diào)遞減；
當(dāng)t>時(shí)，f ′(t)>0，f (t)單調(diào)遞增，
故當(dāng)t＝，即k＝0，b＝時(shí)，f 的最小值為f ＝．
即△PMN面積的最小值為．
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