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(共22張PPT)
第三階段　回歸教材　追根溯源
回歸1　集合、常用邏輯用語、不等式
[盲點1]　描述法表示集合時，一定要理解集合的含義，抓住集合的代表元素．如：{x|y＝lg x}表示函數的定義域；{y|y＝lg x}表示函數的值域；{(x，y)|y＝lg x}表示函數圖象上的點集．
案例1　(1)(教材人教A版改編)已知集合A＝{x|x＋2>0}，B＝{x|x2－x－2<0}，則A∩B＝(　　)
A．{x|－2C．{x|－1(2) (2020·全國Ⅲ卷)已知集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，則A∩B中元素的個數為(　　)
A．2　　　 B．3
C．4　　　 D．6
√
√
(1)D　(2)C　[(1)由x2－x－2<0，即(x＋1)(x－2)<0，解得－1所以B＝＝．
又A＝＝，
所以A∩B＝．故選D．
(2)∵集合A＝{(x，y)|x，y∈N*，y≥x}，B＝{(x，y)|x＋y＝8}，
∴A∩B＝＝{(1，7)，(2，6)，(3，5)，(4，4)}．∴A∩B中元素的個數為4．故選C．]
[盲點2]　對于充分、必要條件問題，要弄清邏輯關系：“A的充分不必要條件是B”是指B能推出A，且A不能推出B；而“A是B的充分不必要條件”是指A能推出B，且B不能推出A．
案例2　(1)(2024·天津高考)設a，b∈R，則“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　)
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
(2)(多選)(教材人教A版改編)下列條件中，為 “關于x的不等式mx2－mx＋1>0對任意x∈R恒成立”的充分不必要條件的有(　　)
A．0≤m<4 B．0C．1√
√
√
(1)C　(2)BC　[(1)根據立方的性質和指數函數的性質，a3＝b3和3a＝3b都當且僅當a＝b時成立，所以二者互為充要條件．
故選C．
(2)因為關于x的不等式mx2－mx＋1>0對任意x∈R恒成立，
當m＝0時，原不等式即為1>0，恒成立；
當m>0時，不等式mx2－mx＋1>0對任意x∈R恒成立，
可得Δ<0，即m2－4m<0，解得0當m<0時，y＝mx2－mx＋1的圖象開口向下，原不等式不恒成立．
綜上，m的取值范圍為．
所以“關于x的不等式mx2－mx＋1>0對任意x∈R恒成立”的充分不必要條件有0[盲點3]　含有量詞的命題的否定，不僅要把結論否定，而且要改寫量詞，全稱量詞變為存在量詞，存在量詞變為全稱量詞．
案例3　(1)(教材人教A版改編)命題p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根，則對命題p的真假判斷和 p正確的為(　　)
A．真命題， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根
B．假命題， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根
C．真命題， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根
D．假命題， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0有實根
√
(2)若“ x∈，sin 2x－m sin x<0”是假命題，則m的取值范圍為(　　)
A．(－∞，2] B．(－∞，－2]
C．(－∞，－2) D．(－∞，2)
√
(1)A　(2)B　[(1)在一元二次方程x2－ax－1＝0中Δ＝a2＋4>0恒成立，故對任意實數a，方程都有實根，故命題p為真命題， p： a∈R，一元二次方程x2－ax－1＝0無實根．故選A．
(2)“ x∈，sin 2x－m sin x<0”是假命題，即sin 2x－m sin x
≥0對于任意x∈恒成立，即m≤＝2cos x，x∈，2cos x∈，故m≤－2．故選B．]
[盲點4]　不等式兩端同時乘或同時除以一個不為零的數時，易忽略這個數的正負，導致出錯．
案例4　若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有(　　)
A．＞ B．＜
C．＞ D．＜
√
B　[∵c－d>0，
∵a>b>0，∴－ac>－bd，∴－>－，
∴<．故選B．]
[盲點5]　解形如ax2＋bx＋c>0的不等式時，易忽視對系數a的討論．
案例5　已知關于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－4，或x≥3}，則不等式cx2－bx＋a<0的解集為_________________．
　[因為關于x的不等式ax2＋bx＋c≤0的解集為{x|x≤－4，或x≥3}，
則 即b＝a，c＝－12a，a<0，
所以cx2－bx＋a<0等價于－12ax2－ax＋a<0，即12x2＋x－1<0，解得－[盲點6]　利用基本不等式求最值時，要注意驗證“一正、二定、三相等”的條件．
案例6　(1)(2021·全國乙卷)下列函數中最小值為4的是(　　)
A．y＝x2＋2x＋4 B．y＝|sin x|＋
C．y＝2x＋22-x D．y＝ln x＋
√
(2)(教材人教A版改編)已知a，b∈(－∞，0)，且a＋4b＝ab－5，則ab的取值范圍為(　　)
A．[25，＋∞) B．[1，＋∞)
C． D．
(3)(2020·天津高考)已知a>0，b>0，且ab＝1，則的最小值為________．
√
4
(1)C　(2)D　(3)4　[(1)對于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，
所以函數的最小值為3，故選項A錯誤；
對于B，因為0<|sin x|≤1，所以y＝|sin x|＋≥2＝4，
當且僅當|sin x|＝，即|sin x|＝2時取等號，
因為|sin x|≤1，所以等號取不到，
所以y＝|sin x|＋>4，故選項B錯誤；
對于C，因為2x>0，
所以y＝2x＋22-x＝2x＋≥2＝4，
當且僅當2x＝2，即x＝1時取等號，
所以函數的最小值為4，故選項C正確；
對于D，因為當x＝時，
y＝ln ＝－1－4＝－5<4，
所以函數的最小值不是4，故選項D錯誤．故選C．
(2)因為a，b∈(－∞，0)，a＋4b＝ab－5，則a＋4b<0，所以0又ab－5＝a＋4b＝－≤－2＝－4，
即ab＋4－5≤0，
即≤0，
解得0<≤1，所以0即ab的取值范圍為．故選D．
(3)因為a>0，b>0，且ab＝1，則＝＝≥2＝4，當且僅當＝，即a＝2＋，b＝2－或a＝2－，b＝2＋ 時取等號，所以的最小值為4．]
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