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培優(yōu)專練12
1．證明：　由條件知，A(－2，0)，B(2，0)，設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，聯(lián)立
化簡得(3＋4k2)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
Δ＞0，x1＋x2＝，x1x2＝，
直線AM：y＝(x＋2)，直線BN：y＝(x－2)．
聯(lián)立得，x＝．
法一：(配湊半代換)
原式＝＝
＝＝＝4．
故直線AM與直線BN的交點(diǎn)在定直線x＝4上．
法二：(和積轉(zhuǎn)換)
分離常數(shù)得：x1＋x2＝＝2－，x1x2＝＝1－．
則有x1·x2＝(x1＋x2)－4．
代入得x＝＝2×＝4．
故直線AM與直線BN的交點(diǎn)在定直線x＝4上．
2．解：(1)由題意，雙曲線C：＝1的離心率為，且點(diǎn)在雙曲線C上，
可得解得a2＝8，b2＝8，
所以雙曲線C的方程為＝1．
(2)雙曲線C的左焦點(diǎn)為F，
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí)，此時(shí)直線為y＝0，與雙曲線C的左支只有一個(gè)交點(diǎn)，舍去；
當(dāng)直線l的斜率不為0時(shí)，設(shè)l：x＝my－4，
聯(lián)立方程組消去x，得y2－8my＋8＝0，易得Δ>0，
由于過點(diǎn)F作直線l交C的左支于A，B兩點(diǎn)，
設(shè)A，B，則y1＋y2＝，y1y2＝<0，可得－1因?yàn)椋剑剑?br/>則＝＋y1y2＝
＝y(tǒng)1y2－2m＋4＝＋4＝－4，
即≠0，可得MA與MB不相互垂直，
所以不存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上．
(3)證明：由直線AP：y－2＝k1，得Q，
所以k2＝＝，又k1＝kPA＝＝，所以k1－k2＝＝＝，
因?yàn)閗1＝，所以k1my1＝y(tǒng)1－2，且y1＋y2＝my1y2，
所以k1－k2＝＝＝－2，
即k1－k2為定值．
1/1培優(yōu)專練12　圓錐曲線中的非對稱韋達(dá)定理問題
1．已知點(diǎn)A，B是橢圓E：＝1的左、右頂點(diǎn)，若直線l：y＝k(x－1)與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求證：直線AM與直線BN的交點(diǎn)在一條定直線上．
2．已知雙曲線C：＝1的離心率為，點(diǎn)在雙曲線C上．過C的左焦點(diǎn)F作直線l交C的左支于A，B兩點(diǎn)．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若M，試問：是否存在直線l，使得點(diǎn)M在以AB為直徑的圓上？請說明理由；
(3)點(diǎn)P，直線AP交直線x＝－2于點(diǎn)Q．設(shè)直線QA，QB的斜率分別為k1，k2，求證：k1－k2為定值．

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