資源簡介

(共52張PPT)
第二階段　重點培優　定時訓練
層級二　定時訓練 突破提能
第15天　仿真模擬練
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．設集合A＝，B＝，C＝{x∈R|1≤x<3}，則(A∩C)∪B＝(　　)
A．　　　　　　 B．
C． D．
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D　[由題意可得，A∩C＝，則∪B＝．故選D．]
2．已知等差數列的前n項和為Sn，a9＝5，則S17等于(　　)
A．80　 　 B．85　 　
C．90　 　 D．95
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B　[由題意可得S17＝＝＝17×5＝85．故選B．]
3．已知雙曲線C：＝1的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線C的離心率為(　　)
A． B．2
C． D．2或
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A　[由雙曲線方程＝1，令＝0，解得y＝±x，
∴雙曲線的漸近線方程為y＝±x，又漸近線方程為y＝x，∴b＝1，又a＝，∴c＝＝2，∴e＝＝＝．故選A．]
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4．已知復數z滿足＝6，則復數z在復平面內所對應的點的軌跡為(　　)
A．線段 B．圓
C．橢圓 D．雙曲線
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C　[設z＝x＋yi(x，y∈R)，因為＝6，所以＝6＞4，則其幾何意義為任意點(x，y)到點(－2，0)與到點(2，0)的距離和為6，根據橢圓的定義可知，復數z在復平面內所對應的點的軌跡為橢圓．故選C．]
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5．若函數f ＝sin (0≤φ<π)在上單調遞增，則φ的最小值為(　　)
A． B．
C． B．
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B　[令2kπ－≤2x－φ≤2kπ＋(k∈Z)，
解得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，
由于f (x)在上單調遞增，
所以kπ－≤0即－kπ＋≤－kπ＋(k∈Z)，
因為0≤φ<π，所以當k＝0時，φ的最小值為．故選B．]
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6．比較兩組測量尺度差異較大數據的離散程度時，常使用離散系數，其定義為標準差與均值之比．某地區進行調研考試，共10 000名學生參考，測試成績(單位：分)近似服從正態分布，且平均分為57.4，離散系數為0.36，則全體學生成績的第84百分位數約為(　　)
附：若隨機變量Z服從正態分布N，則P(<σ)≈0.68．
A．82 B．78
C．74 D．70
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B　[根據題意得標準差為57.4×0.36＝20.664，所以測試結果(單位：分)近似服從正態分布N，
又因為84%＝0.5＋，且P(<σ)≈0.68，所以全體學生成績的第84百分位數約為μ＋σ＝57.4＋20.664≈78．故選B．]
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7．若α，β∈(0，π)，且＝sin ，則
(　　)
A．α＝β B．α＝2β　
C．α＋β＝ D．α＋β＝π
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D　[由＝sin ，得＝sin ，
即＝(sin β－cos β)，整理得sin βcos α＝－cos βsin α，
即sin (α＋β)＝0，由α，β∈(0，π)，得α＋β∈(0，2π)，
所以α＋β＝π．故選D．]
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8．小張同學將一塊棱長為的正方體形狀橡皮泥重新捏成一個正四面體(過程中橡皮泥無損失)，則該正四面體外接球的體積為(　　)
A．π B．2π
C．3π D．9π
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C　[設正四面體的棱長為a，由題意可得，正方體的體積即為正四面體的體積，
設正四面體如圖，F為底面BCD的中心，E為CD的中點，F在BE上，
O為正四面體外接球的球心，則AF為四面體的高，O在AF上，
則BE＝a，BF＝a＝a，
則AF＝＝a，
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即得V正四面體＝a2×a＝a3＝V正方體＝2，所以a3＝24．
設正四面體外接球的半徑為R，
則OB2＝OF2＋BF2，即R2＝＋，即得R＝a，
故外接球體積V球＝＝＝×24＝3π．
故選C．]
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二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知a，b∈R，有一組樣本數據為2＋a，3，6－b，7－a，8，10，11＋b，12，13，若在這組數據中插入一個數8，則(　　)
A．平均數不變 B．中位數不變　
C．方差不變 D．極差不變
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AD　[對于A選項，原數據的平均數為8，插入一個數8，平均數不變，正確；
對于B選項，取a＝－2，b＝1，原數據的中位數為9，新數據的中位數為8.5，錯誤；
對于C選項，新數據的方差為s′2＝[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2＋(8－8)2]<[(2＋a－8)2＋(3－8)2＋…＋(13－8)2]＝s2，錯誤；
對于D選項，因為3<8<13，所以8不是最值，故新數據的極差不變，正確．故選AD．]
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10．已知向量a，b的夾角為，且＝1，＝2，則(　　)
A．⊥a
B．＝
C．＝
D．a在b上的投影向量為b
√
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AB　[a·b＝cos ＝1×2×＝1，·a＝－a·b＝1－1＝0，故A正確；
＝＋＋2a·b＝1＋4＋2＝7，所以＝，故B正確；
＝4＋＋4a·b＝4＋4＋4＝12，所以＝2，
又因為＝4，所以≠，故C錯誤；
a在b上的投影向量為＝b，故D錯誤．故選AB．]
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11．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，斜率為且經過點F的直線l與C交于A，B兩點(點A在第一象限)，與C的準線交于點D，若|AF|＝4，則(　　)
A．p＝2 B．F為線段AD的中點
C．|BD|＝2|BF| D．|BF|＝2
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√
ABC　[易知F，由題意可得直線l的方程為y＝．
由消去y并整理，得12x2－20px＋3p2＝0，
解得xA＝p，xB＝p．
由＝xA＋＝2p＝4，得p＝2，故A正確；
∴＝xB＋＝，故D錯誤；
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過點B作BN垂直準線于點N，易知∠DBN＝60°，
∴＝＝＝，
∴＝2，故C正確；
∵＝＝＝4，
∴F為線段AD的中點，故B正確．
故選ABC．]
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三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．學習小組為了研究手機對學生學習的影響，對本學校學生手機使用情況進行統計分析得到以下結果：若學生前一天不玩手機，則接下來一天也不玩手機的概率為0.7，若學生前一天玩手機，則接下來一天也玩手機的概率為0.8． 已知一個學生第一天沒玩手機，根據這個統計結果計算，他第二天玩手機的概率為________，第三天不玩手機的概率為________．
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0.3
0.55
13．已知橢圓C：＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F2，以線段F1F2為直徑的圓交C于A，B兩點，其中點A在第一象限，點B在第三象限，若≤3，則C的離心率的取值范圍是
_______________．
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　[如圖所示，設＝n，＝m，因為點A在第一象限，所以n>m．
又因為A，B均在以線段F1F2為直徑的圓上，
所以四邊形AF1BF2為矩形，即＝．
因為≤3，所以n≤3m，即1<≤3．
因為m＋n＝2a，m2＋n2＝4c2，
所以＝m2＋n2＋2mn＝4c2＋2mn＝4a2，即mn＝2a2－2c2．
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因為＝＝，
設y＝，v＝∈，即y＝v＋，v∈．
因為y′＝1－＝>0，所以y＝v＋在區間上單調遞增．
所以2當2<時，解得2c2>a2，即e2>，解得＜e＜1；
當時，解得8c2≤5a2，即e2≤，即0綜上，題號
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14．已知函數f ＝和g＝b(b>0)有相同的最大值，則a＋的最小值為________．
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e　[f ＝，f ′＝(x∈(0，＋∞))，
當a＝0時，f ＝0，最大值為0，
又g＝b＝b，所以當＝時，g＝，
e
由＝0得b＝0，與題設矛盾．
當a≠0時，令f ′＝0，得ln x＝1，即x＝e，
當x∈(0，e)時，1－ln x>0，當x∈(e，＋∞)時，1－ln x<0，
當a<0時，
當x∈(0，e)時，f ′<0，當x∈(e，＋∞)時，f ′>0，
∴f (x)在(0，e)上單調遞減，在(e，＋∞)上單調遞增，∴f (x)在x＝e處取到最小值，沒有最大值，不符合題意；
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當a>0時，
當x∈(0，e)時，f ′>0，當x∈(e，＋∞)時，f ′<0，
∴f (x)在(0，e)上單調遞增，在(e，＋∞)上單調遞減，∴f (x)max＝f (e)＝．
∵f (x)與g(x)有相同的最大值，
∴＝，a＝，又∵a，b>0，
∴a＋＝≥2＝e，當且僅當＝，即b＝2時取等號．∴a＋的最小值為e．]
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四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．(13分)在△ABC中，已知a，b，c分別為角A，B，C的對邊．若m＝，n＝，且m·n＝3b cos B．
(1)求cos B的值；
(2)若2a，b，c成等比數列，求的值．
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[解]　(1)因為m＝，n＝，且m·n＝3b cos B，
所以a cos C＋c cos A＝3b cos B，
由正弦定理，可得
sin A cos C＋sin C cos A＝3sin B cos B，
所以sin ＝3sin B cos B，
即sin B＝3sin B cos B，
又B為三角形內角，所以sin B≠0，
所以cos B＝．
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(2)因為2a，b，c成等比數列，所以b2＝2ac，
由正弦定理，可得sin2B＝2sinA sin C，
又cos B＝，B為三角形內角，所以sin B＝，
所以＝＝＝
＝＝＝＝．
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16．(15分)已知函數f ＝．
(1)求曲線y＝f 在點處的切線方程；
(2)當x≥1時，f ≤a，求a的取值范圍．
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[解]　(1)由于f ＝0，則切點坐標為，
因為f ′(x)＝，所以切線斜率為f ′＝，
故切線方程為y－0＝(x－1)，即y＝x－．
(2)當x∈時，f ≤a等價于ln x≤a，
令g＝a－ln x，x∈，
ln x≤a恒成立，則g≥0恒成立，g′(x)＝2ax－＝，
當a≤0時，g′(x)＜0，函數g在上單調遞減，g≤g＝0，不符合題意；
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當01，
x∈時，g′(x)＜0，函數g單調遞減，g≤g＝0，
不符合題意；
當a≥時，2a≥1，因為x≥1，所以2ax2－1≥0，則g′(x)≥0，
所以函數g在上單調遞增，g≥g＝0，符合題意．
綜上所述，a的取值范圍為．
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17．(15分)已知橢圓C：＝1(a>b>0)的右焦點是F，上頂點A是拋物線x2＝4y的焦點，直線AF的斜率為－．
(1)求橢圓C的方程；
(2)直線l：y＝kx＋m(m≠1)與橢圓C交于P，Q兩點，PQ的中點為M，當∠PMA＝2∠PQA時，證明：直線l過定點．
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[解]　(1)由題意知A(0，1)，即b＝1，
∵F(c，0)，kAF＝－＝－，∴c＝2．
從而a2＝b2＋c2＝5，
故橢圓C的方程為＋y2＝1．
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(2)證明：∵∠PMA＝∠MQA＋∠MAQ，
且∠PMA＝2∠PQA，
∴∠MQA＝∠MAQ，從而|MA|＝|MQ|＝|PQ|，
∴AP⊥AQ，
由 得x2＋10kmx＋5＝0，
Δ＝20(5k2－m2＋1)＞0，
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設P，Q，
∴x1＋x2＝－，x1x2＝，
則＝
＝x1x2＋
＝x1x2＋k(m－1)＋(m－1)2
＝＋(m－1)2＝＝＝0，
解得m＝－或m＝1(舍去)，所以直線l過定點．
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18．(17分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，CD∥AB，∠ABC＝90°，AB＝2CD，三棱錐B-PCD的體積為，平面PAD與平面PBC的交線為l．
(1)求四棱錐P-ABCD的體積，并畫出交線l；
(2)若AB＝2BC＝4，PA＝PD，且平面PAD⊥平面ABCD，
在l上是否存在點N，使平面PDC與平面DCN夾角的余弦值為？若存在，求PN的長度；若不存在，請說明理由．
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[解]　(1)記點P到平面ABCD的距離為h．
由VB-PCD＝VP-BCD＝·h·S△BCD＝，VP-ABCD＝·h·S四邊形ABCD，
∵AB＝2CD，∴S△ADB＝2S△BCD，
∴S四邊形ABCD＝3S△BCD，VP-ABCD＝3VP-BCD＝2．
延長BC，AD，設BC的延長線和AD的延長線交點為M，連接PM，
則平面PAD和平面PBC的交線l為直線PM．
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(2)取AD的中點E，連接PE，
∵PA＝PD，E是AD的中點，∴PE⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PE 平面PAD，PE⊥AD，
∴PE⊥平面ABCD，VB-PCD＝VP-BCD＝·PE·S△BCD＝，S△BCD＝BC·CD＝2，解得PE＝．
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以點B為坐標原點，以直線BA，BM分別為x，y軸，以過點B作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系Bxyz，如圖所示．
則P，C，D，M(0，4，0)，∴＝＝＝(－3，3，－)，
設＝λ＝，則＝
＝
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設平面PDC的法向量為m＝，
則即
令z1＝1，得m＝為平面PDC的一個法向量．
設平面DCN的法向量為n＝，
則即
令y2＝(1－λ)，可得n＝(0，(1－λ)，1－3λ)為平面DCN的一個法向量．
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∵平面PDC與平面DCN夾角的余弦值為，
∴＝＝＝，
整理得3λ2－10λ＋3＝0，解得λ＝或λ＝3，
即在直線l上存在點N，使平面PDC與平面DCN夾角的余弦值為，此時＝或＝(－9，9，－3)，則PN＝＝或PN＝＝6．
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19．(17分)甲、乙兩名同學玩擲骰子積分游戲，規則如下：每人的初始積分均為0分，擲1枚骰子1次為一輪，在每輪游戲中，從甲、乙兩人中隨機選一人擲骰子，且兩人被選中的概率均為，當骰子朝上的點數不小于3時，擲骰子的人積2分，否則此人積1分，未擲骰子的人本輪積0分，然后進行下一輪游戲．已知每輪擲骰子的結果相互獨立．
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(1)求經過4輪游戲，甲的累計積分為4分的概率．
(2)經商議，甲、乙決定修改游戲規則，具體如下：甲、乙輪流擲骰子，誰擲誰積分，第一次由甲擲．當骰子朝上的點數不小于3時，積2分，否則積1分．甲、乙分別在5～25分之間選一個整數分數(含5分和25分)，且兩人所選的分數不同，當兩人累計積分之和首先等于其中一人所選分數時，此人贏得游戲．記兩人累計積分之和為n的概率為P．
①證明：為等比數列．
②甲選哪個分數對自己最有利？請說明理由．
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[解]　(1)甲每輪游戲的積分可能為0分、1分、2分，記其每輪積分為0分、1分、2分的概率分別為P′(0)，P′(1)，P′(2)，
則P′(0)＝，P′(1)＝＝，P′(2)＝＝，
經過4輪游戲，甲的累計積分為4分的所有可能情況如下：4輪中甲擲2輪，且每輪積分均為2分；
4輪中甲擲3輪，每輪積分分別為2，1，1；甲擲4輪，每輪積分均為1分，
所以經過4輪游戲，甲的累計積分為4分的概率P＝＝．
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(2)①證明：記“累計積分之和為n＋2”為事件An＋2，“累計積分之和為n＋1”為事件An＋1，“累計積分之和為n”為事件An，
于是P(n＋2)＝P(An)P(An＋2|An)＋P(An＋1)·P(An＋2|An＋1)＝P(n)＋P(n＋1)，
則P(n＋2)－P(n＋1)＝－[P(n＋1)－P(n)]，
又P(1)＝，P(2)＝＝，P(2)－P(1)＝≠0，
所以是首項為，公比為－的等比數列．
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②由①得，當n≥2時，P(n)－P(n－1)＝＝，
累加得P(n)－P(1)＝＋＋…＋＝，
因此P(n)＝，當n≥5，n為奇數時，P(n)＝單調遞增，且P(n)<，
當n≥5且n為偶數時，P＝單調遞減，且P>，
則當n＝6時，P(n)最大，所以甲選擇6分對自己最有利．
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