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第三階段　回歸教材　追根溯源
回歸4　數(shù)列
[盲點16]　已知數(shù)列{an}的前n項和求an，易忽視n＝1的情形，直接用an＝Sn－Sn－1表示．作答時，應(yīng)驗證a1是否滿足an＝Sn－Sn－1，若
滿足，則an＝Sn－Sn－1，否則，an＝
案例16　數(shù)列滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋n，n∈N*，則
數(shù)列{an}的通項公式為________________________．
an＝
an＝ 　[數(shù)列滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n＋n，n∈N*，①
當(dāng)n＝1時，a1＝3，
當(dāng)n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋an－1＝2n-1＋n－1，②
由①－②，得nan＝2n－2n-1＋1＝2n-1＋1，∴an＝．
當(dāng)n＝1時，a1＝3不滿足an＝，故an＝ ]
[盲點17]　注意函數(shù)與數(shù)列的區(qū)別與聯(lián)系，在討論數(shù)列的單調(diào)性和最值問題時，易忽視數(shù)列中的n∈N*這一條件．
案例17　(1)已知數(shù)列{an}滿足an＝n2＋λn，n∈N*，若數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，則λ的取值范圍是_____________．
(2)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，a1＝－11，a5＋a6＝－4，則公差d＝________；當(dāng)n的值為________時，Sn取得最小值．
(－3，＋∞)
2
6
(1)(－3，＋∞)　(2)2　6　[(1)因為{an}單調(diào)遞增，
所以當(dāng)n≥1時，an＋1－an＝(n＋1)2＋λ(n＋1)－n2－λn＝2n＋1＋λ>0恒成立，
即λ>－2n－1，因為n≥1，所以(－2n－1)max＝－3，所以λ>－3．
(2)由a1＝－11，a5＋a6＝－4，得
解得d＝2．
∴an＝a1＋(n－1)d＝－11＋2(n－1)＝2n－13，
由an＝2n－13≤0，得n≤，又n∈N*，∴n≤6，
可知當(dāng)n的值為6時，Sn取得最小值．]
[盲點18]　運用等比數(shù)列的前n項和公式時，易忘記分類討論．當(dāng)公比q的值不確定時，要分q＝1和q≠1兩種情況進(jìn)行討論．
案例18　(2023·全國甲卷)記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項和．若8S6＝7S3，則{an}的公比為 ________．
－
－　[若q＝1，則由8S6＝7S3得8×6a1＝7×3a1，則a1＝0，不合題意，所以q≠1．
當(dāng)q≠1時，因為8S6＝7S3，
所以＝，
即8＝7，
即8＝7，
即8＝7，解得q＝－．]
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