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(共21張PPT)
第三階段　回歸教材　追根溯源
回歸5　立體幾何與空間向量
[盲點(diǎn)19]　易混淆幾何體的表面積與側(cè)面積，幾何體的表面積是幾何體的側(cè)面積與所有底面面積之和，易漏掉幾何體的底面積；求錐體體積時，易漏掉體積公式中的系數(shù)．
案例19　(1) (教材人教A版改編)已知圓錐的側(cè)面積為12π，它的側(cè)面展開圖是圓心角為的扇形，則此圓錐的體積為(　　)
A．6π B．　
C．6π D．
(2)(2023·新高考Ⅰ卷)在正四棱臺ABCD-A1B1C1D1中，AB＝2，A1B1＝1，AA1＝，則該棱臺的體積為 ________．
√
(1)B　(2)　[(1)設(shè)圓錐的底面半徑為r，母線長為l，由題意可得
解得l＝3r＝6，
則圓錐的高h(yuǎn)＝＝4，
所以此圓錐的體積為h×πr2＝．故選B．
(2)如圖，設(shè)正四棱臺ABCD-A1B1C1D1的上、下底面中心分別為M，N，
過A1作A1H⊥AC，垂足為點(diǎn)H，
由題意易知A1M＝HN＝，又AN＝，
∴AH＝AN－HN＝，又AA1＝，∴A1H＝MN＝，∴該四棱臺的體積為×(1＋4＋)×＝．]
[盲點(diǎn)20]　不清楚空間線面平行與垂直關(guān)系中的判定定理和性質(zhì)定理，忽視判定定理和性質(zhì)定理中的條件，導(dǎo)致判斷出錯．如由α⊥β，α∩β＝l，m⊥l，易誤得出m⊥β的結(jié)論，就是因?yàn)楹鲆暶婷娲怪钡男再|(zhì)定理中m α的限制條件．
案例20　(教材人教A版改編)(1)設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面．下列命題中，正確命題的序號是________．
①若m α，n β，m⊥n，則α⊥β；②若α∥β，m⊥α，n∥β，則m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，則m∥n；④若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，則n⊥β．
②
(2)如圖，將正方形ABCD沿對角線AC折疊后，平面BAC⊥平面DAC，則二面角B-CD-A的余弦值為(　　)
A． B．
C． D．
√
(3)(多選)(教材人教A版改編)在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，PA＝4，AB＝3，BC＝4，則下列說法正確的是
(　　)
A．此三棱錐的四個面均為直角三角形
B．此三棱錐的四個面中有四對相互垂直的面
C．此三棱錐內(nèi)切球的半徑為
D．此三棱錐外接球的半徑為
√
√
(1)②　(2)C　(3)AC　[(1)對于①，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面ABCD、平面A1B1C1D1分別為α，β，
直線AB，B1C1分別為直線m，n，顯然有m α，n β，m⊥n，而α∥β，①錯誤；
對于②，因?yàn)閚∥β，α∥β，當(dāng)n α?xí)r，由m⊥α，得m⊥n，
當(dāng)n不在平面α內(nèi)時，則存在過直線n的平面與β，α都相交，令交線分別為l，l′，
則有n∥l∥l′，而m⊥α，l′ α，于是m⊥l′，因此m⊥n，②正確；
對于③，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面ABCD、平面DCC1D1分別為α，β，
直線BB1，AB分別為直線m，n，滿足α⊥β，m⊥α，n∥β，而m⊥n，③錯誤；
對于④，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，設(shè)平面ABCD、平面DCC1D1分別為α，β，
直線CD，DD1分別為直線m，n，滿足α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，而n β，④錯誤．
所以正確命題的序號是②．
(2)設(shè)正方形的邊長為a，取AC的中點(diǎn)O，連接BO，則BO⊥AC，過O作AD的平行線OE交CD于E，連接BE，如圖所示．
因?yàn)槠矫鍮AC⊥平面DAC，平面BAC∩平面DAC＝AC，BO 平面BAC，
則BO⊥平面DAC，而CD 平面DAC，于是BO⊥CD，又OE⊥CD，BO∩OE＝O，BO，OE 平面BOE，則CD⊥平面BOE，
而BE 平面BOE，即有CD⊥BE，
因此∠BEO為二面角B-CD-A的平面角，顯然BO＝a，OE＝，
因?yàn)锽O⊥OE，所以△BOE為直角三角形，由BE2＝BO2＋OE2＝a2，
得BE＝a，所以cos ∠BEO＝＝＝．故選C．
(3)對于A，因?yàn)镻A⊥平面ABC，AB，AC，BC 平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，因?yàn)锳B⊥BC，又PA∩AB＝A，PA，AB 平面PAB，所以BC⊥平面PAB，因?yàn)镻B 平面PAB，所以BC⊥PB，所以易知此三棱錐的四個面均為直角三角形，故A正確；
對于B，因?yàn)镻A⊥平面ABC，PA 平面PAB，PA 平面PAC，所以平面PAB⊥平面ABC，平面PAC⊥平面ABC，
因?yàn)锽C⊥平面PAB，BC 平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC，
此三棱錐的四個面中有三對相互垂直的面，故B不正確；
對于C，設(shè)內(nèi)切球的半徑為r，則此三棱錐的體積V＝S△ABC·PA＝(S△ABC＋S△PAB＋S△PBC＋S△PAC)r，
可得r＝＝＝，故C正確；
對于D，設(shè)外接球的半徑為R，取PC的中點(diǎn)O，
由直角三角形的性質(zhì)知，OA＝OB＝OC＝OP＝R，
所以點(diǎn)O為此三棱錐外接球的球心，
所以2R＝PC＝＝
＝＝，所以外接球的半徑為，D錯誤．故選AC．]
[盲點(diǎn)21]　用空間向量求角時易忽視向量的夾角與所求角之間的關(guān)系，如求直線與平面所成的角時，易把直線的方向向量與平面的法向量所成角的余弦值當(dāng)成線面角的余弦值，導(dǎo)致出錯．
案例21　(多選)如圖，在棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．點(diǎn)B到直線A1C1的距離為
B．直線CF到平面AEC1的距離為
C．直線A1C1與平面AEC1所成角的余弦值為
D．直線A1C1與直線B1F所成角的余弦值為
√
√
√
ABD　[由題意，以點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示．
則B(2，2，0)，A1(2，0，2)，C1(0，2，2)，＝(0，2，－2)，＝(－2，2，0)，
則點(diǎn)B到直線A1C1的距離為
d＝||·
＝2＝，故A正確；
A(2，0，0)，F(xiàn)(2，1，0)，E(2，1，2)，C(0，2，0)，
＝(2，－1，0)，＝(0，1，2)，＝(－2，2，2)，＝(0，1，0)，設(shè)平面AEC1的法向量n＝(x，y，z)，
則
取x＝1，得n＝(1，2，－1)為平面AEC1的一個法向量，
由于E，F(xiàn)分別為A1B1，AB的中點(diǎn)，
所以EF∥CC1 且EF＝CC1，
因此四邊形FCC1E為平行四邊形，故EC1∥CF，
又CF 平面AEC1，EC1 平面AEC1，
所以CF∥平面AEC1，
所以直線CF到平面AEC1的距離為d＝＝＝，故B正確；
設(shè)直線A1C1與平面AEC1所成的角為θ，則sin θ＝＝＝，故C錯誤；
B1(2，2，2)，＝(0，－1，－2)，
設(shè)直線A1C1與直線B1F所成的角為θ，則cos θ＝＝＝，故D正確．故選ABD．]
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